Voir la source de Théorème de De Bruijn-Erdős (géométrie d'incidence)

{{Homon|Théorème de De Bruijn-Erdős (théorie des graphes)|Théorème d'Erdős}}

En {{Lien|trad=Incidence geometry|géométrie d'incidence}}, le '''théorème de De Bruijn-Erdős''', dû à [[Nicolaas Govert de Bruijn]] et [[Paul Erdős]]<ref>{{article|lang=en|nom=de Bruijn|prénom=N. G.|nom2=Erdős|prénom2=P.|titre=On a combinatioral<!--sic--> problem|revue=[[Indagationes Mathematicae]]|année=1948|vol=10|p.=421-423|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1948-01.pdf}}</ref>, fournit un [[minorant]] (égal à <math>n</math>) du nombre de droites déterminées par ''<math>n</math> ''points, dans un [[plan projectif]]. Par [[Dualité (géométrie projective)|dualité]], <math>n</math> est aussi un minorant du nombre de points d'intersections déterminés par une configuration de <math>n</math> droites non concourantes.

Bien que leur preuve fût [[Preuve combinatoire|combinatoire]], De Bruijn et Erdős remarquaient dans leur article que le résultat analogue en [[géométrie affine]] est une conséquence du [[théorème de Sylvester-Gallai]], par [[Raisonnement par récurrence|récurrence]] sur le nombre de points.

[[Fichier:Nearpencil.svg|vignette|Cas où <math>n-1</math> points sont alignés. Les <math>n</math> points déterminent alors <math>n</math> droites.]]

== Énoncé ==
Si ''<math>n\geqslant3</math> ''points non alignés du plan projectif déterminent ''<math>N</math> ''droites, alors
*<math>N\geqslant n</math>,
*si ''<math>N= n</math>'', deux quelconques des ''<math>N</math> ''droites ont l'un des <math>n</math> points en commun.
[[Fichier:N points cocycliques.gif|vignette|<math>n</math> points cocycliques déterminent <math>\binom n2</math> droites]]
Notons qu'à l'opposé ''<math>N</math> ''est inférieur ou égal à <math>\binom n2</math> puisque deux points déterminent une droite et une seule.

Ce majorant est atteint par exemple pour des points cocycliques.

== Démonstration ==
On raisonne par récurrence. Le résultat est clair pour ''n ''= 3.

Supposons que ''n ''> 3 et que le théorème est vrai pour ''n ''− 1, et soit ''P ''un ensemble de ''n ''points non alignés.
Le théorème de Sylvester-Gallai assure que ''P ''détermine au moins une droite ordinaire, c'est-à-dire contenant exactement deux de ces points.
Soient ''a ''et ''b ''deux tels points.

*Si les ''n ''− 1 (> 2) points distincts de ''a ''sont alignés, leur droite contient ''b ''et pas ''a''. Dans ce cas, les points distincts de ''b ''forment un ensemble ''P' ''de ''n ''− 1 points non alignés. D'après notre hypothèse, ''P' ''détermine ''n ''− 1 droites, ce qui est exactement une de moins que le nombre de droites déterminées par ''P ''(puisque la droite joignant ''a ''et ''b ''est absente).
*Sinon, les points distincts de ''a ''forment un ensemble ''P' ''de ''n ''− 1 points non alignés. À nouveau, d'après notre hypothèse, ''P' ''détermine ''n ''− 1 droites, ce qui est au moins une de moins que le nombre de droites déterminées par ''P ''

== Notes et références ==
{{reflist}}
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Lynn Margaret|nom1=Batten|titre=Combinatorics of finite geometries|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1997|numéro d'édition=2|pages totales=208|passage=25-27|isbn=978-0-521-59014-3|numéro chapitre=2.2|titre chapitre=The de Bruijn–Erdős theorem}}
{{Traduction/Référence|en|De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)|491816134}}

== Article connexe ==
[[Inégalité de Fisher]]

{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme de De Bruijn-Erdos (geometrie d'incidence)}}
[[Catégorie:Géométrie projective]]
[[Catégorie:Géométrie discrète]]
[[Catégorie:Théorème de combinatoire|De Bruijn-Erdos]]