Voir la source de Théorème de Stone-Weierstrass

{{Voir homonymes|Théorème de Weierstrass}}
En [[mathématiques]], le '''théorème de Stone-Weierstrass''' est une généralisation du '''théorème d'approximation de Weierstrass'''<ref name=W1885>{{Article|lang=de|auteur=[[Karl Weierstrass]]|titre=Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Func<!--sic-->tionen einer reellen Veränderlichen|revue=Sitz'ber. [[Académie royale des sciences de Prusse|K. Preuss. Akad. Wiss.]] [[Berlin]]|année=1885}} : [http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1885-2&seite:int=109 I, {{p.|633-639}}] et [http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1885-2&seite:int=272 II, {{p.|789-805}}].</ref> en [[analyse réelle]], selon lequel toute [[fonction (mathématiques)|fonction]] [[Continuité (mathématiques)|continue]] définie sur un [[Intervalle (mathématiques)#Connexité et compacité|segment]] peut être [[Théorie de l'approximation|approchée]] [[convergence uniforme|uniformément]] par des [[Fonction polynomiale|fonctions polynomiales]].

La généralisation par [[Marshall Stone]] étend ce résultat aux fonctions continues définies sur un [[Compacité (mathématiques)|espace compact]]<ref>Un tel espace est par définition [[Espace séparé|séparé]].</ref> et à valeurs [[Nombre réel|réelles]], en remplaçant l'[[Algèbre associative sur un corps|algèbre]] des fonctions polynomiales par une sous-algèbre ou un [[Treillis (ensemble ordonné)|treillis]] vérifiant des hypothèses naturelles.

== Théorème d'approximation de Weierstrass ==
Soit ''f'' une fonction continue de [''a'', ''b''] dans ℝ.
{{énoncé|Pour tout ε > 0, il existe une fonction polynomiale ''p'' à coefficients réels telle que pour tout ''x'' dans [''a'', ''b''], {{!}}''f''(''x'') – ''p''(''x''){{!}} ≤ ε.}}
ou encore :
{{énoncé|Il existe une [[Suite (mathématiques)|suite]] (''P{{ind|n}}'') de polynômes [[convergence uniforme|convergeant uniformément]] vers ''f'' sur [''a'', ''b''].}}
L'ensemble C([''a'', ''b'']) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [''a'', ''b''], muni de la [[Norme (mathématiques)#En dimension infinie|norme infinie]]
{{retrait|<math>\|f\|=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|</math>,}}
est une [[algèbre de Banach]] ({{c.-à-d.}} une [[algèbre associative sur un corps|ℝ-algèbre associative]] et un [[espace de Banach]] telle que <math>\|f \cdot g\| \leq \|f\|\cdot \|g\|</math> pour tout ''f'' et ''g''). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([''a'', ''b'']) et le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que cette sous-algèbre est [[Partie dense|dense]] dans C([''a'', ''b'']).

{{Démonstration/début|titre=Le théorème pour ''a'', ''b'' quelconques équivaut à celui pour ''a'', ''b'' fixés (avec ''a'' < ''b'').}}
Supposons le théorème vrai pour toute fonction continue sur un segment fixé [''c'', ''d''] (avec ''c'' < ''d''), et montrons qu'il l'est encore pour une fonction ''f'' continue sur un autre segment [''a'', ''b''] (avec ''a'' < ''b''). Choisissons pour cela un [[homéomorphisme]] polynomial Φ : [''a'', ''b''] → [''c'', ''d''] — par exemple la [[bijection]] [[application affine|affine]] ''x'' ↦ ''c'' + (''x – a'')(''d – c'')/(''b – a'') — et notons ''g'' la fonction ''f'' ∘ Φ{{-1}}, qui sur [''c'', ''d''] est continue donc (par hypothèse) limite uniforme d'une suite de polynômes ''g{{ind|n}}''. Posons ''f{{ind|n}}'' := ''g{{ind|n}}'' ∘ Φ. C'est encore une fonction polynomiale, définie cette fois sur [''a'', ''b''] et (puisque {{math|Φ}} est une bijection de [''a'', ''b''] sur [''c'', ''d'']) ║''f – f{{ind|n}}''║ = ║(''g – g{{ind|n}}'')∘ Φ║ = ║''g – g{{ind|n}}''║ → 0.
{{Démonstration/fin}}

Ci-dessous, un exemple d'une suite de polynômes convergeant vers la fonction [[valeur absolue]] sur l'intervalle [–1, 1].

