Voir la source de Théorème de Morley

[[image:Morley triangle.svg|thumb]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie]] plane, le '''théorème de Morley''', découvert par [[Frank Morley]] en 1898, affirme que les intersections des [[trissectrice]]s des angles d'un [[triangle]] forment un [[triangle équilatéral]].

Le triangle équilatéral ainsi défini par le théorème de Morley s'appelle le « triangle de Morley » du triangle de départ.

== Démonstrations ==
Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. Ci-dessous sont présentées trois démonstrations : une n'utilisant que des propriétés de géométrie élémentaire, les deux autres travaillant sur la trigonométrie ou les complexes offrant l'avantage de fournir la dimension du triangle équilatéral<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Jean-Pierre Boudine|titre=L'appel des maths|tome=2|éditeur=Cassini|passage=264-270}}</ref>.

=== Démonstration en géométrie élémentaire ===
[[Image:Morley theorem.png|droite|vignette|Triangle de Morley et son « tripode ».]]
Claude Frasnay<ref>Jean Aymès, ''[http://www.apmep.fr/IMG/pdf/La_trisection_de_l_angle_-_J_Aymes.pdf Ces problèmes qui font les mathématiques (la trisection de l'angle)]'', Publication de l'[[APMEP|A.P.M.E.P.]], {{n°|70}}, 1988, {{p.|54}}.</ref> propose une démonstration sans [[trigonométrie]] ni [[nombre complexe|nombres complexes]], utilisant uniquement la [[somme des angles d'un triangle]] et les [[Similitude (géométrie)|similitudes directes]].

Pour tous réels strictement positifs <math>a, b, c</math> tels que <math>a+b+c =\frac{\pi}{3},</math> est appelé « dipode de pointure <math>(a, b),</math> » la figure <math>\mathrm{QARBP}</math> constituée d'un triangle équilatéral direct <math>\mathrm{QRP}</math> auquel on adjoint deux triangles de sens direct <math>\mathrm{QAR}</math> et <math>\mathrm{RBP}</math> tels que les angles de sommets <math>\mathrm{A}</math> et <math>\mathrm{B}</math> aient pour mesure en radians ''a'' et ''b'' et les angles de sommets <math>\mathrm{Q}</math> et <math>\mathrm{P}</math> aient pour mesure <math>\frac{\pi}{3} + c.</math> Par construction, deux dipodes de même pointure sont directement semblables.

De même est appelé « tripode de pointure <math>(a, b, c)</math> », la figure <math>\mathrm{QRPABC}</math> constituée de trois dipodes <math>\mathrm{QARBP}</math> de pointure <math>(a, b),</math> <math>\mathrm{RBPCQ}</math> de pointure <math>(b, c)</math> et <math>\mathrm{PCQAR}</math> de pointure <math>(c,a).</math> Par construction, deux tripodes de même pointure sont directement semblables.

Pour un tripode <math>\mathrm{QRPABC}</math> donné de pointure <math>(a, b, c),</math> on construit ensuite le triangle <math>\mathrm{ABW'}</math> direct tel que les angles de sommet <math>\mathrm{A}</math> et <math>\mathrm{B}</math> mesurent <math>2a</math> et <math>2b.</math> On appelle <math>\mathrm{R'}</math> le point de concours des bissectrices de ce triangle et on construit un triangle équilatéral direct <math>\mathrm{Q'R'P'}</math> symétrique par rapport à <math>\mathrm{R'W'}</math> et tel que <math>\mathrm{P'}</math> et <math>\mathrm{Q'}</math> appartiennent respectivement à <math>[\mathrm{BW'}]</math> et <math>[\mathrm{AW'}]</math>. On démontre alors que <math>\mathrm{Q'AR'BP'}</math> est un bipode de pointure <math>(a, b).</math> Comme deux bipodes de même pointure sont directement semblables, les bipodes <math>\mathrm{QARBP}</math> et <math>\mathrm{Q'AR'BP'}</math> sont semblables et confondus, et les demi-droites <math>[\mathrm{AR})</math> et <math>[\mathrm{BR})</math> sont les bissectrices intérieures des angles <math>\mathrm{QAB}</math> et <math>\mathrm{ABP.}</math> En reprenant le même raisonnement sur <math>[\mathrm{BC}]</math> puis <math>[\mathrm{CA}]</math>, on démontre que les demi-droites <math>[\mathrm{AQ})</math>, <math>[\mathrm{AR})</math>, <math>[\mathrm{BR})</math>, <math>[\mathrm{BP})</math>, <math>[\mathrm{CP})</math> et <math>[\mathrm{CQ})</math> sont les trisectrices du triangle <math>\mathrm{ABC}</math> dont les angles aux sommets sont donc <math>3a, \, 3b, \, 3c.</math>

