Voir la source de Théorème de Thalès

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{{voir homonyme|Théorème de Thalès (cercle)}}

[[Image:Thales theorem 1.svg|vignette|Configuration possible du théorème de Thalès : les droites (BC) et (DE) sont parallèles donc les triangles ADE et ABC sont [[triangles semblables|semblables]] et les longueurs AD, DE, EA sont proportionnelles aux longueurs AB, BC et CA.]]

[[Image:Thales.jpg|vignette|Le théorème de l'article doit son nom en France à [[Thalès|Thalès de Milet]], une attribution qui n'est pourtant pas retenue par les historiens.]]

Le '''théorème de Thalès''' est un [[théorème]] de [[géométrie]] [[Plan (mathématiques)|plane]], qui affirme qu'une [[Droites parallèles|droite parallèle]] à l'un des côtés d'un [[triangle]] définit, avec les droites des deux autres côtés, un nouveau triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du premier (voir énoncé précis [[#Énoncés et enseignement|ci-dessous]]). En [[anglais]], il est souvent appelé ''{{Langue|en|intercept theorem}}'' (soit « théorème d'interception »), et en [[allemand]] ''{{Langue|de|Strahlensatz}}'' (« théorème des demi-droites ») ou ''Vierstreckensatz'', (« théorème des quatre segments »).

L'attribution du théorème à [[Thalès]],  [[philosophe]] et [[mathématicien]] grec du {{-s-|vi}}, n'est pas retenue par les historiens. Elle s'explique probablement par une légende rapportée par [[Plutarque]] selon laquelle Thalès aurait calculé la hauteur d'une [[pyramide]] par proportionnalité, en mesurant la longueur de son ombre au sol et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur connue. 

La démonstration écrite la plus ancienne connue de ce théorème apparait vers 300 {{av JC}} dans les [[Éléments (Euclide)|''Éléments'' d'Euclide]] ({{nobr|proposition 2}} du [[Livre VI des Éléments d'Euclide|livre VI]]). Elle utilise la [[proportionnalité]] d'[[Aire (géométrie)|aire]]s de triangles de hauteur égale (voir ci-dessous le détail de la preuve).

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs en [[trigonométrie]], à condition de disposer de deux droites parallèles. Cette propriété est utilisée dans des [[Instrument de calcul|instruments de calcul]] de longueurs.

Plus abstraitement le théorème de Thalès est essentiellement un résultat de [[géométrie affine]], où il correspond à la conservation par [[projection affine|projection]] des [[mesure algébrique|rapports de mesures algébriques]] entre points alignés. Il se généralise en [[Espace affine#Définitions et premières propriétés|dimension]] supérieure. En [[géométrie projective]] il se généralise à la conservation du [[birapport]] par [[projection centrale|projection conique]].

En allemand, et souvent en anglais, le [[Angle inscrit dans un demi-cercle|théorème de Thalès]] désigne un autre théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un [[cercle]], et dont un côté est un [[diamètre]], est un [[triangle rectangle]].

== Énoncés et enseignement ==
En pratique, le théorème de Thalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de [[proportionnalité]] en présence de [[parallélisme (géométrie)|parallélisme]].

{{théorème|Théorème de Thalès|Soit un triangle ''ABC'', et deux points ''D'' et ''E'', ''D'' sur la droite (''AB'') et ''E'' sur la droite (''AC''), de sorte que la droite (''DE'') soit parallèle à la droite (''BC'') (comme indiqué sur les illustrations ci-dessous). Alors :
<center><math>\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}</math>.</center>
}}

Pour la première égalité il est possible de changer l'ordre des trois points  sur chaque droite (de façon cohérente), mais la deuxième égalité n'est correcte que pour le rapport indiqué, celui où l'on part du point ''A '' commun aux deux droites, par exemple :
: <math>\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}</math>, mais <math>\dfrac{DA}{DB}\neq\dfrac{DE}{BC}</math> (et <math>\dfrac{DA}{DB}\neq\dfrac{BC}{DE}</math>).
D'autres égalités se déduisent par échange des termes dans les égalités de rapport précédentes, ainsi :
:  <math>\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DB}{EC}</math>.

'''Deux configurations possibles du théorème de Thalès''' :
<gallery>
Thales theorem 1.svg
Thales theorem 2.svg
</gallery>

Ce théorème démontre que les triangles ''ABC ''et ''ADE ''sont homothétiques : il existe une [[homothétie]] de centre ''A'' envoyant ''B'' sur ''D'' et ''C'' sur ''E''. L'un des rapports donnés ci-dessus est, au signe près, le rapport de l'homothétie. Plus précisément, le rapport de l'homothétie est <math>+\frac{AD}{AB}</math> dans la première configuration et <math>-\frac{AD}{AB}</math> dans la seconde. Le théorème de Thalès est parfois énoncé en affirmant qu'une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un [[Triangles semblables|triangle semblable]].

Il peut être mis en œuvre dans différentes [[construction à la règle et au compas|constructions géométriques à la règle et au compas]]. Par exemple, il peut justifier une construction permettant de diviser un segment en un nombre donné de parts égales.

Rigoureusement, l'énoncé ci-dessus donné nécessite l'utilisation d'une [[distance euclidienne]] pour donner un sens aux longueurs mentionnées (''AB'', ''BC''…). Un énoncé plus précis utilise la notion de [[mesure algébrique]] plutôt que de longueur, et se généralise à la [[géométrie affine]] (où le rapport de mesures algébriques a un sens).

=== Théorème réciproque ===
Le théorème de Thalès (en dimension 2), dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Le sens direct (et non la réciproque) permet également par [[contraposée]], de démontrer que les droites (ou segments) concernés ne sont pas parallèles quand il n'y a pas l'égalité de certains rapports<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Triangles et parallèles/Théorème de Thalès#Contraposée du théorème de Thalès|« Contraposée du théorème de Thalès »|début=Voir}}</ref>. Sa [[Implication réciproque|réciproque]] permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.

{{théorème|Réciproque du théorème de Thalès|Dans un triangle ''ABC'', supposons donnés des points ''D ''et ''E ''appartenant respectivement aux segments [''AB''] et [''AC'']. Si les rapports <math>\frac{AD}{AB}</math> et <math>\frac{AE}{AC}</math> sont égaux, alors les droites (''DE'') et (''BC'') sont parallèles.}}

La démonstration de cette réciproque se déduit du théorème. En effet, considérons un point ''E' ''du segment [''AC''] tel que (''DE{{'}}'') soit parallèle à (''BC''). Alors les points ''A'', ''E' ''et ''C ''sont alignés dans cet ordre et <math>\frac{AE'}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} </math> donc <math>AE' = AE</math>. Or il n'existe qu'un seul point situé entre ''A ''et ''C ''vérifiant cette propriété donc ''E' = E''. Par conséquent, (''DE'') = (''DE{{'}}'') est parallèle à (''BC'').

