Voir la source de Théorème de Gauss (physique)

{{Voir homonymes|Théorème de Gauss}}
En [[physique]], le '''théorème de Gauss''' relie le [[flux (physique)|flux]] d'un [[champ de vecteurs]] sortant d'une surface fermée aux entités à l'origine du champ ([[charge électrique|charges électriques]] pour le [[champ électrique]], masses pour le [[champ gravitationnel]]{{etc.}}). Un corollaire notable du théorème est que les entités extérieures à la surface ne contribuent pas au flux.

Ce [[théorème]], qui est en fait une application du [[théorème de la divergence]], a été démontré indépendamment par [[Carl Friedrich Gauss]] en 1813 (pour la gravitation et dans un cas géométrique particulier), par [[Siméon Denis Poisson]] en 1824 (pour l'[[Déformation élastique|élasticité]]), par [[Mikhaïl Ostrogradski]] en 1826 (pour les [[flux thermique|flux de chaleur]] mais avec une démonstration générale), par [[George Green]] en 1828 (pour des cas particuliers) et par [[Pierre-Frédéric Sarrus]] en 1828 (pour les [[Poussée d'Archimède|corps flottants]]).

== Théorème de Gauss en électrostatique ==
=== Énoncé ===
Le flux du [[champ électrique]] <math>\vec E</math> sortant d'une surface fermée <math>S</math> est proportionnel à la [[charge électrique]] totale <math>Q_\text{int}</math> contenue dans le volume <math>V</math> délimité par cette surface. La constante de proportionnalité est <math>1/\varepsilon_0</math>, où <math>\varepsilon_0</math> est la [[permittivité du vide|permittivité diélectrique du vide]].
<center>{{Bloc emphase|bord=1px solid black;|<math>\, \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec E \cdot \mathrm d\vec S=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}</math>}}</center>

{{démonstration|Le [[champ électrique]] <math>\vec E</math> vérifie l'[[Équations de Maxwell#L'équation locale de Maxwell|équation de Maxwell-Gauss]]
:<math>\, \operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>,
où <math>\rho</math> désigne la [[densité de charge|densité volumique de charge]]. L'intégrale sur <math>V</math> de cette équation donne
:<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V\operatorname{div}\vec E\;\mathrm dV=\frac1{\varepsilon_0}\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V\rho\,\mathrm dV \equiv \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}</math>,
où <math>Q_\mathrm{int}</math> est la charge totale à l'intérieur du volume <math>V</math>. Le [[théorème de la divergence]] 
:<math>\,\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V\operatorname{div}\vec E\;\mathrm dV</math>
nous permet finalement d'écrire 
:<math>\,\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}</math>.}}

=== Utilisation ===
==== Méthode générale ====

Il est toujours possible de calculer le champ électrique généré par une distribution de charge en intégrant la [[loi de Coulomb (électrostatique)|loi de Coulomb]] sur l'espace. Cette méthode étant souvent impraticable, le théorème de Gauss nous permet de simplifier ce calcul dans les cas où la [[répartition de charge]] possède des [[symétrie|symétries]] permettant de choisir une [[surface de Gauss]] commode.

La méthode générale pour trouver le champ électrique <math>\vec E</math> en un point <math>\vec r</math> de l'espace peut être résumée comme suit.

{{énoncé|
# Trouver l'orientation du champ <math>\vec E</math> au point <math>\vec r</math> par des considérations de symétrie.
# Choisir une [[surface de Gauss]] <math>\Sigma</math> 
#* passant par le point <math>\vec r</math>,
#* ayant les mêmes symétries que la distribution de charges <math>\rho</math>,
#* permettant d'exprimer facilement le flux de <math>E</math>,
#* ne se superposant pas à une distribution surfacique ou linéique de charges (ce qui n'est pas physique).
# Calculer le flux de <math>E</math> à travers <math>\Sigma</math>.
# Calculer la charge <math>Q_\mathrm{int}</math> contenue dans <math>\Sigma</math>.
# Appliquer le théorème de Gauss.
}}

Un cas simple ou le théorème de Gauss permet de faciliter ce calcul est la boule uniformément chargée.

==== Exemple de la boule uniformément chargée ====

On considère une boule uniformément chargée de rayon <math>R</math> et de charge totale <math>Q</math>. On peut la représenter par une distribution de charge
:<math>\rho (\vec r) = \begin{cases}\rho_0&\text{ si } |\vec r|<R \\ 0&\text{ sinon}\end{cases}\quad</math>, avec <math>\quad Q = V_\text{boule} \rho_0 = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0</math>.

