Voir la source de Théorème des fonctions implicites

En [[mathématiques]], le '''théorème des fonctions implicites''' est un résultat de [[géométrie différentielle]]. Certaines [[Courbe plane|courbes planes]] sont définies par une [[équation cartésienne]], c'est-à-dire une [[équation]] de la forme {{math|1=''f''(''x'',&nbsp;''y'') = 0}}, où {{mvar|x}} et {{mvar|y}} décrivent les [[nombres réels]]. Le théorème indique que si la fonction {{mvar|f}} est suffisamment régulière au [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] d'un point de la courbe, il existe une fonction {{mvar|φ}} de ℝ dans ℝ au moins aussi régulière que {{mvar|f}} telle que localement, la courbe et le [[Graphe d'une fonction|graphe de la fonction]] {{mvar|φ}} sont confondus. Plus précisément, si {{math|(''x''<sub>0</sub>,&nbsp;''y''<sub>0</sub>)}} vérifie l'équation, si {{mvar|f}} est continûment [[différentielle|différentiable]] et si sa [[dérivée partielle]] par rapport à {{mvar|y}} en {{math|(''x''<sub>0</sub>,&nbsp;''y''<sub>0</sub>)}} n'est pas nulle alors, au voisinage de {{math|(''x''<sub>0</sub>,&nbsp;''y''<sub>0</sub>)}}, la courbe s'identifie au graphe de {{mvar|φ}}.

Ce théorème admet une variante plus générale, qui s'applique non plus au plan, mais à des [[Espace de Banach|espaces de Banach]], c'est-à-dire des [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] [[espace complet|complets]]. Il équivaut au [[théorème d'inversion locale]], qui indique qu'une fonction différentiable et « suffisamment régulière » est localement inversible (c'est une conséquence directe d'[[application contractante|un théorème du point fixe]]).

Ce théorème est utilisé dans différentes branches des mathématiques, sous cette forme ou sous celle de l'inversion locale. Il permet de démontrer le [[Multiplicateur de Lagrange|théorème des extrema liés]] ; il intervient dans un contexte plus géométrique, pour l'étude des [[Variété (géométrie)#Variété abstraite et sous-variété|sous-variétés]] [[Variété différentielle|différentielles]] ; on le trouve encore pour l'étude des [[équation différentielle|équations différentielles]] où il est, entre autres, utilisé à travers le [[théorème du redressement]] d'un flot, permettant de démontrer le [[théorème de Poincaré-Bendixson]]. Il dépasse le cadre des mathématiques : les [[Physique|physiciens]] ou les [[Économie (discipline)|économistes]] en font usage, lorsque certaines variables ne peuvent être définies à l'aide d'une fonction, mais uniquement [[Fonction implicite|implicitement à l'aide d'une équation]].

== Dimension 2 ==
{{Ancre|Dimension deux}}
Avant d'énoncer le théorème sous sa forme générale, prenons l'exemple de la dimension 2 :
{{énoncé|1=Soit ''f'' une fonction de [[Classe de régularité|classe C{{exp|''p''}}]] (avec ''p'' > 0) définie sur un ouvert ''U'' de ℝ{{2}} et à valeurs dans ℝ. Soit (''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}}) un point de ''U'' tel que ''f''(''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}})&nbsp;=&nbsp;0 et tel que la dérivée partielle de ''f'' par rapport à la deuxième variable ne soit pas nulle en (''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}}). Il existe une [[fonction réelle]] <math>\varphi</math> de classe C{{exp|''p''}}, définie sur un intervalle ouvert réel ''V'' contenant ''x''{{ind|0}}, et un voisinage ouvert Ω de (''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}}) dans ''U'' tels que, pour tout (''x'', ''y'') ∈ ℝ{{2}} :
<center><math>\left( (x,y)\in\Omega\text{ et }f(x,y)=0 \right)\,\Leftrightarrow\, \left(x\in V\text{ et }y=\varphi(x)\right)</math>.</center>
}}

La condition <math>\varphi(x_0)=y_0</math> n'est pas explicitée car elle n'est qu'un cas particulier de l'équivalence. La dérivée de <math>\varphi</math> au point ''x''{{ind|0}} est donnée par la formule :
<center><math>\frac {\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}(x_0)= -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}</math>.</center>

Des exemples sont détaillés dans l'article « [[Fonction implicite]] ».