=== Théorème de la droite des milieux ===
[[Image:Theoreme des milieux-1.png|thumb|right|upright=1.8]]
{{Article détaillé|Théorème des milieux}}
Le [[théorème des milieux]] et sa réciproque sont une spécialisation de la réciproque du théorème de Thalès et du théorème lui-même, pour laquelle les points ''D'' et ''E'' correspondent aux milieux des segments [''AB''] et [''AC'']. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle à la droite qui supporte le troisième côté ; et la longueur joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté :

{{théorème|titre=Théorème de la droite des milieux|1=Soit un triangle ''ABC'', et nommons ''D'' et ''E'' les milieux respectifs de [''AB''] et [''AC'']. Alors les droites (''DE'') et (''BC'') sont parallèles et l'on a : 2''DE = BC''.}}

La réciproque du théorème de Thalès garantit que les deux droites sont parallèles ; de plus, le théorème de Thalès s'applique et il vient :
<center><math>\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12</math>.</center>

=== Enseignement et appellations ===

Ce théorème est connu aujourd'hui sous le nom de  théorème de Thalès dans l'[[enseignement des mathématiques]] en France<ref>Par exemple à l'époque où [[Jean-Pierre Kahane]] établit son rapport {{Ouvrage |auteur1=Jean-Pierre Kahane |titre=L'enseignement des sciences mathématiques |éditeur=[[Éditions Odile Jacob|Odile Jacob]] |année=2002  |isbn= |présentation en ligne=https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/l-enseignement-des-sciences-mathematiques-9782738111388/}}, le résultat dans la première configuration et le théorème de la droite des milieux sont enseignés dès la [[classe de quatrième française]] et le « théorème de Thalès » à proprement parler et sa réciproque dans la [[classe de troisième française]]{{harv|Kahane|2002|page=113 et 163}}<!-- Page à vérifier -->.</ref> et dans d'autres pays. Aucune source ancienne ne permet cependant de l'attribuer à Thalès<ref name="VitracVolIIp161">Vitrac, note 17 dans {{harvsp|Euclide|1994|p=161}}.</ref>. Très vraisemblablement cette attribution repose-t-elle sur une mauvaise interprétation de quelques témoignages anciens, et eux-mêmes contestables, à propos d'une supposée mesure  par celui-ci de la hauteur des pyramides<ref name="VitracVolIIp161" />{{,}}<ref>Voir la partie [[#Le calcul de la hauteur d'une pyramide, une légende]] pour des précisions.</ref>.

Les anciens n'attribuaient pas de nom propre à leurs théorèmes<ref name="Herreman2017OrigineAppelation">{{harvsp|Herreman|2017}}, [https://thamous.univ-rennes1.fr/forums/forums/42/exportIrem/etudeThales.html#origineAppelation Sur l'origine de l'appellation « théorème de Thalès »].</ref>. Plusieurs auteurs du {{s-|XIX}} appellent théorème de Thalès la propriété (plus générale) que « dans les triangles l'égalité des angles entraîne la proportionnalité des côtés et réciproquement » (voir [[Triangles semblables]])<ref>{{ouvrage|auteur1=[[Eugène Rouché]]|auteur2=[[Charles de Comberousse]]|titre=Traité de géométrie élémentaire|année=1868|numéro édition=2|éditeur=Gauthier-Villars|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1187122q}} p. 136 pour cette citation précise et l'attribution à Thalès, p. 229 pour la dénomination « théorème de Thalès », dénomination que l'on retrouve déjà, associée au même théorème dans la première édition de 1864, p. 229, mais aussi chez d'autres auteurs, {{ouvrage|titre=De l'origine et des limites de la correspondance entre l'algèbre et la géométrie|auteur=[[Antoine-Augustin Cournot]]|année=1847|éditeur=L. Hachette|lieu=Paris}}, [[Auguste Comte]] en 1853. Toutes ces citations sont reprises de {{harvsp|Herreman|2017}}, [https://thamous.univ-rennes1.fr/forums/forums/42/exportIrem/etudeThales.html#origineAppelation Sur l'origine de l'appellation « théorème de Thalès »].</ref>{{,}}<ref name="Herreman2017OrigineAppelation"/>. Deux manuels d'enseignement de la fin du {{s-|XIX}} appellent théorème de Thalès un théorème dans le triangle proche de celui du présent article<ref name="Plane">{{harvsp|Plane|1995|p=79}}.</ref>.

Cependant, la référence à Thalès n'a alors rien d'universelle<ref name="Plane"/>. L'historien des mathématiques [[Paul Tannery]] réfute l'attribution de tels théorèmes à Thalès dans un ouvrage paru en 1887<ref>{{ouvrage|auteur=[[Paul Tannery]]|titre=La géométrie grecque|année=1887|éditeur=Gauthiers-Villars |passage=91-92}}.</ref>. Plusieurs traités de géométrie élémentaire de la fin du {{s-|XIX}} ou de la première moitié du {{s-|XX}} ne mentionnent pas Thalès pour ces résultats. C'est le cas par exemple du manuel de [[Jacques Hadamard]] paru en 1898 et de nombreuses fois réédité ensuite<ref>{{harvsp|Bkouche|1995|p=9}}.</ref>, où la propriété que « deux sécantes quelconques sont coupées en parties proportionnelles par des droites parallèles » est le « théorème fondamental » du chapitre premier du livre III, intitulé « lignes proportionnelles »<ref>{{ouvrage|auteur=[[Jacques Hadamard]]|titre=Leçons de géométrie élementaire|sous-titre=géométrie plane|année=1898|éditeur=Armand Colin|passage=108}} ; elle est utilisée pour démontrer p. 109 puis p. 131 que {{citation|toute parallèle à l'un des côtés d'un triangle forme avec les deux autres triangles un triangle semblable au premier}}.</ref>.

Le « théorème de Thalès » finit par s'imposer en France, au cours du {{s-|XX}}, où il est utilisé soit pour le théorème sur le triangle et la parallèle à l'un des côtés, soit pour celui sur les deux sécantes découpées par des droites parallèles<ref>{{harvsp|Plane|1995|p=80-81}}.</ref>{{,}}<ref>Le théorème de Thalès, celui dans le triangle ou celui sur les deux sécantes découpés par des parallèles, est cité sous ce nom dans les programmes de la seconde moitié du {{s-|XX}} selon {{harvsp|Plane|1995|p=80-81}}. On le trouve déjà par exemple dans le programme du diplôme d'aptitude de l'enseignement secondaire de jeune fille de 1911 ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6417025f/f6.item.r=%22Théorème%20de%20Thalès%22 Journal officiel 10 septembre 1011, p. 7390]), dans le programme de troisième de 1941 ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96153961/f13.item.r=%22Théorème%20de%20Thalès%22 Journal officiel, 21 septembre 1941, p. 4121])…</ref>.

La situation est similaire en [[Italie]], où le théorème de Thalès apparaît aussi sous ce nom également dans des manuels d'enseignement de la fin du {{s-|XIX}}{{sfn|Patsopoulos|Patronis|2006|p=61}}. Elle est très différente en [[Allemagne]], où le « théorème de Thalès » apparaît à la même époque mais pour désigner un tout autre théorème, la [[angle inscrit dans un demi-cercle|propriété selon laquelle tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit]]{{sfn|Patsopoulos|Patronis|2006|p=61}}{{,}}<ref>En Allemagne, notre théorème de Thalès est appelé {{lang|de|''Strahlensatz''}}, théorème des rayons, {{harvsp|Plane|1995|p=82}}.</ref>. Toujours à la même époque, les [[États-Unis]] et l'[[Angleterre]] ne connaissent pas de théorème de Thalès{{sfn|Patsopoulos|Patronis|2006|p=61}}{{,}}<ref>Dans les pays de langue anglaise, notre théorème de Thalès est souvent appelé {{lang|en|''intercept theorem''}}, théorème d'interception, {{harvsp|Plane|1995|p=82}}.</ref>. L'une ou l'autre appellation se propage dans d'autres pays européens, soit sous l'influence des manuels français et italiens, soit sous celle des manuels allemands{{sfn|Patsopoulos|Patronis|2006|p=61}}.

Le théorème de Thalès désigne deux énoncés très différents qui sont associés à deux traditions différentes de l'enseignement de la géométrie, plus fidèle à l'ordre d'exposition euclidien en Allemagne, où le nom de Thalès est associé à un théorème à propos du triangle rectangle, plus sensible en France à l'apparition de la [[géométrie projective]] et de la [[géométrie affine]]{{sfn|Patsopoulos|Patronis|2006|p=61-62}}. Dans un cas comme dans l'autre, l'histoire est instrumentalisée au service d'un choix didactique : il s'agit de mettre un théorème en avant, en lui attribuant le nom d'un mathématicien célèbre, d'où des choix différents dans des traditions d'enseignement différentes<ref>Selon {{harvsp|Patronis|Patsopoulos|2006|p=63-64}}.</ref>.

