Voir la source de Théorème de Jordan-Hölder

{{Ébauche|algèbre}}
{{Voir homonymes|Théorème de Jordan|Théorème de Hölder}}
Le '''théorème de Jordan-Hölder''' est un [[théorème]] de la [[théorie des groupes]], qui fait partie de l'[[algèbre générale]]. {{Référence souhaitée|Il permet notamment une démonstration très générale de la [[réduction de Jordan]] des matrices carrées.|date=date}}

== Définitions ==

Soient ''G'' un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] et ''e'' son [[élément neutre]].
*Rappelons qu'on appelle ''[[suite de composition]]''<ref>Définition conforme à {{Ouvrage|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|lien auteur1=N. Bourbaki|titre=Algèbre I|lieu=Paris|éditeur=|année=1970|isbn=|sous-titre=éléments de mathématique}}, ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39.</ref> de ''G'' toute suite finie (''G''{{sub|0}}, ''G''{{sub|1}}, …, ''G{{sub|r}}'') de [[sous-groupe]]s de ''G'' telle que{{center|<math>G=G_0\supseteq G_1\supseteq \ldots\supseteq G_r=\{e\}</math>}}et que, pour tout ''i'' ∈ {0, 1, …,  ''r'' – 1}, ''G''{{sub|''i''+1}} soit [[sous-groupe normal]] de ''G{{sub|i}}''.<br />Les quotients ''G{{sub|i}}''/''G''{{sub|''i''+1}} sont appelés les quotients de la suite<ref>Définition conforme à {{harvsp|Bourbaki|1970}}, ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39-40.</ref>.
*Soient Σ{{sub|1}} = (''G''{{sub|0}}, ''G''{{sub|1}}, …, ''G{{sub|r}}'') et Σ{{sub|2}} = (''H''{{sub|0}}, ''H''{{sub|1}}, …, ''H{{sub|s}}'') deux suites de composition de ''G''. Rappelons qu'on dit que
**Σ{{sub|2}} est un ''[[Suite de composition|raffinement]]''<ref>Dénomination conforme à {{Ouvrage|prénom1=J.|nom1=Calais|titre=Éléments de théorie des groupes|lieu=Paris|éditeur=|année=1984|passage=226|isbn=}}.</ref> de Σ{{sub|1}}, ou encore que Σ{{sub|2}} est plus fine<ref name=BourbakiI40>Dénomination conforme à {{harvsp|Bourbaki|1970|p=I.40}}.</ref> que Σ{{sub|1}}, si Σ{{sub|1}} est extraite de Σ{{sub|2}}, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = ''j''(0) < ''j''(1) … < ''j''(''r'') = ''s'' tels que ''G{{sub|i}} = H''{{sub|''j''(''i'')}} pour tout {{nobr|''i'' ∈ {1, …, ''r'' – 1}.}}
**Σ{{sub|1}} et Σ{{sub|2}} sont ''[[Suite de composition|équivalentes]]''<ref name=BourbakiI40/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|lang=de|Derek John Scott Robinson|texte=D. J. S. Robinson}}|titre=A Course in the Theory of Groups|éditeur=Springer|année=1996|numéro d'édition=2|passage=64|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=lqyCjUFY6WAC&pg=PA139|id=Robinson 1996}}, dit {{Citation étrangère|lang=en|isomorphic}}.</ref> si ''r'' = ''s'' et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …,  ''r'' – 1} telle que pour tout ''i'' dans cet ensemble, le quotient ''G{{sub|i}}''/''G''{{sub|''i''+1}} soit isomorphe au quotient ''H''{{sub|σ(''i'')}}/''H''{{sub|σ(''i'')+1}}.
*Soit Σ = (''G''{{sub|0}}, ''G''{{sub|1}}, …, ''G{{sub|r}}'') une suite de composition de ''G''. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :<br />a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;<br />b) les quotients de Σ sont tous des [[Groupe simple|groupes simples]] ;<br />c) pour tout ''i'' ∈ [0, ''r'' – 1], ''G''{{sub|''i''+1}} est un [[Sous-groupe normal maximal|sous-groupe distingué maximal]]<ref>Ne pas confondre avec la notion de [[sous-groupe maximal d'un groupe]].</ref> de ''G{{sub|i}}'' (c'est-à-dire un [[élément maximal]], relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de ''G{{sub|i}}'').<br />On appelle ''suite de [[Camille Jordan (mathématicien)|Jordan]]-[[Otto Hölder|Hölder]]''<ref>Définition conforme à {{harvsp|Bourbaki|1970}}, ch. I, § 4, n° 7, déf. 10, p. 41.</ref> une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Tout groupe fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder. Plus généralement<ref name=Robinson67>{{Harvsp|Robinson 1996|p=67}}.</ref>, un groupe G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux [[conditions de chaîne]] ascendante et descendante pour les [[Sous-groupe sous-normal|sous-groupes sous-normaux]], c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes sous-normaux de G est [[Suite (mathématiques élémentaires)#Suite stationnaire|stationnaire]]. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion; soit finalement, que le [[treillis]] des sous-groupes sous-normaux de G est complet.) En particulier, si un groupe satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes quelconques, il admet une suite de Jordan-Hölder.