== Énoncé ==
{{Ancre|Énoncés}}
Il est utile d'étendre ce résultat sur des surfaces et non plus sur des courbes, voire sur des espaces vectoriels dont la dimension n'est pas nécessairement finie. On trouve cette version plus générale<ref name=WikiversitéTFI>{{Note autre projet|wikiversité|Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Théorème des fonctions implicites|« Théorème des fonctions implicites » dans la leçon de calcul différentiel|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=Robert Roussarie|auteur2=Jean Roux|titre=Des équations différentielles aux systèmes dynamiques|vol=I|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2012|url={{Google Livres|Vq5vAwAAQBAJ|page=15}}|page=15}}, dans le cas d'espaces de dimension finie.</ref> :

{{Théorème|nom=Théorème des fonctions implicites|1=Soient ''E'', ''F'' et ''G'' trois espaces de Banach et ''f'' une fonction de classe C{{exp|''p''}} définie sur un ouvert ''U'' de ''E'' × ''F'' et à valeurs dans ''G''. Soit (''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}}) un point de ''U'' tel que ''f''(''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}})&nbsp;=&nbsp;0 et tel que la différentielle partielle ''D''{{ind|''y''}}''f''(''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}}) soit inversible<ref group="Note" name=inv>Une [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|application linéaire continue ''T'' : ''E'' → ''F'' entre deux espaces vectoriels normés]] est dite inversible lorsqu'elle est [[bijective]] et que sa [[Bijection réciproque|réciproque]] ''T''{{-1}} : ''F'' → ''E'' ([[Application linéaire|linéaire]]) est [[continue]]. Entre [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|espaces de dimension finie]], toute application linéaire est continue. Entre espaces de Banach, [[Théorème de Banach-Schauder#Théorème de l'isomorphisme de Banach|d'après le théorème de Banach-Schauder]], la réciproque d'une bijection linéaire continue est toujours continue. {{Ouvrage|auteur1=[[François Laudenbach]]|titre=Calcul différentiel et intégral|éditeur=éd. École Polytechnique|année=2000|pages totales=214|passage=49|isbn=978-2-7302-0724-9|lire en ligne={{Google Livres|Ws9A7ZoRJNEC|page=49}}}}.</ref>. Il existe une fonction {{mvar|φ}} de classe C{{exp|''p''}} à valeurs dans ''F'', définie sur un voisinage ouvert ''V'' de ''x''{{ind|0}}, et un voisinage ouvert Ω de (''x''{{ind|0}},&nbsp;''y''{{ind|0}}) dans ''U'' tels que, pour tout (''x'', ''y'') ∈ ''E''×''F'' :
<center><math>\left( (x,y)\in\Omega\text{ et }f(x,y)=0 \right)\,\Leftrightarrow\, \left(x\in V\text{ et }y=\varphi(x)\right)</math>.</center>
}}

=== Remarques ===
* L'existence d'un tel ouvert Ω signifie que le [[Graphe d'une fonction|graphe de {{mvar|φ}}]] est un [[Topologie induite|ouvert de]] l'ensemble des [[Zéro d'une fonction|zéros de ''f'']], ce qui garantit automatiquement l'unicité de {{mvar|φ}}, au sens suivant<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Exercices/Connexité#Exercice 6|exercice corrigé sur la connexité, dans la leçon « Topologie générale »|début=Pour une démonstration, voir par exemple cet}}</ref> :{{Retrait|1=Sur toute [[Connexité (mathématiques)|partie connexe]] ''C'' de ''V'' contenant ''x''{{ind|0}}, {{mvar|φ}} est la seule application continue vérifiant
{{retrait|<math>\varphi(x_0) = y_0 \quad\text{et}\quad\forall x \in C\quad(x,\varphi(x))\in U\text{ et }f(x,\varphi(x))=0.</math>}}
}}
* L'unicité sur un ouvert connexe quelconque (même [[Ensemble convexe|convexe]]) contenant ''x''{{ind|0}} est trivialement fausse<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Serge Lang]]|titre=Analyse Réelle|lieu=Paris|éditeur=[[InterÉditions]]|année=1977|pages totales=230|passage=122|isbn=978-2-7296-0059-4}}.</ref> : si ''f'' est définie sur ℝ{{2}} par ''f''(''x'', ''y'') = ''x''{{2}} – ''y''{{2}} et si ''x''{{ind|0}} = ''y''{{ind|0}} = 1, {{math|1=''φ''{{ind|1}}(''x'') = ''x''}} et {{math|1=''φ''{{ind|2}}(''x'') = {{!}}''x''{{!}}}} sont deux solutions distinctes définies sur ℝ.
* L'ouvert Ω peut être choisi de la forme ''V''×''W''<ref name=WikiversitéTFI/>{{,}}<ref>{{Harvsp|Laudenbach|2000|p=65}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=Dany-Jack Mercier|titre=Fonctions de plusieurs variables réelles : exercices et problèmes corrigés|éditeur=Publibook|année=2005|url={{Google Livres|dEeq68pmRt8C|page=324}}|page=324}}, dans le cas d'espaces de dimension finie.</ref>.

