Voir la source de Théorème des deux carrés de Fermat

[[Fichier:Pierre de Fermat.png|thumb|Pierre de Fermat ([[1601]]-[[1665]]).]]
{{Voir homonymes|Théorème de Fermat{{!}}Théorèmes de Fermat}}
En [[mathématiques]], le '''théorème des deux carrés de Fermat''' énonce les conditions pour qu’un [[Entier naturel|nombre entier]] soit la somme de deux [[carré parfait|carrés parfaits]] (c'est-à-dire de deux [[Carré (algèbre)|carrés]] d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un [[nombre premier]] impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa [[division euclidienne]] par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 1{{2}} + 4{{2}} et 97 = 9{{2}} + 4{{2}}), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël.

Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'[[Antiquité]]. Il est explicité par [[Pierre de Fermat]] au {{XVIIe siècle}}, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de [[Leonhard Euler]] un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée [[théorie algébrique des nombres]].

À l'instar de beaucoup d'[[Équation diophantienne|équations diophantiennes]], c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]] ou la [[géométrie des nombres]], liant ainsi la [[théorie des nombres]] élémentaire à d’autres branches des mathématiques.

== Présentation du théorème ==
=== Le cas des nombres premiers ===
Certains [[nombre premier|nombres premiers]] sont sommes de deux [[carré parfait|carrés parfaits]]. C’est bien sûr le cas de 2 (= 1{{2}} + 1{{2}}) ; de même, 5 est la somme de 1 et de 4. D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. Un test systématique jusqu'à 40 montre que : 
<center><math>5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2.</math></center>

En revanche, 3, 7, 11, 19, 23 et 31 ne se décomposent pas ainsi. Le théorème fournit un critère général permettant de discriminer ces deux situations :

{{théorème|Théorème des deux carrés de Fermat (cas des nombres premiers)|Un nombre premier impair ''p'' est somme de deux carrés parfaits si et seulement si ''p'' est un [[nombre premier de Pythagore]]<ref>Suite {{OEIS2C|id=A002144}} de l'[[OEIS]].</ref>, c'est-à-dire [[congruence sur les entiers|congru à 1 modulo 4]] :
<center><math>\left(\exists(x,y)\in\N^2\quad p=x^2+y^2\right)\Leftrightarrow p\equiv 1\pmod4.</math></center>
De plus, cette décomposition est alors unique, à l'échange près de {{math|''x''{{2}}}} et {{math|''y''{{2}}}}.}}

On peut démontrer de façon élémentaire qu'[[Nombre premier de Pythagore#Valeurs et densité|il y a une infinité de nombres premiers dans chacune des deux classes]] impaires de congruence modulo 4 (celle de 1 et celle de –1).

=== Le cas général ===
Si, dans un premier temps, les entiers de 1 à 50 sont écrits sur quatre lignes en fonction du reste de leur division par ''quatre'', on obtient :

{| border="0" style="border:1px solid #999; background-color:#FFFFFF" class="wikitable" align="center" width="50%"
|- align="center"
|<math> {\color{White}0} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}4} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}8} </math>
|<math> {\color{red}12} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}16} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}20} </math>
|<math> {\color{red}24} </math>
|<math> {\color{red}28} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}32} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}36} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}40} </math>
|<math> {\color{red}44} </math>
|<math> {\color{red}48} </math>
|- align="center"
|<math> {\color{OliveGreen}1} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}5} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}9} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}13} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}17} </math>
|<math> {\color{red}21} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}25} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}29} </math>
|<math> {\color{Red}33} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}37} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}41} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}45} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}49}</math>
|- align="center"
|<math> {\color{OliveGreen}2} </math>
|<math> {\color{Red}6} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}10} </math>
|<math> {\color{Red}14} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}18} </math>
|<math> {\color{Red}22} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}26} </math>
|<math> {\color{Red}30} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}34} </math>
|<math> {\color{Red}38} </math>
|<math> {\color{Red}42} </math>
|<math> {\color{red}46} </math>
|<math> {\color{OliveGreen}50}</math>
|- align="center"
|<math> {\color{Red}3} </math>
|<math> {\color{Red}7} </math>
|<math> {\color{Red}11} </math>
|<math> {\color{Red}15} </math>
|<math> {\color{Red}19} </math>
|<math> {\color{Red}23} </math>
|<math> {\color{Red}27} </math>
|<math> {\color{Red}31} </math>
|<math> {\color{Red}35} </math>
|<math> {\color{Red}39} </math>
|<math> {\color{Red}43} </math>
|<math> {\color{red}47} </math>
|<math> {\color{White}51} </math>
|- align="center"
|}

Les entiers notés en vert sont ceux qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits, les entiers pour lesquels une telle écriture est impossible sont notés en rouge. On constate que la quatrième ligne ne contient pas de solution. Or le produit d'un nombre pair de facteurs de la forme 4''k ''+ 3 est de la forme 4''k ''+ 1, donc cette dernière ligne ne contient que des nombres qui ont un nombre impair de [[Théorème fondamental de l'arithmétique|facteurs premiers]] de la forme 4''k ''+ 3. Ceci donne une piste pour comprendre la situation générale. On a :

{{théorème|Théorème des deux carrés (cas général)<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Ivan Niven]]|auteur2=Herbert Zuckerman|auteur3=[[Hugh L. Montgomery]]|url=http://www.fuchs-braun.com/media/532896481f9c1c47ffff8077fffffff0.pdf|page=55|titre=An Introduction to the Theory of Numbers|numéro d'édition=5|année=1991|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]}}, théorème 2.15.</ref>|Un entier supérieur ou égal à 1 est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4''k'' + 3 intervient avec un exposant pair.}}

Ainsi 30 = 2×3×5 n’est pas somme de carrés car dans sa décomposition en facteurs premiers, 3 intervient avec un exposant 1. En revanche, 45 = 3{{2}}×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 6{{2}} + 3{{2}}).

La question du nombre de [[paire]]s de carrés dont la somme est égale à un entier ''n'' donné, est aussi plus difficile ; ce nombre dépend des exposants des facteurs de ''n'' de la forme 4''k ''+ 1. En écrivant {{nobr|''n {{=}} n'p''{{ind|1}}{{exp|''a''}}''p''{{ind|2}}{{exp|''b''}}''p''{{ind|3}}{{exp|''c''}}…,}} où ''n' ''est divisible seulement par 2 et des facteurs premiers de la forme 4''k ''+ 3 et où les différents ''p{{ind|i}} ''sont les facteurs premiers de la forme 4''k ''+ 1, et en notant ''m'' le produit {{nobr|(''a ''+ 1)(''b ''+ 1)(''c ''+ 1)…,}} alors le nombre de décompositions différentes de ''n'' (normalisées, {{c.-à-d.}} sous la forme ''x''{{2}} + ''y''{{2}} avec ''x ''≥ ''y ''≥ 0) est égal à ''m''/2 si ''m'' est pair, c'est-à-dire si l'un au moins des exposants ''a, b, c…'' est impair, et à (''m ''+ 1)/2 si ''m'' est impair, c'est-à-dire si tous les exposants sont pairs. En particulier, la décomposition est unique lorsque ''m'' est égal à 1 ou 2, c'est-à-dire lorsque ''n'' ne possède aucun facteur premier de la forme 4''k ''+ 1, ou alors un seul et avec exposant 1.

Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par [[Charles Gustave Jacob Jacobi]]<ref>{{la}} C. G. J. Jacobi, ''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum'', Königsberg, [[1829 en science|1829]].</ref> :
{{théorème|Théorème des deux carrés (compléments)<ref>Voir par exemple {{Harvsp|Hardy|Wright|2007|loc=chap. 16, § 9}}, théorème 278, ou {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Théorème des deux carrés de Jacobi|ce devoir corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref>|Soit ''n'' un entier supérieur ou égal à 1 et ''r''{{ind|2}}(''n'') le nombre de représentations de ''n'' comme somme de deux carrés. Soit ''d''{{ind|1}} (resp. ''d''{{ind|3}}) le nombre de diviseurs (pas nécessairement premiers) de ''n'' congrus à 1 (resp. 3) modulo 4, la formule suivante est vérifiée :
<center><math>r_2(n)=4\left(d_1(n)-d_3(n)\right)</math>.</center>}}
Ici, on compte toutes les représentations (non normalisées), même celles qui ne diffèrent que par le signe ou l'ordre. Par exemple, 5 = (±2){{2}} + (±1){{2}} = (±1){{2}} + (±2){{2}} admet 8 représentations comme somme de deux carrés.

Un dernier aspect important est la construction explicite des carrés dont la somme est égale à un entier donné.

== Histoire ==
=== Antiquité : premiers résultats ===
[[Fichier:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|Édition de [[1670]] des ''[[Arithmétiques]]'' de [[Diophante d'Alexandrie]].]]
L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du {{IIe}} millénaire avant notre ère et deux lemmes ajoutés au théorème X.28 dans les ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]] expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés<ref>{{Euclide Vitrac}}, vol. 3, Livre X, {{p.|171-176}}.</ref>.

Mais c’est dans la tradition [[Diophante d'Alexandrie|diophantienne]] que l’on trouve des traces plus précises sur les nombres sommes de carrés. Les ''[[Arithmétiques]]''<ref>{{harvsp|Diophante-Ver Ecke}}.</ref>, composées à une date incertaine, contiennent des problèmes dont les solutions cherchées sont [[nombre rationnel|rationnelles]] ou entières. Un grand nombre d’entre eux concerne les nombres carrés ou cubiques (en l’occurrence des carrés ou des cubes de nombres rationnels). À titre d'exemples, le problème 11 du livre II est le suivant : {{citation|Ajouter un même nombre à deux nombres donnés de manière que chacun d'eux forme un carré}}, ou encore le problème 22 du livre IV : {{citation|Trouver trois nombres tels que le nombre solide issu de ces nombres [autrement dit, le produit de ces trois nombres], augmenté de chacun d’eux, forme un carré<ref>Cette traduction est celle de {{harvsp|Diophante-Ver Ecke}}.</ref>.}}. Pour résoudre toutes ces questions, [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]] introduit une « quantité indéterminée d’unités » qu’il appelle « arithme » et exprime en fonction d’elle toutes les données du problème (c’est donc un ancêtre de la notion d’[[équation|inconnue]] en [[algèbre]]). Il arrive ainsi à trouver une solution numérique particulière, par exemple pour le problème II.11 la solution 97/64 si les nombres donnés sont 2 et 3, et pour le problème IV.22, la solution 1, 34/6 et (2.1/2)/6.

Plusieurs mentions pertinentes pour la détermination des nombres sommes de deux carrés apparaissent de manière dispersée dans divers problèmes. Par exemple, Diophante note sans explication que 15 ne peut être la somme de deux carrés de nombres rationnels au milieu de la solution du problème VI.14. Dans le livre III, il affirme que le nombre 65 est une somme de deux carrés de deux façons différentes, car c'est le produit de 5 et 13, eux-mêmes sommes de deux carrés<ref>{{harvsp|Weil}}, chap. I, § 6.</ref>. Un autre problème concerne le fait de {{citation|partager l'unité en deux parties et ajouter à chacun des fragments un nombre donné, de manière à former un carré.}}. Cela signifie qu'on cherche un entier <math>c</math> et deux rationnels <math>x,y</math> tels que
<center><math>x+y= 1\quad\text{et}\quad c+x,~c+y</math> sont des carrés de nombres rationnels,</center>
ou encore, un entier ''c'' tel que 2''c'' + 1 soit somme de deux carrés de rationnels. Diophante dit explicitement que ''c'' doit être pair, autrement dit que la division de 2''c'' + 1 par 4 donne pour reste 1<ref>Diophante ajoute une autre condition mais le texte qui a survécu est corrompu et peu clair. De nombreuses interprétations en ont été proposées, qui attribuent à Diophante une compréhension plus ou moins complète des conditions pour qu’un nombre soit somme de carrés : voir par exemple {{harvsp|Dickson|1999}}, {{p.|225}} ou {{harvsp|Diophante-Ver Ecke|p=197}}.</ref>.