== Histoire ==
=== Mathématiques babyloniennes et  égyptiennes ===
{{Article détaillé|Mathématiques mésopotamiennes|Mathématiques dans l'Égypte antique}}

Les mathématiques babyloniennes et égyptiennes nous sont connues principalement par des tables numériques et des énoncés de problèmes. Dans ce dernier groupe, on peut détecter quelques problèmes dont l'illustration présente des triangles qui semblent être en situation de Thalès. Cependant, comme le souligne le conférencier en [[épistémologie]] et [[histoire des sciences]] Alain Herreman<ref name="Herreman2018">{{harvsp|Herreman|2018}}.</ref>, il ne suffit pas de soupçonner une configuration de Thalès, encore faut-il que la présence du théorème soit corroborée par les nombres figurant sur la figure et par une procédure l'utilisant explicitement. Le risque est grand, autrement, de  surinterpréter les textes, influencé par les connaissances actuelles et la tentation d'y retrouver ce qu'on s'attend à trouver<ref> Herreman signale que ce même article de Wikipedia, dans sa version de 2018, cédait à cette tentation (voir {{harvsp|Herreman|2018}}).</ref>.

==== Tablette MLC 1950 ====
[[image:Teorema de tales na Babilónia Tabua MLC 1950.png|vignette|Tablette MLC 1950 et l'illustration, très dégradée, d'un trapèze découpé dans un triangle|upright=1.5]]
La [[Tablette d'argile|tablette]] MLC 1950 datant de la [[période paléo-babylonienne]]<ref>{{article |auteur=Mar Moyon |titre=Mathématiques et interculturalité : l'exemple des la division des figures planes dans l'histoire des pratiques mathématiques |périodique=Repères <!--|édition=IREM--> |année=2016 |numéro=103 |pages=5-21 |lire en ligne=https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/WR/IWR16007/IWR16007.pdf}}, p.7</ref> ({{2e}} millénaire avant notre ère) décrit un exercice dans lequel le scribe cherche à calculer les longueurs des bases d'un [[trapèze]]  découpé dans un triangle, à partir d'informations sur son [[Trapèze#Aire du trapèze|aire ''S'']], sa hauteur h et la hauteur h' du triangle complétant le trapèze. La procédure consiste à calculer la demi-somme et la demi-différence des bases pour obtenir ensuite la valeur des bases par somme et différence
* la [[Moyenne arithmétique|demi-somme]] des longueurs des bases, s'obtient comme le rapport de l'aire du trapèze par sa hauteur (d'autres tablettes confirment que la formule donnant l'aire du trapèze était connue<ref>Par exemple, la tablette YBC 7290.</ref>) ;
* la demi-différence, s'obtient par application d'une formule non expliquée, consistant à diviser l'aire du trapèze par {{math|2''h{{'}}+h''}}<ref name="NeugebauerSachs">{{article |lang=en |auteur1=[[Otto Eduard Neugebauer|Otto Neugebauer]] |auteur2=[[Abraham Sachs]] |titre=Mathematical Cuneiform Texts |périodique=American Oriental Series |volume=29 |lieu=New Haven |éditeur=[[American Oriental Society]] |année=1945 |pages=48-49 |lire en ligne=https://openlibrary.org/books/OL6495966M/Mathematical_cuneiform_texts}}</ref>.

La tablette ne donne aucune explication de cette dernière formule. Neugebauer et Sachs en donnent une justification par les « triangles semblables »<ref name="NeugebauerSachs"/> (il s'agit en l'occurrence du cas particulier correspondant à notre « théorème de Thalès »).

De nombreux problèmes de ce genre où un triangle est découpé par une ou plusieurs lignes parallèles à un côté et où certaines quantités sont fournies (aire et dimensions) tandis que d'autres sont demandées existent dans les mathématiques de cette époque<ref>Notamment dans la tablette de Strasbourg 363 - Voir  {{chapitre|langue=en|auteur=[[Eleanor Robson]]|titre chapitre=Mesopotamian Mathematics|pages=57-186|auteur ouvrage=[[Victor J. Katz]]|titre ouvrage=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|éditeur=[[Princeton University Press]] année=2007}}, pp.110-113</ref> mais sans toujours fournir de procédure de résolution.

==== Papyrus Rhind ====

[[Image:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|right|La source d'une surinterprétation : l'un des schémas de cet extrait du [[papyrus Rhind]] (problème 53) fait penser à une configuration de Thalès, mais ne peut correspondre au théorème quand on examine les nombres associés<ref name="Herreman2018"/>.]]
On trouve également de telles illustrations dans le [[papyrus Rhind]], avant -1550. Le problème 53, par exemple, représente un triangle découpé par plusieurs segments qui semblent parallèles à la base. Sur cette figure sont notées des valeurs numériques. Cependant aucun contexte n'est fourni et l'analyse des valeurs numériques conduit à des interprétations variées suivant les égyptologues<ref name="Herreman2018"/> et on ne peut l'attribuer explicitement à l'utilisation du théorème de Thalès.

=== Grèce antique ===
==== Le livre VI des ''Éléments'' ====
[[Image:EuclideLivreVIProp2Ratdolt1482ed.jpg|thumb|left|La proposition 2 du [[livre VI des Éléments d'Euclide|livre VI des ''Éléments'' d'Euclide]], dans sa première édition imprimée, en 1482 à Venise, une traduction de l'arabe en latin par [[Campanus de Novare]]. Le premier schéma illustre la proposition 1 sur la proportionnalité entre bases et aires de triangles de même hauteur, le second la proposition 2 et sa démonstration et le troisième la proposition 3 (une conséquence du  « théorème de Thalès »).]]
Le « théorème de Thalès » (tel que nous l'appelons aujourd'hui) apparaît dans les ''Éléments'' d'Euclide<ref name="Vitrac1994p161">Vitrac dans {{harvsp|Euclide|1994|p=161}}.</ref>, un édifice axiomatique rigoureusement ordonné{{sfn|Caveing|1990|p=88}} que l'on peut supposer écrit vers -290{{sfn|Caveing|1990|p=108}}. Plus précisément, le théorème est énoncé, accompagné de sa réciproque, à la proposition 2 du livre VI<ref name="Vitrac1994p161"/>{{,}}<ref>Pour l'énoncé (et sa démonstration) : {{harvsp|Euclide|1994|p=159}}, {{Ouvrage|titre=Les œuvres d'Euclide, en grec, en latin et en français, d'après un manuscrit très-ancien qui était resté inconnu jusq'à nos jours|auteur=Euclide|traducteur=François Peyrard|date=1814|volume=1|éditeur=M. Patris|lieu=Paris|url=https://archive.org/details/lesoeuvresdeucli01eucl/page/292/mode/2up}} p. 293, ou le {{en}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI2.html site de David E. Joyce].</ref>.

[[Image:EuclidelivreVIprop2.svg|thumb|right|Résumé de la démonstration du sens direct de la proposition 2 (théorème de Thalès) par Euclide. Les triangles BDE et CDE, de même base DE, et de sommets portés par une parallèle BC à DE sont égaux par I.38. Donc le triangle BDE est relativement au triangle ADE comme le triangle CDE relativement au triangle ADE (V.7). Le triangle BDE est relativement au triangle ADE comme BD relativement à DA, ces deux triangles ayant même hauteur issue de E (VI.1). De même le triangle CDE est relativement au triangle ADE comme CE relativement à EA, et on conclut que BD est relativement à DA comme CE à EA (V.11).]]