== Dimension supérieure ==
=== Multiplicateur de Lagrange ===
{{Article détaillé|Multiplicateur de Lagrange}}
[[Image:LagrangeMultipliers3D.png|right|thumb|La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver un optimum, tout en satisfaisant une contrainte. Sur la figure, on cherche le point le plus élevé possible situé sur la ligne rouge.]]

Le théorème des fonctions implicites peut aussi être vu comme un outil pour démontrer des résultats, comme le théorème des extrema liés. On se place ici sur un ouvert ''U'' d'un espace de Banach ''E'' et l'on cherche les extrema d'une fonction ''f'' restreinte à un sous-ensemble {{nobr|''S'' ⊂ ''U''}} défini par une contrainte {{nobr|''g''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, où {{nobr|''f'' : ''U'' → '''R'''}} et {{nobr|''g'' {{=}} (''g''{{ind|1}}, … , ''g{{ind|m}}'') : ''U'' → '''R'''{{exp|m}}}} sont supposées continument différentiables et la différentielle d''g''(''a'') en chaque point ''a'' de ''S'' est supposée [[Surjection|surjective]].

Le théorème des extrema liés<ref group="Note" name=cfLoupe>Voir l'article détaillé.</ref> indique qu'en chaque point ''a'' de ''S'' où ''f'' est extrémale, la différentielle de ''f'' est une [[combinaison linéaire]] des différentielles des ''g{{ind|i}}''. Le théorème des fonctions implicites permet de montrer simplement ce résultat<ref group="Note" name=cfLoupe/>, en considérant localement ''S'' comme le graphe d'une fonction {{mvar|φ}} définie sur un ouvert ''V'' du noyau de d''g''(''a''). Le problème se ramène ainsi à l'étude des extrema ordinaires de la fonction {{math|''z'' ↦  ''f''(''z'', φ(''z''))}}, et l'on sait qu'une condition nécessaire d'extremum en un point de ''V'' est la nullité de la différentielle de cette fonction en ce point. C'est en répercutant sur ''f'' et ''g'' cette condition qu'on aboutit au résultat.

=== Variété différentielle ===
{{Article détaillé|Variété différentielle}}
Une [[Variété (géométrie)#Variété abstraite et sous-variété|sous-variété]] différentielle de dimension ''d'' de '''R'''<sup>''n''</sup> où ''n'' et ''d'' sont des entiers tels que 0 < ''d'' < ''n'', permet de généraliser les notions de courbes ou de surfaces « lisses et régulières » de dimension 2. Les termes de « lisse et régulier » sont des métaphores pour désigner le fait que les objets considérés n'ont pas d'arête ou de point double. L'objet de ce paragraphe concerne les figures à l'image d'une sphère, qui est une variété différentielle de dimension 2, mais pas d'un cube, qui contient des points singuliers<ref group="Note">Pour une définition précise, voir l'article détaillé.</ref>.