En [[coordonnées sphériques]], <math>\vec r = (r, \theta, \phi)</math>, on remarque que le système est invariant par rotation d'angle <math>\theta, \phi</math> quelconques, on a donc une [[Symétrie de rotation|symétrie sphérique]]. Le champ électrique <math>\vec E</math> généré par cette distribution de charges ne dépendra donc que de la distance au centre de la sphère <math>r</math> donc <math>\vec E(\vec r) = \vec E(r)</math>. D'autre part, pour chaque point de l'espace, toutes les coupes de la sphère passant par ce point et le centre de sphère sont équivalentes donc le champ en ce point est radial. Ainsi on a <math>\vec E(\vec r) = E(r)\cdot \vec e_r</math>. Cette symétrie nous invite à choisir pour [[surface de Gauss]] <math>\Sigma</math> la sphère de rayon <math>r</math>.

En appliquant le théorème de Gauss à la surface <math>\Sigma</math>, on obtient
:<math>\frac{1}{\varepsilon_0}\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V} \rho \, \text{d} V = \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_\Sigma \vec E \cdot \text{d} \vec S = E(r) \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_\Sigma \vec e_r \cdot \text{d}\vec S = 4\pi r^2 E(r)</math>.

On a alors deux cas de figure :
:<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V} \rho \, \text{d} V = \begin{cases}\frac{4}{3}\pi r^3\rho_0&\text{ si }r<R\\\frac{4}{3}\pi R^3\rho_0&\text{ si }r>R\end{cases} </math>,

donnant finalement une norme pour le champ électrique
:<math>E(r) = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0} \times \begin{cases}r&\text{ si }r<R\\R^3/r^2 &\text{ si }r>R \end{cases}</math>.

Dans ce cas, on voit que la symétrie de la distribution de charge permet d'exprimer simplement l'intégrale sur le champ <math>\vec E</math>.

== Théorème de Gauss en gravitation ==
=== Énoncé ===
Le flux du [[champ gravitationnel]] <math>\vec{\mathcal G}</math> sortant d'une surface fermée <math>S</math> est proportionnel à la [[masse]] totale <math>M_\text{int}</math> contenue dans le volume <math>V</math> délimité par cette surface. La constante de proportionnalité est <math>-4\pi G</math>, où <math> G</math> est la [[constante de gravitation]].

<center>{{Bloc emphase|bord=1px solid black;|<math>\, \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec{\mathcal G} \cdot \mathrm d\vec S=-4\pi G \, M_\text{int}</math>}}</center>

{{démonstration|titre=Démonstration directe|Le [[champ gravitationnel]] <math>\vec{\mathcal G}</math> vérifie l'[[champ gravitationnel#Mise en évidence|équation locale]] 
:<math>\operatorname{div}\vec{\mathcal G}=-4\pi G \rho_\mathrm{m}</math>,
où <math>\rho_\mathrm{m}</math> désigne la [[masse volumique]]. L'intégrale sur <math>V</math> de cette équation donne
:<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V\operatorname{div}\vec{\mathcal G}\;\mathrm dV=-4\pi G\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V\rho_\mathrm{m}\,\mathrm dV \equiv -4\pi G \, M_\mathrm{int}</math>, 
où <math>M_\mathrm{int}</math> est la masse totale à l'intérieur du volume <math>V</math>. Le [[théorème de la divergence]] 
:<math>\,\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec{\mathcal G}\cdot\mathrm d\vec S=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V\operatorname{div}\vec{\mathcal G}\;\mathrm dV</math>
nous permet finalement d'écrire 
:<math>\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec{\mathcal G} \cdot \mathrm d\vec S=-4\pi G \, M_\text{int}</math>.}}

{{démonstration| titre=Démonstration par analogie|Les équations locales pour le [[champ électrique]], <math>\, \operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> et pour le [[champ gravitationnel]] <math>\, \operatorname{div}\vec{\mathcal G}=-4\pi G \rho_\mathrm{m}</math> peuvent respectivement être déduites de la [[loi de Coulomb (électrostatique)#Force de Coulomb|force de Coulomb]] <math>\, \vec F_\mathrm C=\frac{q_1q_2 \vec r_{12}}{4\pi\varepsilon_0|\vec r_{12}|^3}\,</math>et de la [[force de gravitation#Modélisation d'Isaac Newton (1643-1727)|force de gravitation]] <math>\, \vec F_\mathrm g=-G\frac{m_1m_2 \vec r_{12}}{|\vec r_{12}|^3}\,</math> qui ont la même forme fonctionnelle.

Par analogie, on assimile :
* Le [[champ gravitationnel]] <math>\vec{\mathcal G}</math> au [[champ électrique]] <math>\vec E</math>,
* La [[masse]] <math>m</math> à la [[charge électrique]] <math>q</math>,
* La [[constante gravitationnelle]] négative <math>-G</math> à la constante de [[Coulomb]] <math>k = 1/4\pi\varepsilon_0</math>.