Tout triangle <math>\mathrm{A'B'C'}</math> direct d'angles <math>3a, \, 3b, \, 3c</math> est directement semblable au triangle <math>\mathrm{ABC}</math> construit à partir du tripode de pointure <math>(a, b, c)</math> et ses trisectrices se coupent donc en formant un triangle équilatéral directement semblable au triangle <math>\mathrm{QRP}</math>.

=== Démonstration à l'aide de la trigonométrie ===
La [[loi des sinus]] détermine la longueur de la plupart des segments à partir des côtés du triangle et le [[théorème d'Al-Kashi]] permet de déterminer les autres, notamment les trois côtés {{math|PR}}, {{math|PQ}} et {{math|QR}} du triangle rouge — celui qui est censé être équilatéral.

On définit les angles <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> tels que :
* <math>\widehat \mathrm{BAC} = 3 \times a,</math>
* <math>\widehat \mathrm{CBA} = 3 \times b,</math>
* <math>\widehat \mathrm{ACB} = 3 \times c.</math>

Puisque dans tout triangle on a :
:<math>\widehat \mathrm{BAC} + \widehat \mathrm{CBA} + \widehat \mathrm{ACB} = \pi,</math>
le changement de variable ci-dessus donne :
:<math>a + b + c = \frac{\pi}3.</math>

De plus, pour simplifier les calculs, on adopte une [[unité de longueur]] telle que le rayon du cercle circonscrit au triangle est {{math|1}}. On a alors :

* {{math|1=AB = 2 sin(3''c'')}},
* {{math|1=BC = 2 sin(3''a'')}},
* {{math|1=AC = 2 sin(3''b'')}}.

Dans le triangle {{math|BPC}}, d'après la [[loi des sinus]], on a :
:<math>\frac {\mathrm {BP}}{\sin (c)} = \frac {\mathrm {BC}}{\sin (\pi - b - c)} = \frac {2 \sin (3a)}{\sin (b + c)} = \frac {2 \sin (3a)}{\sin (\frac{\pi}3- a)}</math>
:<math>\mathrm {BP} = \frac {2 \sin (3a) \sin (c)}{\sin (\frac{\pi}3- a)}.</math>

On peut développer {{math|sin(3''a'')}} :

:<math>\begin{align}\sin (3a)&=(3-4\sin^2a)\sin a\\
&=(3\cos^2a-\sin^2a)\sin a\\
&=4\left(\tfrac{\sqrt3}2\cos a+\tfrac12\sin a\right)\left(\tfrac{\sqrt3}2\cos a-\tfrac12\sin a\right)\sin a\\
&=4\sin\left(\tfrac{\pi}3+a\right)\sin\left(\tfrac{\pi}3-a\right)\sin a,\end{align}</math>

ce qui permet de simplifier l'expression de {{math|BP}} :
:<math>\mathrm {BP} = 8 \sin(a) \sin(c) \sin\left(\tfrac{\pi}3+a\right).</math>
On obtiendrait de même :
:<math>\mathrm {BR} = 8 \sin(a) \sin(c) \sin\left(\tfrac{\pi}3+c\right).</math>

En appliquant alors le théorème d'Al-Kashi, qui s'écrit {{math|1=PR{{2}} = BP{{2}} + BR{{2}} – 2 BP BR cos(''b'')}}, on obtient :
:<math>\mathrm {PR}^2 = 64 \sin^2 (a) \sin^2 (c)\left[\sin^2\left(\tfrac{\pi}3+a\right)+\sin^2\left(\tfrac{\pi}3+c\right)-2\sin\left(\tfrac{\pi}3+a\right)\sin\left(\tfrac{\pi}3+c\right)\cos(b)\right].</math>

