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Le '''théorème de modularité'''<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Álvaro|nom1=Lozano-Robledo|titre=Elliptic Curves, Modular Forms, and Their L-Functions|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2011|passage=140|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=iL6CL0IiNKsC&pg=PA140}}</ref> (auparavant appelé '''conjecture de Taniyama-Weil''' ou '''conjecture de Shimura-Taniyama-Weil''' ou '''conjecture de Shimura-Taniyama''') énonce que, pour toute [[courbe elliptique]] sur ℚ, il existe une [[forme modulaire]] de poids 2 pour un {{Lien|trad=Congruence subgroup|sous-groupe de congruence}} Γ{{ind|0}}(''N''), ayant même [[fonction L]] que la courbe elliptique.

Une grande partie de ce résultat, suffisante pour en déduire le [[dernier théorème de Fermat]], a été démontrée par [[Andrew Wiles]]. S'inspirant de ses techniques, [[Christophe Breuil]], [[Brian Conrad]], [[Fred Diamond]] et [[Richard Taylor (mathématicien)|Richard Taylor]] ont traité les cas restants en 1999.

Ce théorème est un cas très particulier de conjectures énoncées par [[Robert Langlands]] reliant [[Motif (géométrie algébrique)|motifs]] et [[Forme automorphe|représentations automorphes]].

== Énoncé ==

La (partie affine d'une) courbe elliptique ''E'' définie sur ℚ (le [[corps commutatif|corps]] des [[nombre rationnel|nombres rationnels]]) est donnée par une équation du type :<center><math>y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6,</math></center>

où les coefficients sont des entiers. On peut choisir une telle équation minimale (c'est-à-dire que le [[discriminant]] est minimal).

Si ''p'' est un [[nombre premier]], on peut réduire [[arithmétique modulaire|modulo]] ''p'' les coefficients de cette équation minimale définissant ''E'' ; pour toutes les valeurs de ''p'', sauf un nombre fini, l'équation réduite définit une [[courbe elliptique]] sur le [[corps fini]] '''F'''<sub>''p''</sub>. L'équation réduite a ''n{{ind|p}}'' solutions<ref group=note>La courbe elliptique réduite a donc ''n{{ind|p}}'' + 1 points, en comptant le point à l'infini.</ref>. On peut alors considérer la suite ''a{{ind|p}} = p – n{{ind|p}}'' qui est un invariant important de la courbe elliptique ''E''.

Par ailleurs, une [[forme modulaire]] donne aussi naissance à une suite de coefficients. Une courbe elliptique telle que la suite des ''a{{ind|p}}'' est en accord avec celle obtenue à partir d'une forme modulaire est appelée '''modulaire'''. Le théorème de modularité prédit que :<center>« Toutes les courbes elliptiques sur ℚ sont [[Courbe modulaire|modulaires]]. »</center>

== Son histoire ==
Une version faible fut [[conjecture|énoncée]] par [[Yutaka Taniyama]] en {{date-|septembre 1955}}, au cours d'une session de problèmes lors d'une conférence à [[Tokyo]] : il demanda s'il était possible de trouver une forme dont la [[Transformation de Mellin|transformée de Mellin]] donnerait la [[fonction L]] de Hasse-Weil de la courbe elliptique. Dans une série d'articles, [[Gorō Shimura]] construisit pour chaque forme modulaire dotée de bonnes propriétés (en particulier de poids 2 et à coefficients rationnels) une courbe elliptique adéquate, c'est-à-dire qu'il établit la moitié du dictionnaire entre « elliptique » et « modulaire ». Taniyama se suicida en 1958.