On obtient alors à partir du théorème de Gauss en électrostatique, le théorème de Gauss en gravitation
<center><math>\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S\vec{\mathcal G} \cdot \mathrm d\vec S=-4\pi G \, M_\text{int}</math>.</center>

On remarquera l'apparition du signe <math>-</math> qui provient du fait que la force de gravitation est toujours attractive (la masse étant toujours positive) alors que la force de Coulomb peut être attractive ou répulsive en fonction du signe des charges.}}

=== Exemples d'application ===
==== Gravité à l'extérieur de la Terre ====
La Terre pouvant être considérée comme à symétrie sphérique (en première approximation), le champ de gravité <math>\vec g</math> est partout dirigé vers le centre O de la Terre, et son module <math>g</math> (la gravité) ne dépend que de la distance radiale <math>r</math> (distance à O). Le théorème de Gauss appliqué à la sphère de centre O et de rayon <math>r</math> s'écrit <math>-4\pi r^2g=-4\pi G\,M_\mathrm{int}</math> où <math>M_\mathrm{int}</math> désigne la masse contenue à l'intérieur de la sphère, donc :
:<math>g=G\frac{M_\mathrm{int}}{r^2}</math>.

Si l'on se situe à l'extérieur de la Terre (<math>r>R\,</math> où <math>R</math> désigne le [[rayon de la Terre|rayon terrestre]]), <math>M_\mathrm{int}</math> n'est autre que la [[Masse de la Terre|masse terrestre]] <math>M</math> (la masse d'air contenue entre les distances <math>R</math> et <math>r</math> est négligeable) :
:<math>g=\frac{GM}{r^2}</math>.
La gravité à l'extérieur de la Terre est donc la même que si toute la masse de la Terre était concentrée au point O.

Si l'on désigne par <math>g_0</math> la gravité à la surface de la Terre (<math>g_0=GM/R^2</math>), la gravité à l'extérieur de la Terre s'écrit :
:<math>g=g_0\left(\frac Rr\right)^{\!2}</math>.

À l'altitude <math>z</math> on a <math>\,r=R+z=R\left(1+\frac zR\right)</math>, la gravité vaut donc :
:<math>g=g_0\left(1+\frac zR\right)^{\!-2}</math>.

Si l'altitude est petite (comparée au rayon terrestre), on peut remplacer l'expression ci-dessus par un [[développement limité]] au premier ordre :
:<math>g\approx g_0\left(1-2\frac zR\right)</math>.

<math>R\approx</math> {{unité|6371 km}}. Pour <math>z=</math> {{unité|1 km}}, <math>2\frac zR\approx</math> 0,00031, la gravité diminue donc d'environ 0,03 % par kilomètre d'altitude.

==== Gravité à l'intérieur de la Terre ====
Comme dans la section précédente, le champ de gravité <math>\vec g</math> est partout dirigé vers le centre O de la Terre, son module <math>g</math> ne dépend que de la distance radiale <math>r</math>, et le théorème de Gauss appliqué à la sphère de centre O et de rayon <math>r</math> donne <math>\,g=G\,M_\mathrm{int}/r^2\,</math> où <math>M_\mathrm{int}</math> désigne la masse contenue à l'intérieur de la sphère.

Quand <math>r</math> est inférieur au [[rayon de la Terre|rayon terrestre]] <math>R</math>, la masse <math>M_\mathrm{int}</math> dépend de <math>r</math>. Si l'on suppose dans un premier temps que la [[masse volumique]] <math>\rho</math> de la Terre est uniforme, <math>M_\mathrm{int}(r)=\tfrac43\pi r^3\rho\,</math> donc :
:<math>g=\frac43\pi\,G\rho\,r</math>.

La gravité en surface étant égale à <math>g_0=\tfrac43\pi\,G\rho\,R</math>, la gravité à l'intérieur de la Terre peut s'écrire :
:<math>g=g_0\frac rR</math>.

En réalité, la masse volumique des matériaux terrestres est une fonction <math>\rho(r)</math> [[fonction monotone|décroissante]], en partie en raison de leur [[composition chimique]] (le [[fer]] du [[noyau terrestre|noyau]] est plus dense que les [[silicate]]s du [[manteau terrestre|manteau]]) et en partie parce qu'ils sont d'autant plus comprimés qu'ils sont profonds (la [[pression]] augmente avec la profondeur, elle est maximale au centre de la Terre). Alors <math>\,M_\mathrm{int}(r)=\int_0^r\!4\pi\,r_1^2\,\rho(r_1)\,\mathrm dr_1</math> donc :
:<math>g=\frac{4\pi\,G}{r^2}\int_0^r\!r_1^2\,\rho(r_1)\,\mathrm dr_1</math>.