Or
:<math>\left(\tfrac{\pi}3+a\right)+\left(\tfrac{\pi}3+c\right)+ b = \tfrac{2\pi}3+ (a + b + c) = \pi.</math>
Il existe donc un triangle ayant pour angles <math>\tfrac{\pi}{3}+a, \; \tfrac{\pi}{3}+c, \text{ et } b,</math> et dont le rayon du cercle circonscrit est {{math|1}}. Si on lui applique le théorème d'Al-Kashi, on a :
:<math>\sin^2(b)=\sin^2\left(\tfrac{\pi}3+a\right)+\sin^2\left(\tfrac{\pi}3+c\right)-2\sin\left(\tfrac{\pi}3+a\right)\sin\left(\tfrac{\pi}3+c\right)\cos(b)</math>
donc
:<math>\mathrm {PR}=8\sin(a)\sin(c)\sin(b).</math>
On obtiendrait de même
:<math>\mathrm {PQ}=8\sin(a)\sin(b)\sin(c)\text{ et } \mathrm {QR}=8\sin(b)\sin(c)\sin(a),</math>
ce qui prouve que {{math|1=PR = PQ = QR}}. Le triangle {{math|PQR}} est donc bien équilatéral.

=== Démonstration à l'aide des complexes ===
Cette démonstration est basée sur un article d'[[Alain Connes]]<ref>{{article|lang=en|prénom=Alain|nom=Connes|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1998__S88__43_0|titre=A new proof of Morley's theorem|lien périodique=Publications mathématiques de l'IHÉS|revue=Publ. Math. IHES|vol=S88|année=1998|p.=43-46}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |auteur=[[Alain Connes]] |titre=Une nouvelle preuve du théorème de Morley |url=http://denisevellachemla.eu/Alain-Connes-Theoreme-Morley.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |auteur=Alain Connes |titre=Langage mathématique |url=https://www.college-de-france.fr/agenda/grand-evenement/langue-et-science-langage-et-pensee/langage-mathematique |site=[[Collège de France]]}}</ref>. Elle utilise les nombres complexes et donne un calcul rapide de l'[[Plan complexe|affixe]] des sommets du triangle équilatéral.

On se place dans le [[plan euclidien]] orienté qu'on pourra ultérieurement identifier au corps des complexes. On désigne par P, Q et R les trois intersections de trisectrices dont on veut montrer qu'elles forment un triangle équilatéral. En outre, on place les points P{{'}}, Q{{'}} et R{{'}} symétriques de P, Q et R respectivement par rapport à BC, CA, AB (voir figure ci-contre). On note enfin comme précédemment <math>3a,\;3b,\;3c</math> les angles <math>\widehat {\mathrm{BAC}}, \; \widehat {\mathrm{CBA}}, \; \widehat {\mathrm{ACB}}</math>.
[[Image:Morleypd.png|vignette]]

Soient maintenant {{mvar|f}}, {{mvar|g}}, {{mvar|h}} les rotations de centres respectifs A, B, C et d'angles respectifs <math>2a,\;2b,\;2c</math>.
On observe alors que :
* (i) P (resp. Q, R) est le [[point fixe]] de <math>g \circ h</math> (car il est centre de cette rotation) (resp. <math> {h\circ f ,\; f \circ g}</math> ).
*: En effet ''h'' transforme P en P{{'}} et ''g'' transforme P{{'}} en P. Il en est de même pour Q et R.
* (ii) <math> f^3 \circ g^3 \circ h^3 = I </math> ([[application identité]]).
*: En effet la somme des angles des rotations composantes est {{math|2π}} et on obtient donc une translation. Mais A est invariant puisque ''h''{{3}} (rotation de centre C et d'angle <math>2\widehat \mathrm{ACB}</math>) transforme A en A{{'}} symétrique de A par rapport à BC, ''g''{{3}} transforme A{{'}} en A et finalement ''f''{{3}} laisse A invariant. Par suite cette translation est l'application identité.