Certains mathématiciens lecteurs de Diophante étudieront de manière plus systématique et plus arithmétique les nombres sommes de carrés, en particulier la [[Mathématiques arabes|tradition en langue arabe]] de [[Abū Ja'far al-Khāzin|al-Khāzin]], [[al-Sijzi]], [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]]{{etc.}}<ref>« Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres », dans [[Roshdi Rashed]] (dir.), ''Histoire des sciences arabes'', vol. 2, Paris, Seuil, 1997, {{p.|80-85}}.</ref>. Leur perspective combine, sur les problèmes diophantiens qui s’y prêtent, des techniques inspirées de l’algèbre naissante et un point de vue euclidien, en particulier une focalisation sur les nombres entiers et des preuves générales. Par exemple, ils montrent qu’une somme impaire de deux carrés [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] est de la forme 12''k ''+ 5 ou 12''k ''+ 1. Un contexte important est l'étude des [[Triangle rectangle|triangles rectangles]] en nombres, ou [[triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]], c'est-à-dire des nombres vérifiant ''a''{{2}} + ''b''{{2}} = ''c''{{2}} : en effet, si les côtés ''a'', ''b'', ''c ''sont premiers entre eux, ''c ''lui-même s'écrit comme une somme de carrés.

=== {{XVIIe siècle}} : les énoncés ===
[[Fichier:marin mersenne.jpg|thumb|left|[[Marin Mersenne]], [[Ordre des Minimes|Minime]] et [[Scientifique|homme de science]], établit un contact épistolaire solide entre Pierre Fermat et ses contemporains.]]

C'est en lien direct avec les éditions et commentaires des ''Arithmétiques'' de Diophante que l'on trouve au {{s-|XVII}} une exploration plus systématique, puis les premiers énoncés complets de ce théorème.

[[Albert Girard]] est le premier mathématicien qui énonce le théorème.
Alors qu'il publie, en 1625, la traduction par [[Simon Stevin]] des livres de Diophante, Girard annonce sans preuve, dans ses annotations<ref>[https://archive.org/stream/larithmetiqvedes00stev#page/622/mode/2up P. 622].</ref>, que les nombres s'exprimant comme somme de deux carrés d'entiers sont
{{Citation bloc|I. Tout nombre quarré. II. Tout nombre premier qui excede un nombre quaternaire de l’unité. III. Le produict de ceux qui sont tels. IV. Et le double de chascun d'iceux. }}

soit, comme le résume [[Leonard Eugene Dickson|L. E. Dickson]],

{{Citation bloc|Every square, every prime 4''n'' + 1, a product formed of such numbers, and the double of one of the foregoing<ref>{{harvsp|Dickson|1999}}, {{p.|227}}.</ref>.}} c'est-à-dire les nombres décrits dans l'[[#Le cas général|énoncé général ci-dessus]].

C'est à peu près à la même date que [[Marin Mersenne]] met en place à Paris une ''académie toute mathématique'' communiquant les résultats des différents travaux, et appuyée sur un important réseau de correspondants à travers toute l'Europe. Y participent des noms restés plus ou moins célèbres comme [[Étienne Pascal|Étienne]] et [[Blaise Pascal]], [[René Descartes]], [[Bernard Frénicle de Bessy]], [[Gilles Personne de Roberval]] ou encore [[Pierre de Carcavi]], bibliothécaire du roi. Cette correspondance est une des deux principales sources pour les travaux arithmétiques de Fermat, l'autre étant ses propres commentaires à l'édition de Diophante qu'a donnée [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac]] en 1621<ref>''Arithmétiques'' de Diophante, édition grecque et traduction en latin commentée de Bachet de Méziriac, Paris, 1621.</ref>. Dans ses travaux de théorie des nombres, Bachet s'inscrit dans la tradition de l'analyse diophantienne entière : il donne de nouveaux exemples numériques en entiers et surtout, des preuves à la mode euclidienne de nombreuses propositions<ref>Dans la deuxième édition de son livre, ''Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres, partie recueillis de divers auteurs, et inventez de nouveau, avec leur démonstration, par Claude Gaspar Bachet, Sr. de Méziriac. Très utiles pour toutes sortes de personnes curieuses qui se servent d'arithmétique'' (1624), Bachet donne aussi la première preuve actuellement connue de l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]].</ref>. En particulier, il redécouvre dans Diophante<ref>[[François Viète|Viète]] en avait donné une interprétation géométrique dans ses ''[[Notae priores]]''.</ref> (''Arithmetica'', III, 19) une [[identité remarquable]] prouvant que le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés, de deux façons différentes ; plus précisément, en notation algébrique actuelle :
<center>'''[[Identité de Brahmagupta|Identité de Diophante]]'''<ref>Cette identité est parfois appelée [[identité de Brahmagupta]] car on l'a trouvée aussi, sous une forme plus générale, chez ce [[mathématiques indiennes|mathématicien indien]] du {{s-|VII}}.</ref> : <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2.</math></center>
Cette identité est fondamentale pour passer du cas des nombres premiers au cas général.

Mersenne encourage ses correspondants à se proposer mutuellement des problèmes, afin d’en tester la difficulté auprès des autres mathématiciens et de les stimuler dans leurs recherches. L’un des premiers proposés à Fermat en 1636 concerne les sommes de plusieurs carrés et dès mars 1638, Mersenne indique à Descartes<ref>{{harvsp|Fermat vol. 2|p=203}}, note 3.</ref> que Fermat a prouvé qu’un nombre de la forme 4''k ''– 1 n’est pas somme de deux carrés de rationnels. Ce résultat est élémentaire, mais en août 1640, reprenant contact avec Roberval après une interruption de leur correspondance, Fermat va plus loin :
{{Citation bloc|Voici ce que j’ai découvert depuis sur le sujet de la proposition 12 du cinquième Livre de Diophante […<ref>Fermat ajoute : « en quoi j’ai […] rétabli en même temps la corruption du texte de Diophante », s’inscrivant ainsi dans une longue lignée de mathématiciens érudits qui ont cherché à la fois à reconstituer le texte de Diophante et à trouver la solution complète du problème sous-jacent.</ref>]. Si un nombre donné est divisé par le plus grand quarré qui le mesure et que le quotient se trouve mesuré par un nombre premier moindre de l’unité qu’un multiple du quaternaire, le nombre donné n’est ni quarré, ni composé de deux quarrés […] J’ai démontré ensuite […] : Si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, je dis qu’il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l’unité qu’un multiple du quaternaire<ref>{{harvsp|Fermat vol. 2|p=203-204}}.</ref>.}}
[[Fichier:FrenicleMethode1729.jpg|thumb|Le début de la ''Méthode des exclusions'' de Bernard Frenicle de Bessy, publiée en 1693 : on y trouve des tables de sommes de carrés et des problèmes fondés sur le théorème des deux carrés.]]
Autrement dit, en termes plus modernes : si l'on écrit un nombre ''n'' sous la forme ''d''{{2}}''n{{'}}'' avec ''n{{'}}'' [[Entier sans facteur carré|sans facteur carré]] et que ''n{{'}}'' est divisible par un nombre premier de la forme 4''k ''– 1, alors ''n'' n'est pas une somme de deux carrés<ref>Il en résulte qu'un tel ''n'' n'est même pas somme de deux carrés de rationnels.</ref>. Et si ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, alors ''a''{{2}} + ''b''{{2}} n'a aucun facteur premier de la forme 4''k ''– 1. Ces énoncés sont tous deux équivalents au « seulement si » du [[#Généralisation à tous les entiers|théorème des deux carrés dans le cas général]]. Le « si » (le fait que tout nombre premier de la forme 4''k'' + 1 est somme de deux carrés) semble encore hors de portée…

Dans une longue missive à Mersenne<ref>Lettre du 25 décembre 1640 de Fermat à Mersenne, {{harvsp|Fermat vol. 2|p=213}}.</ref> datée du jour de Noël 1640, Fermat énonce ses fondements pour résoudre tous les problèmes liés aux sommes de carrés. Pour cette raison, le théorème est parfois appelé '''théorème de Fermat de Noël'''.
{{Citation bloc|1 = Tout nombre premier [=''p''], qui surpasse de l’unité un multiple du quaternaire [tel que ''p'' = 4''k'' + 1] est une seule fois la somme de deux quarrés, […] Le même nombre et son quarré [''p''{{2}}] sont chacun une fois la somme de deux quarrés; Son cube [''p''{{3}}] et son quarréquarré [''p''{{4}}] sont chacun deux fois la somme de deux quarrés ; Son carrécube [''p''{{5}}] et son cubecube [''p''{{6}}] sont chacun trois fois la somme de deux quarrés ; Etc., à l’infini.}}

Ce résultat réapparaît dans le contexte de différents problèmes. Fermat y ajoute bientôt le problème de la construction même des carrés. Le théorème sur les sommes de carrés figure aussi dans les fameuses observations que Fermat a écrites en marge de l'édition de Bachet des ''Arithmétiques'' de Diophante, observations qu'on connaît par la version posthume publiée par son fils en 1670<ref>L'énoncé complet du théorème et des applications figurent dans une observation au livre III, un cas particulier au livre V, près du problème 12 de Diophante mentionné plusieurs fois.</ref>.

L'interlocuteur le plus important de Fermat sur la théorie des nombres, Frenicle, manifeste d'ailleurs qu'il a trouvé aussi cet énoncé : il demande par exemple à Fermat de trouver le plus petit nombre qui soit somme de deux carrés exactement un nombre de fois donné, et consacre le {{5e|exemple}} de son propre traité ''La Méthode des Exclusions'' au problème : « un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la somme de deux carrés ».

=== Le {{s-|XVII}} : qu'en est-il des preuves ? ===

Si l'énoncé est un bien collectif pour ces mathématiciens, il n'en est pas de même de la démonstration. Montrer qu’un nombre de la forme 4''k'' – 1 n’est pas somme de deux carrés de rationnels peut se faire en considérant simplement les restes de la division des carrés par 4 {{infra|Époque de Diophante}} : sollicité par Mersenne {{supra|XVIIe siècle : les énoncés}}, Descartes, dédaignant cet exercice proposé par Fermat comme difficile, le donne comme simple test à l'un de ses protégés, Jean Gillot<ref>[https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Descartes_-_%C5%92uvres,_%C3%A9d._Adam_et_Tannery,_II.djvu/213 Lettre CXXVI de Descartes à Mersenne], 29 juin 1636 : {{Citation|j'ay négligé de poursuivre a l'expliquer touchant les fractions après l'avoir expliqué touchant les entiers, a cause qu'il m'a semblé trop facile pour prendre la peine de l'escrire […]. Mais pource qu'il [Fermat] dit que cela mesme que j'ay omis comme trop aysé, est très difficile, j'en ay voulu faire l'espreuve en la personne du jeune Gillot […] ce qu'il a fait fort aysement.}}</ref>. Le dénombrement des solutions, une fois l'[[#XVIIe siècle : les énoncés|identité de Diophante]] connue, est un exercice de combinatoire que plusieurs auteurs, comme Frenicle, mènent aussi à bien. Reste la preuve que ''tout nombre premier de la forme'' 4''k'' + 1 ''est somme de deux carrés''. Or, il existe peu (voire pas du tout) de modèles de telles preuves d'existence dans un contexte arithmétique. L'interprétation géométrique des nombres entiers, à la base des preuves euclidiennes, est très lourde. Une solution consiste en une réinterprétation algébrique de ces problèmes : tout comme Stevin, [[François Viète]], l'inventeur d'un des premiers symbolismes algébriques cohérents à grande échelle, a ainsi reformulé une grande partie des ''Arithmétiques'' de Diophante à la fin du {{s-|XVI|e}}. Mais, géométrie ou algèbre, comment garder trace du fait qu'on cherche ici des solutions entières ? Fermat est tout particulièrement conscient de cette difficulté : dans un défi mathématique aux mathématiciens d'Europe, en 1657, il déclare : « À peine trouve-t-on qui pose des problèmes purement arithmétiques, ni qui les comprenne. N'est ce pas parce que jusqu'ici l'arithmétique a été traitée géométriquement plutôt qu'arithmétiquement<ref>{{harvsp|Fermat vol. 2|p=334}}.</ref> ? »

C'est dans le but de développer cette analyse diophantienne entière, avec des preuves, que Fermat a mis au point une méthode, celle qu'il nomme la [[méthode de descente infinie|descente infinie]]<ref>Les détails de l'utilisation de cette méthode par Fermat sont explicités dans {{harvsp|Goldstein|1995}}.</ref> et qui, d'après ses dires, lui permet d'en venir à bout :
{{Citation bloc|Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que, lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité<ref name="Fermat 59">''[https://archive.org/stream/oeuvresdefermat942ferm#page/431/mode/1up Lettre CI]'', Fermat à Carcavi, août 1659 (« Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres »).</ref>.}}

Fermat avait-il une démonstration complète de son théorème ? Aucune preuve rédigée par lui de ce théorème n'a subsisté, et la stratégie qu'il dit avoir employée (montrer — comment ? — que s'il existe un premier de la forme 4''n'' + 1 non somme de deux carrés alors il en existe un autre strictement plus petit puis, par descente infinie, en déduire — curieusement, au lieu de conclure immédiatement — que 5 ne serait alors pas somme de deux carrés<ref name="Fermat 59"/>) n'a été concrétisée par aucun de ses successeurs. Cependant, les ingrédients qu'il a énoncés ([[petit théorème de Fermat]], descente infinie) leur ont permis d'en élaborer d'autres.