[[Fichier:Sequence of polynomials converging uniformly to the absolute value.png|vignette|centré|upright=3|Représentation d'une suite de polynômes convergeant vers la valeur absolue.]]

== Autres versions et généralisations ==

=== Version trigonométrique ===

Pour toute fonction ''f'' continue [[Fonction périodique|périodique]], il existe une suite de [[polynôme trigonométrique|polynômes trigonométriques]] qui converge uniformément vers ''f''.

Issu de la théorie des [[Série de Fourier|séries de Fourier]], le [[théorème de Fejér]] donne un exemple constructif d'une telle suite.

=== Loi des grands nombres ===
{{Voir|Approximation de Bernstein}}

[[Sergueï Natanovitch Bernstein|S. Bernstein]] a donné une [[démonstration constructive]] et probabiliste du théorème de Weierstrass sur [0, 1], en prouvant qu'on pouvait prendre :
:<math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac kn\right)B^n_k(x)</math>
où les <math>B^n_k(x) = {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}</math> sont les [[polynôme de Bernstein|polynômes de Bernstein]].

En effet, si ''X'' est une [[variable aléatoire]] suivant la [[loi binomiale]] de paramètres (''n'', ''x''), alors ''P{{ind|n}}''(''x'') est l'[[espérance mathématique|espérance]] de ''f''(''X''/''n''), c'est-à-dire la moyenne de ''f'' appliquée au nombre de succès de ''n'' expériences indépendantes de probabilité ''x''.
La [[convergence simple]] de ''P{{ind|n}}''(''x'') vers ''f''(''x'') pour tout ''x'' est une conséquence de la [[loi des grands nombres|loi faible des grands nombres]]. En majorant la probabilité de l'écart entre ''X''/''n'' et ''x'', on en déduit la convergence uniforme de ''P{{ind|n}}'' vers ''f''.
=== Théorème de Stone-Weierstrass, version algébrique ===
Le théorème d'approximation se généralise dans deux directions :
* L'intervalle compact [''a'', ''b''] peut être remplacé par un [[Compacité (mathématiques)|espace compact]] ''X''.
* L'algèbre des fonctions polynomiales peut être remplacée par une autre sous-algèbre ''A'' de C(''X'') à condition qu'elle vérifie une propriété cruciale qui est de {{Lien|langue=en|trad=Separating set|fr=Ensemble séparant|texte=séparer les points}} (un sous-ensemble ''A'' de C(''X'') sépare les points si pour toute [[paire]] {''x'', ''y''} de points de ''X'', il existe une fonction ''p'' de ''A'' telle que ''p''(''x'') ≠ ''p''(''y'')).

Dans ce cadre, le théorème s'écrit<ref name=Schwartz>{{ouvrage|titre=Topologie générale et analyse fonctionnelle|auteur=Laurent Schwartz|éditeur=Hermann|année=1970|page=372-376}}</ref> :
{{Théorème|Soient ''X'' un espace compact et C(''X'') l'algèbre de Banach des fonctions continues de ''X'' dans ℝ. Une sous-algèbre est dense dans C(''X'') si (et seulement si) elle sépare les points et contient, pour tout point ''x'' de ''X'', une fonction qui ne s'annule pas en ''x''.|style=display:table}}

Puisque les polynômes sur [''a'', ''b''] forment une sous-[[Algèbre associative sur un corps#Définition|algèbre unifère]] de C([''a'', ''b'']) qui sépare les points, le théorème de Weierstrass est une conséquence du théorème ci-dessus.