Ainsi, on peut désormais travailler dans le corps des complexes en conservant les notations que nous avons introduites.
On définit simplement les rotations {{mvar|f}}, {{mvar|g}}, {{mvar|h}} par
:<math>f(z)=a_1z+b_1 </math>
:<math>g(z)=a_2z+b_2 </math>
:<math>h(z)=a_3z+b_3</math>
avec <math>a_1,a_2,a_3</math> égaux respectivement à <math>{\rm e}^{2{\rm i}a},{\rm e}^{2{\rm i}b},{\rm e}^{2{\rm i}c}</math>.

Un calcul rapide montre que (i) équivaut à
:<math>\mathrm{P} =\frac{a_2b_3+b_2}{1-a_2a_3}</math>
:<math>\mathrm{Q} =\frac{a_3b_1+b_3}{1-a_3a_1}</math>
:<math>\mathrm{R} =\frac{a_1b_2+b_1}{1-a_1a_2}.</math>

Quant à (ii) on montre l'équivalence avec

* (iii)&nbsp;
**<math>(a_1a_2a_3)^3=1</math> ;
**<math>(a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+(a_1a_2)^3(a_3^2+a_3+1)b_3=0</math>.
Le complexe <math>\mathrm j:=a_1a_2a_3</math> est différent de 1 donc est l'une des deux [[racine de l'unité|racines cubiques primitives de l'unité]]. On a alors
:<math>\mathrm{P}=\frac{a_1(a_2b_3+b_2)}{a_1-\mathrm j}</math>
:<math>\mathrm{Q}=\frac{a_2(a_3b_1+b_3)}{a_2-\mathrm j}</math>
:<math>\mathrm{R}=\frac{a_3(a_1b_2+b_1)}{a_3-\mathrm j}.</math>

Ces trois égalités sont bien définies car le triangle n'est pas plat, donc aucun des angles <math>3a,3b,3c</math> ne vaut {{math|±π}}.

On peut alors vérifier que <math>\mathrm R+j\mathrm P +j^2 \mathrm Q=0</math>, ce qui est une caractérisation classique du caractère équilatéral du triangle PQR.

{{Démonstration/début | titre=Démonstration de <math>\mathrm R+j\mathrm P+ j^2 \mathrm Q=0</math>}}
On développe <math>(\mathrm R+j\mathrm P+j^2 \mathrm Q)(a_1-\mathrm j)(a_2-\mathrm j)(a_3-\mathrm j)</math>, en utilisant que le complexe <math>\mathrm j:=a_1a_2a_3</math> vérifie <math>1+\mathrm j+\mathrm j^2=0.</math>

Le coefficient de {{math|''b''{{ind|1}}}} dans l'expression ci-dessus est 
:<math>a_3(a_1-\mathrm j)[a_2-\mathrm j+\mathrm j^2a_2(a_3-\mathrm j)]=a_3(a_1-\mathrm j)(-\mathrm j+1/a_1)=-\frac{\mathrm ja_3}{a_1}(a_1^2+a_1+1)
</math>.

Le coefficient de {{math|''b''{{ind|2}}}} est 
:<math>a_1(a_2-\mathrm j)[a_3(a_1-\mathrm j)+\mathrm j(a_3-\mathrm j)]=\mathrm ja_1(a_2-\mathrm j)(-\mathrm j+1/a_2)=-\frac{\mathrm j^2a_1}{a_2}(a_2^2+a_2+1)</math>.

Enfin, le coefficient de {{math|''b''{{ind|3}}}} est
:<math>a_2(a_3-\mathrm j)[\mathrm ja_1(a_2-\mathrm j)+\mathrm j^2(a_1-\mathrm j)]=\mathrm j^2a_2(a_3-\mathrm j)(-\mathrm j+1/a_3)=-\frac{a_2}{a_3}(a_3^2+a_3+1)</math>.

Finalement,
:<math>
\begin{align}
(R+j\mathrm P+ j^2 \mathrm Q)(a_1- j)(a_2- j)(a_3- j)&\\
 =&-\frac1{ ja_1^2a_2}[(a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+(a_1a_2)^3(a_3^2+a_3+1)b_3]=0\quad \text{ (cf. (iii))}
\end{align}
</math>.

