Voir la source de Théorème de Wilson

En [[mathématiques]], plus précisément en [[arithmétique élémentaire]], le '''théorème de [[John Wilson (mathématicien)|Wilson]]''' énonce qu'un [[entier naturel|entier]] ''p'' plus grand que 1 est [[nombre premier|premier]] si et seulement si la [[factorielle]] de ''p'' – 1 est [[Congruence sur les entiers|congrue]] à –1 modulo ''p''. Cette caractérisation des nombres premiers est assez anecdotique et ne constitue pas un [[test de primalité]] efficace. Son principal intérêt réside dans son histoire et dans la relative simplicité de son énoncé et de ses démonstrations.

== Énoncé et exemples ==
=== Énoncé ===
{{théorème|Théorème de Wilson|Un [[entier naturel|entier]] ''p'' strictement plus grand que 1 est un [[nombre premier]] si et seulement s'il divise (''p'' – 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si<ref>Cette formule est équivalente à (''p'' – 1) ! ≡ ''p'' – 1 (mod ''p''), puisque –1 ≡ ''p'' – 1 (mod ''p'').</ref> :
<center><math>(p-1)!+1 \equiv 0 \pmod p.</math></center>}}

Ici, le symbole « ! » désigne la fonction [[factorielle]] et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la [[congruence sur les entiers]].

=== Exemples ===
* Si ''p'' est égal à 2, alors (''p'' – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
* Si ''p'' est égal à 3, alors (''p'' – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
* Si ''p'' est égal à 4, alors (''p'' – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
* Si ''p'' est égal à 5, alors (''p'' – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
* Si ''p'' est égal à 6, alors (''p'' – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
* Si ''p'' est égal à 17, alors (''p'' – 1)! + 1 est égal à {{formatnum:20922789888001}}, un multiple de 17 car {{nobr|17 × {{formatnum:1230752346353}} {{=}} {{formatnum:20922789888001}}}}.

=== Une application simple ===
Si ''p'' est congru à 1 modulo 4, c'est-à-dire si ''p'' – 1 est divisible par 4, alors –1 est un carré dans le corps fini '''F'''<sub>''p''</sub> à ''p'' éléments<ref>Par exemple parce que le groupe des inversibles de '''F'''<sub>''p''</sub>, étant cyclique et donc isomorphe à '''Z'''/(''p'' – 1)'''Z''', admet un élément ''r'' d'ordre 4. Le carré de ''r'' est l'unique élément d'ordre 2, à savoir –1.</ref>. Le théorème de Wilson permet d'en donner une racine carrée explicite, à savoir
: <math>r=1\cdot2\cdots\frac{p-3}2\cdot\frac{p-1}2=q!</math>, où <math>q=\frac{p-1}2</math>. 
En effet, on commence par écrire dans '''F'''<sub>''p''</sub> :
: <math>-1 = (p-1)! = 1\cdot2\cdots(q-1)\cdot q\times (q+1)\cdot (q+2)\cdots (2q)</math>.
En remarquant que <math>q+1=-q</math>, <math>q+2=-(q-1)</math>, etc., il vient :
: <math>-1= 1\cdot2\cdots(q-1)\cdot q\times (-1)q\cdot (-1)(q-1)\cdots (-2)\cdot(-1)= (-1)^qq!^2</math>. 
(On peut aussi arguer que (''p'' – 1)! est le produit de tous les éléments non nuls de '''F'''<sub>''p''</sub>, ensemble que l'on peut aussi décrire comme <math>\{\pm1,\pm2,\dots,\pm q\}</math>.) Pour conclure, il suffit de remarquer que par hypothèse ''q'' est pair, de sorte que –1 = ''q''!<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup>.

== Histoire ==
Le premier texte actuellement connu à faire référence à ce résultat est dû au [[Mathématiques arabes|mathématicien arabe]] [[Alhazen]] <small>(965-1039)</small><ref>Alhazen, ''Opuscula''.</ref>{{,}}<ref>[[Roshdi Rashed]], ''Entre arithmétique et algèbre : Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes'', Paris, 1984.</ref>. Ce théorème est connu à partir du {{XVIIe siècle}} en Europe. [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] <small>(1646-1716)</small> fait référence à ce résultat sans le démontrer. [[John Wilson (mathématicien)|John Wilson]] redécouvre ce qu'il croit être une [[conjecture]] et en partage la découverte avec son professeur [[Edward Waring]], qui publie cette conjecture en 1770<ref>{{la}} Edward Waring, ''Edward Waring Meditationes'', Cambridge J. Archdeacon, 1770.</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. Weeks, ''Meditationes algebraicae'', traduction des travaux de Waring, Providence RI, 1991.</ref>.