Comme quelques autres, les premiers cas de [[Dernier théorème de Fermat|« son » dernier théorème]] en particulier, l'énoncé sur les sommes de deux carrés occupe en tout cas une place centrale dans le programme de Fermat pour rénover la théorie des nombres. Quatorze ans plus tard, bien après la mort de Mersenne, on voit réapparaître ces énoncés dans un projet d'ouvrage que Fermat adresse à Blaise Pascal, puis en 1658 au cours d'un échange avec les mathématiciens anglais, [[John Wallis]] et [[William Brouncker]], et un an plus tard, dans un bilan sur la théorie des nombres destinée au jeune [[Christian Huygens]]. Fermat remarque aussi<ref>{{harvsp|Fermat vol. 2|p=313, 403 et 405}}.</ref> que des lois analogues peuvent être trouvées pour les nombres premiers ''x''{{2}} + 2''y''{{2}} = ''p'' et {{nobr|1=''x''{{2}} + 3''y''{{2}} = ''p''.}}

=== {{XVIIIe siècle}} : preuves et extensions ===
[[Fichier:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|left|[[Leonhard Euler]] rédige la première preuve connue.]]

L'environnement scientifique du siècle suivant est bien différent. Les mathématiques se sont professionnalisées partout en Europe et des journaux réguliers, en particulier les publications des diverses {{page h'|Académie des sciences|Académies des sciences}}, offrent la possibilité de publier au fur et à mesure résultats et preuves. [[Leonhard Euler]] s'est intéressé au théorème des deux carrés, comme à beaucoup d'autres résultats de théorie des nombres laissés par Fermat<ref>{{Article|prénom=A.|nom=Weil|titre=Sur les origines de la géométrie algébrique|revue=Compositio Mathematica|vol=44|numéro=1-3|p.=399|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1981__44_1-3/CM_1981__44_1-3_395_0/CM_1981__44_1-3_395_0.pdf|année=1981}}.</ref>, et on lui doit les premières preuves connues de ces énoncés.

La référence géométrique à des triangles rectangles de côtés entiers disparait complètement au profit d'un formalisme purement algébrique. Euler étudie en particulier, à côté d'autres équations diophantiennes, les trois familles d'équations suivantes :
<center><math>\begin{align}(1)\quad&x^2 \pm m= py,\\(2)\quad&x^2-my^2 = 1,\\(3)\quad&x^2 \pm my^2 = p.\end{align}</math></center>
[[Fichier:Joseph Louis Lagrange.jpg|thumb|[[Joseph-Louis Lagrange]] développe un outil essentiel pour généraliser le résultat : les [[forme quadratique|formes quadratiques]].]]

Ici, ''m'' désigne un nombre entier strictement positif et ''p'' un nombre premier. La dernière équation généralise celle associée au théorème des deux carrés (cas où ''m'' est égal à 1).

En ce qui concerne le théorème des deux carrés, Euler montre d'abord qu'un nombre premier ''p ''= 4''n'' – 1 ne divise pas une somme de deux carrés premiers entre eux, {{nobr|''a''{{2}} + ''b''{{2}},}} en appliquant le petit théorème de Fermat. Il montre aussi qu'un diviseur d'une somme de deux carrés premiers entre eux est encore de somme de deux carrés (et donc s'il est premier, c'est soit 2, soit un entier de la forme 4''n'' + 1) ; ce résultat s'étend au cas de ''m'' = 2 ou 3 (on trouve qu'un diviseur impair premier est congru à 1 ou 3 modulo 8 pour ''m'' = 2 et à 1 modulo 3 pour ''m'' = 3) ; dans ces derniers cas, la preuve inverse repose aussi sur des identités de puissances ''k''-ièmes et le petit théorème de Fermat.

On trouve trace de ces résultats au fil de sa correspondance avec [[Christian Goldbach]]<ref>[https://math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/correspondents/Goldbach.html Correspondance entre Euler et Goldbach].</ref> (qui contribue lui-même à cette étude), dès le début des années 1740, avec des publications détaillées, dans les ''Mémoires de l'[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Académie de Saint-Pétersbourg]]'' en particulier, une décennie plus tard<ref>Pour le détail délicat des dates et des publications des différents résultats, voir {{harvsp|Dickson|1999}}, chap. VI et {{harvsp|Weil}}, chap. 3, § 5b e, IX et XI.</ref>. [[André Weil]] évoque cette période comme une « campagne de sept années » pour prouver toutes les assertions de Fermat sur les sommes de deux carrés ; jusque dans les années 1770, Euler y revient encore pour donner des variantes de ses preuves et de ces résultats.

Euler accumule aussi toutes sortes d'expérimentations numériques. Il [[conjecture]] dans ce contexte un résultat appelé à devenir une des lois centrales de la théorie des nombres, la [[loi de réciprocité quadratique]], sans pouvoir le démontrer<ref>{{Article|lang=la|id=E552|auteur=L. Euler|titre=Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E552.html E552])|revue=Opuscula analytica|vol=1|année=1783|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6953p/f534|p.=64-84}}.</ref>.

Reprenant une suggestion de Fermat, il interprète aussi le théorème sur les sommes de carrés comme un [[test de primalité]]<ref>Voir {{harvsp|Weil|loc=chapitre 3, § X}}.</ref>. En effet, un nombre de la forme 4''n'' + 1 est premier si et seulement s'il s'écrit d'une seule façon comme somme de deux carrés, et que ces carrés sont premiers entre eux. Ce critère permet à Euler de montrer que le {{5e}} [[nombre de Fermat]], 2{{exp|2{{5}}}} + 1, n'est pas premier car il s'écrit de deux manières comme somme de carrés :
<center><math>(2^{16})^2+1^2=62264^2+20449^2.</math></center>
Il élabore même [[Méthode de factorisation d'Euler|une méthode de factorisation]] à partir d'une telle double écriture. Ironie de l'Histoire, c'est à partir d'une idée dont il est à l'origine que la conjecture de Fermat stipulant que les nombres de Fermat sont premiers est ainsi mise en défaut. Euler avait de plus prouvé que 2{{exp|2{{5}}}} + 1 est divisible par 641.
 
Euler cherche également à déterminer pour quels entiers μ, ν l'étude des nombres représentables sous la forme μ''x''{{2}} + ν''y''{{2}} lui fournirait encore un critère de primalité analogue. Avec l'aide de ses assistants, il trouve que le critère marche lorsque le produit μν fait partie d'une liste de 65 nombres, qu'il baptise ''numeri idonei'', [[Nombre idoine|nombres idoines]]<ref>On ne sait toujours pas si cette liste est complète, mais on sait qu'elle contient au plus 66 nombres.</ref>. En utilisant le plus grand de ces nombres, {{nombre|1848}}, Euler montre par exemple que {{formatnum:18518809}} (= 197{{2}} + {{formatnum:18480000}}) est premier.

[[Joseph-Louis Lagrange]] intègre les résultats tant théoriques que numériques d'Euler et les étend, dans un long mémoire en deux parties, intitulé ''Recherches d'arithmétique''<ref>{{Article|id=RecherchesAri|auteur=J.-L. Lagrange|revue=Nouveaux mémoires de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin]]|année=1773|titre=Recherches d'arithmétique}}, première partie, supplément 1775, rep. dans ''Œuvres de Lagrange'', [http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_LAGRANGE__3_695_0 vol. III, {{p.|695-795}}]. Le théorème est démontré sous le nom de ''Lemme VII'', {{p.|782-783}}. Quelques années auparavant, en 1770, Lagrange a démontré un autre résultat connexe, le [[Théorème des quatre carrés de Lagrange|théorème des quatre carrés]] : le fait que tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de 4 carrés, voir {{harvsp|Weil|loc=chap. IV, § II (D)}}.</ref> ». Lagrange ne se limite pas à l'étude des nombres représentés par des sommes de carrés, mais étudie plus généralement les nombres entiers qui peuvent s'écrire sous la forme ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}}, pour des entiers ''x'', ''y'' à trouver, les entiers ''a'', ''b'', ''c'' étant fixés. Une telle expression est appelée une [[forme quadratique binaire]]<ref>Lagrange ne considère que des formes à coefficients entiers ; l'étude des formes à coefficients réels ne commencera qu'un demi-siècle plus tard.</ref> (c'est-à-dire une [[forme quadratique]] à deux variables). Le théorème des deux carrés concerne la forme quadratique ''x''{{2}} + ''y''{{2}}, c'est-à-dire celle pour laquelle ''a = c'' = 1 et ''b'' = 0. Lagrange remarque que pour que deux formes ''f''(''x'', ''y'') et ''F''(''X'', ''Y'') représentent les mêmes entiers, il suffit qu'un changement de variables ''x'' = α''X'' + β''Y'', ''y'' = γ''X'' + δ''Y'' (avec des coefficients α, β, γ, δ entiers et tels que<ref>Cette condition indique que la transformation est inversible.</ref> αδ – βγ = ±1) transforme l'une en l'autre, et que pour deux formes ainsi reliées, le discriminant ''b''{{2}} – 4''ac'' de la forme est identique. De telles formes seront appelées « équivalentes » par Gauss quelques décennies plus tard et l'exploration de cette relation entre formes quadratiques par Lagrange constitue l'une des premières études connues d'une [[relation d'équivalence]]. Pour un discriminant donné, il n'y a qu'un nombre fini de classes de formes, à équivalence près<ref name="Weil-1">{{harvsp|Weil}}, chap. IV, § 4.</ref>.

Les deux nombres ''a'' et ''c'' sont évidemment représentés de manière primitive (c'est-à-dire avec des entiers ''x'', ''y'' premiers entre eux) par la forme quadratique ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} donc par toute forme équivalente. Lagrange établit que réciproquement, tout nombre entier représentable de manière primitive par une forme est le coefficient du terme en ''X''{{2}} pour une forme équivalente, et que tout diviseur d'un nombre primitivement représenté par une forme est primitivement représentable par une forme de même discriminant (pas nécessairement équivalente). En particulier, si un nombre premier ''p'' divise la valeur en des entiers (non tous deux divisibles par ''p'') d'une forme quadratique, le discriminant de la forme est<ref>On le démontre bien plus directement en raisonnant dans [[Anneau ℤ/nℤ#Cas où ℤ/nℤ est un corps|ℤ/''p''ℤ]] : si ''at''{{2}} + ''bt + c'' = 0 alors ''b''{{2}} – 4''ac'' = ''b''{{2}} + 4''a''(''at''{{2}} + ''bt'') = (''b'' + 2''at''){{2}}.</ref> un carré modulo ''p''. La loi de réciprocité permet d'exprimer à l'inverse cette condition comme l'appartenance de ''p ''à certaines classes de congruence modulo la [[valeur absolue]] du discriminant (généralisant le fait que ''p ''doit être congru à 1 modulo 4 pour être représenté par une somme de carrés, c'est-à-dire une forme quadratique de discriminant –4).