Cette conjecture fut reformulée par [[André Weil]] dans les années 1960, lorsqu'il montra que la modularité résulterait de propriétés simples sur les fonctions L de Hasse-Weil<ref group=note>Plus précisément de ce que les fonctions L d'une famille de courbes elliptiques déduites de celle de départ admettraient un [[prolongement analytique]] à tout le plan complexe et vérifieraient une équation fonctionnelle liant leurs valeurs en s et leurs valeurs en 2-s, voir A. Weil, ''Collected Papers'', vol. 3, {{p.}}165. De telles propriétés, analogues à celles de la fonction zêta de Riemann, étaient attendues pour toutes les fonctions L. </ref>. Cette formulation rendit la conjecture plus convaincante et le nom de Weil lui fut longtemps associé, parfois de manière exclusive<ref group=note>Le mathématicien [[Serge Lang]] mena une campagne active au moment de la preuve de Wiles pour éliminer le nom de Weil de l'énoncé de la conjecture, voir son article dans la [http://smf.emath.fr/Publications/Gazette/2001/90/smf_gazette_90_46-54.pdf Gazette des mathématiciens] ainsi que les références qui s'y trouvent. Une présentation mesurée du rôle de chacun se trouve dans l'[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1994-1995__37_/SB_1994-1995__37__319_0/SB_1994-1995__37__319_0.pdf exposé de Jean-Pierre Serre à Bourbaki] en 1994.</ref>. Elle devint aussi une composante importante dans le [[programme de Langlands]].

Dans les années 1960, [[Yves Hellegouarch]] avait étudié les propriétés de courbes elliptiques associées à des contre-exemples au [[dernier théorème de Fermat]]. Reprise dans les années 1980 par [[Gerhard Frey]], cette idée permit à [[Kenneth Alan Ribet|Ken Ribet]] de démontrer que la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil pour ces courbes « de Hellegouarch-Frey » impliquait le dernier théorème de Fermat. En 1994, [[Andrew Wiles]], avec l'aide de son ancien élève [[Richard Taylor (mathématicien)|Richard Taylor]], démontra un cas particulier de la conjecture (le cas des courbes elliptiques [[courbe stable#Le cas arithmétique|semi-stables]]), qui suffisait pour la preuve du dernier théorème de Fermat<ref>Voir l'exposé de Serre cité plus haut et, pour plus de détails {{Hellegouarch1}}</ref>.

La conjecture complète fut finalement démontrée en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond et Taylor en s'appuyant sur les idées de Wiles.

On peut en déduire un certain nombre de résultats dans la lignée du dernier théorème de Fermat. Par exemple : « aucun cube n'est la somme de deux puissances n-ièmes premières entre elles avec ''n'' ≥ 3 ».

En {{date-|mars 1996}}, Wiles partagea le [[prix Wolf]] avec [[Robert Langlands]]. Bien qu'aucun des deux n'ait démontré la conjecture complète, il fut reconnu qu'ils avaient établi les résultats clés menant à sa démonstration.

La [[conjecture de modularité de Serre]] sur les représentations galoisiennes dans GL(2q), dont lui-même avait montré qu'elle entraînerait celle de Shimura-Taniyama-Weil et (directement) le dernier théorème de Fermat (ainsi que plusieurs variantes), a été démontrée en 2005 par [[Chandrashekhar Khare]] et [[Jean-Pierre Wintenberger]] en se fondant sur les travaux de Wiles. Ils démontrèrent le cas général en 2008.

== Annexes ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Traduction/Référence|en|Modularity theorem|11198695|type=note}}
{{Références}}

=== Bibliographie ===
* {{en}} [[Henri Darmon]], [http://www.ams.org/notices/199911/comm-darmon.pdf « A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced »], dans ''[[Notices of the American Mathematical Society|Notices Amer. Math. Soc.]]'', vol. 46, n° 11, 1999{{Commentaire biblio|Contient une introduction agréable du théorème et les grandes lignes de la démonstration.}}
* {{en}} Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor, « [http://www.ams.org/journals/jams/1999-12-02/S0894-0347-99-00287-8 Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations] », dans ''[[Journal of the American Mathematical Society|JAMS]]'', vol. 12, 1999, p. 521–567{{commentaire biblio|Pour les courbes elliptiques dont le conducteur n'est pas divisible par 27, autrement dit qui sont ''modérées'' en 3.}}
* {{en}} Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor, « [http://math.stanford.edu/~conrad/papers/tswfinal.pdf On the modularity of elliptic curves over '''Q''': wild 3-adic exercises] », dans ''JAMS'', vol. 14, n° 4, 2001, p. 843-939

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[[Catégorie:Conjecture démontrée|Shimura-Taniyama-Weil]]
[[Catégorie:Géométrie arithmétique]]