[[Joseph-Louis Lagrange]] en présente deux premières démonstrations en 1771<ref name=Lagrange/>, puis [[Leonhard Euler]] une troisième en 1773<ref name=Euler>{{la}} Leonard Euler, « Miscellanea analytica », [http://docnum.unistra.fr/cdm/fullbrowser/collection/coll7/id/24172/rv/compoundobject/cpd/24210/rec/2 ''Opuscula Analytica'', tome I, 1783, p. 329-330], présenté à l'[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Académie de Saint-Pétersbourg]] le 15 novembre 1773, selon le [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ Darthmouth College (Enestrom number 560)].</ref>. Utilisant les notations de l'[[arithmétique modulaire]], [[Carl Friedrich Gauss]] <small>(1777-1855)</small> reformule la démonstration d'Euler et en donne une quatrième<ref name=Gauss>{{Ouvrage|prénom=Carl Friedrich|nom=Gauss|titre=Recherches arithmétiques|langue originale=latin|titre original=[[Disquisitiones arithmeticae]]|année première édition=1801|année=1807|traducteur=[[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle]]|éditeur=Courcier|url=https://archive.org/stream/recherchesarithm00gaus#page/54/mode/2up|page=55-57}} (§ 75-78).</ref>.

== Démonstrations ==

Tout d'abord, si ''p'' est un [[nombre composé]], il possède un diviseur ''d'' tel que 1 < ''d'' < ''p'' ; alors, (''p'' – 1)! est divisible par ''d'' donc (''p'' – 1)! + 1 ne l'est pas et a fortiori, (''p'' – 1)! + 1 ≢ 0 (mod ''p''). En fait, on peut montrer<ref>Gauss l'avait probablement remarqué — {{cf.}} {{Ouvrage|lang=en|titre=God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History|auteur=[[Stephen Hawking]]|éditeur=Running Press|année=2007|url=https://books.google.fr/books?id=eU_RzM7OoI4C&pg=PA594|page=594}} — mais ce complément ne semble pas avoir mérité une allusion dans ses ''Disquisitiones''.</ref> que si ''p'' (composé) est différent de 4 alors (''p'' – 1)! est même divisible par ''p''. En effet<!--Synthèse de http://math.stackexchange.com/questions/164852/if-n-is-composite-then-n-divides-n-1--><ref>Pour une variante, voir {{Ouvrage|lang=en|titre=A Readable Introduction to Real Mathematics|auteur=Daniel Rosenthal|auteur2=David Rosenthal|auteur3=Peter Rosenthal|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2014|url=https://books.google.fr/books?id=vrD0AwAAQBAJ&pg=PA38|page=38}}, Th. 5.2.2.</ref>, ''p'' s'écrit alors ''ab'' avec 2 ≤ ''a'' ≤ ''b'' (avec au moins une de ces inégalités stricte puisque ''p'' ≠ 4) et {{nobr|1=''p'' = ''ab'' ≥ 2''b'' ≥ ''a'' + ''b''}} (avec une de ces inégalités stricte) donc ''p'' > ''a'' + ''b'', si bien que (''p'' – 1)! est divisible par (''a'' + ''b'')!, lui-même divisible par ''a''!''b''!<ref>En effet <math>\frac{(a+b)!}{a!b!}</math> est un [[coefficient binomial]] donc un nombre entier. On peut voir d'autres preuves dans [[Factorielle#Théorie des nombres]].</ref> donc par ''ab''.

Passons à la réciproque. On suppose ''p'' premier. L'[[anneau Z/nZ|anneau ℤ/''p''ℤ]] est alors un [[corps commutatif]], c'est-à-dire que modulo ''p'', les classes de congruence de 1, 2, … , ''p'' – 1 sont [[élément inversible|inversibles]] (il s'agit juste de l'[[Théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]]). On note ce [[corps fini|corps '''F'''{{ind|''p''}}]]. Les démonstrations ci-dessous reprennent le principe des quatre démonstrations historiques, mais sont présentées avec la notation « moderne » (introduite par Gauss) des congruences.