Lagrange montre enfin comment, dans chaque classe de formes équivalentes, trouver des formes représentantes particulièrement simples : pour un discriminant négatif, il peut définir une forme représentante unique (dite forme réduite) par classe et pour un discriminant positif, la caractérisation des formes réduites fait appel à son étude sur l'équation (2) ci-dessus et aux [[fraction continue|fractions continues]]<ref name="Weil-1" />.

[[Adrien-Marie Legendre]] apporte sa pierre à l'édifice. Avant la fin du siècle, il introduit un [[symbole de Legendre|symbole portant maintenant son nom]] permettant d'exprimer plus simplement la [[loi de réciprocité quadratique]], qu'il croit démontrer<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801|loc=§ 296-297}}, analyse les failles de cette démonstration : Legendre admet à plusieurs reprises le [[théorème de la progression arithmétique]], question qui s'avère encore plus difficile que celle de la réciprocité quadratique et ne sera démontrée qu'en 1837.</ref>.

=== {{XIXe siècle}} : nouveaux outils et nouveaux cadres ===
[[Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|left|[[Carl Friedrich Gauss]] propose une nouvelle preuve et développe plusieurs outils connexes au théorème.]]
Au cours du {{s-|XIX}}, l'étude des problèmes sur les nombres entiers change de statut. D'une part, elle donne lieu à de vastes synthèses théoriques, unifiant de nombreuses questions jusqu'alors éparses. D'autre part, de marginale qu'elle était dans l'ensemble des mathématiques, elle devient l'objet de nombreuses interactions avec d'autres branches, comme la [[géométrie]] ou l'[[analyse réelle]] ou [[analyse complexe|complexe]]. Le théorème des deux carrés bénéficie de ce double changement : il est intégré dans de nouveaux cadres, utilisé parfois comme une illustration des propriétés plus ou moins profondes mises à jour, et il est démontré plus directement, ou affiné, grâce à l'emploi de méthodes géométriques ou analytiques.

En [[1801 en science|1801]], [[Carl Friedrich Gauss]] publie un livre d'arithmétique novateur<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801}}.</ref>. La logique suivie consiste à étudier les nombres à l'aide d'une démarche [[structure (mathématiques)|structurelle]]. Il découvre que de multiples configurations, maintenant dénommées [[anneau euclidien|anneaux euclidiens]], bénéficient des mêmes propriétés et donc d'une arithmétique analogue. De nouveaux ensembles de nombres sont étudiés, parfois de [[corps fini|cardinal fini]], parfois [[entier de Gauss|généralisant les entiers]]. Ces résultats offrent des démonstrations plus simples du théorème des deux carrés<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801|loc=§ 182}}.</ref>, permettent de prouver la loi de réciprocité quadratique<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801|p=96}}.</ref> et étendent la classification des formes quadratiques de Lagrange<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801|p=338}}.</ref>.

Les travaux de Gauss influencent les mathématiciens du siècle. [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Jacobi]] les utilise pour établir une démonstration du nombre exact de décompositions d'un entier en deux carrés {{supra|Le cas général}}. [[Richard Dedekind]], le dernier en date des élèves de Gauss, propose deux preuves à la fois élégantes et concises à l'aide des entiers de Gauss. Celle présentée dans cet article est la seconde<ref name="Dedekind">{{Ouvrage|langue=de|prénom1=R.|nom1=Dedekind|titre=Vorlesungen über Zahlentheorie|lieu=Brunswick|éditeur=Vieweg und Sohn|année=1894|numéro d'édition=4}} La preuve est proposée dans le supplément XI rédigé par Dedekind. Le texte principal est une publication par Dedekind d'un travail de [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] intitulé ''Leçons en théorie des nombres''.</ref>.

Si les idées de Gauss permettent de mieux comprendre les nombres, {{Pas clair|date=13/08/2016|le cas général}} reste hors de portée. Pour y arriver, il faudrait être capable de classifier toutes les formes quadratiques et les avancées du mathématicien sont insuffisantes. Cette classification suppose la connaissance des structures des extensions d'entiers, appelées [[entier algébrique|entiers algébriques]]. Si ces ensembles disposent toujours d'une addition et d'une multiplication conférant une structure d'[[anneau unitaire|anneau]], plus la valeur ''n'' augmente plus elle devient complexe. La [[division euclidienne]] disparait, puis, fait encore plus gênant, le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] garantissant l'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'évanouit à son tour.

[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] <small>([[1805 en science|1805]]-[[1859 en science|1859]])</small> élucide la structure des [[théorème des unités de Dirichlet|éléments inversibles]], [[Ernst Kummer]] <small>([[1810 en science|1810]]-[[1893 en science|1893]])</small> trouve comment remplacer les facteurs premiers manquant à l'aide d'une notion maintenant appelée [[idéal]], [[Évariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]]-[[1832 en science|1832]])</small> ébauche une [[théorie de Galois|vaste théorie]] permettant de {{Pas clair|date=13/08/2016|mieux comprendre comment les nombres se multiplient}}. Chacun des progrès, conséquence de l'œuvre de ces différents savants, permet de {{Pas clair|date=13/08/2016|résoudre quelques cas supplémentaires}}<ref>Cette analyse est un résumé de : {{en}} [[Franz Lemmermeyer]], ''The development of the principal genus theorem'', {{arxiv2|math/0207306}}.</ref>. {{Pas clair|date=13/08/2016|Le cas général}} n'est finalement résolu qu'à la dernière année du siècle grâce à la touche finale de [[David Hilbert]]<ref>{{de}} D. Hilbert, ''{{lang|de|texte=Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper}}'', Jahresber. DMV '''6''', 1899.</ref>.

== Démonstrations ==
Les différentes démonstrations sont regroupées en fonction des époques et des auteurs. En revanche, la rédaction choisie utilise le formalisme moderne : ainsi, la présentation des résultats de Diophante est très éloignée de la forme géométrique présente dans les textes originaux. Les preuves ont été choisies pour leur simplicité. En conséquence, la démonstration fondée sur les entiers de Gauss est due à Dedekind, celle utilisant les résultats de Lagrange sur les formes quadratiques est due à Gauss et certains résultats de Fermat sont exprimés en termes de résidus, vocable contemporain qui n'apparaît qu'à la fin du {{s-|XVIII}}. Parmi les autres démonstrations figurent notamment celle utilisant le [[théorème de Minkowski]] sur les [[Ensemble convexe|ensembles convexes]]{{Sfn|Goldman|1998|loc=§22.5}} et celle en une phrase de [[Don Zagier]], fondée sur les [[Involution (mathématiques)|involutions]].

=== Époque de Diophante ===
D'après l'identité de Diophante :
* ''Si deux entiers sont sommes de deux carrés, alors leur produit est aussi somme de deux carrés.''
Un autre constat élémentaire est le suivant :
*''Si une somme de trois carrés est divisible par'' 4 ''alors les trois carrés le sont.''
* ''Un entier de la forme'' 4''k'' – 1 ''n'est jamais somme de deux carrés de rationnels.''
{{démonstration|1=
*'''Si une somme de trois carrés est divisible par 4 alors les trois carrés le sont :'''
Cette propriété provient du fait que la division d'un carré par 4 ne peut donner pour reste qu'une des deux valeurs 0 ou 1. En effet, soit ''a'' = 2''m + e'' un entier, avec ''e'' égal à 0 ou 1 (selon la [[Parité (arithmétique)|parité]] de ''a''), alors ''e''{{2}}, qui vaut 0 ou 1, est le reste de la division par 4 de ''a''{{2}} = 4(''m''{{2}} + ''me'') + ''e''{{2}}.<br />Si ''n'' est une somme de trois carrés ''a''{{2}} = 4''M'' + ''e'', ''b''{{2}} = 4''N'' + ''f'', ''c''{{2}} = 4''O'' + ''g'', avec ''e'', ''f'' et ''g'' égaux chacun à 0 ou 1, alors ''e + f + g'', qui vaut 0, 1, 2 ou 3, est le reste de la division par 4 de ''n'' = 4(''M + N + O'') + ''e + f + g''. Si ce reste est nul, ''e = f = g'' = 0.
*'''Un entier de la forme 4''k'' – 1 n'est jamais somme de deux carrés de rationnels.'''
En effet, une telle somme s'écrit
:<math>\left(\frac uU\right)^2+\left(\frac vV\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}</math>
avec <math>a=uV,b=vU,c=UV</math> entiers, que l'on peut, en les divisant simultanément par 2 autant de fois que possible, rendre non tous trois pairs. Dans ces conditions, <math>\frac{a^2+b^2}{c^2}</math> ne peut pas être un entier de la forme <math>4k-1</math> car on aurait alors <math>4kc^2=a^2+b^2+c^2</math>, ce qui est impossible d'après le point précédent.
}}

=== Fermat et [[Petit théorème de Fermat|son ''petit théorème'']] ===
Une étape de la démonstration consiste à identifier et reformuler une condition nécessaire — dont chacune des cinq sections suivantes montrera qu'elle est suffisante — pour qu'un nombre premier ''p'' soit somme de deux carrés, en remarquant que si ''x''{{2}} + ''y''{{2}} est premier ou, plus généralement, [[entier sans facteur carré|sans facteur carré]], alors ''x'' et ''y'' sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]].

Une condition nécessaire pour que ''p soit'' somme de deux carrés est donc qu'il ''divise'' une somme de deux carrés ''premiers entre eux''. Or :

{{énoncé|Si un entier positif divise une somme de deux carrés premiers entre eux, alors il n'est pas de la forme 4''n'' – 1.}}

La première démonstration publiée, due à Euler<ref name=EulerNécessité>Euler démontre dès 1742 l'énoncé équivalent : une somme de deux carrés ''a''{{2}} + ''b''{{2}} ne peut être divisible par un nombre premier ''p'' de la forme 4''n'' – 1 que si ''a'' et ''b'' sont divisibles par ''p'' (''[http://eulerarchive.maa.org/correspondence/letters/OO0761.pdf Lettre XXXIX]'', Euler à Goldbach, 6 mars 1742 et {{Article|lang=la|titre=Theoremata circa divisores numerorum ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E134.html E134])|revue=Novi Comment. [[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Acad. Sci. Petrop.]]|vol=1|année=1750|p.=20-48|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E134.pdf}}, écrit et présenté en 1747, § 16, 17 et 20).<br />En 1743, Goldbach lui en communique une autre preuve (''[http://eulerarchive.maa.org/correspondence/letters/OO0787.pdf Lettre LXV]'', Goldbach à Euler, 28 septembre 1743). Euler, surpris par la simplicité de cette démonstration<!--Dickson p. 230 note 23-->, se dit émerveillé et reconnaissant, car il prévoit que {{Citation|la plupart des théorèmes de Fermat pourront être prouvés de la même manière}} (''[http://eulerarchive.maa.org/correspondence/letters/OO0788.pdf Lettre LXVI]'', Euler à Goldbach, 15 octobre 1743). {{harvsp|Weil|p=211}}, explicite cette intuition : {{Citation étrangère|lang=en|[…] it contains the first germ of the [[#XVIIIe siècle : preuves et extensions|Lagrangian reduction for binary quadratic forms]]}}.</ref>, utilise le [[petit théorème de Fermat]] :
{{Démonstration|1=
*Soit ''p'' un nombre premier de la forme 4''n'' – 1 et ne divisant ni ''a'', ni ''b''. D'après le petit théorème de Fermat, ''p'' divise ''a''{{exp|''p''–1}} – ''b''{{exp|''p''–1}} donc il ne divise pas ''a''{{exp|''p''–1}} + ''b''{{exp|''p''–1}}. Par conséquent, il ne divise pas non plus [[Identité remarquable#Différence ou somme de puissances|''a''{{2}} + ''b''{{2}}, qui est un facteur de ''a''{{exp|''p''–1}} + ''b''{{exp|''p''–1}}]] puisque ''p'' – 1 = 2(2''n'' – 1) est le double d'un nombre impair.
*Soit ''m'' un entier positif de la forme 4''n'' – 1, alors ''m'' admet au moins un facteur premier ''p'' de la même forme donc (d'après le point précédent) ''m'' ne divise aucune somme de deux carrés premiers entre eux.
}}
Cette proposition suffit à prouver que la condition [[#Le cas général|pour qu'un entier positif soit somme de deux carrés]] est nécessaire {{infra|Généralisation à tous les entiers|généralisation à tous les entiers}}.