Le livre VI, consacré à l'étude des [[Similitude (géométrie)|figures semblables]], nécessite la théorie des proportions exposée au  [[livre V des Éléments d'Euclide|livre V]] qui permet de traiter les grandeurs [[commensurabilité (mathématiques)|incommensurables]]<ref>Vitrac dans {{harvsp|Euclide|1994|p=143}} et {{harvsp|Euclide|1994|p=14}}.</ref>. Cette théorie des proportions doit beaucoup à [[Eudoxe de Cnide|Eudoxe]] {{sfn|Caveing|1990|p=110}}, qui aurait pu l'introduire vers -350{{sfn|Caveing|1990|p=108}}, et le contenu du livre VI aurait ainsi été élaboré entre Eudoxe et Euclide{{sfn|Caveing|1990|p=111}}.

L'énoncé de la proposition 2 est le suivant :

'''Proposition 2. —''' Si l'on mène une droite parallèle à un des côtés d'un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si les côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la droite qui joindra les sections<ref>Section au sens de point d'intersection, {{harv|Vitrac|1994|p=159}}.</ref> sera parallèle au côté restant du triangle<ref>Traduction Peyrard 1814 {{harv|Euclide|1814|p=293}}.</ref>.

Pour la proportionnalité des troisièmes côtés des deux triangles, qui sont « équiangles » (angles égaux deux à deux) d'après le livre I<ref>Proposition 29 du livre I {{harv|Euclide|1990|p=251}}, était numérotée 30 dans la traduction Peyrard {{harv|Euclide|1814|p=51}}.</ref>, il est possible de conclure à l'aide la proposition 4 du livre VI :

'''Proposition 4. —''' Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels ; et les côtés qui sous-tendent les angles égaux, sont homologues<ref>Traduction Peyrard 1814 {{harv|Euclide|1814|p=298}}.</ref>.

Mais la proposition 2 est exposée dans un contexte mathématique qui n'est pas le nôtre et ne correspond en fait qu'imparfaitement à notre théorème. Par exemple, les droites d'Euclide sont « limitées » (ce sont des segments de droite), mais elles sont toujours « prolongeables »<ref>Vitrac dans {{harvsp|Euclide|1990|p=169}}.</ref>. Dans les [[données (Euclide)|''Données'']], la proposition 2 n'est utilisée que dans la première configuration du paragraphe [[#Énoncés et enseignement]], quand le sommet ''A'' commun aux deux triangles est situé du même côté des deux parallèles<ref name="Vitrac1994p161"/>, alors que dans la seconde configuration, celle où le sommet commun ''A'' est entre les deux parallèles, c'est la proposition 4 qui est invoquée, ce qui laisse penser que la proposition 2 est restreinte à la première configuration<ref name="Vitrac1994p161"/>.

En plus de la théorie des proportions exposée au livre V, le livre VI utilise essentiellement des résultats du livre I<ref>Vitrac dans {{harvsp|Euclide|1994|p=154}}.</ref>. Si on prend le sens direct de la proposition 2 (correspondant à notre théorème de Thalès), sa démonstration s'appuie sur{{sfn|Euclide|1994|p=159-160}} :
* la proposition 38 du livre I : « Des triangles, construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles, sont égaux entre eux »<ref>Traduction Peyrard 1814 {{harv|Euclide|1814|p=63}}, la proposition 38 du livre I {{harv|Euclide|1990|p=264}} était numérotée 39 dans la traduction de Peyrard.</ref> ;
* deux propositions élémentaires du livre V sur la théorie des proportions (7 et 11) ; 
* la proposition 1 du livre VI : « Les triangles et les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont entre eux comme leurs bases »<ref>Traduction Peyrard 1814 {{harv|Euclide|1814|p=290}}.</ref>.
Un résumé en est donné ci-contre.

Ici, quand Euclide parle de triangles égaux, cela correspond à l'égalité entre leurs aires<ref>Il peut l'utiliser en un autre sens ailleurs).</ref>. De même à la proposition 1 c'est bien de proportionnalité entre les aires qu'il s'agit. Cependant la notion d'aire n'est pas définie directement par Euclide, et il n'y a pas de calcul d'aires dans les ''Éléments''<ref>Vitrac dans {{harvsp|Euclide|1990|p=266}}.</ref>.  

Pour établir la proposition 1, Euclide utilise la proposition 38 du livre I (qui donne le cas particulier de la proposition VI.1 où les triangles ont même base, et suffirait pour l'établir pour des rapports entiers) et la définition 5 du livre V :
* la définition 5 du livre V : « Des grandeurs sont dites ''être dans le même rapport'', une première relativement à une deuxième et une troisième relativement à une quatrième quand des équimultiples de la première et de la troisième ou simultanément dépassent, ou sont simultanément égaux ou simultanément inférieurs à des équimultiples de la deuxième et de la quatrième, selon n’importe quelle multiplication, chacun à chacun, [et] pris de manière correspondante »<ref>Traduction Vitrac {{harvsp|Euclide|1994|p=41}}, voir aussi {{harvsp|Euclide|1814|p=236}}, où Peyrard traduit par « raison » le terme ''λόγος'' que Vitrac traduit par « rapport » {{harv|Euclide|1994|p=36}}.</ref>.
Euclide a besoin de cette définition pour passer des rapports entiers (les équimultiples) à des rapports quelconques.

==== Le calcul de la hauteur d'une pyramide, une légende ====
[[Image:Thales theorem 6.png|thumb|upright=1.8|left|La mesure de la hauteur d'une pyramide par Thalès selon Plutarque.]]
Certains textes de l'Antiquité grecque font référence aux travaux de [[Thalès|Thalès de Milet]] au {{s-|VI|e}} av. J.-C., dont aucun écrit ne nous est parvenu. Cependant, aucun texte ancien n'attribue la découverte du théorème de Thalès à celui-ci<ref name="VitracVolIIp161" />.
L'attribution en France du théorème à Thalès semble associée à la mesure de la hauteur d'une pyramide égyptienne que celui-ci aurait effectuée<ref>{{harvsp|Patsopoulos|Patronis|2006|page=59-60}}.</ref>{{,}}<ref name="VitracVolIIp161" />.

Dans son commentaire sur les ''Éléments'' d'Euclide, [[Proclus]] affirme que la [[géométrie]] avait été découverte en [[Égypte]], et transportée en [[Grèce]] par Thalès après son voyage dans cette contrée<ref>{{harvsp|Proclus|1948}}, 65, 3-11, d'après {{harvsp|Caveing|1997|p=33}}</ref>. Selon une anecdote rapportée par [[Pline l'Ancien]], [[Plutarque]] et [[Diogène Laërce]], lors de ce voyage Thalès aurait obtenu la hauteur d'une des pyramides en mesurant l'ombre de celle-ci<ref name="Caveing61">{{harvsp|Caveing|1997|p=61}}.</ref>. Pour Pline de même que pour Diogène Laërce (qui se réfère à [[Hiéronymos de Rhodes|Hiéronymus de Rhodes]], un auteur actif au {{-s-|III}}, ce qui est déjà autour de trois siècles après Thalès), Thalès attend que son ombre soit égale à sa taille pour mesurer l'ombre de la pyramide dont il déduit alors la hauteur<ref name="Caveing61"/>.
{{Citation bloc| [[Hieronymus de Rhodes|Hiéronyme]] dit que Thalès mesura les pyramides d'après leur ombre, ayant observé le temps où notre propre ombre égale notre hauteur<ref>[[Diogène Laërce]], ''[[Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres]]'', Thalès, I, 27.</ref>.}}