== Le théorème de Jordan-Hölder ==

Le théorème de Jordan-Hölder dit que deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes. Ce théorème peut se démontrer à l'aide du [[théorème de raffinement de Schreier]], lequel peut lui-même se démontrer à l'aide du [[lemme de Zassenhaus]]<ref>Pour une démonstration du théorème de Jordan-Hölder, voir par exemple {{harvsp|Bourbaki|1970|p=I.41}},  ou encore {{Harvsp|Calais|1984|p=231-232}}, ou encore {{Lang1}}, {{3e|édition}} révisée, Paris, 2004, {{p.|24}}.</ref>.

=== Exemple ===

Pour le groupe des nombres [[Congruence sur les entiers|modulo]] 6, on a les deux suites de Jordan-Hölder suivantes :
*<math>\Z/6\Z \supset \{ 0 , 2 , 4 \} \supset \{ 0 \}</math>
*<math>\Z / 6\Z \supset \{ 0 , 3 \} \supset \{ 0 \} </math>
dont les quotients sont (à isomorphisme près) ℤ/2ℤ puis ℤ/3ℤ pour la première et ℤ/3ℤ puis ℤ/2ℤ pour la seconde.

== Généralisation ==

Le thèorème de Jordan se généralise utilement aux [[Groupe à opérateurs|groupes à opérateurs]].

Tout d'abord, on étend la notion de suite de Jordan-Hölder d'un groupe aux groupes à opérateurs : on appelle ''suite de Jordan-Hölder'' d'un Ω-groupe G toute suite finie (''G''{{sub|0}}, ''G''{{sub|1}}, … , ''G{{sub|r}}'') de Ω-sous-groupes de ''G'' telle que<center><math>G=G_0\supseteq G_1\supseteq \ldots\supseteq G_r=\{e\}</math>,</center> que, pour tout ''i''∈{0, 1, … , ''r'' – 1}, ''G''{{sub|''i'' + 1}} soit sous-groupe normal (et donc Ω-sous-groupe normal) de ''G{{sub|i}}'' et que, pour tout ''i''∈{0, 1, … , ''r'' – 1}, le Ω-groupe quotient ''G{{sub|i}}''/''G''{{sub|''i'' + 1}} soit Ω-simple<ref>Définition conforme à {{harvsp|Bourbaki|1970}}, chap. 1, p. I.41.</ref>.

Comme dans le cas des groupes ordinaires, tout groupe à opérateurs fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder et, plus généralement<ref name=Robinson67/>, un groupe à opérateurs G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux [[conditions de chaîne]] ascendante et descendante pour les sous-groupes stables sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes stables sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes stables sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion.)

Soit G un Ω-groupe, soient Σ{{sub|1}} = (''G''{{sub|0}}, ''G''{{sub|1}}, … , ''G{{sub|r}}'') et Σ{{sub|2}} = (''H''{{sub|0}}, ''H''{{sub|1}}, … , ''H{{sub|s}}'') deux suites de Jordan-Hölder de ''G''. On dit que Σ{{sub|1}} et Σ{{sub|2}} sont ''équivalentes'' si ''r'' = ''s'' et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, … , ''r'' – 1} telle que pour tout ''i'' dans cet ensemble, le Ω-groupe quotient ''G{{sub|i}}''/''G''{{sub|''i'' + 1}} soit Ω-isomorphe au Ω-groupe quotient ''H''{{sub|σ(''i'')}}/''H''{{sub|σ(''i'') + 1}}.

La démonstration du théorème de Jordan-Hölder s'étend alors immédiatement aux groupes à opérateurs : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe à opérateurs sont toujours équivalentes<ref>Voir par exemple {{harvsp|Bourbaki|1970}}, chap. 1, p. I.41.</ref>.

== Exemple d'utilisation de la forme généralisée ==

Soient A un [[anneau unitaire|anneau]] et M un A-module à gauche ou à droite sur A. L'addition des vecteurs de M est une loi de groupe et la loi externe de M est une opération
<center><math>\ A \times M \rightarrow M : (\lambda , v) \mapsto \lambda v</math></center>
qui fait de M un groupe à opérateurs dans A (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).