De plus, l'implication de cette proposition, restreinte aux nombres premiers, est en fait une équivalence :
{{énoncé|Un nombre premier ''p'' ≠ 2 divise (au moins) une somme de deux carrés premiers entre eux si (et seulement si) ''p'' est de la forme 4''n'' + 1.}}

De nombreuses approches permettent d'établir qu'un premier de la forme 4''n'' + 1 divise une telle somme. Elles utilisent souvent aussi le petit théorème de Fermat. La première publiée, encore due à Euler<ref name=EulerFin>{{Lien web|id=LettreCXXV|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0852.pdf|titre=Lettre CXXV|sous-titre=Euler à Goldbach|date=12/4/1749}} et {{Article|id=E241|lang=la|auteur=Euler|titre=Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E241.html E241])|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Petrop.|vol=5|année=1760|p.=3-13|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E241.pdf}} (écrit en 1750, présenté en 1754).</ref>, est, chronologiquement, le « dernier maillon » de sa preuve du théorème des deux carrés. Une connaissance plus avancée en [[arithmétique modulaire]] permet une démonstration plus expéditive.

{{Démonstration|titre= Démonstrations avec et sans arithmétique modulaire|contenu=
(Voir aussi le [[Théorème de Wilson#Démonstrations de Lagrange|corollaire par Lagrange de son théorème « de Wilson »]], la [[Loi de réciprocité quadratique#Premier énoncé|première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique]], ou {{Harvsp|E552}}.)

Le petit théorème de Fermat montre que si ''a'' et ''b'' sont deux entiers compris entre 1 et ''p'' – 1, alors ''a''{{exp|''p''–1}} – ''b''{{exp|''p''–1}} est un multiple de ''p'', ou encore, en notant ''n'' l'entier (strictement positif) tel que ''p'' = 4''n'' + 1 : {{nobr|(''a''{{exp|2''n''}} – ''b''{{exp|2''n''}})(''a''{{exp|2''n''}} + ''b''{{exp|2''n''}})}} est un multiple de ''p''. Comme ''p'' est premier, l'un des deux facteurs est un multiple de ''p''. Il suffit de trouver, entre 1 et ''p'' – 1, deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels que ''a''{{exp|2''n''}} – ''b''{{exp|2''n''}} n'est pas un multiple de ''p'' : alors, (''a{{exp|n}}''){{2}} + (''b{{exp|n}}''){{2}} sera un multiple de ''p'' de la forme voulue. On va même imposer de plus ''b'' = 1<ref>Cette partie de la démonstration figure déjà dans la {{Harvsp|LettreCV|texte=Lettre CV}}, où Euler affirme sans preuve qu'il existe des solutions (''a'', ''b''), et dans {{Harvsp|E228}}, où il remarque de plus (§ 30) qu'on peut [[sans perte de généralité]] imposer ''b'' = 1 et (§ 31) qu'il existe 2''n'' entiers ''a'' non [[Résidu quadratique|carrés mod ''p'']], dont il conjecture qu'ils sont solutions : c'est le [[critère d'Euler]], qu'il ne parviendra à démontrer qu'en 1755 ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E262.html E262]).</ref>.
* '''Démonstration par l'arithmétique modulaire :'''
Dans le [[anneau ℤ/nℤ|corps commutatif ℤ/''p''ℤ]], le polynôme ''X''{{exp|2''n''}} – 1 a au plus 2''n'' [[Racine d'un polynôme|racines]], soit moins que 4''n'', le nombre d'éléments non nuls du corps. Il existe donc un entier ''a'' vérifiant les conditions voulues.
* '''Démonstration d'Euler par les [[Différence finie|différences finies]]<ref>{{harvsp|Weil|p=65}}, présente comme celle d'Euler cette version, qui est plus exactement {{harv|Weil|p=194-195}} celle, simplifiée ultérieurement, de son ''[http://eulerarchive.maa.org/pages/E792.html Tractatus de numerorum doctrina]'' posthume (chap. 8, § 257-260). Cette version simplifiée figure aussi dans [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]], ''Théorie abrégée des nombres premiers'', 1776, art. X, {{Google Livres|ngIOAAAAQAAJ|page=449|aperçu}}.<!--Via Dickson p. 232 note 34. Trouvé seulement cette publi de Laplace en appendice de l'éd. 1776 du traité d'alg. élém. de Bossut. L'éd. de 1773 n'a pas d'appendice-->  [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] s'en était déjà inspiré, en 1771, dans [[Théorème de Wilson#Démonstrations de Lagrange|sa seconde preuve du théorème de Wilson]].</ref> :'''

Considérons la suite de polynômes ''Q{{ind|i}}''(''X'') définie par récurrence de la manière suivante :
<center><math>Q_0(X)= X^{2n}-1\quad \text{et}\quad Q_{i+1}(X)=Q_i(X+1)-Q_i(X).</math></center>

Pour tout entier ''i'' compris entre 1 et 2''n'', le polynôme ''Q{{ind|i}}'' est de degré 2''n – i'' et son coefficient dominant est égal à {{nobr|(2''n'')(2''n'' – 1)… (2''n – i'' + 1).}} En particulier, ''Q''{{ind|2''n''}}(1) = [[factorielle|(2''n'')!]]. Comme ''p'' est premier et strictement supérieur à 2''n'', il n'est pas diviseur de (2''n'')!. Or ''Q''{{ind|2''n''}}(1) est [[combinaison linéaire]] à [[coefficient]]s [[entier relatif|entiers]] des entiers ''Q''{{ind|0}}(1), ''Q''{{ind|0}}(2), … , ''Q''{{ind|0}}(1 + 2''n''). L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de ''p'', ce qui termine la démonstration<ref>Ou encore (cf. {{Harvsp|LettreCXXV|texte=Lettre CXXV}} ou {{Harvsp|E241}}) : ''Q''{{ind|2''n''}}(1) est combinaison de ''Q''{{ind|1}}(1), ''Q''{{ind|1}}(2), … , ''Q''{{ind|1}}(2''n'') donc il existe entre 1 et ''p'' – 1 deux entiers consécutifs ''a'' et ''b'' tels que ''p'' ne divise pas ''a''{{exp|2''n''}} – ''b''{{exp|2''n''}}.</ref>.
}}

Euler caractérisera de même par la suite les nombres premiers divisant un entier de la forme ''a''{{2}} + 2''b''{{2}}, ou de la forme ''a''{{2}} + 3''b''{{2}}, avec ''a'' et ''b'' premiers entre eux {{Infra|Résultats connexes}}.

=== Euler et la descente infinie ===
La première partie de la démonstration d'Euler, présentée ici, utilise la [[méthode de descente infinie]] de Fermat. Cette méthode, souvent utilisée en arithmétique, se fonde sur les propriétés des [[entier naturel|entiers positifs]]. Elle propose des [[Raisonnement par l'absurde|raisonnements par l'absurde]] consistant, à l'aide des hypothèses, à construire une [[Suite (mathématiques)|suite infinie]] strictement décroissante d'entiers positifs. Comme une telle suite n'existe pas, il est démontré qu'une hypothèse est fausse.

Les démonstrations de cette nature s'appliquent plus naturellement pour l'obtention de propriété d'inexistence de solutions. Fermat l'utilise en particulier pour montrer une proposition équivalente à celle de son [[Dernier théorème de Fermat|grand théorème]] pour ''n'' égal à 4. La difficulté ici consiste à appliquer cette méthode pour démontrer un résultat positif : l'existence de solution<ref name="Fermat 59" />. Euler trouve une méthode astucieuse ; il établit d'abord le lemme suivant<ref>{{Lien web|id=LettreCV|url=http://eulerarchive.maa.org/correspondence/letters/OO0829.pdf|titre=Lettre CV|sous-titre=Euler à Goldbach|date=6/5/1747}} et {{Article|lang=la|id=E228|auteur=Euler|titre=De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E228.html E228])|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop.|vol=4|année=1758|p.=3-40|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E228.pdf}} (écrit en 1749, présenté en 1752), [http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E228en.pdf traduction en anglais]. Euler donnera une preuve plus élégante<!--Dixit Dickson p. 231--> dans {{Article|lang=la|id=E445|titre=Novae demonstrationes circa [[Théorème des quatre carrés|resolutionem numerorum in quadrata]] (E445)|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E445.html|revue=Nova [[Acta Eruditorum]]|année=1773|p.=48-69}} (écrit en 1772).</ref> en utilisant la descente infinie :
{{énoncé|Si un entier ''n'' > 0 est somme de deux carrés [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], alors tout diviseur de ''n'' est somme de deux carrés.}}
Remarque : [[#Époque de Diophante|on retrouve comme corollaire]] qu'[[#Fermat et son petit théorème|un tel diviseur n'est pas de la forme 4''k'' – 1]].

Ses étapes préparatoires à ce lemme sont :
* ''Si un produit pq est somme de deux carrés et si le facteur p est un nombre premier somme de deux carrés, alors l'entier q est aussi somme de deux carrés.''<br />(Son calcul montre de plus que si un nombre premier est somme de deux carrés, alors les deux carrés sont uniques.)
* ''Si un produit pq (p et q entiers strictement positifs) est somme de deux carrés et si q n'est pas somme de deux carrés, alors p possède un [[facteur premier]] p{{'}} qui n'est pas somme de deux carrés.''

{{Démonstration|titre=Résumé détaillé de la démonstration du lemme|contenu=
Dans ses lettres à Goldbach, Euler note <math> p=\begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math> la propriété d'un entier ''p'' d'être somme de deux carrés d'entiers. Avec cette notation, l'argument d'Euler {{Harv|E228}} se détaille ainsi.

:'''1'''. Si <math> pq= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math> et <math> p= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math> (''p'' premier, ''q'' entier), alors <math> q= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}</math>. (Propositio 1).

:''Preuve''. Soit <math>pq=a^2+b^2,\ p=c^2+d^2</math>. On a <math>p|c^2pq-pa^2=c^2b^2-a^2d^2</math>, d'où <math>p|bc\pm ad</math> : ainsi <math>bc\pm ad=mp=mc^2+md^2</math>.
:D'autre part si l'on définit ''x'' et ''y'' par <math>b=mc+x</math> et <math>a=\pm md+y</math>, alors <math>bc\pm ad=mc^2+cx+md^2\pm dy</math>.
:Donc <math>xc\pm dy=0</math>, et [[Lemme d'Euclide|comme {{math|1=(''c'', ''d'') = 1}}, <math>x=nd</math> et <math>y=\mp nc</math>]]. 
:Il suit donc que <math>pq=(md-nc)^2+(mc+nd)^2=(m^2+n^2)(c^2+d^2)</math><ref>Le calcul fait apparaître naturellement l'identité de Diophante. On peut de plus remarquer que si ''m''{{2}} + ''n''{{2}} = 1 alors {''a'', ''b''} = {''c'', ''d''}.</ref>. 