Le corps des réels peut être remplacé par celui des [[Nombre complexe|complexes]], à condition de supposer que ''A ''est [[Sous-espace stable|stable]] par [[Conjugué|conjugaison]]<ref name=Schwartz/>.

Ce théorème se déduit du [[#Version treillis|théorème de Stone-Weierstrass « version treillis »]] (ci-dessous) et des deux lemmes suivants.
{{Théorème|Lemme 1|Pour tout réel ''a'' > 0, il existe une suite de polynômes qui converge uniformément sur [–''a'', ''a''] vers la fonction ''x'' ↦ {{!}}''x''{{!}}.|style=display:table}}

{{Théorème|Lemme 2|Toute sous-algèbre [[Fermé (topologie)|fermée]] de C(''X'') est un treillis.|style=display:table}}

{{Démonstration/début|titre=Preuve des deux lemmes}}
* '''Lemme 1'''. Par [[homothétie]], il suffit d'approximer par des polynômes la fonction valeur absolue sur [–1, 1]. Pour cela, on écrit |''x''| = {{sqrt|1 – (1 – ''x''{{2}})}} et l'on utilise que la [[Racine carrée#Fonction réelle|série de Taylor de la fonction {{math|''h''}} ↦{{sqrt|1 – ''h''}}]] est [[Convergence normale|normalement convergente]] sur [0, 1]<ref>Cette démonstration est due à [[Henri Lebesgue]], qui venait de passer l'[[agrégation de mathématiques]], dans son premier article : {{Article|auteur=Henri Lebesgue|titre=Sur l'approximation des fonctions|revue=Bulletin des sciences mathématiques|vol=22|année=1898|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96487750/f282|p.=278-287}}.</ref>.
* '''Lemme 2'''. Soit ''L'' cette sous-algèbre. En vertu des relations{{retrait|<math> \max (g, h) = \frac{g + h}2 + \frac{|g - h|}2 \text{ et } \min (g, h) = \frac{g + h}2 - \frac{|g - h|}2, </math>}}il suffit de démontrer que si {{math|''f''}} ∈ ''L'' alors |{{math|''f''}}| ∈ ''L''. En prenant{{retrait|<math> a = \max_{ x \in X } \left| f ( x ) \right| , </math>}}qui existe par continuité et compacité, on trouve par le lemme 1 une suite de polynômes {{math|(''P{{ind|n}}'')}} qui converge uniformément sur {{math|[–''a'', ''a'']}} vers la fonction valeur absolue. Quitte à retrancher à chacun de ces polynômes son terme constant, on peut les supposer de plus nuls en 0. Les {{math|''P{{ind|n}}''(''f'')}} forment alors une suite de fonctions de ''L'', qui converge uniformément sur ''X'' vers |{{math|''f''}}|.
{{Démonstration/fin}}
{{Démonstration|titre=Réduction du théorème à celui de la [[#Version treillis|« version treillis »]]|Soit ''L'' l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de la sous-algèbre ''A''.

*Par continuité de la multiplication, de l'addition et du produit par un scalaire, ''L'' est une sous-algèbre.
*D'après le lemme 2, c'est un treillis.
*Montrons que l'hypothèse du théorème de Stone-Weierstrass « version treillis » est vérifiée. Soient deux points distincts {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de ''X ''et deux réels {{math|''a''}} et {{math|''b''}}. À partir de<center><math>p , q , r \in A \text{ telles que } p ( x ) \ne p ( y ), q ( x ) \ne 0, r ( y ) \ne 0, </math></center>on construit d'abord<center><math>g\in A\text{ telle que }g(x)\ne g(y), g(x)\ne0,g(y)\ne 0, </math></center>en posant {{math|1=''g = p + uq + vr''}} pour des réels {{math|''u''}} et {{math|''v''}} convenablement choisis. Il existe alors des réels {{math|α}} et {{math|β}} tels que la fonction<center><math> f = \alpha g + \beta g^{2} </math></center>(qui appartient à ''A'' donc à ''L'') vérifie {{math|1=''f''(''x'') = ''a''}} et {{math|1=''f''(''y'') = ''b''}}.

