Voir la source de Théorème spectral

En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[algèbre linéaire]] et en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], on désigne par '''théorème spectral''' plusieurs énoncés affirmant, pour certains [[endomorphisme]]s, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de [[valeur propre, vecteur propre et espace propre|sous-espaces propres]].
[[Fichier:Ellipsoide.png|vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un [[ellipsoïde]] possède (en général) trois [[symétrie axiale|axes de symétrie]] orthogonaux (notés ici ''x'', ''y'' et ''z'').]]

Le cas le plus élémentaire concerne les [[matrice symétrique|matrices symétriques]] représentant les [[forme quadratique|formes quadratiques]] en dimension finie ; le théorème spectral correspondant, démontré par [[Karl Weierstrass]] en [[1858 en science|1858]], affirme que ces matrices sont toutes [[matrice diagonalisable|diagonalisables]] dans les réels, par l'intermédiaire d'un changement de [[base orthonormée]] ; un exemple de conséquence géométrique de ce résultat est l'existence, pour les [[quadrique]]s non dégénérées, de trois axes de symétrie orthogonaux, les [[théorème de l'axe principal|axes principaux]], mais il a d'autres conséquences importantes dans des domaines mathématiques variés ([[équation différentielle|équations différentielles]], classification des [[forme quadratique|formes quadratiques]], [[calcul numérique]], [[statistique]]s) ainsi qu'en physique, pour des questions de [[mécanique classique|mécanique générale]] du [[mécanique du solide|solide]] ou du [[mécanique du point|point]].

La généralisation à la dimension infinie est l'objet de la [[théorie spectrale]]. Elle est indispensable à la physique du {{s-|XX}}, par exemple en [[mécanique quantique]].

== Dimension algébrique de la propriété ==
[[Fichier:Théorème spectral.jpg|vignette|gauche|La sphère rouge représente la sphère unité pour la première forme, la figure bleue représente la sphère unité pour la deuxième forme dans la mesure où celle-ci est définie positive. La figure bleue est un ellipsoïde dont les axes sont orthogonaux pour la première forme.]]

Une quadrique est un objet structurant, un cas particulier essentiel est celui de la [[sphère]], définir un tel objet dans un espace vectoriel revient à le munir d'une [[Distance (mathématiques)|distance]] spécifique, dite [[Géométrie euclidienne|euclidienne]]. Une méthode couramment utilisée consiste à utiliser une [[forme quadratique]], c'est-à-dire une [[application (mathématiques)|application]] de l'espace dans l'ensemble des [[nombre réel|réels]] positifs. La distance est définie comme la [[racine carrée]] de la forme quadratique du vecteur reliant les deux points. Utiliser la forme quadratique à la place de la distance est commode. Les racines carrées disparaissent, permettant une expression plus simple des formules. Ainsi, le [[théorème de Pythagore]] dans le plan s'écrit, si Φ est la forme quadratique associée à la distance et si θ<sub>1</sub> et θ<sub>2</sub> correspondent aux carrés des coordonnées dans une base orthonormée, par Φ = θ<sub>1</sub> + θ<sub>2</sub>. Dans le cas d'une dimension finie ''n'' quelconque : Φ = θ<sub>1</sub> + θ<sub>2</sub> + … + θ<sub>''n''</sub>.

Une telle forme correspond à un cas particulier de quadrique. Elle est aussi définie par un polynôme de degré deux. Il est néanmoins ''homogène'', c'est-à-dire qu'il ne contient que des termes de degré deux. Une quadrique homogène définit une deuxième forme quadratique Ψ et en conséquence une autre distance. Graphiquement, le contexte de la propriété de l'article est illustré par la figure de gauche. La distance d'origine est définie par la sphère rouge et celle de la quadrique associée à Ψ, par l'ellipsoïde bleu. Il existe alors une base qui respecte l'orthogonalité des deux formes quadratiques. Si l'orthogonalité est respectée, il n'en est pas de même pour les longueurs. Ainsi, le vecteur unitaire de l'axe des ''x'' pour la distance originale ''(en rouge)'' est de longueur plus petite pour la nouvelle distance ''(en bleu)'', d'où la nécessité d'un coefficient s<sub>1</sub> pour passer d'une distance à l'autre.