:'''2'''. Si <math>q\prod_{i=1}^kp_i= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math> et <math> p_i= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ \forall i</math> (''p''{{ind|i}} premiers, ''q'' entier), alors <math> q= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}</math>. (Corollaria 1-4).

:''Preuve''. Immédiat par 1 et par un argument de récurrence sur ''k''.

:'''3'''. Si <math> pq= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math> et <math> q\not= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math> (''p'' et ''q'' entiers > 0), alors il existe un facteur premier ''p' '' de ''p'', <math>  p'\not=\begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math>. (Propositio 2).

:''Preuve''. C'est la [[contraposée]] de 2.

:'''4'''. Si <math>p>1</math> est un entier, <math>p|a^2+b^2,\ (a,b)=1</math>, alors il existe des entiers <math>c, d</math>, avec <math> p|c^2+d^2\le p^2/2,\ (c,d)=1</math>. (Propositio 3)<ref>Euler ne précise pas qu'il peut prendre ''c'' et ''d'' premiers entre eux mais l'utilise dans son argument final de descente infinie.</ref>.

:''Preuve''. Pour des entiers non négatifs ''c'' et ''d'' inférieurs à ''p''/2, <math>a\equiv\pm c(p)</math> et <math>b\equiv\pm d(p)</math>. 
:Donc <math>p|c^2+d^2=:(c,d)^2(c_1^2+d_1^2)</math>, où <math>(c_1, d_1)=1</math> .
:Comme <math>(a,b)=1</math>, <math>(c,d)</math> n'a pas de facteur premier avec ''p'', et donc <math>p|c_1^2+d_1^2\le p^2/2</math>.

:'''5'''. Si <math>q</math> est un entier et <math>q|a^2+b^2,\ (a,b)=1</math>, alors <math> q= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math>. (Propositio 4).

:''Preuve''. Sinon, soit <math>q</math> le plus petit entier satisfaisant <math>q|a^2+b^2,\ (a,b)=1</math>, et <math> q\not= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math>. Clairement <math>q>1</math>. 
:Par 4 il existe des entiers ''c'' et ''d'' tels que <math>q|c^2+d^2=:pq\le q^2/2,\ (c,d)=1</math>.
:Par 3 il existe <math>p'|p,\ p'\not= \begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline\end{array}\ </math>. 
:Mais <math>p'<q</math> contredit la minimalité de ''q'', qui ne peut donc pas exister. 
:(Ici, Euler donne plutôt un argument de descente infinie : il ne suppose pas ''q'' minimal, et réitère le procédé sur ''p' '', puis sur l'entier inférieur à ''p' '' ainsi obtenu, etc.).
}}

Une fois ce résultat établi, Euler, ayant enfin réussi à démontrer que tout nombre premier ''p'' de la forme 4''n'' + 1 ''divise'' une somme de deux carrés premiers entre eux {{supra|Fermat et son petit théorème}}, en déduit que ''p est'' une somme de deux carrés<ref name=EulerFin/>.

La même méthode lui permettra de montrer, par exemple<ref>{{Article|lang=la|auteur=Euler|titre=Specimen de usu observationum in mathesi pura ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E256.html E256])|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Petrop|vol=6|année=1761|p.=185-230}} (écrit en 1751, présenté en 1754).</ref>, que si ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, un nombre premier de la forme 8''n'' – 1 ou 8''n'' – 3 ne peut pas diviser ''a''{{2}} + 2''b''{{2}} (car il serait alors lui-même de cette forme, ce qui est impossible, par un raisonnement « [[#Époque de Diophante|à la Diophante]] ») et {{Citation|un ami}} (peut-être [[Anders Lexell|Lexell]]<ref name=Weil212/>) lui fera remarquer qu'elle montre de même<ref>{{Article|id=E449|lang=la|auteur=Euler|titre=Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E449.html E449])|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Petrop|vol=18|année=1774|p.=85-135|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E449.pdf}} (écrit en 1772), {{n°|85}} (double) et suivants.</ref> qu'un nombre premier de la forme  8''n'' ± 3 ne peut pas diviser ''a''{{2}} – 2''b''{{2}}.

=== Lagrange et les formes quadratiques ===
Lagrange poursuit de façon plus systématique les recherches amorcées par son ''[[wikt:mentor|mentor]]'' et établit entre autres le résultat suivant<ref>{{Harvsp|RecherchesAri|texte=« Recherches d'arithmétique »}}, ''Œuvres'', vol. III, théorème III, {{p.|700}}.</ref> :

{{énoncé|1=Tout diviseur d'un nombre de la forme ''a''α{{2}} + ''b''αγ + ''c''γ{{2}} avec α et γ premiers entre eux est de la forme ''Au''{{2}} + ''Buv'' + ''Cv''{{2}} avec ''B''{{2}} – 4''AC'' = ''b''{{2}} – 4''ac'' et {{!}}''B''{{!}} ≤ {{!}}''A''{{!}}, {{!}}''C''{{!}}.}}

{{Démonstration/début}}
Notons ''m'' ce diviseur, ''mn = a''α{{2}} + ''b''αγ + ''c''γ{{2}}, et β, δ entiers tels que [[Théorème de Bachet-Bézout|αδ – βγ = 1]]. En effectuant dans ''q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} le changement de variables ''x'' = α''X'' + β''Y'', ''y'' = γ''X'' + δ''Y'', on construit une [[#XVIIIe siècle : preuves et extensions|forme quadratique entière]] {{nobr|1=''Q''(''X'', ''Y'') = ''a{{'}} X''{{2}} + ''b{{'}} XY'' + ''c{{'}} Y''{{2}}}} équivalente à ''q'' et telle que ''mn = q''(α, γ) = ''Q''(1, 0) = ''a{{'}}''. Considérons alors la forme ''R''(''X'', ''Y'') := ''mX''{{2}} + ''b{{'}}XY'' + ''nc{{'}} Y''{{2}}, de discriminant ''b{{'}} ''{{2}} – 4''mnc{{'}} = b{{'}} ''{{2}} – 4''a{{'}}c{{'}} = b''{{2}} – 4''ac''.

Pour toute forme ''r''(''U'', ''V'') = ''AU''{{2}} + ''BUV'' + ''CV''{{2}} équivalente à ''R''(''X'', ''Y'') par un changement de variables ''U = uX + sY'', ''V = vX + tY'' avec ''ut – sv'' = 1, on a ''r''(''u'', ''v'') = ''R''(1, 0) = ''m'', et le discriminant est conservé : {{nobr|1=''B''{{2}} – 4''AC'' = ''b''{{2}} – 4''ac''.}} Parmi ces formes ''r'', choisissons-en une pour laquelle |''B''| est minimum. Le coefficient de ''UV'' dans ''r''(''U + kV'', ''V'') est égal à 2''Ak + B'' donc
{{retrait|<math>\forall k\in\Z\quad|B|\le|2Ak+B|,</math>}}
ce qui prouve que |''A''| ≥ |''B''|. On montre de même que |''C''| ≥ |''B''|.
{{Démonstration/fin}}

Soit ''p'' un nombre premier congru à 1 modulo 4. Il divise une somme de deux carrés premiers entre eux {{supra|Fermat et son petit théorème}}. D'après le théorème de Lagrange appliqué à (''a'', ''b'', ''c'') = (1, 0, 1), il s'écrit donc ''Au''{{2}} + ''Buv'' + ''Cv''{{2}} = ''p'' (> 0) avec {{nobr|1=''B''{{2}} – 4''AC'' = –4 < 0}} (donc ''A'', ''C'' > 0) et –4 ≤ ''B''{{2}} – 4''B''{{2}}. On en déduit que ''B''{{2}} est pair et ≤ 4/3, donc ''B'' = 0 et ''A'' = ''C'' = 1, si bien que ''p = u''{{2}} + ''v''{{2}}<ref>{{Harvsp|RecherchesAri|texte=« Recherches d'arithmétique »}}, ''Œuvres'', vol. III, {{p.|707}}.</ref>.

=== Gauss et ses entiers ===
{{Article détaillé|Entier de Gauss}}
[[Fichier:Dedekind.jpeg|thumb|left|[[Richard Dedekind]] est l'auteur de la démonstration proposée ici.]]
[[Fichier:Fermat deux carrés.jpg|thumb|upright=1.5|Illustration de la démonstration par les entiers de Gauss.]]
L'adjonction d'une géométrie euclidienne à la question des deux carrés est d'un incontestable apport. Elle permet d'introduire les outils de l'algèbre linéaire dans l'arithmétique. Elle ouvre cependant plus de questions qu'elle n'en résout. Bien peu d'outils restent disponibles pour attaquer le cas général. Gauss propose un nouvel enrichissement structurel de l'ensemble des couples de coordonnées entières. Le plan, qui dispose déjà d'une addition, d'un produit externe par un élément de ℤ et d'une forme quadratique, est en plus équipé d'une multiplication interne. Le point (''a'', ''b'') de coordonnées entières est identifié au [[nombre complexe|complexe]] {{nobr|''a'' + ''b''{{math|i}}.}} L'ensemble ℤ[{{math|i}}] de ces points dispose alors d'une structure d'anneau dont les éléments sont appelés entiers de Gauss.

La forme quadratique est maintenant interprétée comme une [[Norme (théorie des corps)|norme]]. À un point ''z'' est associée la norme ''N''(''z'') définie comme le produit de ''z'' et de son [[conjugué]]. La norme dispose d'un double avantage pour le théorème des deux carrés : la question posée s'exprime sous une forme simple ''N''(''z'') = ''p'' et la norme, qui à un entier de Gauss associe un entier positif, est [[Fonction multiplicative|multiplicative]], c'est-à-dire :
<center><math>\forall z_1,z_2 \in\Z[\mathrm i]\quad N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2)</math></center>
(cet avatar de l'[[#XVIIe siècle : les énoncés|identité de Diophante]] [[Entier de Gauss#Norme|peut se redémontrer]] en utilisant que la conjugaison est elle-même multiplicative).

Muni de cette norme, l'anneau est [[anneau euclidien|euclidien]], c'est-à-dire que si ''b'' ≠ 0 et ''a'' sont deux entiers de Gauss :
<center><math>\exists q,r \in\Z[{\rm i}]\quad a=bq+r\quad \text{avec}\quad N(r)<N(b).</math></center>
Tout anneau euclidien est aussi [[anneau factoriel|factoriel]], ce qui signifie que le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] s'applique encore. Il existe ainsi des [[nombre premier de Gauss|nombres premiers de Gauss]] et une décomposition en facteur premiers, unique à produits près par les [[groupe des unités|inversibles de l'anneau]].

Les normes de la forme ''m''{{2}} + 1 vont intervenir via la [[Loi de réciprocité quadratique#Premier énoncé|première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique]], simple reformulation de l'analyse faite [[#Fermat et son petit théorème|plus haut]] de la propriété « ''p'' divise une somme de deux carrés premiers entre eux » :

{{énoncé|Pour tout nombre premier ''p'' ≠ 2, il existe un entier ''m'' tel que ''p'' divise ''m''{{2}} + 1 si et seulement si ''p'' ≡ 1 mod 4.}}
	 
{{Démonstration/début}}
Si ''p'' ≡ 1 mod 4 alors ''p'' divise une somme de deux carrés, ''u''{{2}} et ''v''{{2}}, premiers entre eux donc premiers avec ''p'', et l'on a bien [[Résidu quadratique|–1 ≡ ''m''{{2}} mod ''p'']], en prenant par exemple ''m'' égal au produit de ''u'' par l'[[inverse modulaire]] de ''v'' (et sinon, ''p'' ne divise aucune somme de deux carrés premiers entre eux, en particulier aucune somme de la forme ''m''{{2}} + 1).
{{Démonstration/fin}}

Ce nouveau cadre structurel permet de démontrer le théorème en quelques lignes. Si ''p'' est un nombre premier congru à 1 modulo 4, l'objectif est de montrer l'existence d'un entier de Gauss ''z'' tel que ''N''(''z'') = ''p''. Il existe deux entiers relatifs ''m'' et ''q'' tels que {{nobr|1=''m''{{2}} + 1 = ''pq'',}} autrement dit :
<center><math>(m+\mathrm i)(m-\mathrm i) =pq.</math></center>
Cette égalité prouve que ''p'' n'est pas premier comme entier de Gauss, puisqu'il ne divise ni ''m'' + {{math|i}}, ni ''m'' – {{math|i}}, le nombre complexe (''m''/''p'') ± (1/''p''){{math|i}} n'étant pas un entier de Gauss. Il existe donc, dans l'anneau des entiers de Gauss, deux éléments non inversibles ''z''{{ind|1}} et ''z''{{ind|2}} dont le produit est égal à ''p''. Leur normes sont alors différentes de 1 et de produit égal à ''p''{{2}}. Comme ''p'' est premier, on en déduit que ces deux normes sont égales à ''p'', ce qui termine la démonstration<ref name="Dedekind"/>{{,}}<ref>{{Chapitre|lang=en|auteur=[[Barry Mazur]]|année=2010|titre=Algebraic Numbers — Representations of Prime Numbers by Binary Quadratic Forms|auteurs ouvrage=[[Timothy Gowers]]|titre ouvrage=The Princeton Companion to Mathematics|éditeur=[[Princeton University Press]]|url={{Google Livres|ZOfUsvemJDMC|page=325}}|page=325|numéro chapitre=IV.1, § 9}}.</ref>.