Il en résulte que ''L'' est dense dans C(''X'') donc égal à C(''X''), c'est-à-dire que ''A'' est dense dans C(''X'').
}}

=== Fonctions entières ===
En 1885, Weierstrass<ref name=W1885/> avait aussi démontré un théorème analogue pour les [[fonction entière|fonctions entières]] (les [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] dans tout le plan complexe), que [[Torsten Carleman]] a généralisé en 1927<ref>[[Torsten Carleman]], [http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/car1.pdf Sur un théorème de Weierstrass], ''Arkiv. Mat. Astron. Fys.'', vol. 20, {{n°|4}}, 1927, {{p.|1-5}}.</ref>, en montrant que toute fonction continue sur '''R''' est [[convergence uniforme|limite uniforme]] (sur '''R''') d'une [[Suite et série de fonctions|suite de fonctions]] entières<ref>Carleman le formule, comme Weierstrass, en termes — plus connus en 1885 — d'une [[série de fonctions]] uniformément (car [[Convergence normale|normalement]]) convergente ({{Harvsp|Weierstrass|1885|p=637}} : {{Citation étrangère|lang=de|es convergirt […] die Reihe […] <math>\sum_{\nu=0}^{\infty}f_{\nu}(x)</math> [[Convergence absolue|unbedingt]] und [[Convergence uniforme|gleichmässig]]}}).</ref>. Suivant une remarque de [[Marcel Brelot]], {{Lien|langue=en|fr=Wilfred Kaplan}} a montré que la preuve de Carleman produisait même le résultat suivant :
{{Théorème|Théorème de Carleman<ref>{{Article|lang=en|auteur=Wilfred Kaplan|url=http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.mmj/1031710533|titre=Approximation by entire functions|revue=Michigan Math. J.|vol=3|numéro=1|p.=43-52|année=1955|doi=10.1307/mmj/1031710533}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Pinkus|2000|p=51-54}}.</ref>|Soit <math>Q:\R\to\Complex</math> une fonction continue. Pour toute fonction continue <math>E:\R\to\left]0,+\infty\right[</math>, il existe une fonction entière <math>f</math> telle que : <math>\forall x\in\R\quad|f(x)-Q(x)|<E(x)</math>.|style=display:table}}