Le voisinage d'un point ''O'' dans une sous-variété ''M'' de dimension ''d'' de '''R'''<sup>''n''</sup> possède la propriété d'être semblable, au sens du [[difféomorphisme]], à un ouvert de '''R'''<sup>''d''</sup>. On peut l'exprimer de la manière suivante : il existe un [[homéomorphisme]] {{math|''φ''<sub>1</sub>}}, continument différentiable de '''R'''<sup>''d''</sup> dans un ouvert de ''M'' contenant le point ''O'' et la différentielle de {{math|''φ''<sub>1</sub>}} en un point quelconque est de rang ''d''. Autrement dit, il existe un « bon » paramétrage d'un voisinage de ''O'' dans ''M''. Il est aussi possible d'exprimer cette propriété à l'aide d'une équation cartésienne. Il existe un ouvert ''V'' de '''R'''<sup>''n''</sup> et une fonction ψ de ''V'' dans '''R'''<sup>''n–d''</sup> continument différentiable et dont les différentielles sont surjectives, tels que ''M''∩''V'' soit l'ensemble des points ''x'' qui vérifient l'équation ψ(''x'')&nbsp;=&nbsp;0, ce qui donne une définition locale à l'aide d'une équation cartésienne<ref>{{BergerGostiaux1}}, [https://books.google.fr/books?id=SFXSBwAAQBAJ&pg=PA47 § 2.1].</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://www.unige.ch/math/folks/ronga/lyse_II/2003-2004/chap_II.pdf|titre=Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications|auteur=F. Ronga|site=[[Université de Genève]]|page=78}}.</ref>.

L'équivalence de ces deux points de vue se démontre dans un sens avec le théorème des fonctions implicites, la réciproque est plus aisée avec le théorème d'inversion locale.

Supposons que l'on dispose d'une [[Représentation paramétrique|équation paramétrique]] ψ<sub>1</sub>(''x'')&nbsp;=&nbsp;0 sur le voisinage ''U''. La différentielle de ψ<sub>1</sub> en ''x''<sub>0</sub>, coordonnées du point ''O'', est de rang ''d'' et possède un [[noyau (algèbre)|noyau]] ''K'' de dimension ''n''&nbsp;-&nbsp;''d'' et un supplémentaire ''H'' de ce noyau de dimension ''d'', d'après le [[théorème du rang]]. Tout élément de ''U'' s'écrit de manière unique comme égal à une somme ''x''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''h''&nbsp;+&nbsp;''k'' et l'on peut choisir un ouvert ''U''<sub>H</sub> de ''H'' contenant le [[vecteur nul]] et un ouvert ''U''<sub>K</sub> de ''H'' contenant le vecteur nul tel que ''x''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''U''<sub>H</sub>&nbsp;+&nbsp;''U''<sub>K</sub> soit contenu dans ''U''. L'application ψ de ''U''<sub>H</sub>×''U''<sub>K</sub> dans '''R'''<sup>''d''</sup>, qui à (''h'',&nbsp;''k'') associe ψ<sub>1</sub>(''x''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''h''&nbsp;+&nbsp;''k'') satisfait aux hypothèses du théorème des fonctions implicites, d'où l'existence d'un paramétrage locale du voisinage de ''O'', construit sur le voisinage ''U''<sub>H</sub>.