=== [[Lemme de Thue]] ===
Le lemme de [[Axel Thue|Thue]], qui n'a été démontré qu'au début du {{s-|XX}} mais utilise simplement le [[principe des tiroirs]] de [[Dirichlet]], permet de prouver que pour tout nombre premier ''p'' ≠ 2, la condition « –1 est un [[Résidu quadratique|carré modulo]] ''p'' », identifiée plus haut {{nobr|(§ [[#Gauss et ses entiers|« Gauss et ses entiers »]] et [[#Fermat et son petit théorème|« Fermat et son ''petit théorème'' »]])}} comme équivalente à ''p'' ≡ 1 (mod 4) et nécessaire pour que ''p'' soit somme de deux carrés, est également suffisante<ref>{{Harvsp|Niven|Zuckerman|Montgomery|1991|p=54-55}}, lemme 2.13.</ref>. Plus généralement (cf. « [[Lemme de Thue#Application aux sommes de deux carrés|Application du lemme de Thue aux sommes de deux carrés]] ») :
{{énoncé|Un entier ''n'' > 0 est somme de deux carrés premiers entre eux si (et seulement si) –1 est un carré modulo ''n''.}}
On en déduit immédiatement :
*le théorème principal : un nombre premier ''p'' ≠ 2 est somme de deux carrés si (et seulement si) ''p'' ≡ 1 (mod 4) ;
*le fait que si un entier ''n'' > 0 est somme de deux carrés premiers entre eux, alors tout diviseur de ''n'' est somme de deux carrés ''premiers entre eux'', ce qui constitue une « version forte » du [[#Euler et la descente infinie|lemme qui permit à Euler de démontrer ce théorème]].

=== Preuve en une phrase de Don Zagier ===
[[Don Zagier]] a publié en 1990 une démonstration constituée d'une seule phrase<ref>{{Article
 | langue          =en
 | prénom1         =Don 
 | nom1            =Zagier
 | titre           =A One-Sentence Proof That Every Prime p=1(mod 4) Is a Sum of Two Squares
 | périodique=[[The American Mathematical Monthly]]
 | volume          =92 
 | numéro          =2 
 | année           =1990
 | pages           =144 }}.</ref> :

{{Début citation}}L'[[Involution (mathématiques)|involution]] sur l'ensemble fini
:<math>S=\{(x,y,z)\in\N^3~|~x^2+4yz=p\}</math>
définie par
:<math>(x,y,z)\mapsto\left\{
\begin{array}{cl}(x+2z,z,y-x-z)&\mathrm{si}\quad x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z)&\mathrm{si}\quad y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y)&\mathrm{si}\quad x>2y
\end{array}\right.</math> 
a exactement un [[point fixe]], donc |''S''| est impair et l'involution définie par
:<math>(x,y,z)\mapsto(x,z,y)</math>
a aussi un point fixe.{{Fin citation}}

En effet, un calcul élémentaire permet de vérifier d'une part que ces deux applications sont bien des involutions de ''S'' (si bien que la parité du nombre de points fixes de chacune d'elles est la même que celle du nombre |''S''| d'éléments de ''S'') et d'autre part que la première a un unique point fixe (le triplet (1, 1, ''k''), où ''k'' est l'entier tel que ''p'' = 4''k ''+ 1). Ceci prouve que la seconde involution a un nombre impair de points fixes, donc au moins un, ce qui permet d'écrire ''p'' sous la forme {{nobr|''x''{{2}} + (2''y''){{2}}.}}

Cette démonstration a été par la suite reprise en particulier dans l'ouvrage ''[[Raisonnements divins]]''<ref>Plus précisément, cet ouvrage reprend la preuve de {{Article|lang=en|auteur=[[Roger Heath-Brown|D. R. Heath-Brown]]|titre=Fermat’s  two  squares  theorem|revue=Invariant|vol=11|année=1984|p.=3-5|url=http://eprints.maths.ox.ac.uk/677/}}, que celle de Zagier résumait.</ref>. La preuve de Heath-Brown était elle-même inspirée par une preuve de [[Joseph Liouville|Liouville]]. La technique de la preuve est une analogie combinatoire du principe topologique que la [[caractéristique d'Euler]] d'un [[espace topologique]] avec une involution a la même parité que celle de l'ensemble de ses [[Théorèmes de point fixe|points fixes]]. Elle fait penser à l'utilisation des ''involutions à changement de signe'' dans les preuves de bijections combinatoires. Une interprétation visuelle élémentaire de cette preuve a également été proposée<ref>{{Youtube|id = DjI1NICfjOk|titre = Why was this visual proof missed for 400 years? (Fermat's two square theorem)|langue = anglais|chaîne = [[Burkard Polster|Mathologer]]}}.</ref>.

=== Généralisation à tous les entiers ===
Une fois connus les nombres premiers somme de deux carrés, il devient possible de généraliser la question à tous les entiers :
{{énoncé|Un entier ''n'' > 0 est somme de deux carrés d'entiers si, et seulement si, dans sa [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]], les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 figurent à une puissance paire<ref>Ou, [[Pédantisme|en termes plus savants]] : si, pour tout nombre premier ''p'' congru à 3 modulo 4, la [[Valuation#Valuation p-adique|valuation ''p''-adique]] de ''n'' est paire.</ref>.}}

{{Démonstration|contenu=
*Les nombres premiers non congrus à 3 modulo 4 sont tous sommes de deux carrés.
*Tout produit de puissances paires d'entiers est un carré ''a''{{2}} = ''a''{{2}} + 0{{2}}.
Ainsi, si ''n'' est de la forme décrite dans le théorème, alors ''n'' est un produit de sommes de deux carrés [[#Époque de Diophante|donc ''n'' est somme de deux carrés]].

Réciproquement<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[William J. LeVeque]]|titre=Fundamentals of Number Theory|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=|isbn=}}, Theorem 7.3, {{p.}}[https://books.google.fr/books?id=sWWKAAAAQBAJ&pg=PA181 181]-[https://books.google.fr/books?id=0y3DAgAAQBAJ&pg=PA182 182].</ref>{{,}}<ref name=EulerNécessité/>, supposons que ''n = a''{{2}} + ''b''{{2}}. Soient ''d'' = [[pgcd]](''a'', ''b''), ''a{{'}} = a''/''d'', ''b{{'}} = b''/''d'', ''n{{'}} = a{{'}}'' {{2}} + ''b{{'}}'' {{2}} = ''n''/''d''{{2}} et ''p'' un nombre premier congru à 3 modulo 4. Alors {{supra|Fermat et son petit théorème}} ''p'' ne divise aucune somme de deux carrés premiers entre eux. En particulier, ''p'' ne divise pas ''n{{'}}''. Son exposant dans ''n'' est donc le même que dans ''d''{{2}}. Par conséquent, il est pair.}}

== Résultats connexes ==
En 1654, à la fin d'une lettre à [[Blaise Pascal|Pascal]]<ref>''Lettre XXIV'', Fermat à Pascal, 25 septembre 1654, {{harvsp|Fermat vol. 2|p=310-313}}.</ref>, Fermat conjecture que pour tout nombre premier ''p'' :
*si ''p'' ≡ 1 mod 3 alors ''p'' est de la forme ''x''{{2}} + 3''y''{{2}} et<ref name=Commodité>[[Trivial]]ité que Fermat ne précise pas, mais qui garantit la réciproque.</ref> ''p'' ≠ 3 ;
*si ''p'' ≡ 1 ou 3 mod 8 alors ''p'' est de la forme ''x''{{2}} + 2''y''{{2}} et<ref name=Commodité/> ''p'' ≠ 2<ref>Plus généralement, un entier  positif est de la forme ''x''{{exp|2}} + 2''y''{{2}} si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants des nombres premiers congrus à <math>-1</math> ou <math>-3\bmod8</math> sont pairs : voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières#Exercice 5-14|cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref>.
Les réciproques sont immédiates, par des raisonnements « [[#Époque de Diophante|à la Diophante]] ».

Ces deux conjectures sont pour la première fois démontrés par Euler, en 1759 et, pour le cas ''p'' ≡ 3 mod 8, 1772<ref>{{Article|id=E272|lang=la|auteur=Euler|titre=Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E272.html E272])|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Petrop.|vol=8|année=1763|p.=105-128|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E272.pdf}} (écrit en 1759 et présenté en 1760), complété par {{Harvsp|E449}}.</ref>.

{{Démonstration|titre=Démonstrations d'Euler<ref name=Weil212>{{Harvsp|Weil|p=212}}.</ref>|1=
*'''Si ''p'' = 3''n'' + 1 alors ''p'' est de la forme ''x''{{2}} + 3''y''{{2}} :'''
**On montre d'abord que ''p divise'' un entier de la forme ''a''{{2}} + 3''b''{{2}} avec ''a'' et ''b'' entiers consécutifs. En effet (d'après le petit théorème de Fermat), il divise ''c''{{exp|3''n''+1}} – ''c'' = (''c''{{exp|''n''+1}} – ''c'')(''c''{{exp|2''n''}} + ''c{{exp|n}}'' + 1) pour tout entier ''c'', or il ne divise pas toujours le premier facteur<ref>En 1759, Euler utilise encore sa méthode des différences finies comme dans [[#Fermat et son petit théorème|le cas ''p'' = 4''n'' + 1]], car une propriété fondamentale lui avait échappé : modulo un nombre premier, une congruence de degré ''n'' a au plus ''n'' solutions. Lagrange le démontra dans {{Article|titre=Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers|p.=655-726|revue=Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin|vol=24|année=1770|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k215570z/f656}} {{Harv|Weil|p=198}}.</ref>, donc il divise un entier de la forme {{math|''f ''{{2}} + ''f'' + 1}}, qui s'écrit <math>\left(\tfrac f2+1\right)^2+3\left(\tfrac f2\right)^2</math> si {{math|''f''}} est pair et <math>\left(\tfrac{f-1}2\right)^2+3\left(\tfrac{f+1}2\right)^2</math> si {{math|''f''}} est impair.
**On en déduit que ''p est'' de la forme annoncée, par la même méthode qu'au § « [[#Euler et la descente infinie|Euler et la descente infinie]] ».
*'''Si ''p'' = 8''n'' + 1 alors ''p'' est de la forme ''x''{{2}} + 2''y''{{2}} :''' même méthode, en utilisant les identités ''c''{{exp|8''n''+1}} – ''c'' = (''c''{{exp|4''n''+1}} – ''c'')(''c''{{exp|4''n''}} + 1) et {{math|1=''f ''{{4}} + 1 = (''f ''{{2}} – 1){{2}} + 2''f ''{{2}}}}.
*'''Si ''p'' ≡ 3 mod 8 alors ''p'' est aussi de la forme ''x''{{2}} + 2''y''{{2}} :''' pour tous entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux, ''p'' ne divise ni ''a''{{2}} – 2''b''{{2}} (cf. fin du § « [[#Euler et la descente infinie|Euler et la descente infinie]] »), ni ''a''{{2}} + ''b''{{2}} (§ « [[#Fermat et son petit théorème|Fermat et son petit théorème]] »). Autrement dit : 2 et –1 ne sont pas des carrés mod ''p''. Par conséquent (cf. « [[Critère d'Euler]] »), leur produit –2 en est un, c'est-à-dire que ''p'' divise un entier de la forme ''a''{{2}} + 2''b''{{2}} avec ''a'' et ''b'' premiers entre eux. On conclut par descente infinie, comme dans les deux points précédents.}}