La version que donne [[Plutarque]] dans ''Le Banquet des Sept Sages'' (147a)<ref name="Caveing62">{{harvsp|Caveing|1997|p=62}}.</ref> est clairement romancée :
{{citation bloc|Ainsi, vous, Thalès, le roi d'Égypte vous admire beaucoup, et, entre autres choses, il a été, au-delà de ce qu'on peut dire, ravi de la manière dont vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras et sans avoir eu besoin d'aucun instrument. Après avoir dressé votre bâton à l'extrémité de l'ombre que projetait la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la tangence d'un rayon, et vous démontrâtes qu'il y avait la même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur de la pyramide qu'entre la longueur des deux ombres<ref>[[Plutarque]], ''Le Banquet des Sept Sages'', §2, traduction Victor Bétolaud 1870 [http://remacle.org/bloodwolf/historiens/Plutarque/banquet.htm lire en ligne sur remacle.org]. Il s'agit du pharaon [[Amasis]] que Plutarque a cité auparavant.</ref>.}}

La version de Plutarque fait intervenir des rapports de proportionnalité<ref name="Caveing62"/>, et donc peut renvoyer au théorème de Thalès. Ce n'est pas vraiment le cas de la version plus élémentaire rapportée par Pline et Diogène Laërce, qui correspond très probablement à la version originale de Hieronymus<ref name="Caveing62"/>. De toute façon, comme le remarque [[Maurice Caveing]], {{citation|il est peu vraisemblable que le souverain d'un pays qui, plus de {{nombre|1000|ans}} avant Thalès, connaissait le calcul du [[seqed]], ait ignoré comment mesurer la hauteur des pyramides}}<ref name="Caveing61"/>.

==== L'''Optique'' ====
Le procédé pour mesurer une hauteur inaccessible par la mesure de son ombre et la proportionnalité avec l'ombre d'un objet de hauteur connue, que Plutarque attribue à Thalès, est présenté dans l'''Optique'', un autre ouvrage d'Euclide<ref>{{harvsp|Tannery|1887|p=92}}, note 2.</ref>{{,}}, à la proposition 18<ref>{{article|lang=en |titre=The optics of Euclid |auteur=Euclide |traducteur=Harry Edwin Burton |date= mai 1945 |journal=Journal of the optical society of America |volume=35 |numéro=5 |passage=360}}. Tannery renvoie à la proposition 19. L'''Optique'' d'Euclide est connue sous au moins deux formes, l'une qui serait celle originale d'Euclide, du moins selon Burton ({{harvsp|Euclide|1945|p=357}} note 1) et d'autres auteurs, l'autre une révision due à [[Théon d'Alexandrie|Théon]].</ref>. Plusieurs propositions donnent des moyens de mesurer des hauteurs (18, 19), profondeur (20) et distance (21)  utilisant des triangles semblables<ref>{{harvsp|Euclide|1945|p=360-361}}</ref>. Dans le cas des propositions 18, 20 et 21, il s'agit du cas particulier du « théorème de Thalès ».

== Démonstrations ==
=== Preuve par les aires ===
[[Image:Thales theorem 4.svg|thumb|right|Disposition des points.]]
Les données de ce théorème sont :
* un triangle, par définition délimité par trois lignes droites (segments) ''AB'', ''BC'', et ''CA'' ;
* une ligne droite ''DE'' parallèle à la ligne droite ''BC'' intersectant ''AB'' en ''D'' et ''AC'' en ''E''.
La conclusion donnée est :
{{Citation bloc|''AD'' fera à ''DB'' ce que ''AE'' est à ''EC''.}}
Autrement dit, en écriture mathématique actuelle :
<center><math>\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{CE}{EA}</math>.</center>

Cette démonstration se fonde sur le fait que l'[[aire d'un triangle]] est égale à la moitié de la longueur de sa hauteur, par rapport à une base (ou côté) quelconque, multipliée par la longueur de la base en question. Les hauteurs des triangles ''DEB'' et ''DEC'' par rapport à leur base commune ''DE'' ont la même longueur, du fait que ''BC'' est parallèle à ''DE''. Ces deux triangles ont par conséquent la même aire. Ils ont donc le même ''ratio'' (d'aires) avec n'importe quelle aire non nulle, et en particulier celle du triangle ''DEA''. Comme les hauteurs des triangles ''DEB'' et ''DEA'' par rapport, respectivement, aux bases ''BD'' et ''DA'', sont confondues (''h'' dans la figure ci-contre), le ratio de ''DEB'' par ''DEA'' est le même que le ratio de ''BD'' par ''DA''. De même, le ''ratio'' de ''DEC'' par ''DEA'' est identique au ratio de ''CE'' par ''EA''. Donc le ratio de ''BD'' par ''DA'' est le même que le ratio de ''CE'' par ''EA''.

On peut traduire ce raisonnement par les égalités suivantes :
<center><math>\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{\text{Aire}(DEB)}{\text{Aire}(DEA)}=\dfrac{\text{Aire}(DEC)}{\text{Aire}(DEA)}=\dfrac{CE}{EA}</math>.</center>
Les égalités s'appuient sur les constatations suivantes :
* les triangles ''DEB'' et ''DEA'' ont une hauteur commune ''h'' issue de E. Donc, leur aire est respectivement  ½''BD''×''h'' et ½''DA''×''h'' ;
* les triangles ''DEB'' et ''DEC'' ont une base commune ''DE'', et les sommets opposés ''B'' et ''C'' sont par hypothèses sur une droite parallèle à (''DE'') ;
* enfin, les triangles ''DEC'' et ''DEA'' ont une hauteur commune ''h{{'}}'' issue de ''D''. Donc, leur aire est respectivement  ½''CE''×''h{{'}}'' et ½''EA''×''h{{'}}''.
{{clr}}

=== Preuve purement vectorielle ===

Il faut se poser la question de la validité d'une démonstration vectorielle du théorème de Thalès. En effet, la [[Calcul vectoriel en géométrie euclidienne|géométrie vectorielle]] s'appuie souvent sur une définition géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue un rôle prépondérant quand il s'agit d'affirmer que <math>k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}</math>.

Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles, ce qui permet de le généraliser à tout [[espace affine]] (associé à un [[espace vectoriel]]).

Dire que ''D ''est sur (''AB'') c'est écrire qu'il existe un réel {{mvar|x}} tel que <math>\overrightarrow{AD}=x~\overrightarrow{AB}</math>.

De même, dire que ''E ''est sur (''AC''), c'est écrire qu'il existe un réel {{mvar|y}} tel que <math>\overrightarrow{AE}=y~\overrightarrow{AC}</math>.

Enfin, dire que les droites (''ED'') et (''BC'') sont parallèles, c'est écrire qu'il existe un réel {{mvar|t}} tel que  <math>\overrightarrow{DE}=t~\overrightarrow{BC}</math>.

Les égalités précédentes et la [[relation de Chasles]] permettent d'écrire que :
{{Retrait|<math>\begin{align}
x~\overrightarrow{AB}+t~\overrightarrow{BC}
&=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}\\
&=\overrightarrow{AE}\\
&=y~\overrightarrow{AC}\\
&=y~\overrightarrow{AB}+y~\overrightarrow{BC}.
\end{align}</math>}}

L'écriture suivant les vecteurs <math>\overrightarrow{AB}</math> et <math>\overrightarrow{BC}</math> se doit d'être unique car ces vecteurs ne sont pas [[base (algèbre linéaire)|colinéaires]]. Donc ''{{math|1=x = y}}'' et ''{{math|1=t = y}}''.

On obtient donc les trois égalités : 
<center><math>\overrightarrow{AD}=y~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AE}=y~\overrightarrow{AC}\text{ et }\overrightarrow{DE}=y~\overrightarrow{BC}</math>.</center>

L'autre avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela traite en même temps la seconde configuration illustrée [[#Énoncés et enseignement|plus haut]].

