Voir la source de Théorème de Feuerbach

{{Article général|Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Théorème de Feuerbach}}
{{à sourcer|date=février 2023}}
En [[mathématiques]], le '''théorème de Feuerbach''', du nom du mathématicien [[Karl Feuerbach]], affirme que dans un [[triangle]], le [[cercle d'Euler]] est tangent au [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercle inscrit]] et aux trois [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercles exinscrits]]. Les points de contact sont appelés '''points de Feuerbach''' du triangle<ref>{{article |lang=en |titre=Feuerbach’s Theorem |auteur=Brian Sherman |périodique=Australian Mathematics Education Journal (AMEJ) |année=2021 |volume=3 |numéro=1 |pages=44-46}}</ref>.

[[Image:Triangle_triangle_feuerbach2.png|center|frame|Triangle de Feuerbach.]]

== Points de Feuerbach ==
Les trois points de tangence <math>F_A^e, F_B^e, F_C^e</math> des cercles exinscrits forment le '''triangle de Feuerbach''' du triangle ABC<ref name=Wolfram>{{MathWorld |titre=Feuerbach Triangle |nom_url=FeuerbachTriangle}}</ref>.

[[Image:Point Feuerbach.svg|center|frame|Alignement du point de Feuerbach ''inscrit'' avec les centres des cercles.]]
Le point de Feuerbach F<sub>e</sub>, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ), avec I le centre du cercle inscrit et J le centre du cercle d'Euler.

Soit S, le point de concours des droites <math>AF_A^e, BF_B^e, CF_C^e</math>. Alors les points J, I, S et le point de Feuerbach F<sub>e</sub> sont alignés et en [[division harmonique]]<ref name=Wolfram/>.

[[Image:Thm Feuerbach droite des centres.svg|center|thumb|upright=2.5|Le point S, les centres I et J et le point de Feuerbach F<sub>e</sub> sont alignés.]]

Le point de Feuerbach F<sub>e</sub> appartient aussi au cercle circonscrit du [[triangle cévien]] du centre I du cercle inscrit, ce dernier étant tangent en F<sub>e</sub> au cercle inscrit et au cercle d'Euler<ref>{{article |lang=en |auteur1=Lev Emelyanov |titre=A Note on the Feuerbach Point |auteur2=Tatiana Emelyanova |périodique=Forum Geometricorum |volume=1 |année=2001 |pages={{p.|121–124}} |issn=1534-1178 |lire en ligne=https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200117.pdf}}</ref>.

[[Image:Point Feuerbach pied bissect.svg|center|frame|Le cercle, circonscrit au triangle formé par les pieds des bissectrices, passe par le point de Feuerbach.]]

== Six autres droites concourantes au point de Feuerbach ==
;Trois droites symétriques des côtés du triangle de contact

[[Image:FeuerbachIntriangleConcur.svg|thumb|droite]]
Soit O le centre du cercle circonscrit et i<sub>A</sub>, i<sub>B</sub>, i<sub>C</sub> les points de contact du triangle ABC avec son cercle inscrit.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact i<sub>A</sub>i<sub>B</sub>i<sub>C</sub>, passent par le point de Feuerbach.
{{clr}}

;Trois droites symétriques des côtés du triangle de Feuerbach
[[Image:FeuerbachIntriFeuerbachConcur.svg|thumb|droite]]

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de Feuerbach  <math>F_A^eF_B^eF_C^e</math>, passent par le point de Feuerbach.
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== Théorème de Feuerbach-Ayme dans un triangle rectangle ==

[[Image:Point Feuerbach tr rectangle.svg|center|frame|Le cercle de diamètre [O<sub>B</sub>O<sub>C</sub>] passe par le point de Feuerbach.]]

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur de ABC sur (BC), O<sub>B</sub> et O<sub>C</sub> les centres des cercles inscrits dans les triangles AHB et AHC, et F<sub>0</sub> le point de Feuerbach ''inscrit'' du triangle ABC ; alors les droites (C’O<sub>B</sub>) et (B’O<sub>C</sub>) sont orthogonales et se coupent au point de Feuerbach. Le cercle de diamètre [O<sub>B</sub>O<sub>C</sub>] passe par F<sub>0</sub>.

''Remarque'' : outre le point de Feuerbach, le cercle de diamètre [O<sub>B</sub>O<sub>C</sub>] contient le pied H de la hauteur issue de A, le point de contact du cercle inscrit dans ABC avec le côté (BC) et les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec la droite des centres (B’C’). Ces deux derniers points sont aussi situés sur les bissectrices en A des triangles AHB et AHC.

== Bibliographie ==
* Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 {{ISBN|978-2-91-635208-4}}

== Notes et références ==
{{références}}
=== Liens externes ===
* [http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,538526 La découverte du théorème par Jean-Louis Ayme sur ''les-mathematiques.net''].
* {{pdf}} [https://web.archive.org/web/20231002015313/http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le%20theoreme%20de%20Feuerbach-Ayme.pdf La démonstration synthétique sur le site de Jean-Louis Ayme]
* [http://sites.google.com/site/cerclesinscrits/9---point-de-feuerbach Une démonstration de F. Marsal] 

{{Palette|Triangle}}
{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Feuerbach, theoreme de}}
[[Catégorie:Théorème de géométrie]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]