=== Démonstrations de Lagrange ===
* Lagrange<ref name=Lagrange>Joseph-Louis Lagrange, « [https://yuvalfilmus.cs.technion.ac.il/Manuscripts/Lagrange%20Theorem%20on%20Prime%20Numbers.pdf Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers] », ''Nouveaux Mémoires de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres]]'', Berlin, 1771 ([https://books.google.fr/books?id=LnjnAsvqZIcC&pg=PA125 édité en 1773]), {{p.|125-137}}.</ref> utilise d'abord le [[polynôme]]<center><math>P(x)=(x+1)(x+2)\cdots(x+p-1).</math></center>Il le développe et détermine ses coefficients de proche en proche en utilisant la propriété<center><math>(x+1)P(x+1)=(x+p)P(x).</math></center>Il démontre alors, de proche en proche, que, lorsque ''p'' est premier, tous les coefficients — à l'exception du premier qui vaut 1 et du dernier qui vaut (''p'' – 1)! — sont multiples de ''p''.<br />Puis, utilisant toujours la même égalité, il observe que le dernier coefficient multiplié par ''p'' – 1 est égal à la somme de tous les autres et en déduit que (''p'' – 1)! + 1 est multiple de ''p''.
* Après avoir remarqué que le [[petit théorème de Fermat]] se déduit aussi de ces calculs, il montre qu'inversement, ce théorème fournit {{Citation|une autre démonstration de celui de M. Wilson beaucoup plus simple}}, en exprimant de deux façons la (''p'' – 1)-ième [[différence finie]] de la suite 1{{exp|''p''–1}}, 2{{exp|''p''–1}}, … , ''p''{{exp|''p''–1}}<ref>Lagrange s'inspire explicitement de la [[Théorème des deux carrés de Fermat#Fermat et son petit théorème|preuve par Euler]] ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E241.html E241]) du lemme qui lui permit d'achever sa démonstration du théorème des deux carrés.</ref>, puis en appliquant le théorème de Fermat et la [[formule du binôme]] :<center><math>(p-1)!=\sum_{i=0}^{p-1}(-1)^i\binom{p-1}i(p-i)^{p-1}\underset{\pmod p}{\equiv}\sum_{i=1}^{p-1}(-1)^i\binom{p-1}i=(1-1)^{p-1}-1=-1.</math></center>

;Remarque
:Lagrange<ref name=Lagrange/> remarque de plus que pour tout entier ''n'' impair, <math>(n-1)!\equiv(-1)^{\frac{n-1}2}\left(1.2.3\dots\frac{n-1}2\right)^2\pmod n</math>, ce qui, joint au théorème de Wilson, prouve que pour tout nombre premier impair ''p'',<center><math>\text{si }\frac{p-1}2\text{ est pair alors}-1\equiv\left(1.2.3\dots\frac{p-1}2\right)^2\pmod p.</math></center>Ainsi, –1 est un [[Résidu quadratique|carré modulo ''p'']] si (et seulement si) ''p'' ≡ 1 mod 4. C'est la première loi complémentaire de la [[loi de réciprocité quadratique]]. Elle joue un rôle central dans le [[théorème des deux carrés]].

=== Démonstration d'Euler ===
Euler<ref name=Euler/> utilise le fait que le groupe multiplicatif '''F'''{{ind|''p''}}{{exp|*}} est [[groupe cyclique|cyclique]], c'est-à-dire engendré par une classe ''a'' particulière, ce qui revient à dire que les ''p''&nbsp;–&nbsp;1 premières puissances de ''a'' (quand l'exposant varie de 0 à {{nobr|''p'' – 2)}} forment les éléments de ce groupe. En faisant leur produit on a donc :
<center><math>\overline{(p-1)!}=a^0a^1\ldots a^{p-2}=a^n,~</math></center>
où l'exposant ''n'' se calcule comme somme d'une [[suite arithmétique]] :
<center><math>n=\sum_{k=0}^{p-2}k={(p-1)(p-2)\over 2}.~</math></center>
Le nombre premier ''p'' peut être supposé impair (car pour ''p'' = 2 le théorème se vérifie directement). Ainsi, ''p'' – 1 ne divise pas ''n'', tandis qu'il divise 2''n''. Autrement dit, ''a{{exp|n}}'' est d'[[ordre (théorie des groupes)|ordre]] 2. Or dans le corps '''F'''{{ind|''p''}}, les racines du polynôme ''X''{{2}}&nbsp;–&nbsp;{{surligner|1}} = (''X''&nbsp;–&nbsp;{{surligner|1}})(''X''&nbsp;+&nbsp;{{surligner|1}}) sont {{surligner|1}} et –{{surligner|1}}, donc ''a{{exp|n}}'' = –{{surligner|1}}.

Gauss<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|loc=§ 75}}. Voir aussi § 76, où Euler est mentionné.</ref> rédige cette démonstration dans un contexte plus général, montrant ainsi que modulo un nombre ''p'' non nécessairement premier, le produit des puissances d'un [[Inverse modulaire|inversible]] ''a'' vaut 1 ou –1, selon la parité de l'[[ordre multiplicatif]] de ''a''.