=== Applications ===

Le théorème de Stone-Weierstrass permet de démontrer les quatre propositions suivantes :
* si ''f'' est une fonction continue à valeurs réelles définie sur le pavé [''a'', ''b''] × [''c'', ''d''] et si ε est réel strictement positif, alors il existe une fonction polynomiale ''p'' à deux variables telle que pour tous ''x'' dans [''a'',''b''] et ''y'' dans [''c'', ''d''], {{nobr|{{!}}''f''(''x'',''y'') – ''p''(''x'',''y''){{!}} < ε}}.
* si ''X'' et ''Y'' sont deux espaces compacts et si {{nobr|''f'' : ''X''×''Y'' → ℝ}} est une fonction continue alors, pour tout ε > 0, il existe ''n'' > 0 et des fonctions continues ''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, … , ''f<sub>n</sub>'' sur ''X'' et ''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub>, … , ''g<sub>n</sub>'' sur ''Y'' telles que {{nobr|║''f'' – ∑{{ind|''i''}} ''f<sub>i</sub>g<sub>i</sub>''║ < ε}}
* Une [[Mesure finie|mesure bornée]] sur [''a'', ''b''] dont tous les moments sont nuls est nulle ({{cf.}} [[Problème des moments]]). Par exemple, si une [[Intégrabilité|fonction intégrable]] {{math|''f''}} de [0, 1] dans ℝ est telle que{{retrait|<math>\forall p\in\N,~\int_0^1t^pf(t)~\mathrm dt=0,</math>}}alors {{math|''f''}} est nulle [[Ensemble négligeable|presque partout]] (donc partout si elle est [[Continuité (mathématiques)|continue]]).
* Si ''X'' est un [[espace métrique]] compact ([[Espace séparable#Propriétés|donc séparable]]) alors l'algèbre de Banach ''C''(''X'') est [[Espace séparable|séparable]]<ref>{{Cf.|maj}} {{Ouvrage|lang=en|titre=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|auteur=[[Charalambos D. Aliprantis]]|auteur2=Kim C. Border|numéro d'édition=3|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|isbn=978-3-540-32696-0|url={{Google Livres|4hIq6ExH7NoC|page=353}}|page=353}}, qui démontrent aussi la réciproque : pour tout compact ''X'', si ''C''(''X'') est séparable alors ''X''est [[Espace métrisable|métrisable]]. En effet, pour tout espace vectoriel normé séparable ''E'', [[Topologie faible#Propriétés|la boule unité du dual ''E{{'}}'', munie de la topologie faible-*, est métrisable]], or pour {{nobr|''E'' {{=}} ''C''(''X'')}}, [[Théorème de Banach-Stone#Résumé de preuve|''X'' s'identifie naturellement à un sous-espace de cette boule]].</ref>. Il suffit en effet de choisir dans ''X ''une partie ''Y ''[[Ensemble dénombrable|dénombrable]] dense, de définir sur ''X'', pour tout élément ''y ''de ''Y'', une fonction ''f{{ind|y}}'' par {{nobr|''f{{ind|y}}''(''x'') {{=}} d(''x'', ''y'')}}, et de prendre pour ''A ''la sous-ℝ-algèbre unifère de ''C''(''X'') engendrée par ces ''f{{ind|y}}'' : puisque ''A'' est dense dans ''C''(''X'') d'après le théorème, la sous-ℚ-algèbre unifère engendrée par ces mêmes ''f{{ind|y}}'' (dénombrable et dense dans ''A'') est dense dans ''C''(''X'').
* Si ''f'' est une fonction continue sur [''a'';''b''] alors ''f'' admet une primitive sur ce segment. Cette preuve fournit l'existence d'une primitive sans faire intervenir une notion d'intégrale.

Certains résultats valables pour des fonctions continues peuvent être ramenés au cas de fonctions indéfiniment dérivables en utilisant le théorème de Stone-Weierstrass. C'est ainsi qu'on obtient une démonstration du [[théorème du point fixe de Brouwer]] en utilisant le [[théorème de Stokes]].

=== Théorème de Stone-Weierstrass, version treillis ===

Soit ''X'' un espace compact. Un sous-ensemble ''L'' de C(''X'') est appelé un ''[[Treillis (ensemble ordonné)|treillis]]'' de C(''X'') si pour deux éléments quelconques ''f'', ''g'' de ''L'', les fonctions max(''f'',''g'') et min(''f'',''g'') appartiennent aussi à ''L''. La version treillis du théorème de Stone-Weierstrass affirme que<ref name=Schwartz/> :

{{Théorème|1=Si ''X'' est un espace compact avec au moins deux points et si ''L'' est un treillis de  C(''X'') tel que, pour tous points distincts ''x ''et ''y ''de ''X ''et tous réels ''a ''et ''b'', ''L ''contient une fonction ''f ''vérifiant ''f''(''x'') = ''a ''et {{nobr|1=''f''(''y'') = ''b'',}} alors ''L'' est dense dans C(''X'').|style=display:table}}

Cette version plus générale résulte immédiatement du lemme suivant.