{{Démonstration|titre=Autre démonstration de « ''p'' ≡ 1 mod 3 ⇒ ''p = x''{{2}} + 3''y''{{2}} »<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Elements of Number Theory|auteur=[[John Stillwell]]|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2002|url={{Google Livres|LiAlZO2ntKAC|page=160}}|page=160}}.</ref>|contenu=
*D'après un [[Loi de réciprocité quadratique#Avec des nombres premiers|cas particulier de la loi de réciprocité quadratique]], –3 est un carré mod ''p''. Il existe donc des entiers ''m'' et ''q'' tels que<center><math>(m+\mathrm i\sqrt3)(m-\mathrm i\sqrt3) =pq.</math></center>
*La suite de la démonstration est identique à celle de Dedekind {{supra|Gauss et ses entiers}}, en remplaçant l'anneau des entiers de Gauss par celui (également euclidien) des [[entier d'Eisenstein|entiers d'Eisenstein]], c'est-à-dire des nombres complexes de la forme {{nobr|''a'' + ''b''{{math|j}}}} où {{math|j}} désigne la racine cubique de l'unité (–1 + {{racine|3}} {{math|i}})/2. On trouve ainsi que ''p'' est la norme d'un entier d'Eisenstein ''z = a'' + ''b''{{math|j}}. Un tel élément est de la forme ''x'' + ''y''{{racine|3}} {{math|i}} avec ''x ''et ''y ''entiers si ''b'' est pair. C'est le cas pour au moins l'un des trois entiers d'Eisenstein (de même norme) ''z'', {{math|j}}''z'' et {{math|j}}{{2}}''z'', puisque leur somme est nulle.
}}

Une question naturelle est d'identifier également les entiers positifs qui divisent une somme de deux carrés premiers entre eux, c'est-à-dire {{supra|Gauss et ses entiers}} les entiers modulo lesquels –1 est un carré, donc (§ « [[#Lagrange et les formes quadratiques|Lagrange et les formes quadratiques]] » ou § « [[#Lemme de Thue|Lemme de Thue]] ») les entiers ''égaux'' à une somme de deux carrés premiers entre eux.
*Un entier strictement positif est somme de deux carrés ''premiers entre eux'' si et seulement si tous ses facteurs premiers sont de la forme 4''k'' + 1, sauf le facteur 2, qui peut apparaître au plus à la puissance 1<ref>{{Harvsp|Niven|Zuckerman|Montgomery|1991|p=164}}, théorème 3.20.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|LeVeque|p=183}}, Theorem 7.5, montre de plus que lorsqu'un entier est représentable comme somme de deux carrés premiers entre eux, le nombre de ces représentations est 2{{exp|''s''+2}}, où ''s'' est le nombre de ses diviseurs premiers impairs.</ref>.

{{Démonstration|
*Une somme de deux carrés premiers entre eux n'a aucun facteur premier de la forme 4''k'' – 1 (§ « [[#Fermat et son petit théorème|Fermat et son ''petit théorème'']] ») et n'est pas divisible par 4 (§ « [[#Époque de Diophante|Époque de Diophante]] »).
*Réciproquement, –1 est un carré modulo 2 et modulo tout nombre premier de la forme 4''k'' + 1, donc aussi modulo toute puissance d'un tel premier (cf.  « [[Résidu quadratique#Modulo une puissance d'un nombre premier|Résidu quadratique]] » ou « [[Lemme de Hensel]] »), donc modulo tout produit de telles puissances ou double d'un tel produit (d'après le [[théorème chinois]]). Un entier de cette forme divise par conséquent une somme de deux carrés premiers entre eux, donc est lui-même égal à une telle somme.
}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références}}

=== Ouvrages cités ===
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Leonard Eugene|nom1=Dickson|lien auteur1=Leonard Eugene Dickson|titre=History of the Theory of Numbers|volume=2|éditeur=|année=1999|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|eNjKEBLt_tQC}}|référence=Référence:Histoire de la théorie des nombres (Dickson)}}{{commentaire biblio|Outre son chapitre VI dédié aux sommes de deux carrés, ce volume 2 traite largement Diophante au chapitre II. On y trouve par exemple une analyse précise du contenu mathématiques que le formalisme antique rend complexe.}}
* {{Ouvrage|prénom1=Pierre de|nom1=Fermat|lien auteur1=Pierre de Fermat|titre=Œuvres complètes|volume=2|éditeur=C. Henry & P. Tannery|année=1894|lire en ligne=https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm|id=Fermat vol. 2}}
* {{Ouvrage|langue originale=la|prénom1=Carl Friedrich|nom1=Gauss|lien auteur1=Carl Friedrich Gauss|traducteur=[[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle]]|titre=Recherches arithmétiques|titre original=[[Disquisitiones arithmeticae]]|éditeur=|année=1807|année première édition=1801|wikisource=Livre:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu}}
* {{Ouvrage|prénom1=Catherine|nom1=Goldstein|lien auteur1=Catherine Goldstein|titre=Un théorème de Fermat et ses lecteurs|éditeur=[[Presses universitaires de Vincennes]]|année=1995|pages totales=228|isbn=978-2-910381-10-3}}{{commentaire biblio|Ce texte traite à la fois du contexte historique et des différents lectures et regards des mathématiciens sur l'œuvre de Fermat. En revanche, le théorème traité n'est pas celui de l'article, même si les outils utilisés sont analogues.}}
*{{Ouvrage|auteur=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]]|auteur2=[[Edward Maitland Wright|E. M. Wright]]|langue originale=en|titre original=[https://archive.org/details/AnIntroductionToTheTheoryOfNumbers-4thEd-G.h.HardyE.m.Wright An Introduction to the Theory of Numbers]|traducteur=F. Sauvageot|titre=Introduction à la théorie des nombres|éditeur=[[Vuibert]]-[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|année première édition=1938|référence=Référence:Theory of numbers (HardyWright)}}{{Commentaire biblio|Ce livre est un ouvrage didactique, déjà ancien mais de nombreuses fois réactualisé, et faisant toujours référence  comme introduction à la théorie des nombres. Il contient des démonstrations de tous les résultats de l'article.}}
* {{Ouvrage|nom1=Diophante d'Alexandrie|traducteur=P. Ver Ecke|titre=Les six livres arithmétiques|lieu=Paris|éditeur=Albert Blanchard|année=2000|isbn=2-85367-157-7|id=Diophante-Ver Ecke}}{{Commentaire biblio|La numérotation des problèmes varie d’une édition à l’autre, on utilise ici celle de cette édition. Ces six livres, les seuls connus jusqu’à une époque récente, font en fait partie d’un ensemble originellement plus vaste de 13 livres. Quatre autres livres ont été retrouvés dans une version arabe vers 1970, cf. Diophante, ''Les Arithmétiques'', Paris : Les Belles Lettres, 1984, 2 volumes parus.}}
* {{Weil1}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Constante de Landau-Ramanujan]]
*[[Entier quadratique]]
*[[Équation de Pell-Fermat]]
*[[Théorème de Davenport-Cassels]]

=== Bibliographie complémentaire ===
==== Ouvrage didactique ====
M. Guinot, ''Arithmétique pour amateurs.''
*''Vol. 1. Pythagore, Euclide et toute la clique'', Aléas, Lyon, 1992 {{ISBN|2908016214}} {{Commentaire biblio|Cette série de cinq volumes s'adresse aux ''amateurs éclairés (c'est-à-dire ayant fait une ou deux années d'études mathématiques après le baccalauréat)''. On y trouve les bases de l'arithmétique ainsi que l'étude des triplets pythagoriciens.}}
*''Vol. 2. Les resveries de Fermat'', Aléas, Lyon, 1993 {{ISBN|2908016273}} {{Commentaire biblio|La troisième partie concerne les sommes de deux carrés.}}
*''Vol. 3. Ce diable d'homme d'Euler'', Aléas, Lyon, 1994 {{ISBN|2908016397}} {{Commentaire biblio| Ce livre traite du théorème des deux carrés avec les outils de Lagrange et de Jacobi ainsi que de l'équation diophantienne en général.}}
*''Vol. 5. GAUSS "princeps mathematicum"'', Aléas, Lyon, 1997 {{ISBN|2843010446}} {{Commentaire biblio| Ce livre traite des entiers de Gauss et de la classification des formes quadratiques.}}

==== Ouvrages historiques ====
* {{en}} R. E. Bradley, ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', [[Elsevier]] Science, 2007 {{ISBN|0444527281}} {{Commentaire biblio|Ce livre est un assemblage de 24 articles sur Euler pour {{pas clair|date=février 2018|l'anniversaire de son {{300e}} anniversaire}}. Le contenu arithmétique de son œuvre ainsi que son influence historique sont traités.}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Thomas Heath|Thomas L. Heath]]|titre=Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1910|année première édition=1885|url=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala}}

==== Ouvrages mathématiques ====
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=Wiley|année première édition=1989|année=2011|isbn=978-1-11803100-1|url={{Google Livres|tlTZC-k-l2EC}}}}{{Commentaire biblio|Le livre est technique et couvre dans son intégralité la question du titre, une bonne référence pour aller plus loin.}}
* R. Descombes, ''Éléments de théorie des nombres'', [[Presses universitaires de France|PUF]], 1986 {{ISBN|213039214-8}} {{Commentaire biblio|On y trouve une démonstration fondée sur l'approche de Lagrange en page 12 et 13.}}
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Jay R. Goldman |titre=The Queen of Mathematics |sous-titre=a historically motivated guide to Number Theory |éditeur=A K Peters |année=1998 |pages totales=525 |isbn=978-1-56881-006-5}}.
*{{Article|lang=en|auteur=Michael Hirschhorn|url=http://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper68|titre=Arithmetic consequences of Jacobi's two-squares theorem|revue=Ramanujan J.|vol=4|année=2000|p.=51-57}}
* [[Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|IREM]] de Lille, ''Les nombres - Problèmes anciens et actuels'', [[Éditions Ellipses|Ellipses]], 2000 {{ISBN|2729801227}}
* {{Samuel1}}{{Commentaire biblio|Cette référence est l'une des plus citées comme introduction à la théorie algébrique des nombres. On y trouve les théorèmes des deux, trois et quatre carrés.}}
* {{Serre1}} {{Commentaire biblio|Cette référence comme la précédente, est l'une des plus célèbres introductions à la théorie algébrique des nombres.}}

=== Liens externes ===
* [http://auriolg.free.fr/doc/sommes_carres.pdf Sur les sommes de carrés]{{Commentaire biblio|Plusieurs démonstrations du théorème utilisant des outils plus ou moins sophistiqués par Gilles Auriol}}
* [http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf Les entiers de Gauss et le théorème des deux carrés] {{Commentaire biblio|Une présentation plus technique par [[Bas Edixhoven]] et Laurent Moret-Bailly, dans un cours de maîtrise de l'[[université de Rennes I]], qui traite du théorème en page 9}}

{{Portail|théorie des nombres|algèbre}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Deux Carrés]]
[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Arithmétique modulaire]]
[[Catégorie:Entier quadratique]]
[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]
[[Catégorie:Pierre de Fermat]]