{{Démonstration/fin}}

== Autres propriétés du triangle de Morley ==
=== Longueur des côtés ===
Chaque côté du triangle de Morley mesure :
:<math>8 R \sin \frac{\widehat{A}}3 \sin \frac{\widehat{B}}3\sin \frac{\widehat{C}}3,</math>
:où <math>\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}</math> désignent les angles en ''A,B,C'' du triangle et où <math>R</math> désigne le rayon du cercle circonscrit.

=== Orientation du triangle de Morley ===
* Orientation par rapport au triangle de départ : le côté <math>(B'C')</math> du triangle de Morley situé le plus près du sommet ''A'' fait avec le côté <math>(BC)</math> du triangle de départ un angle égal à <math>{\widehat{C}-\widehat{B}}\over3</math>.
* Orientation par rapport à la deltoïde de Steiner : le triangle (équilatéral) formé par les points de rebroussement de la [[deltoïde de Steiner]] et le triangle (équilatéral) de Morley, ont leurs côtés parallèles.

== Centres de Morley ==
[[File:FirstMorleyCenter.svg|thumb|300px]]
[[File:SecondMorleyCenter.svg|thumb|300px]]

On appelle '''centres de Morley''' deux [[Centre du triangle|centres du triangle]] points de Morley. Ils portent les [[Nombre de Kimberling|nombres de Kimberling]] X{{ind|356}} (''premier centre de Morley'', le centre de gravité du triangle de Morley) et X{{ind|357}} (''deuxième centre de Morley'', ''premier centre de Morley–Taylor–Marr'', ou point de concours des droites AP, BQ, CR)<ref name=ETC>{{lien web|lang=en|nom=Kimberling|prénom=Clark|titre=X(356) = Morley center|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|encyclopedia=Encyclopedia of Triangle Centers|consulté le=16 June 2012}}</ref>{{,}}<ref name=Wolfram>{{mathworld|titre=Morley Centers|url=MorleyCenters}}</ref>.


=== Coordonnées trilinéaires ===

Les [[coordonnées trilinéaires]] du premier centre de Morley sont
:<math>\cos ( A/3 ) + 2 \cos (B/3 ) \cos (C/3 ) : \cos ( B/3 ) + 2 \cos (C/3 ) \cos (A/3 ) : \cos ( C/3 ) + 2 \cos (A/3 ) \cos (B/3 ).</math>
Les coordonnées trilinéaires du deuxième centre de Morley sont
:<math>\sec( A/3 ) : \sec ( B/3 ) : \sec ( C/3 ).</math>

{{clr}}

== Historique ==

Après la découverte de ce théorème par Frank Morley à la fin du {{s|XIX}}, les collègues de ce dernier trouvaient le résultat si beau qu'ils lui ont donné le nom de « miracle de Morley ». Comme l'écrit Richard Francis : {{Citation|Apparemment ignoré par les géomètres antérieurs ou hâtivement abandonné en raison d'incertitudes liées à la trisection et à la constructibilité, le problème n'apparut réellement qu'il y a un siècle.}} Par ailleurs, même si Morley a proposé une solution au problème, la preuve rigoureuse du théorème a été plus tardive<ref>{{Ouvrage |langue=fr |langue originale=en |prénom1=Clifford |nom1=Pickover |lien auteur1=Clifford Pickover |titre=Le Beau Livre des Maths |sous-titre=De Pythagore à la {{57e}} dimension |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] |année=2010 |pages totales=527 |passage=296 |isbn=978-2-10-054640-4}}</ref>{{,}}<ref name=":0" />.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==

* [[Théorème de Napoléon|Triangle de napoléon]], autre triangle équilatéral construit à partir d'un triangle quelconque

=== Liens externes ===
* [http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoPlane/Classiques/Morley/Morley1.htm Théorème de Morley] sur le site [http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/ abracadabri] (associé à [[Cabri Géomètre]]) ; on y verra décrits 18 triangles équilatéraux avec des sommets sur des trisectrices généralisées issues des 3  sommets du triangle et 36 triangles avec des sommets sur des  trisectrices issues de 2 sommets du triangle.
* {{Youtube|langue = anglais|titre = Math is Illuminati confirmed (PART 2): Morley's Miracle|id = gjhmh3yWiTI|chaîne = [[Mathologer]]}}, une preuve géométrique animée du théorème de Morley, due à [[John Horton Conway|John Conway]].

{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme Morley}}
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Morley]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]