Voir la source de Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels

En [[mathématiques]], le '''théorème de la dimension pour les espaces vectoriels''' énonce que deux [[Base (algèbre linéaire)|bases]] quelconques d'un même [[espace vectoriel]] ont même [[cardinalité (mathématiques)|cardinalité]]<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Algèbre]]'', chap. II, p. A-II-96, Théorème 3.</ref>{{,}}<ref>{{en}} [[Serge Lang]], ''{{Langue|en|Algebra}}'', 1965 {{détail des éditions|Référence:Algèbre (Lang)}}, {{p.|86}}, {{Lang|en|Theorem}} 3.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Joseph J. Rotman}}|titre=Advanced Modern Algebra|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=[[Graduate Studies in Mathematics]]|numéro dans collection=114|année=2010|numéro d'édition=2|passage=324-325|isbn=978-0-8218-8420-1|lire en ligne={{Google Livres|PhvhAwAAQBAJ|page=324}}}}.</ref>. Joint au [[théorème de la base incomplète]] qui assure l'existence de bases, il permet de définir la [[dimension d'un espace vectoriel]] comme le [[nombre cardinal|cardinal]] (fini ou infini) commun à toutes ses bases.

== Énoncé ==
{{Théorème|Dans un espace vectoriel ''E'', le cardinal de toute [[Inclusion (mathématiques)|partie]] [[Indépendance linéaire|libre]] est inférieur ou égal au cardinal de toute partie [[Famille génératrice|génératrice de ''E'']].}}

(Donc par symétrie, deux bases quelconques ont même cardinal.)

== Démonstration ==

Soient ''L ''libre et ''G ''génératrice de ''E'', montrons que |''L''| ≤ |''G''|.

=== Cas ''G ''finie ===
Notons ''n ''= |''G''|. D'après le [[lemme de Steinitz]], pour toute partie finie de ''L ''de cardinal ''m'', on a ''m ''≤ ''n''. Par conséquent, ''L ''elle-même est (finie et) de cardinal inférieur ou égal à ''n''.

=== Cas ''G ''infinie ===
Pour tout ℓ ∈ ''L'', choisissons une partie finie ''f''(ℓ) de ''G ''telle que ℓ appartienne au [[Sous-espace vectoriel engendré|sous-espace engendré]] par ''f''(ℓ). Pour tout ''K ''appartenant à l'ensemble Fin(''G'') des parties finies de ''G'', on a (d'après le cas fini ci-dessus) |[[Image réciproque|''f''{{-1}}({''K''})]]| ≤ |''K''| < [[Aleph-zéro|ℵ{{ind|0}}]] donc (d'après les [[Nombre cardinal#Propriétés|propriétés générales des cardinaux]])
<center><math>|L|=\sum_{K\in{\rm Fin}(G)}|f^{-1}(\{K\})|\le\sum_{K\in{\rm Fin}(G)}\aleph_0=|{\rm Fin}(G)|\aleph_0=|{\rm Fin}(G)|=|G|.
</math></center>

{{N.B.}} : cette démonstration pour le cas infini utilise l'[[axiome du choix]], mais il existe des démonstrations n'utilisant que le [[Théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole|lemme des ultrafiltres]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=James D. Halpern|titre=Bases in vector spaces and the axiom of choice|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=17|année=1966|p.=670-673|url=http://www.ams.org/journals/proc/1966-017-03/S0002-9939-1966-0194340-1}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorème d'algèbre linéaire|dimension]]
[[Catégorie:Dimension|Theoreme]]