Voir la source de Théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale

En [[théorie géométrique des groupes]], le '''théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale''', démontré par [[Mikhaïl Gromov]], s'énonce ainsi :

{{théorème|Un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] [[Partie génératrice d'un groupe|de type fini]] est à croissance polynomiale si et seulement s'il possède un [[sous-groupe]] [[Groupe nilpotent|nilpotent]] d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] fini.|style=display:table}}

La croissance d'un groupe de type fini est une notion de [[géométrie asymptotique]] qui quantifie le volume d'une boule de rayon <math>n</math> lorsque <math>n</math> tend vers l'infini. Un groupe <math>G</math> de type fini est dit à croissance polynomiale lorsque, si l'on fixe une partie génératrice symétrique (i.e. stable par passage à l'inverse) <math>\mathit{F}</math> de <math>G</math>, il existe deux réels strictement positifs <math>c,d</math> tels que toute boule (pour la distance des mots par rapport à la partie <math>\mathit{F}</math>) de rayon <math>n</math> a un volume borné par <math>cn^d</math>. Cette définition dépend ''a priori'' de la partie génératrice choisie, mais on peut montrer<ref>{{article|id=Tits 1981|prénom=Jacques|nom=Tits|lien auteur=Jacques Tits|titre=Groupes à croissance polynomiale|lien périodique=Séminaire Bourbaki|revue=Séminaire Bourbaki|année=1980-81|numéro=572|p.=176-188|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1980-1981__23__176_0}}.</ref> que s'il existe un couple <math>(c,d)</math> qui convient pour <math>\mathit{F}</math>, alors pour toute autre partie génératrice symétrique il existe <math>c' > 0</math> tel que le couple <math>(c',d)</math> convient. Le degré de croissance polynomiale de <math>G</math> est alors défini comme la [[borne inférieure]] des réels <math>d</math> apparaissant dans une telle majoration.

Un groupe est dit nilpotent lorsque sa [[Groupe nilpotent|suite centrale descendante]] <math> G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq \ldots</math> stationne au sous-[[groupe trivial]].

[[Joseph A. Wolf]] a montré que les groupes nilpotents de type fini sont à croissance polynomiale. La réciproque a été démontrée par Gromov en utilisant une notion de convergence pour les espaces métriques, la [[Convergence de Gromov-Hausdorff|distance de Gromov-Hausdorff]], maintenant largement utilisée en géométrie<ref>{{Lien web|url=http://www.unige.ch/~smirnov/conferences/rpg09/Diablerets_Paulin.pdf|titre=Une introduction à la convergence d’espaces métriques mesurés|auteur=Frédéric Paulin}}.</ref>. D'autres preuves ont été découvertes depuis, dont celle de Kleiner.

La '''formule de [[Hyman Bass|Bass]]-Guivarc'h<ref>{{Article|prénom=Yves|nom=Guivarc'h|titre=Groupes de Lie à croissance polynomiale|revue=[[CRAS]]|série=A|vol=271|année=1970|p.=237-239}} et vol. 272, 1971, {{p.|1695-1696}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Hyman Bass|titre=The degree of polynomial growth of finitely generated nilpotent groups|revue=Proc. London Math. Soc. (3)|vol=25|année=1972|p.=603-614}}.</ref>''' établit que le degré de croissance polynomiale de ''G'' est

:<math> d(G) = \sum_{k \geq 1} k \ \operatorname{rang}(G_k/G_{k+1}),</math>

où {{math|rang}} désigne le {{Lien|trad=Rank of an abelian group|rang d'un groupe abélien}}, ''[[i. e.]]'' le nombre maximum d'éléments indépendants et [[Torsion (algèbre)|sans torsion]] du groupe abélien.

En particulier, le théorème de Gromov et la formule de Bass-Guivarc'h impliquent que ''le degré de croissance polynomiale est un [[Entier naturel|entier]]'' dès qu'il est fini.

[[Terence Tao]] et [[Yehuda Shalom]], élaborant l'argument utilisé dans la preuve de [[Bruce Kleiner|Kleiner]] du théorème de Gromov, ont fourni une version quantitative du théorème, avec des constantes explicites portant sur l'indice fini du sous-groupe nilpotent dont on affirme l'existence et sur le degré de croissance polynomiale – en particulier, cette notion asymptotique est ramenée à la vérification d'une borne supérieure sur le volume d'une certaine boule de grand rayon<ref>{{Lien web|url=http://terrytao.wordpress.com/2010/02/18/a-proof-of-gromovs-theorem/|titre=A proof of Gromov’s theorem|auteur=Terence Tao}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://terrytao.wordpress.com/2009/10/23/a-finitary-version-of-gromovs-polynomial-growth-theorem|titre=A finitary version of Gromov’s polynomial growth theorem|auteur=Terence Tao}}.</ref>.

== Notes et références ==
<references/>
*{{article|prénom=Yves|nom=Guivarc'h|titre=Croissance polynomiale et périodes des fonctions harmoniques|revue=[[Société mathématique de France#Publications|Bull. SMF]]|volume=101|année=1973|p.=333-379|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1973__101__333_0}}
*{{article|lang=en|auteur1=|prénom=Michael|nom=Gromov|titre=Groups of polynomial growth and expanding maps (with an appendix by Jacques Tits)|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1981__53__53_0|lien périodique=Publ. Math. IHES|revue=Publ. Math. IHES|volume=53|année=1981|date=|p.=53-78}}
{{Traduction/Référence|en|Gromov's theorem on groups of polynomial growth|474485619}}

== Articles liés ==
* [[Groupe de Grigorchuk]]
* [[Distance de Gromov-Hausdorff]]

{{Portail|algèbre|géométrie}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Gromov]]
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Gromov]]