Voir la source de Théorème des valeurs extrêmes

{{homon|Théorème de Weierstrass}}
{{Confusion|Théorie des valeurs extrêmes}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse réelle]], le '''théorème des valeurs extrêmes'''<ref>C'est l'expression qu'emploie Micheline Citta pour traduire {{Citation étrangère|lang=en|extreme value theorem}}, dans {{Ouvrage|titre=Analyse. Concepts et contextes|vol=2|auteur={{Lien|trad=James Stewart (mathematician)|James Stewart (mathématicien)|texte=James Stewart}}|langue originale=en|traducteur=M. Citta-Vanthemsche|titre original=Calculus, Concepts & Contexts|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|année=2006|url={{Google Livres|LEkIWqwT_xIC|page=808}}|page=808}} ([https://books.google.fr/books?id=Vou3MZu_7tcC&pg=PA758 p. 758 de la v.o.]), ainsi que dans {{Ouvrage|auteur=Earl William Swokowski|titre=Analyse|titre original=Calculus|langue originale=en|traducteur=M. Citta|éditeur=De Boeck Supérieur|année=1993|url={{Google Livres|3VnC40S7a4YC|page=169}}|page=169}}.</ref> ou '''théorème des bornes atteintes'''<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|auteur=Louis Esch|titre=Mathématique pour économistes et gestionnaires|année=2006|éditeur=[[De Boeck Université]]|isbn=9782804151966|page=130}}, ou {{Ouvrage|auteur=Abdou Kouider Ben-Naoum|titre=Analyse|sous-titre=Premières notions fondamentales|éditeur=[[Presses universitaires de Louvain|PUL]]|année=2007|url={{Google Livres|ql3QRzEnbfEC|page=72}}|page=72}}.</ref> ou '''théorème des bornes'''<ref>''[[Revue de la filière mathématiques|RMS]]'', vol. 110, {{numéros|6 à 10}}, [[Vuibert]], 2000, [https://books.google.fr/books?id=UbPxAAAAMAAJ&q="théorème+des+bornes" {{p.|845}}].</ref> ou '''théorème de [[Karl Weierstrass|Weierstrass]]''' énonce qu'une [[fonction (mathématiques)|fonction]] [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur un [[segment (mathématiques)|segment]] est [[Fonction bornée|bornée]] et atteint ses bornes. Autrement dit, une telle fonction possède [[Extremum|un minimum et un maximum]] sur ce segment.

Ce résultat peut être démontré par la [[compacité (mathématiques)|compacité]] des segments réels, mais repose plus fondamentalement sur la [[propriété de la borne supérieure]].
[[Image:extrem value theorem.png|thumb|upright=1.4|La fonction atteint ses bornes en ''c'' et ''d''.]]
== Énoncé ==
{{théorème|1=Soit {{math|''f''}} une fonction définie sur un intervalle {{math|[''a'' , ''b'']}} de [[nombre réel|réels]] et à valeurs réelles. Si {{math|''f''}} est continue, alors la fonction {{math|''f''}} est bornée et atteint ses bornes, autrement dit il existe deux réels {{math|''c''}} et {{math|''d''}} de l'intervalle {{math|[''a'' , ''b'']}} tels que pour tout {{math|''x''}} de {{math|[''a'' , ''b'']}}, les inégalités suivantes soient vérifiées :
::<math>f(c)\le f(x) \le f(d).</math>
}}
''A priori'', les valeurs de {{math|''c''}} et {{math|''d''}} ne sont pas uniques et rien n'indique que {{math|''c''}} soit inférieur ou supérieur à {{math|''d''}}.

== Remarques ==
Ce théorème, avec le [[théorème des valeurs intermédiaires]], est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France). Si leurs démonstrations sont complexes c'est qu'elles font nécessairement appel à la [[topologie]] du corps des [[Nombre réel|nombres réels]].

Il apparaît dans les cours de Weierstrass au cours des années 1870, mais il a été démontré précédemment par [[Bernard Bolzano|Bolzano]]  dans son traité ''Rein analytischer Beweis'' de 1817 à l'aide de la [[propriété de la borne supérieure]] (il admet seulement le [[suite de Cauchy|critère de Cauchy]] pour la convergence des suites)<ref>{{Ouvrage|auteur={{Lien|lang=cs|Jan Šebestík|texte=Jan Sebestik}}|titre=Logique et mathématique chez Bernard Bolzano|année=1992|éditeur=[[Librairie philosophique J. Vrin|Vrin]]|url={{Google Livres|FE0Z3i8UldAC|page=407}}|page=407}}.</ref>.

Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif. Il signifie que toute fonction continue et définie sur un [[intervalle fermé]] atteint son maximum et son minimum.

Un [[Espace topologique|espace]] sur lequel toute fonction continue à valeurs réelles est bornée s'appelle un {{Lien|trad=Pseudocompact space|espace pseudo-compact}}. Sur un tel espace, toute fonction continue ''f'' à valeurs réelles atteint automatiquement sa [[borne supérieure]] ''M ''(sinon, la fonction 1/(''M – f'') serait continue et non bornée) et, de même, sa borne inférieure. Le théorème des bornes peut donc s'énoncer ainsi : tout segment réel est pseudo-compact.