==== Théories de la Terre creuse ====
Les [[théories de la Terre creuse]] imaginent qu'il y a dans la Terre une grande cavité centrale, sphérique (de même centre O que la Terre elle-même), et que d'éventuels habitants de la surface (concave) de cette cavité tiendraient debout avec la tête vers O et les pieds au sol, maintenus par une gravité dirigée vers le sous-sol. Le théorème de Gauss montre facilement qu'en fait la gravité serait nulle, que tout l'intérieur de la cavité centrale serait [[en apesanteur]] : en prenant comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon {{mvar|r}} inférieur ou égal au rayon de la cavité, la même formule que précédemment, <math>g=G\,M_\mathrm{int}/r^2</math>, donne <math>\,g=0\,</math> puisqu'il n'y a aucune masse à l'intérieur de la sphère.

Dans le cycle de ''[[Pellucidar]]'' d'[[Edgar Rice Burroughs]], il y a en plus un [[soleil]] fixe au centre O. Le théorème de Gauss montre de même que la gravité ressentie par des habitants de la surface de la cavité ne serait pas dirigée vers le sous-sol mais vers le soleil fixe.

==== Correction de plateau ====
La correction de plateau est l'une des corrections apportées à l'accélération de la [[pesanteur]] déduite du [[modèle ellipsoïdal de la Terre]] pour définir une valeur théorique et la comparer à la valeur mesurée (la différence entre celle-ci et celle-là est l'[[anomalie de Bouguer]]). La correction de plateau est la pesanteur due à la présence de [[roche]]s entre le [[niveau de la mer]] et le point de mesure, d'altitude {{mvar|h}}.

Les roches sont supposées appartenir à une couche d'épaisseur {{mvar|h}} (un [[plateau (géographie)|plateau]]) présentant une différence de [[masse volumique]] <math>\Delta\rho</math> par rapport à l'air qui devrait être présent entre les altitudes {{math|0}} et {{mvar|h}} selon le modèle ellipsoïdal (les accidents de la topographie sont pris en compte dans une autre des corrections intervenant dans le calcul de l'anomalie de Bouguer). L'étendue de la couche étant supposée très grande par rapport à {{mvar|h}}, la correction de plateau <math>\Delta g_\mathrm p</math> est assimilée à la pesanteur (le module du champ de pesanteur <math>\Delta\vec g_\mathrm p</math>) créée par une plaque horizontale d'épaisseur {{mvar|h}}, de masse volumique <math>\Delta\rho</math> et d'extension horizontale infinie dans les deux directions. La symétrie de cette plaque implique que le champ de pesanteur qu'elle crée soit perpendiculaire au [[plan médiateur]] de la plaque, de même module <math>\Delta g_\mathrm p</math> en tous les points de ses deux faces, et de sens différent sur ces deux faces (dirigé vers le bas sur la face du haut, vers le haut sur la face du bas).

On choisit comme surface de Gauss une portion de [[cylindre]] de section {{mvar|S}}, de génératrices perpendiculaires au plan médiateur, et avec l'une de ses deux faces juste au-dessus de la face supérieure de la plaque et l'autre juste au-dessous de la face inférieure. Le flux de <math>\Delta\vec g_\mathrm p</math> sortant de cette surface fermée se compose du flux sortant par les parois latérales (nul puisque <math>\Delta\vec g_\mathrm p</math> y est parallèle à la surface), du flux sortant par la face du haut (<math>-S\,\Delta g_\mathrm p</math>) et du flux sortant par la face du bas (égal au précédent), le flux total est donc <math>-2S\,\Delta g_\mathrm p</math>. La masse contenue à l'intérieur de la surface de Gauss est égale au produit de la masse volumique <math>\Delta\rho</math> par le volume de plaque compris à l'intérieur, c'est-à-dire <math>S\,h</math>. Le théorème de Gauss s'écrit donc <math>-2S\,\Delta g_\mathrm p=-4\pi G\,\Delta\rho\,S\,h</math>, d'où :
:<math>\Delta g_\mathrm p=2\pi G\,\Delta\rho\,h</math>.
La [[masse volumique de l'air]] étant négligeable devant celle des roches, on peut remplacer <math>\Delta\rho</math> par <math>\rho</math>, la masse volumique de ces roches.

== Voir aussi ==
* [[Équations  de Maxwell]]
* [[Surface de Gauss]]
* [[Théorème d'Ampère]]
* [[Loi de Lenz-Faraday]]
* [[Théorème de la divergence]]
* [[Théorème de Stokes]]

== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Palette Gauss}}

{{Portail|physique|électricité et électronique}}

[[Catégorie:Électrostatique]]
[[Catégorie:Théorème de physique|Gauss]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss|Theoreme d'electromagnetisme]]