[[Fichier:Fonction-implicite-(4).jpg|right|thumb]]
On suppose maintenant que l'on dispose d'une représentation paramétrique locale du voisinage de ''O'', c'est-à-dire une application {{math|''φ''<sub>1</sub>}} de '''R'''<sup>''d''</sup> dans '''R'''<sup>''n''</sup> dont l'image est un voisinage de ''O'' dans la variété. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. La droite bleue représente '''R'''<sup>''d''</sup>, la portion de courbe la variété contenant le point ''O'' est représentée en rouge. On identifie '''R'''<sup>''d''</sup> avec le [[sous-espace vectoriel]] de '''R'''<sup>''n''</sup> dont les ''n''&nbsp;-&nbsp;''d'' dernières coordonnées sont nulles. L'image de la différentielle de {{math|''φ''<sub>1</sub>}} au point ''x''<sub>0</sub> est un sous-espace vectoriel de dimension ''d'', on considère ''H<sub>a</sub>'' un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel. On appelle ''H<sub>d</sub>'' le sous-espace de '''R'''<sup>''n''</sup> ayant les ''d'' premières coordonnées nulles. Les sous-espaces ''H<sub>a</sub>'' et ''H<sub>d</sub>'' ayant mêmes dimensions, ils sont isomorphes ; soit {{math|''φ''<sub>2</sub>}} un tel isomorphisme. On considère maintenant l'application {{mvar|φ}} de ''U''×''H<sub>d</sub>'' dans '''R'''<sup>''n''</sup>, qui à ''x''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''h''&nbsp;+&nbsp;''k'' associe {{math|''φ''<sub>1</sub>(''x''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''h'')&nbsp;+&nbsp;φ<sub>2</sub>(''k'')}}. Ici, ''h'' désigne un vecteur de '''R'''<sup>''d''</sup> et ''k'' un vecteur de ''H<sub>a</sub>''. L'application {{mvar|φ}} est continument différentiable et sa différentielle au point ''x''<sub>0</sub> est un isomorphisme. Le théorème d'inversion locale montre qu'il existe un ouvert ''W'' contenant ''O'' et une application ψ<sub>1</sub> de ''W'' dans '''R'''<sup>''n''</sup> différentiable et qui soit localement une réciproque de {{mvar|φ}}. L'image de l'intersection de la variété et de ''W'' est incluse dans ''H<sub>d</sub>'', si l'ouvert ''W'' est choisi suffisamment petit. Il suffit, pour conclure, de composer ψ<sub>1</sub> par l'application linéaire qui, à un vecteur de '''R'''<sup>''n''</sup>, associe le vecteur de '''R'''<sup>''n–d''</sup> constitué des ''n''&nbsp;-&nbsp;''d'' dernières coordonnées du vecteur d'origine. Si ψ est cette application composée, sur un voisinage de ''O'', la variété est définie par l'équation ψ(''x'')&nbsp;=&nbsp;0.

=== Théorème du redressement d'un flot ===
{{Article détaillé|Théorème du redressement}}
[[Fichier:Redressement-d'un-flot.jpg|thumb|right]]
Le théorème des fonctions implicites joue un rôle pour l'étude des [[équation différentielle|équations différentielles]]. On le trouve à divers endroits, dont le [[théorème du redressement]] d'un flot<ref>D. Leborgne, ''Calcul différentiel et géométrie'', [[PUF]], 1982, {{p.|234}}.</ref>. Considérons l'[[équation différentielle autonome]] (1) :
<center><math>(1)\quad \frac {\mathrm dx}{\mathrm dt} = f(x).</math></center>

Ici ''f'' désigne une fonction continument différentiable définie sur ''U'', un ouvert d'un espace de Banach ''E'' et à valeurs dans ''E''. Le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]] montre l'existence d'une unique fonction ''flot'' {{mvar|φ}} qui prend ses valeurs dans un ouvert ''V'' inclus dans '''R'''×''U'' et à valeurs dans ''E'', telle que la fonction qui à ''t'' associe {{math|''φ''(''t'',&nbsp;''x'')}} soit l'unique solution de l'équation (1) avec la condition de Cauchy ''s''(0)&nbsp;=&nbsp;''x''.

Un exemple de flot, au voisinage ''V''<sub>1</sub> d'un point ''x''<sub>0</sub> de ''U'' est illustré en rouge à droite. Si l'on considère l'intersection de ''V''<sub>1</sub> avec un [[hyperplan affine]] contenant ''x''<sub>0</sub> et dont la direction ne contient pas ''f''(''x''<sub>0</sub>), on obtient la « pastille » illustrée en rouge et jaune. Pour l'étude locale d'un flot, la configuration équivalente au-dessous, en bleu est plus simple. Si la fonction ''f'' est constante, sur un voisinage de la pastille ''V'', pour un point ''x'' de ''V'', les solutions de l'équation différentielle (1) sont décrites par le flot {{math|1=''φ''(''t'',&nbsp;''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;''tv''}} où {{mvar|v}} est le vecteur constant image de ''f'', sur un voisinage de ''V''.

Une conséquence du théorème du redressement est l'existence d'un [[difféomorphisme]] ψ défini sur un voisinage ''W ''de ''x'' tel que :
<center><math>\forall x \in W,\; \forall t \in\left]-\mu,\mu\right[ \quad \psi\circ \varphi (t,x) = x + tv</math>.</center>