La [[topologie]] fournit deux théorèmes qui rendent la démonstration évidente. Sans la topologie, la démonstration est relativement délicate pour un résultat aussi intuitif. Nous fournissons ici les deux démonstrations, la première car c'est la plus élégante et la deuxième pour éviter de rendre la topologie nécessaire pour bâtir une des théories de base des mathématiques, à savoir l'analyse des [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions réelles d'une variable réelle]].

La conclusion et les démonstrations sont inchangées si l'on permet à {{math|[''a'', ''b'']}} d'être un intervalle de [[Droite réelle achevée|{{Surligner|ℝ}}]] au lieu de ℝ, c'est-à-dire si l'on autorise {{math|''a ''{{=}} –∞}} et {{math|''b ''{{=}} +∞}}.

L'ensemble des points ''c'' de {{math|[''a'', ''b'']}} où ''f'' atteint son minimum est [[Fermé (topologie)|fermé]], et de même pour l'ensemble des points ''d'' où ''f'' atteint son maximum.

On verra, dans les démonstrations, l'importance de se placer dans un intervalle contenant ses extrémités et de prendre une fonction continue ou au moins [[Propriété locale|localement]] [[Fonction bornée|bornée]]<ref>{{Ouvrage|titre=Didactique, épistémologie et histoire des sciences|sous-titre=Penser l'enseignement|auteur=Laurence Viennot|éditeur=[[PUF]]|date=2015|url={{Google Livres|wWZfCwAAQBAJ|page autre=PT77}}|page=77}}, indique {{Citation|quatre méthodes assez standard}} de démonstration pour ce {{Citation|[[passage du local au global]]}} : [[raisonnement par l'absurde]] en utilisant soit une suite de points, soit une [[Méthode de dichotomie|dichotomie]] ; [[propriété de Borel-Lebesgue]] ; {{Citation|extension maximale, à partir du point ''a'', de l'intervalle sur lequel ''f'' est bornée (avec usage du [[théorème de la borne supérieure]])}}.</ref>.

== Application ==
Ce théorème est utilisé pour la démonstration du [[théorème de Rolle]], qui permet de démontrer le [[théorème des accroissements finis]], qui à son tour sert à l'analyse en [[développement limité]] d'une fonction et au [[théorème de Taylor]].

== Démonstration topologique ==
L'intervalle {{math|[''a'',''b'']}} est un ensemble [[fermé (topologie)|fermé]] et [[Partie bornée|borné]] de ℝ. Par le [[théorème de Borel-Lebesgue]], cet ensemble est donc un [[Compacité (mathématiques)|compact]] de ℝ. Or l'[[Compacité (mathématiques)#Compacité et continuité|image par une fonction continue d'un compact]] dans un [[Espace séparé|séparé]] est un compact. L'[[Image directe|image]] {{math|''f''([''a'',''b''])}} est donc un compact de ℝ. Cette image (non vide) est donc bornée (si bien qu'elle possède une borne supérieure et inférieure finies) et fermée (si bien qu'elle contient ces deux bornes).

== Démonstration sans les théorèmes topologiques ==
Notons {{mvar|M}} la [[borne supérieure]] de l'ensemble {{math|''f''([''a'',''b''])}} (au sens large a priori, c'est-à-dire que le supremum d'un ensemble de réels non majoré vaut {{math|+∞}}), et prouvons qu'elle est atteinte (donc en fait finie).

(Le résultat pour la borne inférieure s'en déduit en remplaçant {{mvar|f}} par {{math|–''f''}}, ou se démontre de même.)

Par définition de {{mvar|M}}, il existe une suite {{math|(''x{{ind|n}}'')}} d'éléments de {{math|[''a'', ''b'']}} telle que 
:<math>f(x_n)\underset{n\to+\infty}\longrightarrow M</math>.
D'après le [[Théorème de Bolzano-Weierstrass#Énoncé dans le cas réel|« théorème de Bolzano-Weierstrass » version réelle]]<ref>Pour une preuve utilisant plutôt le théorème plus élémentaire [[Théorème de la limite monotone|de la limite monotone]], voir le lien [[#Voir aussi|ci-dessous]] vers [[Wikiversité]].</ref>, comme <math>(x_n)</math> est bornée, elle possède une [[sous-suite]] convergente
:<math>x_{\varphi(n)}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow d\in [a,b]</math>
et comme {{mvar|f}} est continue au point {{mvar|d}}, on a
:<math>f(x_{\varphi(n)}) \underset{n\to+\infty}\longrightarrow f(d)</math>,
si bien que {{math|1=''M'' = ''f'' (''d'')}} par unicité de la limite de <math>\left(f(x_{\varphi(n)})\right)</math>.

Donc {{mvar|M}} est bien une valeur atteinte par {{mvar|f}}.

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Fonctions d'une variable réelle/Continuité#Théorèmes sur les fonctions continues|wikiversity titre=Théorème de Weierstrass (ou « des bornes »)}}
*[[Lemme de Cousin#Le théorème des bornes|Lemme de Cousin]]
*[[Lemme du soleil levant]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Valeurs extremes]]
[[Catégorie:Continuité]]
[[Catégorie:Article contenant une démonstration]]
[[de:Stetigkeit#Satz vom Minimum und Maximum]]