=== Démonstration de Gauss ===
Le principe<ref name=Gauss/>, emprunté à Euler<ref>{{Weil1}}, {{p.|201}} : {{Citation|[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6953p/ ''Eu.'' I-3.] 507, 525}}, ''[http://static.springer.com/sgw/documents/121674/application/pdf/EulerOperaOmniaIndex.pdf i. e.]'' {{Ouvrage|lang=la|auteur=L. Euler|titre=Opuscula analytica|vol=1}}, {{Article|titre=Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos|revue=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E552.html E552]|année=1783|p.=64-84}} (p. 77) et {{Article|titre=Disquisitio accuratior circa residua ex divisione quadratorum altiorumque potestatum, per numeros primos relicta|revue=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E554.html E554]|année=1783|p.=121-156}} (p. 156).</ref>, consiste à éliminer, dans le produit des ''p'' – 1 éléments de '''F'''{{ind|''p''}}*, chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : {{surligner|1}} et –{{surligner|1}}. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le produit vaut {{surligner|1}}, il reste donc uniquement ces deux classes particulières, d'où
<center><math>\overline{(p-1)!}=\overline{-1}\ \overline1=-\overline 1.</math></center>

=== Démonstration de Petr ===
Le mathématicien tchèque [[Karel Petr]] a donné en 1905 une démonstration géométrique du théorème<ref>{{Article|langue=cs|auteur=Karel Petr|titre=Geometrický důkaz poučky Wilsonovy| périodique=
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky |volume=34|numéro=2|année=1905|pages=164-166|url=https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/120941}}.</ref>. Il considère tous les [[polygone]]s dont les sommets sont les ''p'' sommets d'un [[polygone convexe]] régulier donné, ''p'' un nombre premier. Il y en a (''p'' – 1)! Parmi eux, ''p'' – 1 sont réguliers. Petr montre que les autres sont [[Isométrie|isométriques]] ''p'' à ''p'', donc que leur nombre est un multiple entier de ''p'', qu'il note ''Np''. Donc (''p'' – 1)! est égal à ''p'' – 1 + ''Np'', autrement dit (''p'' – 1)! est égal à –1 à un multiple de ''p'' près : c'est le théorème de Wilson.

== Généralisations ==

* Par récurrence sur <math>k</math> (avec <math>1\leqslant k\leqslant p</math>, le cas de base étant le théorème de Wilson), on déduit la formule plus générale  : <math>(p-k)!(k-1)! \equiv (-1)^k\pmod p,</math> d’où le résultat pour les [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] (avec <math>0\leqslant k\leqslant p-1</math>)<ref name=":0" /> : <math>\frac{(p-1)!}{k!(p-k-1)!}={p-1 \choose k}\equiv (-1)^k\pmod p</math>.

* Dans un [[groupe abélien fini]] noté multiplicativement, le produit des éléments est égal au neutre, sauf s'il existe exactement un élément d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 2, auquel cas le produit est égal à cet élément<ref name=":0">{{Lien web |auteur=Vincent Beck |titre=Variations autour du théorème de Wilson |url=https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2020/10/cplt-wilson.pdf |année=2020-2021 }}, corollaire 10.</ref>.

En particulier :
* le produit des éléments non nuls du [[corps fini]] '''F'''{{ind|''p{{exp|n}}''}} est toujours égal à –1 (qui vaut 1 si <math>p</math> = 2) ;
* pour tout entier <math>n\geqslant2</math> , le produit des entiers compris entre 1 et <math>n</math> et [[Nombres premiers entre eux|premiers avec]] <math>n</math> est congru à –1 modulo <math>n</math> si <math>n</math> = 4, ou si <math>n</math> est une puissance d'un nombre premier impair, ou le double d'une telle puissance, et ce produit est congru à 1 sinon<ref>Ce résultat est énoncé dans {{Harvsp|Gauss|1807|p=57}} (§ 78) avec quelques pistes de démonstration. {{Harvsp|Beck|2020-2021|p=|loc=corollaire 11}}, le prouve en utilisant la [[Anneau Z/nZ#Cas où n n'est pas premier|structure du groupe des unités de ℤ/''n''ℤ]].</ref>.
== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Nombre premier de Wilson]]
* {{Lien|trad=Wilson quotient|Quotient de Wilson}}
* [[Formules pour les nombres premiers#Utilisation du théorème de Wilson|Utilisation du théorème de Wilson dans une formule pour les nombres premiers]] (exacte mais [[Mathématiques récréatives|sans intérêt pratique]])
* [[Théorème de Wolstenholme]] : <math>{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}.</math>

=== Bibliographie ===
{{Samuel1}}
=== Lien externe ===
Gilles Auriol, ''[http://auriolg.free.fr/doc/sommes_carres.pdf Sur les sommes de carrés]''. On y trouve notamment deux démonstrations du théorème de Wilson : celle de Gauss ( « version élémentaire, accessible à un élève de [[terminale S]] » ) et une faisant intervenir un polynôme analogue à celui de Lagrange, mais de façon différente ( « version [[licence de mathématiques|licence]] » )

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Wilson}}
[[Catégorie:Théorème d'algèbre]]
[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]
[[Catégorie:Article contenant une démonstration]]