Voir la source de Théorème de Dirichlet (séries de Fourier)

{{Homonyme|Théorème de Dirichlet}}
En [[analyse (mathématiques)|analyse]], le '''[[théorème]] de Dirichlet''' (ou de '''Jordan-Dirichlet''') est un résultat de [[Convergence simple|convergence ponctuelle]] pour les [[séries de Fourier]].

Une première version du théorème a été prouvée par [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] en [[1829]]<ref>Mr Lejeune-Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]'', vol. 4, 1829, {{p.|157-169}}, lire en ligne : sur {{arxiv2|0806.1294}} ou [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0004&DMDID=dmdlog13 sur GDZ].</ref>. Faute d'une théorie de l'[[Intégration (mathématiques)|intégration]] adéquate, la preuve de Dirichlet ne permet de traiter que des fonctions assez particulières ([[fonction monotone|monotones]] hors des points d'une subdivision).

Le théorème sera généralisé par [[Marie Ennemond Camille Jordan|Jordan]] en 1881 pour englober le cas de toutes les fonctions « localement à [[fonction à variation bornée|variation bornée]] »<ref>Camille Jordan, « Sur la série de Fourier », ''C. R. Acad. Sci. Paris'', vol. 92, 1881, {{p.|228-230}}, {{Lire en ligne|lien=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7351t/f227.item.r=}}.</ref>.

== Énoncé ==

Soit ƒ une [[fonction localement intégrable]] sur <math>\mathbb{R}</math> et de période {{math|2π}}. Soit <math>x_0 \in\mathbb{R}</math>. On suppose que :
* ƒ admet des limites à droite et à gauche en ''x''<sub>0</sub>, notées ƒ(''x''<sub>0</sub><sup>+</sup>) et ƒ(''x''<sub>0</sub><sup>−</sup>) ;
* il existe {{math|α > 0}} tel que les intégrales suivantes convergent :
:<math>\int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t</math>.

Alors, la série de Fourier de ƒ converge au point ''x''<sub>0</sub> et admet pour limite
:<math>\lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}2</math>.

Notamment, le théorème s'applique lorsque la fonction admet des dérivées à droite et à gauche en ''x''<sub>0</sub> (sans nécessairement être continue : il s'agit des dérivées à droite et à gauche des restrictions), et en particulier lorsqu'elle est de classe <math>\mathcal{C}^{1}</math> par morceaux.

=== Démonstration ===

La démonstration du théorème s'appuie sur le fait que la série de Fourier se calcule par [[produit de convolution]] avec un [[polynôme trigonométrique]] aux propriétés remarquables : le [[noyau de Dirichlet]].
:<math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},</math>
:<math>S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt</math>
On utilise la seconde écriture du noyau de Dirichlet
:<math>S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt</math>

Cette écriture est proche de l'application du [[théorème de Riemann-Lebesgue]], mais la fonction <math>t \mapsto\frac{f(x-t)}{\sin(t/2)}</math> n'est pas intégrable ''a priori'' au voisinage de 0. On forme donc (en utilisant le changement de variable {{nobr|''t' {{=}} –t''}} pour replier la moitié de l'intégrale sur [0,{{mathPi}}])
:<math>S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt
-\frac12(f(x^+)+f(x^-))</math>
Puis, en utilisant la valeur moyenne du noyau de Dirichlet {{math|''D<sub>n</sub>''}}, on rentre les constantes dans l'intégrale :
:<math>S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin\frac t 2}  dt</math>

Cette fois le théorème s'applique. Donc l'expression a bien une limite nulle.

== Applications ==
{{…}}
[[Fichier:Waveforms.svg|vignette|Formes d'onde sinusoïdale, carrée, triangulaire et en dents de scie.]]
Le théorème permet de traiter la convergence des séries de Fourier de signaux périodiques discontinus ([[signal carré]], [[Signal en dents de scie|en dents de scie]]…) en donnant la valeur de la série sur tout le domaine.

Ainsi pour un [[signal triangulaire]], donc continu, le théorème de Dirichlet permet de justifier que la transformée de Fourier de la fonction est égale à la fonction en chaque point, tandis que pour un signal carré, donc discontinu, la transformée de Fourier de la fonction est égale à la fonction en chaque point où la fonction de référence est continue, mais égale à la moyenne des limites à gauche et à droite en chaque discontinuité.

== Notes et références ==

<references/>

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Théorème de Fejér]]
* [[Théorème de Banach-Steinhaus#Application aux séries de Fourier|Application du théorème de Banach-Steinhaus aux séries de Fourier]] : pour tous réels ''T'' > 0 et ''x'', il existe « beaucoup » de fonctions continues ''T''-périodiques dont la série de Fourier diverge en ''x''.

=== Bibliographie ===
* {{Kahane1}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse|Dirichlet]]
[[Catégorie:Série de Fourier|Theoreme de Dirichlet]]