Voir la source de Théorème des gendarmes

{{Voir homonymes|Théorème du sandwich}}
[[Fichier:Generic_Squeeze_or_Sandwich_Theorem_Representation.svg|thumb|upright=1.5|Deux fonctions {{formule|''f''}} et {{formule|''h''}} qui admettent la même limite {{formule|''L''}} au point {{formule|''a''}}, et une fonction {{formule|''g''}} prise en « étau » entre {{formule|''f''}} et {{formule|''h''}} dans le voisinage de {{formule|''a''}}. Selon le théorème du sandwich, {{formule|''g''}} admet {{formule|''L''}} comme limite en {{formule|''a''}}.]]

En [[analyse (mathématiques)|analyse]], le '''théorème des gendarmes'''<ref>{{Article|auteur=[[Ministère de l'Éducation nationale (France)]]|url=http://www.education.gouv.fr/bo/BoAnnexes/2001/hs4/maths2.pdf|titre=Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique|revue=[[Bulletin officiel (France)|B.O.]]|numéro=4|mois=8|année=2001|p.=65}}.</ref> (également appelé '''théorème de l'étau'''<ref>{{ouvrage|langue=fr|prénom1=Abdou Kouider |nom1=Ben-Naoum|titre=Analyse : Premières notions fondamentales|sous-titre=Théorie, exemples, questions, exercices|éditeur=[[Presses universitaires de Louvain]]|année=2007|pages totales=414|passage=66|isbn=9782874630811|lire en ligne={{Google Livres|ql3QRzEnbfEC|page=PA66}}}}.</ref>, '''théorème d'encadrement'''<ref>{{Ouvrage|titre=Algèbre et analyse|sous-titre=cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés|auteur=Stéphane Balac|auteur2=Frédéric Sturm|éditeur=[[PPUR]]|année=2003|url={{Google Livres|-LbuKvfK9AkC|page=577}}|page=577}}.</ref> ou '''théorème du sandwich'''<ref>{{ouvrage|langue originale=en|titre original=Calculus: Concepts and Contexts|auteur={{Lien|trad=James Stewart (mathematician)|James Stewart (mathématicien)|texte=James Stewart}}|traducteur=Micheline Citta-Vanthemsche|titre=Analyse concepts et contextes|sous-titre=Fonction d'une variable|éditeur=[[De Boeck]]|volume=1|année=2011|pages totales=631|passage=110|isbn=9782804163068}}.</ref>) est un [[théorème]] concernant la [[Limite (mathématiques)#Limite d'une fonction en un point|limite d'une fonction]]. Selon ce théorème, si deux [[Application (mathématiques)|fonctions]] ({{formule|''f''}} et {{formule|''h''}}) admettent la même limite en un point {{formule|(''a'')}}, et qu'une troisième fonction {{formule|(''g'')}} est prise en « étau » (ou « [[encadrement (analyse)|encadrée]] » ou « prise en sandwich ») entre {{formule|''f''}} et {{formule|''h''}} dans le [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] de {{formule|''a''}}, alors {{formule|''g''}} admet en {{formule|''a''}} une limite, égale à la limite commune de {{formule|''f''}} et {{formule|''h''}}.

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

== Énoncé ==
Soient :
*{{math|''E''}} un [[espace topologique]] ;
*{{math|''A''}} une [[Sous-ensemble|partie]] de {{math|''E''}} ;
*<math>a</math> un point de {{math|''E''}} [[Point adhérent|adhérent]] à {{math|''A''}} ;
*<math>f</math>, <math>g</math> et <math>h</math> trois fonctions de {{math|''A''}} dans [[Droite réelle achevée|{{surligner|ℝ}} = ℝ ∪ {{math|{–∞, +∞}<nowiki/>}}]]<!-- (ou dans tout autre [[ensemble ordonné]], muni de la [[topologie de l'ordre]])--> ;
*<math>L</math> un élément de {{surligner|ℝ}}.

{{énoncé|Si <math>f\le g\le h</math> et si <math>\lim_af=\lim_ah=L</math>, alors <math>g</math> converge en <math>a</math> et  <math>\lim_ag=L</math><ref>Pour des fonctions à valeurs dans ℝ — mais la démonstration est identique pour des fonctions à valeurs dans {{surligner|ℝ}} — le théorème est énoncé sous cette forme générale et démontré par {{Ouvrage|auteur=E. Ramis|auteur2=C. Deschamps|auteur3=J. Odoux|titre=Cours de mathématiques spéciales|vol=3|éditeur=[[Éditions Masson|Masson]]|année=1976|page=40}}, ainsi que — pour le cas particulier {{math|''E''}} = {{surligner|ℝ}} et {{math|''A'' ⊂ ℝ}}, mais la démonstration s'adapte sans problème à un espace topologique quelconque — dans {{Ouvrage|auteur=Frédéric Denizet|titre=Analyse - [[MPSI]]|éditeur=[[Nathan (maison d'édition)|Nathan]]|collection=Classe prépa|année=2008|url={{Google Livres|yhH1w4gKbhMC|page=201}}<!--https://books.google.fr/books?id=2c2ojFf35AkC&pg=PA201-->|page=201}} et {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre|« Limites et relation d'ordre »|début=dans}}</ref>.}}