== Généralisations du théorème de Thalès ==
=== Cas de trois droites parallèles ===
[[Image:Thales theorem 3.svg|right|thumb|Disposition des points et des droites.]]
Il s'agit d'une généralisation du théorème précédent dont la première égalité apparait comme le cas particulier où ''A = A{{'}}''. Par contre, dans le théorème généralisé, aucune égalité n'est possible entre les rapports des longueurs des segments portés par les droites parallèles (''AA{{'}}''), (''BB{{'}}'') et (''CC{{'}}'') et les rapports des longueurs des segments portés par les droites (''AC'') et (''A'C{{'}}''). Le théorème est également généralisé en  utilisant des [[mesure algébrique|mesures algébriques]], ce qui permet de le faire apparaitre comme un théorème de [[géométrie affine]], le rapport de 2 mesures algébriques sur une même droite étant une notion purement affine.

{{théorème|nom=Théorème de Thalès<ref name=Germoni/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=Michèle|nom1=Audin|lien auteur1=Michèle Audin|titre=Géométrie|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2006|numéro d'édition=3|pages totales=428|passage=26|isbn=978-2-7598-0180-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=n1EdG4fcor0C&pg=PA196}}.</ref>|énoncé=Soient (d) et (d') deux droites d'un même [[plan affine]].
:'''Énoncé direct''' : s'il existe trois droites parallèles intersectant (d) et (d') respectivement en ''A'' et ''A{{'}}'', en ''B'' et ''B' ''et en ''C'' et ''C{{'}}'', alors :
<center><math>{\overline{AB}\over\overline{AC}}={\overline{A'B'}\over\overline{A'C'}}</math>.</center>
:Dans un plan, des droites parallèles déterminent sur deux droites quelconques qu'elles rencontrent des segments correspondants proportionnels 
:ou
:si une projection d'une droite sur une autre est une projection parallèle et qu'elle projette repère sur repère, alors les abscisses des points sont conservées.
::Cette conclusion équivaut à l'une des deux égalités suivantes :
<center><math>\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{B'C'}},\quad\text{ou}\quad\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{A'C'}},</math></center>
::ou encore à :
<center><math>\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}</math>.</center>
::'''« Réciproque »''' : si, pour trois points ''A, B, C'' de (d) et trois points ''A', B', C' '' de (d'), la première égalité ci-dessus est vérifiée (avec ''A ≠ C'' et ''A{{'}} ≠ C{{'}}''), ''et s'il existe deux droites parallèles contenant A et A{{'}} pour la première et C et C{{'}} pour la seconde'', alors il existe une troisième droite parallèle aux deux précédentes et contenant ''B'' et ''B{{'}}''.
}}
Si l'on néglige les mesures algébriques, le [[#Énoncés et enseignement|premier énoncé donné]] du théorème de Thalès est la spécialisation du présent second énoncé au cas où deux points sont confondus (par exemple <math>A</math> et <math>A'</math>). En considérant la parallèle à (d{{'}}) passant par ''A'', le second énoncé se déduit du premier.

On peut démontrer ce théorème à partir de l'axiomatique du [[plan affine arguésien|plan arguésien]] dégagée au {{s-|XX}}<ref>On pourra en lire une preuve {{p.|16}} de {{de}} W. Börner, ''[http://www.minet.uni-jena.de/www/fakultaet/hertel/skripten/boerner/geol0102/gfl.pdf Geometrie für Lehrer]'' sur le site de l'[[université d'Iéna]].</ref>.

La « réciproque » se déduit de l'énoncé direct en considérant la droite passant par ''B'' et parallèle aux deux premières parallèles. Elle coupe (d{{'}}) en un certain point ''B{{'}}{{'}}'' qui, d'après l'énoncé direct, vérifie
<center><math>{\overline{AB}\over\overline{AC}}={\overline{A'B''}\over\overline{A'C'}}</math>.</center>
Comme la même égalité est vérifiée par hypothèse pour ''B{{'}}'', les deux points ''B{{'}} '' et ''B{{'}}{{'}}'' coïncident, donc la troisième parallèle contient bien ''B'' et ''B{{'}}''.

{{énoncé|titre=Relation entre les longueurs des segments par les droites parallèles (''AA{{'}}''), (''BB{{'}}'') et (''CC{{'}}'') et les longueurs des segments portés par les droites (''AC'')  :|1=La relation n'est pas une relation de rapport mais fait intervenir les 5 longueurs :<math>({\overline{AB} + \overline{BC}})\cdot\overline{BB'}={\overline{AB}\cdot\overline{CC'}}+{\overline{BC}\cdot\overline{AA'}}.</math>}}

=== En dimension supérieure ===
Souvent énoncé comme un théorème de géométrie plane, le théorème de Thalès se généralise sans difficulté en [[dimension]] supérieure, notamment en dimension 3. L'utilisation de droites parallèles est remplacée par des hyperplans parallèles ; les droites (d) et (d') n'ont pas à être supposées coplanaires.
{{théorème|nom=Théorème de Thalès|énoncé=Soient (d) et (d') deux droites d'un même [[espace affine]].
:'''Énoncé direct'''<ref>Cf. par exemple {{Ouvrage | prénom1 = Marcel | nom1 = Berger | titre = Géométrie | éditeur = | année = 1979 | volume = 1 | passage = 73 | référence = Référence:Géométrie (Berger) }}, énoncé 2.5.1.</ref> : s'il existe trois [[hyperplan]]s [[parallélisme (géométrie)|parallèles]] intersectant (d) et (d') respectivement en ''A'' et ''A{{'}}'', en ''B'' et ''B{{'}}''et en ''C'' et ''C{{'}}'', alors :
<center><math>{\overline{AB}\over\overline{AC}}={\overline{A'B'}\over\overline{A'C'}}</math>.</center>Dans un espace à trois dimensions, des plans parallèles déterminent sur des droites quelconques les traversant des segments correspondants proportionnels.
:'''« Réciproque<ref name=Germoni>Voir par exemple : Jérôme Germoni, « [http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/thales.pdf Théorème de Thalès, etc.] » (préparation au [[Certificat d'aptitude au professorat de l'enseignement du second degré|CAPES]] de l'[[université Lyon 1]]).</ref> »''' : si (d) et (d') sont non coplanaires et si trois points ''A'', ''B'', ''C'' de (d) et trois points ''A{{'}}'', ''B{{'}}'', ''C' ''de (d') (avec ''A ≠ C'' et ''A' ≠ C{{'}}'') vérifient l'égalité ci-dessus, alors il existe trois ''[[Plan (mathématiques)|plan]]s'' parallèles  intersectant (d) et (d') respectivement en ''A'' et ''A{{'}}'', en ''B'' et ''B' ''et en ''C'' et ''C{{'}}''.
}}
L'énoncé direct dans le cas général où (d) et (d') ne sont pas nécessairement coplanaires peut se déduire du [[#Cas de trois droites parallèles|théorème de Thalès dans le plan]] en faisant intervenir une troisième droite, coplanaire à chacune des deux.

La « réciproque » se déduit de l'énoncé direct en se plaçant dans le sous-espace de dimension 3 engendré par (d) et (d') et en prenant deux plans parallèles dont l'un contient ''A'' et ''A' '' et l'autre ''C'' et ''C{{'}}'', puis en raisonnant comme en dimension 2 ci-dessus, mais en remplaçant « droites parallèles » par « plans parallèles ».