Autrement dit, il est possible de « redresser » le flot {{mvar|φ}} à l'aide d'un difféomorphisme ψ, ce qui permet une étude locale plus aisée de l'équation différentielle (1). La démonstration de ce résultat est fondée sur le fait que la fonction flot est aussi continument différentiable. La restriction de {{mvar|φ}} à ''W''×]–μ,&nbsp;μ[ possède au point (0,&nbsp;''x''<sub>0</sub>) une différentielle inversible<ref group="Note" name=inv/>. Le théorème d'inversion locale permet de conclure. Ce résultat est utilisé, par exemple dans la démonstration du [[théorème de Poincaré-Bendixson]]<ref>C'est pour cette raison que ce résultat est présenté, par exemple dans {{Lien web|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.enseignement.polytechnique.fr/mathematiques/MAT431/Cours2008/Transp6Viterbo.pdf|titre=Conjugaison, redressement et premier retour|auteur=[[Claude Viterbo]]|site=[[École polytechnique (France)|École Polytechnique]]|année=2008}}.</ref>.

=== Théorème de Cauchy-Lipschitz ===
{{Article détaillé|Flot (mathématiques)}}
Le théorème précédent est une application directe du théorème d'inversion locale, à la condition de disposer d'un résultat non immédiat. Si la fonction ''f'' du paragraphe précédent est de classe ''C''<sup>1</sup>, alors le flot l'est aussi. Ce résultat porte généralement le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz. Cette forme sophistiquée du théorème est traitée dans l'article détaillé. De manière indépendante, deux mathématiciens Pugh et Robbin<ref>{{Harvsp|Lang|1977|p=129}}.</ref> ont trouvé une même démonstration élémentaire. Elle consiste à étudier l'application ''T'' qui à un couple (''x'',&nbsp;σ) associe une fonction. Ici ''x'' est un élément de ''U'' avec les notations du paragraphe précédent et σ une fonction d'un petit intervalle contenant ''O''. L'application est définie de la manière suivante :
<center><math>T(x,f)(t) = x + \int_0^t f(\sigma(\tau)) \mathrm d\tau - \sigma</math></center>

La solution intégrale ''s'', qui à ''t'' associe {{math|''φ''(''t'', ''x'')}} vérifie l'égalité ''T''(x, ''s'')&nbsp;=&nbsp;0. Il est relativement simple de montrer que ''T'' satisfait les hypothèses du théorème des fonctions implicites, ce qui montre que la fonction qui à ''x'' associe la courbe intégrale {{math|''φ''(''t'',&nbsp;''x'')}} est de classe ''C''{{exp|1}}. À partir de là, il est simple d'en déduire le caractère ''C''{{exp|1}}<ref group="Note" name=cfLoupe/>.

Cette démonstration montre la pertinence du deuxième énoncé, très général, du théorème des fonctions implicites proposé dans cet article. En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] et à l'image du résultat de ce paragraphe, il est utile de pouvoir choisir les variables dans un Banach.

== Théorème des fonctions implicites holomorphes ==

Si on s'intéresse aux [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] à une ou [[Fonction de plusieurs variables complexes|plusieurs variables]], on dispose d'une variante du théorème des fonctions implicites appelée théorème des fonctions implicites holomorphes<ref>{{Ouvrage|auteur=Henri Cartan|titre=Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=1961|page=138}}</ref>.
{{énoncé|
Soient <math>f_j \colon (w,z) \in \mathbb C^n \times \mathbb C^p \mapsto f_j(w,z) \in \mathbb C</math> pour <math>j = 1,\ldots,n</math> des fonctions holomorphes au voisinage d'un point <math>(w_0,z_0) \in \mathbb C^n \times \mathbb C^p</math> telles que <math>f_j(w_0,z_0)=0</math> pour tout <math>j = 1,\ldots,n</math>. Supposons que
:<math>\det \left( \frac{\partial f_j}{\partial w_k} \right)_{j,k = 1}^n(w_0,z_0) \neq 0.</math>
Alors les équations
:<math>f_j(w,z) = 0, \qquad j = 1,\ldots,n.</math>
admettent une solution holomorphe <math>w(z)</math> au voisinage de <math>z_0</math> telle que <math>w(z_0) = w_0</math>.
}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group="Note"}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe===
[[Submersion (mathématiques)|Submersion]]
=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
{{Lien web|auteur=F. Bayart|url=http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./i/implicite.html|titre=Théorème des fonctions implicites|site=bibmath.net}}

=== Bibliographie ===
{{Spivak1}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse|Fonctions implicites]]
[[Catégorie:Application différentiable]]