Voir la source de Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)

{{Homon|Théorème de Riesz}}
En [[mathématiques]], plus précisément en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], le '''théorème de représentation de Riesz''', en l'honneur du mathématicien [[Frigyes Riesz]], est un [[théorème]] qui représente les éléments du [[dual topologique|dual]] d'un [[espace de Hilbert]] comme [[produit scalaire]] par un vecteur de l'espace.

Ce théorème est aussi parfois appelé '''théorème de [[Maurice René Fréchet|Fréchet]]-Riesz''' (à ne pas confondre avec le [[théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov]]). Il s'apparente singulièrement au [[théorème de Lax-Milgram]] qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur {{formule|''y''}} d'un espace de Hilbert {{formule|''H''}}, la [[forme linéaire]] qui à {{formule|''x''}} associe {{math|⟨''y'', ''x''⟩}} est [[continue]] sur {{formule|''H''}} (sa norme est égale à celle de {{formule|''y''}}, d'après l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]]). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur {{formule|''H''}} s'obtient de cette façon<ref>{{Rudin}} p. 77.</ref>.

== Énoncé ==

Soient :
* {{formule|''H''}} un espace de Hilbert (réel ou complexe)<ref>Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article [[Forme sesquilinéaire complexe]]) : produit scalaire {{math|⟨''v'', ''w''⟩}} linéaire par rapport à {{formule|''v''}} et semi-linéaire par rapport à {{formule|''w''}}, comme dans les articles [[Espace préhilbertien]] et [[Espace de Hilbert]], ou l'inverse, comme ici et dans l'article [[Dual topologique]]. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie.</ref> muni de son produit scalaire hermitien noté ⟨∙, ∙⟩ ;
* {{math|''f ''∈ ''H{{'}}''}} une forme linéaire continue sur {{formule|''H''}}.

Alors il existe un unique {{formule|''y''}} dans {{formule|''H''}} tel que pour tout {{formule|''x''}} de {{formule|''H''}} on ait {{math|''f''(''x'') {{=}} ⟨''y'', ''x''⟩}}.

{{bloc emphase|<math>\exists\,!\ y \in H\,, \quad \forall x\in H\,, \quad f(x) = \langle y,x\rangle</math>}}

== Démonstration ==
On sait déjà — comme rappelé en introduction et démontré dans le [[Espace préhilbertien#Structure du dual|§ « Structure du dual »]] de l'article sur les espaces préhilbertiens — que l'[[Application linéaire|application '''R'''-linéaire]] (semi-linéaire dans le cas complexe)<center><math>H\to H',\quad y\mapsto\langle y,\cdot\rangle</math></center>est [[Injection (mathématiques)|injective]] (et même [[Isométrie|isométrique]]). Cette injectivité se traduit par l'[[Unicité (mathématiques)|unicité]] de {{math|''y''}} pour tout {{math|''f''}}.

On peut remarquer que si {{math|''H''}} est [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], la [[surjectivité]] — c'est-à-dire l'[[Existence (mathématiques)|existence]] de {{math|''y''}} pour tout {{math|''f''}} — [[Théorème du rang#Application à la caractérisation des isomorphismes|s'en déduit, puisque]] l'[[espace dual]] {{formule|''H'''}} est alors de même [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] sur '''R''' que {{math|''H''}}.

Démontrons à présent l'existence de {{math|''y''}}, sans hypothèse de dimension.

Si {{math|''f''}} est la forme nulle, il suffit de choisir {{formule|''y ''{{=}} 0}}.

Supposons que {{math|''f''}} n'est pas identiquement nulle. Son [[Noyau (algèbre)|noyau]] {{math|ker ''f''}} est alors un [[hyperplan]], or il est [[Fermé (topologie)|fermé]] ([[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|par continuité de {{math|''f''}}]]). D'après le [[théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert]], l'[[Orthogonal#Définitions formelles|orthogonal]] de cet hyperplan est donc une [[droite vectorielle]] qui lui est [[sous-espace supplémentaire|supplémentaire]]. Soit {{formule|''b''}} un vecteur de cette droite tel que {{math|1=''f''(''b'') = 1}}. Pour {{math|1=''y'' = ''b''/‖''b''‖}}{{2}}, les deux formes linéaires {{math|''f''}} et {{math|⟨''y'', ∙⟩}} coïncident non seulement sur {{math|1=ker ''f = b''{{exp|⊥}}}} mais aussi en {{math|''b''}}, donc partout.

== Extension aux formes bilinéaires ==
{{Voir|Forme bilinéaire#Forme bilinéaire continue{{!}}Forme bilinéaire continue}}

Si {{formule|''a''}} est une [[forme bilinéaire]] continue sur un espace de Hilbert réel {{math|''H''}} (ou une [[forme sesquilinéaire complexe]] continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application {{formule|''A''}} de {{math|''H''}} dans {{math|''H''}} telle que, pour tout {{math|(''u'', ''v'') ∈ ''H ''× ''H''}}, on ait {{math|''a''(''u'', ''v'') {{=}} ⟨''Au'', ''v''⟩}}.
De plus, {{formule|''A''}} est [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|linéaire et continue]], de [[Norme d'opérateur|norme]] égale à celle de {{math|''a''}}.
<center><math>\exists !\,A\in\mathcal{L}(H),\ \forall (u,v)\in H\times H,\ a(u,v)=\langle Au,v \rangle.</math></center>

Cela résulte immédiatement de l'isomorphisme [[Canonique (mathématiques)|canonique]] ([[Isométrie|isométrique]]) entre l'[[espace normé]] des formes bilinéaires continues sur {{math|''H ''× ''H''}} et celui des applications linéaires continues de {{math|''H''}} dans son dual, et de l'isomorphisme ci-dessus entre ce dual et {{math|''H''}} lui-même.

== Notes et références ==
{{references}}

{{Palette|Algèbre bilinéaire|Analyse fonctionnelle}}
{{portail|Analyse}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme Representation Riesz}}
[[Catégorie:Espace de Hilbert]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse fonctionnelle|Riesz]]