Voir la source de Théorème des deux lunules

[[Fichier:Lunulas de Alacen.svg|thumb|Les lunules sont en bleu.]]
En [[mathématiques]] et plus particulièrement en [[géométrie]], le '''théorème des deux lunules''' énonce l'égalité entre l'[[aire (géométrie)|aire]] d'un [[triangle rectangle]] et de deux [[Lunule (géométrie)|lunules]] qui lui sont associées.

== Définition ==
Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles sécants de même [[Ensemble convexe|convexité]] (donc non concentriques et de rayons différents). Elle forme un {{Page h'|ménisque}} qui fait penser à un croissant de lune.
== Énoncé ==
Soit le [[Triangle rectangle|triangle ABC rectangle en B]] et <math>\mathcal{C}</math> le [[cercle circonscrit]] à ABC (de diamètre AC).

La lunule <math>L_{BC}</math> est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par <math>\mathcal{C}</math>.

La lunule <math>L_{BA}</math> est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par <math>\mathcal{C}</math>.

Alors la somme des aires de <math>L_{BC}</math> et de <math>L_{BA}</math> (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

== Démonstration ==
La démonstration repose sur le fait que l'aire du cercle est proportionnelle au carré du rayon, et par conséquent du diamètre, du cercle. C'est ce qui est exprimé par la formule {{math|π''r''<sup>2</sup>}} pour l'aire d'un cercle de rayon {{mvar|r}} ({{mvar|π}} est le coefficient de proportionnalité, qui n'intervient pas dans la démonstration).

Soit un triangle rectangle ABC rectangle en B, [[Angle inscrit dans un demi-cercle|inscrit dans un demi-cercle]]. Une conséquence du [[théorème de Pythagore]] est donc que l'aire du demi-disque de diamètre AC (l'hypoténuse) délimité par ce demi-cercle, égale l'aire de la figure formée par les deux demi-disques de diamètres AB et BC, choisis extérieurs au triangle AC.

En retirant de ces deux figures de même aire les deux segments du grand cercle, représentés en blanc sur la figure, d'extrémités A et B pour l'un, B et C pour l'autre, on obtient :
* le triangle ABC, à partir du grand demi-disque de diamètre AC ;
* les deux lunules, représentées en bleu sur la figure, à partir des deux demi-disques de diamètres AB et BC.
La somme des aires des deux lunules égale donc celle du triangle ABC.

== Histoire ==
[[Ibn al-Haytham]], mathématicien actif à la fin du {{s-|X}} et au début du {{s-|XI}}, énonce et démontre ce théorème dans son ''Traité des lunules''{{sfn|Rashed|1993|p=32}}. La démonstration est essentiellement celle donnée ci-dessus{{sfn|Rashed|1993|p=32}}. Pour la proportionnalité entre l'aire du cercle et le carré de son diamètre, Ibn al-Haytham peut s'appuyer sur la proposition 2 du [[Livre XII des Éléments d'Euclide]]{{sfn|Rashed|1993|p=34}}. Ibn Al-Haytham reprend le théorème dans son ''Traité sur la quadrature du cercle'', traité populaire qui connut de nombreuses copies et commentaires{{sfn|Rashed|1993|p=34}}.

Ibn al-Haytham déclare s'inspirer « des anciens » : en l'occurrence il s'agit forcément des travaux d'[[Hippocrate de Chios]]{{sfn|Rashed|1993|p=30}}, mathématicien grec actif dans la seconde moitié du {{-s-|V}}, qui avait déjà établi par des méthodes analogues la quadrature de certaines lunules particulières. Comme Hippocrate il espère par cette étude s'approcher de la [[quadrature du cercle]]<ref>[[Jean-Étienne Montucla]], ''Histoire des recherches sur la quadrature du cercle'', 1754, chap. II, sections IV et V.</ref>{{,}}<ref>Hippocrate est aussi l'auteur de la réduction de la [[duplication du cube]], autre problème célèbre de l'Antiquité, à l'établissement de deux moyennes proportionnelles entre un segment et un segment de longueur double, voir l'article [[Hippocrate de Chios]].</ref>.

Ibn al-Haytham fournit une légère généralisation de la quadrature de la première lunule d'Hippocrate, celle construite sur un [[triangle isocèle rectangle]], mais ces deux traités ne présentent pas de progrès décisif vis-à-vis de celui-ci sur le plan mathématique{{sfn|Rashed|1993|p=31}}{{,}}{{sfn|Rashed|1997|p=106-107}}{{,}}<ref>C'est dans un troisième traité généralisant le premier mais nettement plus tardif qu'Ibn Al-Haytham produit des résultats mathématiques significativement nouveaux {{harv|Rashed|1993|p=31}}.</ref>.

Les deux lunules du théorème sont aussi appelées ''lunules d'Hippocrate''<ref>Par exemple https://publimath.univ-irem.fr/LU003 ou https://www.debart.fr/geoplan/pythagore.mobile.html#tr11 .</ref> ou ''lunules d'Alhazen'' ([[Alhazen]] est le nom latinisé d'Ibn al-Haytham)<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics|volume=42|series=Dolciani mathematical expositions|prénom1=Claudi|nom1=Alsina|prénom2=Roger B.|nom2=Nelsen|éditeur=Mathematical Association of America|année=2010|isbn=978-0-88385-348-1|contribution=9.1 Squarable lunes|pages=137–144|url=https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA139}}</ref>.

== Bibliographie ==
* {{ouvrage|auteur=[[Roshdi Rashed]] |année=1993 |titre=Les Mathématiques infinitésimales du {{sp-|IX|аu|XI}} |sous-titre=Ibn al-Haytham|volume=II |éditeur=Al-Furqân Islamic Heritage Foundation |lieu=London |isbn=2-87723-119-4}} ;
* {{chapitre|auteur=[[Roshdi Rashed]]|titre=Déterminations infinitésimales, quadrature des lunules et problèmes isopérimétriques |titre ouvrage=[[Histoire des sciences arabes]] |sous-titre ouvrage=astronomie, mathématiques et physique|tome=2|éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]]|année=1997|passage=93-119}}.

== Notes et références ==
{{Références}}



== Articles connexes ==
* [[Lunule (géométrie)|Lunule]]
* [[Arbelos]] 
* [[Salinon]] 

{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Théorème lunules}}
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Lunule]]
[[Catégorie:Aire]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Cercle]]