Tout ceci est vrai en particulier dans le cas d'un [[espace vectoriel]] à gauche ou à droite V sur un [[Corps gauche|corps (non forcément commutatif)]] K (le lecteur qui n'est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite peut supposer que K est un [[corps commutatif]] et que V est un [[espace vectoriel]] sur K) : l'addition des vecteurs de V est une loi de groupe et la loi externe de V est une opération
<center><math>\ K \times V \rightarrow V : (\lambda , v) \mapsto \lambda v</math></center>
qui fait de V un groupe à opérateurs dans K (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).

Un espace vectoriel à gauche ou à droite sur un corps K est donc un cas particulier de groupe à opérateurs dans K. Les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-espaces vectoriels de V. Comme le groupe à opérateurs V est commutatif, tous ses sous-groupes stables sont normaux. Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'espace vectoriel quotient de l'espace V par l'espace W est le groupe à opérateurs quotient du groupe à opérateurs V par son sous-groupe stable W. Le groupe à opérateurs V est simple si et seulement si l'espace vectoriel V est de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 1. 

Nous allons tirer de ce qui précède que [[Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels#Cas G finie|deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments]]. Soient (a<sub>1</sub>, … , a<sub>r</sub>) et (b<sub>1</sub>, … , b<sub>s</sub>) deux [[Base (algèbre linéaire)|bases]] d'un même espace vectoriel V. Il s'agit de prouver que r = s. Pour chaque i (0 ≤ i ≤ r), désignons par V<sub>i</sub> le [[Sous-espace vectoriel engendré|sous-espace vectoriel de V engendré]] par les a<sub>j</sub> avec j ≤ i (on a donc V<sub>0</sub> = [[Espace nul|0]]). De même, pour chaque k (0 ≤ k ≤ s), désignons par W<sub>k</sub> le sous-espace vectoriel de V engendré par les b<sub>l</sub> avec l ≤ k. Alors (V<sub>r</sub>, … , V<sub>0</sub>) et (W<sub>s</sub>, … , W<sub>0</sub>) sont deux suites de Jordan-Hölder du groupe à opérateurs V. D'après le théorème de Jordan-Hölder étendu aux groupes à opérateurs, ces deux suites sont équivalentes. En particulier, elles ont la même longueur, donc r = s, comme annoncé<ref>C'est de cette manière que l'[[équipotence]] des bases finies d'un même espace vectoriel est démontrée dans {{harvsp|Bourbaki|1970}}, chap. 2, p. II.96.</ref>.

Remarque. La démonstration qui précède montre qu'un espace vectoriel est de dimension finie si et seulement s'il est de [[Groupe à opérateurs#Longueur d'un groupe à opérateurs|longueur]] finie comme groupe à opérateurs et que sa longueur est alors égale à sa dimension. En revanche, si V est de dimension infinie, la longueur de V (qui est alors infinie elle aussi) n'est pas forcément égale à la dimension de V, car la longueur de V, comme la longueur de tout groupe à opérateurs de longueur infinie, est alors égale au plus petit cardinal infini, ce qui n'est pas forcément le cas de la dimension de V.

== Histoire ==
C. Jordan énonça<ref>C. Jordan, « Commentaire sur Galois », ''[[Mathematische Annalen]]'', vol. 1, 1869, p. 152-153; cité par [[Hans Wussing|H. Wussing]], ''The Genesis of the Abstract Group Concept'', trad. anglaise, 1984, réimpr. Dover, 2007, p. 141 et 308.</ref> en 1869 et démontra<ref>C. Jordan, ''Traité des substitutions et des équations algébriques'', Paris, 1870, p. 42-48; cité par [[Hans Wussing|H. Wussing]], ''The Genesis of the Abstract Group Concept'', trad. anglaise, 1984, réimpr. Dover, 2007, p. 142 et 308.</ref> en 1870 que dans deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe fini, la suite des ordres (nombres d'éléments) des quotients est la même, à une permutation près. En 1889, O. Hölder renforça ce résultat en prouvant le théorème appelé depuis théorème de Jordan-Hölder<ref>{{Article|lang=de|prénom=O.|nom=Hölder|titre=Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen)|revue=Mathematische Annalen|année=1889|p.=37-38|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0034&DMDID=DMDLOG_0008}}. (Référence donnée par {{Ouvrage|langue=en|prénom1=W.|nom1=Burnside|lien auteur1=William Burnside|titre=Theory of Groups of Finite Order|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1911|numéro d'édition=2|réimpression=2004|passage=65}}.)</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wikiversity=Théorie des groupes/Théorème de Jordan-Hölder}}
{{Lien|trad=Polycyclic group|Groupe polycyclique}}

{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Jordan-Hölder]]

[[en:Composition series#Uniqueness: Jordan–Hölder theorem]]