==== Preuve de l'énoncé direct utilisant une projection affine ====
On peut démontrer directement cet énoncé en dimension quelconque<ref>Pour une démonstration dans le même esprit, cf. Claude Tisseron, ''Géométries affine, projective et euclidienne'', Hermann, {{p.|56-57}}. Une version algébrique plus abstraite est proposée dans {{harvsp|Berger|1979}}, proposition 2.5.1.</ref> à l'aide des notions modernes d'[[espace affine|espaces affine]] et [[espace vectoriel|vectoriel]] et d'[[application affine]]. Soient {{math|''p''}} la projection affine sur (d') parallèlement aux trois hyperplans, qui envoie {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} respectivement sur {{math|''A{{'}}''}}, {{math|''B{{'}}''}}, {{math|''C{{'}}''}}, et <math>\vec p</math> la [[Projecteur (mathématiques)|projection vectorielle]] associée. Si l'on note {{math|1=''x'' = {{surligner|''AB''}}/{{surligner|''AC''}}}} et {{math|1=''y'' = {{surligner|''A{{'}}B{{'}}''}}/{{surligner|''A{{'}}C{{'}}''}}}}, alors
:<math>\vec p(\overrightarrow{AB})=\begin{cases}\vec p(x~\overrightarrow{AC})=x~\vec p(\overrightarrow{AC})=x~\overrightarrow{p(A)p(C)}=x~\overrightarrow{A'C'}\\\overrightarrow{p(A)p(B)}=\overrightarrow{A'B'}=y~\overrightarrow{A'C'}\end{cases}\quad\text{donc}\quad x=y</math>.

==== Conservation des birapports par les projections ====

Le [[birapport]] est un invariant projectif associé à quatre points. Le [[Birapport#Rapport_anharmonique_de_quatre_droites_concourantes|théorème de conservation des birapports par projection]] est lié de près au théorème de Thalès, l'un pouvant se déduire de l'autre<ref>Ainsi {{harvsp|Berger|1979|p=163}}, énoncé 6.5.5 explique comment déduire Thalès de cette propriété projective et constitue d'ailleurs la source de ce paragraphe. On trouvera dans l'autre sens des éléments de démonstration du théorème projectif à partir de Thalès à l'article [[Birapport de droites]].</ref>.

De même que les trois droites parallèles du théorème de Thalès peuvent être remplacées par des hyperplans parallèles dans un espace affine de dimension supérieure à 2, les quatre [[droites concourantes]] de ce théorème de conservation des birapports peuvent être remplacées par des hyperplans appartenant à un même [[faisceau de droites|faisceau]] en dimension supérieure.

L'intérêt de ce point de vue est de souligner l'analogie du « rapport »  <math>{\overline{AB}}\over{\overline{AC}}</math> intervenant dans le théorème de Thalès avec le birapport utilisé en géométrie projective : le premier est laissé invariant par une transformation affine d'une droite affine vers une autre exactement comme le second est laissé invariant par une transformation projective d'une droite projective vers une autre.

== Applications ==
=== Algèbre géométrique ===
{{section à sourcer|02/2023|date=février 2023}}
Le théorème de Thalès offre des égalités entre diverses [[fraction (mathématiques)|fractions]]. Si les segments et les triangles appartiennent à la branche mathématique appelée [[géométrie]], les fractions font partie de l'[[algèbre]]. Le fait que le théorème offre des égalités sur les fractions en fait une méthode de démonstration qui s'applique à l'algèbre. Il est possible d'établir toutes les lois régissant le comportement des fractions et, par là, les mécanismes qui permettent de résoudre toutes les [[équation du premier degré|équations du premier degré]]. Cette démarche est décrite dans l'article [[Algèbre géométrique]].

=== Résultats de géométrie projective et rapport avec les homothéties ===

En [[géométrie]], le théorème de Thalès ou sa réciproque peuvent être utilisés pour établir des conditions d'alignement ou de parallélisme. Sans faire appel aux notions de droite projective, ils permettent d'obtenir des versions satisfaisantes des résultats relevant en réalité de la [[géométrie projective]]. Le théorème de Thalès peut être utilisé comme substitut des [[homothétie]]s dans les démonstrations.
* [[Théorème de Ménélaüs]] : Étant donnés un triangle ''ABC ''et trois points ''A{{'}}'', ''B' ''et ''C' ''appartenant respectivement aux droites (''BC''), (''AC'') et (''AB'') ; les points ''A{{'}}'', ''B' ''et ''C' ''sont alignés [[équivalence logique|si et seulement si]] :<center><math>\dfrac{\overline{A'C}}{\overline{A'B}}\cdot\dfrac{\overline{B'A}}{\overline{B'C}}\cdot\dfrac{\overline{C'B}}{\overline{C'A}}=1</math>.</center>
* [[Théorème de Ceva]] : Étant donnés un triangle ''ABC ''et trois points ''A{{'}}'', ''B' ''et ''C' ''appartenant respectivement aux droites (''BC''), (''AC'') et (''AB'') ; les droites (''AA{{'}}''), (''BB{{'}}'') et (''CC{{'}}'') sont concourantes ou parallèles si et seulement si :<center><math>\dfrac{\overline{A'C}}{\overline{A'B}}\cdot\dfrac{\overline{B'A}}{\overline{B'C}}\cdot\dfrac{\overline{C'B}}{\overline{C'A}}=-1</math>.</center>
* [[Théorème de Pappus]] : Soient deux droites ''d'' et ''d{{'}}'' ; trois points ''A'', ''B'' et ''C'' de ''d'' ; trois points ''A{{'}}'', ''B{{'}}'', et ''C{{'}}'' de ''d{{'}}''. On note ''P'', ''Q'' et ''R'' les intersections respectives de (''AB{{'}}'') et (''A{{'}}B''), de (''B{{'}}C'') et (''BC{{'}}''), et de (''AC{{'}}'') et (''A{{'}}C''). Alors les points ''P'', ''Q'' et ''R'' sont alignés.
* [[Théorème de Desargues]] : Soient deux triangles ''ABC'' et ''A{{'}}B{{'}}C{{'}}'' tels que les droites (''AB'') et (''A{{'}}B{{'}}'') sont parallèles, de même pour (''BC'') et (''B{{'}}C{{'}}'') et pour (''AC'') et (''A{{'}}C{{'}}''). Alors les droites (''AA{{'}}''), (''BB{{'}}'') et (''CC{{'}}'') sont parallèles ou concourantes.

=== Nombres constructibles ===
[[Image:Produit constructible.png|thumb|upright=1.5|Construction géométrique du produit.]]
{{Article détaillé|Nombre constructible}}
Une question soulevée durant l'Antiquité, et notamment sous la forme du problème de la [[quadrature du cercle]], est la possibilité de construire une figure à l'aide de la règle (non graduée) et du compas :
* la règle est un instrument idéalisé permettant de considérer une droite passant par deux points déjà tracés ;
* le compas est un instrument idéalisé permettant de considérer un cercle ayant pour centre un point déjà construit et pour rayon le report d'une distance réalisée entre deux points déjà construits.

Un point du plan euclidien est dit [[Construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]] s'il peut être obtenu par un nombre fini d'étapes à partir des points de coordonnées (0,0) et (0,1). {{référence nécessaire|À la suite des travaux de Georg Cantor, il peut être affirmé que tous les points constructibles à la règle et au compas sont en nombre [[Ensemble dénombrable|dénombrable]].}}

Un [[nombre constructible]] est un nombre réel qui peut être obtenu comme coordonnée d'un point constructible. L'ensemble des nombres constructibles est stable par somme, produit et inverse, et forme donc un [[sous-corps]] des nombres réels. Le théorème de Thalès montre que le produit de deux nombres constructibles est un nombre constructible. En effet, pour deux réels non nuls constructibles ''{{math|x}} ''et ''{{math|y}}'', un calcul donne la justification de la construction ci-contre :
<center>
<math>\dfrac{xy}{x}=\dfrac{y}{1}</math>
</center>

=== Prévision des collisions en navigation ===

[[Fichier:Thales collision navires droit.svg|vignette|upright=2|Si la ligne de vue entre deux navires (N<sub>1</sub>N<sub>2</sub>) est d'orientation constante, la situation mène à une collision.]]

Considérons deux navires voguant à vitesse constante et en ligne droite, par exemple un voilier naviguant à {{unité|5|[[nœud (unité)|nœud]]s}} et un [[porte-conteneurs]] naviguant à {{unité|20|nœuds}}. Le voilier surveille le porte-conteneurs : s'il l'observe toujours dans la même direction, et qu'il le voit se rapprocher, alors la collision est certaine.