{{Théorème|Lemme 3|Soit ''L'' un treillis de C(''X''). Pour qu'une fonction {{math|''g''}} de C(''X'') appartienne à l'adhérence de ''L'', (il faut et) il suffit que pour tous {{math|''x'', ''y''}} ∈ ''X'' et tout {{math|ε > 0}}, il existe une fonction {{math|''f''}} ∈ ''L'' telle que
<center><math> |f(x) - g(x)| < \varepsilon \text{ et } |f(y) - g(y)| < \varepsilon. </math></center>|style=display:table}}

{{Démonstration|titre=Preuve du lemme 3|
Soient {{math|ε > 0}} et {{math|''g''}} ∈ C(''X'') vérifiant cette condition. On va construire une fonction {{math|''f''}} ∈ ''L'' qui approxime {{math|''g''}} uniformément à {{math|ε}} près.

*On fixe d'abord un élément {{math|''z'' ∈ ''X''}}.<br />Soit {{math|''x'' ∈ ''X''}}. Par hypothèse, il existe une fonction {{math|''f{{ind|z,x}}''}} ∈ ''L'' telle que{{retrait|<math>f_{z, x}(z) > g(z) - \varepsilon \text{ et } f_{z, x}(x) < g(x) + \varepsilon. </math>}}On pose alors{{retrait|<math> V_{z, x} = \{ y \in X \mid f_{z,x} ( y ) < g ( y ) + \varepsilon \} </math>}}qui contient {{math|''x''}} et qui est un [[Ouvert (topologie)|ouvert]], par continuité de {{math|''f{{ind|z,x}}''}} et {{math|''g''}}.<br />La famille {{math|(''V{{ind|z,x}}''){{ind|''x''∈''X''}}}} est un [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrement]] ouvert de ''X'', et par compacité on peut en extraire un recouvrement fini {{math|(''V{{ind|z,x}}''){{ind|''x''∈''A{{ind|z}}''}}}}. On peut alors poser{{retrait|<math> h_z = \min_{ x \in A_z } f_{ z, x} </math>}}qui appartient au treillis ''L''. Remarquons que la fonction {{math|''h{{ind|z}}''}} vérifie{{retrait|<math> h_z ( z ) > g(z) - \varepsilon \text { et } \forall y \in X, h_z ( y ) < g ( y ) + \varepsilon. </math>}}
*On regarde maintenant la famille {{math|(''h{{ind|z}}''){{ind|''z''∈''X''}}}}. On pose{{retrait|<math>U_z = \{ y \in X \mid h_z ( y ) > g ( y ) - \varepsilon \} </math>}}qui contient {{math|''z''}} et qui est ouvert, pour les mêmes raisons que les {{math|''V{{ind|z,x}}''}}. La famille {{math|(''U{{ind|z}}''){{ind|''z''∈''X''}}}} recouvre ''X'', et par compacité on extrait un sous recouvrement fini {{math|(''U{{ind|z}}''){{ind|''z''∈''B''}}}} On pose{{retrait|<math> f = \max_{ z \in B } h_z </math>}}qui appartient à ''L''.

La fonction {{math|''f''}} vérifie alors

<center><math> \forall x \in X , \quad g ( x ) - \varepsilon < f ( x ) < g ( x ) + \varepsilon </math></center>

comme attendu.
}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Stone–Weierstrass theorem|2371942|type=note}}
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
*[[Approximation de Korovkin]]
*[[Constante de Bernstein]]
*[[Interpolation polynomiale]]
* [[Théorème de Chudnovsky]]
* [[Théorème de Mergelyan]]
*[[Théorème de Müntz-Szász]]
* [[Théorème de Runge]]
*[[Transformée de Weierstrass]]
}}

=== Bibliographie ===
{{Article|lang=en|auteur=Allan Pinkus|titre=Weierstrass and approximation theory|revue=J. Approx. Theory|vol=107|numéro=1|année=2000|p.=1-66|doi=10.1006/jath.2000.3508}}

{{Article|lang=en|auteur=Jean-Paul Jurzak |titre=Dominated Convergence and Stone-Weierstrass Theorem|revue=Journal of Applied Analysis|vol=11|numéro=2|année=2005|p.=207-223}}
 
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse fonctionnelle|Stone Weierstrass]]