== Origine du nom ==
{{section à sourcer|date=juin 2012}}
Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions {{formule|''f''}} et {{formule|''h''}} à des [[Gendarmerie nationale (France)|gendarmes]] et {{formule|''g''}} à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie {{formule|''L''}}. En Italie, on l'appelle « théorème des [[carabinier]]s », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ».
Il est également appelé « [[théorème d'existence]] de limites par encadrement » dans le supérieur<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques [[Physique, chimie, sciences de l'ingénieur|PCSI]] - Programme 2021|auteur=N. Nguyen|et al.=oui|éditeur=[[Éditions Ellipses]]|date=2021|url={{Google Livres|5CBEEAAAQBAJ|page=259}}|page=259}}.</ref> car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de [[Limite (mathématiques)#Limite et relation d'ordre|passage à la limite dans une inégalité]], qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.

== Cas particuliers ==
*Si <math>f\le g</math> et <math>\lim_af=+\infty</math>, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour <math>L=+\infty</math>, en posant <math>h:x\mapsto+\infty</math>.
*Si <math>g\le h</math> et <math>\lim_ah=-\infty</math>, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour <math>L=-\infty</math>, en posant <math>f:x\mapsto-\infty</math>.
*L'ensemble {{math|''A''}} peut être un [[intervalle réel]] et le point {{math|''a''}} un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non).
*On peut aussi appliquer le théorème avec <math>A=\N</math> ou <math>\{n\in\N\mid n>N\}</math> et <math>a=+\infty</math> : si {{formule|''u''}}, {{formule|''v''}} et {{formule|''w''}} sont trois suites réelles, telles que pour tout {{formule|''n'' > ''N''}}{{retrait|<math>u_n\le v_n \le w_n\text{ et }\lim_{n \to +\infty}u_n = \lim_{n \to +\infty}w_n = L,\text{ alors }\lim_{n \to +\infty}v_n = L,</math>}}avec <math>L</math> réel ou [[Limite d'une suite#Limite infinie|infini]].

== Exemples ==

=== Premier exemple ===
Un exemple classique d'application du théorème des gendarmes est<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre|début=Cet exemple est détaillé dans}}</ref> :
:<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}x=0</math>
ou, ce qui est équivalent :
: <math>\lim_{y\to 0}y\sin(\tfrac1y)=0</math>.
A fortiori, <math>\lim_{y\to 0}y^2\sin(\tfrac1y)=0</math>, ce qui peut également se démontrer directement, toujours par le théorème des gendarmes<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites#Théorème des gendarmes|début=Cet exemple est détaillé dans}}</ref>.

=== Deuxième exemple ===
{{refsou|Probablement l'exemple le plus connu}} de détermination de limite à l'aide du théorème des gendarmes est la démonstration de l'égalité suivante :

: <math>
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1
</math>.

Elle découle du théorème des gendarmes par l'[[Identité_trigonométrique#Encadrement|encadrement classique]]<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|lang=de|auteur=Selim G. Krein|auteur2=V. N. Uschakowa|titre=Vorstufe zur höheren Mathematik|éditeur=Vieweg|année=1968|isbn=978-3-322-98628-3|url={{Google Livres|-yXMBgAAQBAJ|page=80}}|page=80-81}}, ou simplement la propriété 1 de {{Note autre projet|Wikiversité|Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires#Propriétés sur les limites|début=}}</ref>

: <math> \cos x \leq \frac{\sin x}x\leq 1 </math>

pour {{mvar|x}} (non nul) suffisamment proche de 0.

Cette limite est utilisée pour démontrer que la [[Sinus (mathématiques)#Dérivée|dérivée de la fonction sinus]] est la fonction cosinus.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary=théorème des gendarmes}}
=== Article connexe ===
[[Théorème du sandwich (variante)]]
=== Liens externes ===
*https://www.ljll.math.upmc.fr/~nardoni/TDagrl3/TD1cor.pdf
*http://www.facsa.uliege.be/upload/docs/application/pdf/2012-07/analyse_-_synthese.pdf

{{portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme Gendarmes}}
[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Gendarmes]]