En effet, comme le voilier voit le porte-conteneur se rapprocher, les deux trajectoires sont des droites sécantes. Soit C leur point d'intersection. Le voilier a une vitesse ''v''<sub>1</sub> et se situe au temps ''t'' dans la position N<sub>1</sub>(''t''), le porte-conteneur a une vitesse ''v''<sub>2</sub> et se situe au temps ''t'' dans la position N<sub>2</sub>(''t''). Le voilier observe toujours le porte-conteneur dans la même direction signifie que les droites (N<sub>1</sub>(''t'')N<sub>2</sub>(''t'')) sont toutes parallèles entre elles. La distance parcourue entre deux temps ''t'' et ''t''', ''t'' < ''t{{'}}'' est N(''t{{'}}'')N(''t'') = ''v''× (t'−t), et donc
N<sub>2</sub>(''t'')N<sub>2</sub>(''t''{{'}})/N<sub>1</sub>(''t'')N<sub>1</sub>(''t''') = ''v''<sub>2</sub>/''v''<sub>1</sub> = ''k'' (''k'' = 4 pour l'exemple choisi). D'après le théorème de Thalès, N<sub>2</sub>(''t'')C/N<sub>1</sub>(''t'')C = ''k''. Les deux navires atteignent donc en même temps le point C, d'où la collision.

Ainsi, si un navigateur voit un navire toujours dans la même direction, il sait qu'il doit entreprendre une manœuvre d'évitement. Si en revanche il voit l'autre navire se décaler vers la gauche ou vers la droite par rapport à sa ligne de visée, il sait qu'il est en sécurité.

On peut également voir le problème sous l'angle de la [[cinématique]] : si le navire N<sub>2</sub> est toujours observé de N<sub>1</sub> dans la même direction, cela signifie que sa [[relativité galiléenne|vitesse relative]] est un [[vecteur vitesse|vecteur]] dont le support est la droite (N<sub>1</sub>N<sub>2</sub>). Dans le [[référentiel (physique)|référentiel]] lié à N<sub>1</sub>, le navire N<sub>2</sub> a un [[mouvement rectiligne uniforme]] passant par N<sub>1</sub>, d'où la collision.

Ces notions sont appliquées dans les [[Aide de pointage de radar automatique#Fonctionnement|radars arpa]]{{refsou}}.

{{clr}}

=== La croix du bûcheron ===
À l'aide de deux petits bâtons de même longueur il est possible d'estimer la hauteur d'un arbre en appliquant le théorème de Thalès<ref>{{Lien web |titre=La croix du bûcheron |url=https://www.arbres.org/croix-du-bucheron.htm}}</ref>. Le bâton horizontal est positionné entre les deux yeux en visant la base de l'arbre à hauteur d'homme et le bâton vertical est placé au bout de ce bâton. Le grand triangle est celui formé par nos yeux, la cime de l'arbre et la base du tronc. Le petit triangle est celui formé par nos yeux et les deux extrémités du bâton vertical. Si on se place à une distance telle que le bâton vertical recouvre toute la hauteur de l'arbre dans notre champ de vision alors les deux côtés non verticaux du petit triangle se trouvent alignés avec ceux du grand triangle. Par conséquent on reproduit la figure d'un triangle contenant une parallèle à un côté, cette parallèle étant matérialisée par le bâton vertical. Comme les deux bâtons sont de longueurs égales, la distance qui nous sépare de l'arbre est approximativement égale à un demi mètre près peut-être à celle de la hauteur de l'arbre. Il suffit alors de compter le nombre de pas jusqu'à la base de l'arbre ou de mesurer la distance avec un mètre ruban. 

Une autre méthode consiste par temps ensoleillé et sur terrain plat à se placer dans l'ombre de l'arbre de telle manière que le bout de notre ombre se confonde avec celui de l'arbre. Alors il suffit de mesurer la longueur de notre ombre et de celle de l'arbre et d'appliquer la formule de Thalès : le rapport de notre hauteur par notre ombre est égal au rapport de la hauteur de l'arbre par son ombre<ref>{{Lien web |titre=L'ombre de l'arbre pour connaître sa taille |url=https://ad89.occe.coop/uploads/64_3F31A/Ressources/D%C3%A9fi%20coops/Astuces%20-%202%20m%C3%A9thodes%20pour%20mesurer.pdf}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{chapitre|auteur=Rudolph Bkouche |titre= Autour du théorème de Thalès : variations sur les liens entre le géométrique et le numérique |titre ouvrage=Autour de Thalès |collection=Bulletin Inter-IREM  |année=1995 |passage=68-86 |url=https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/WU/IWU95003/IWU95003.pdf}}
* {{Chapitre|titre chapitre=La percée des Ioniens|auteurs ouvrage=[[Maurice Caveing]] |titre ouvrage=La figure et le nombre: recherches sur les premières mathématiques des Grecs|collection=Histoire des sciences|éditeur=Presses Universitaires du Septentrion |année=1997|volume=2|pages totales=424|isbn=978-2-859-39494-3 |titre=La percée des Ioniens|auteur=Maurice Caveing|url=https://www.google.fr/books/edition/_/T6CSoU9bMF8C}}
* {{ouvrage |éditeur=PUF |titre=Les Éléments |auteur=Euclide |trad= Bernard Vitrac |volume=1 |titre volume= Livres I à IV. Introduction par Maurice Caveing, notes et commentaires par Bernard Vitrac |année=1990 |lieu=Paris |isbn=2-13-043240-9}}
** {{chapitre|auteur1=[[Maurice Caveing]]|titre=Introduction générale|titre ouvrage=Euclide, Les Éléments, Volume 1|éditeur=PUF|lieu=Paris|année=1990|pages totales=531|passage=13-148|isbn=2-13-043240-9}}
* {{Chapitre |titre=Livre VI : traduction et commentaires |auteur=Euclide |trad= Bernard Vitrac |titre ouvrage= Livres V à IX. Notes et commentaires par Bernard Vitrac |année=1994 |éditeur=PUF |lieu=Paris |passage=143-244 |isbn=2-13-045568-9}} 
* {{ouvrage|auteur=[[Euclide]]|titre=L'Optique et la Catoptrique |trad=[[Paul Ver Eecke]] |année=1959 |origyear=1938 |éditeur=Blanchard}} 
* {{lien web|auteur=Alain Herreman |année=2017 |titre=Aux sources du « théorème de Thalès ». Sur la condescendance et la recherche de l’origine |url=https://thamous.univ-rennes1.fr/forums/forums/42/exportIrem/etudeThales.html |éditeur=Irem de Rennes}}
* {{article|auteur=Alain Herreman |titre=Aux sources du « théorème du perroquet »| année= 2018 |éditeur=CNRS |revue=Images des Mathématiques|lire en ligne=http://images.math.cnrs.fr/Aux-sources-du-theoreme-du-perroquet.html}} (résumé de l'article précédent)
* {{article|langue=en|prénom2=Tasos|nom2=Patronis|prénom1=Dimitris|nom1=Patsopoulos|journal=The International Journal for the History of Mathematics Education |url=https://silo.tips/download/the-theorem-of-thales-a-study-of-the-naming-of-theorems-in-school-geometry-textb | titre = The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems in school Geometry textbooks|année=2006|volume=1|numéro=1 | lang=en| pages=57-68}}
* {{chapitre|auteur=Henry Plane |titre= Une invention française du {{s-|XX}} : le théorème de Thalès|titre ouvrage=Autour de Thalès|collection=Bulletin Inter-IREM  |année=1995 |passage=68-86 |url=https://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/03_letheoremedethalesuneinventionfrancaiseduxxsiecle.pdf}}

== Liens externes ==
* {{en}} [[Livre VI des Éléments d'Euclide]], proposition 2, sur le [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI2.html site de David E. Joyce].
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