[[Fichier:Hyperb1N.png|vignette|redresse|Seules les [[ellipsoïde]]s définissent une [[distance euclidienne]]. Un [[hyperboloïde]] définit une ''distance'' de nature différente, utilisée par exemple pour la [[relativité restreinte]].]]

C'est en ces termes que [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] exprime son théorème. Le vocabulaire évolue un peu avec le temps, le terme maintenant utilisé est celui de forme quadratique quand il parle de fonction homogène du second degré :

{{Citation bloc|1=Soit Φ, Ψ des fonctions entières homogènes du deuxième degré de ''n'' variables […] à coefficients réels et dont la première conserve un signe constant et ne s'annule pas [… soient ''s''<sub>1</sub>, … , ''s<sub>m</sub>'' les racines de det(''s''Φ – Ψ)] ; il existe alors des fonctions homogènes […] θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, …, θ<sub>''m''</sub>, de degré deux [… telles que …] {{nobr|1=Φ =  θ<sub>1</sub> + θ<sub>2</sub> + … + θ<sub>''m''</sub>}} [et] {{nobr|1=Ψ = s<sub>1</sub>θ<sub>1</sub> + ''s''<sub>2</sub>θ<sub>2</sub> + … + ''s<sub>m</sub>''θ<sub>''m''</sub>}} […]<ref name="Weierstrass">{{de}} K. Weierstrass, ''Ueber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem'', Comptes rendus de l'[[Académie des sciences de Berlin]], [[1858 en science|1858]], traduction F. Brechenmacher.</ref>.}}

Un tel formalisme généralise la notion de distance. Les réels ''s<sub>i</sub>'' n'ont aucune raison d'être tous positifs. Si tel n'est pas le cas, la sphère unité prend une apparence différente, analogue à un hyperboloïde. Une telle géométrie est utilisée en physique, dans le cadre de la [[relativité restreinte]].

:Enfin, il existe un pont entre les formes quadratiques et les [[application linéaire|applications linéaires]], construit à l'aide du [[produit scalaire]]. Il est ici noté ⟨∙, ∙⟩, c'est-à-dire que le produit scalaire de deux vecteurs ''u'' et ''v'' est noté ⟨''u'', ''v''⟩. À une application linéaire ''a'' de l'espace dans lui-même (appelé [[endomorphisme]]), est associé la forme quadratique Φ<sub>a</sub> définie par Φ<sub>a</sub>(''u'') = ⟨''a''(''u'') , ''u''⟩. Il existe de ''bons'' endomorphismes pour définir les formes quadratiques, ils sont nommés [[endomorphisme autoadjoint|autoadjoints]]. Ils correspondent à ceux dont la matrice, dans une [[base orthonormale]] est [[matrice symétrique|symétrique]], c'est-à-dire que les coefficients sont en ''miroir'' par rapport à la première diagonale. L'étude des endomorphismes autoadjoints est l'origine de la question traitée dans cet l'article.

== Histoire ==
=== Origine mécanique ===
{{Article détaillé|mécanique du point}}

[[Fichier:Jean d'Alembert.jpeg|vignette|redresse|[[Jean le Rond d'Alembert]] comprend l'utilité de la transformation, que l'on appellera plus tard la [[diagonalisation]] d'une [[matrice (mathématiques)|matrice]].]]
Plus d'un siècle avant la démonstration du théorème, apparaît ce qui, plus tard, sera considéré comme une matrice symétrique. [[Jean le Rond d'Alembert]] cherche à connaitre le mouvement d'une [[corde vibrante]]<ref>D'Alembert, ''Traité de dynamique'', Paris, 1743.</ref>. Il modélise le phénomène par un élastique dont la masse est rassemblée en des points régulièrement espacés. Le problème mathématique correspond à une [[équation différentielle linéaire]]. Si les variations sont suffisamment petites, les coefficients associés sont constants. [[Leonhard Euler]] propose une méthode dite des ''coefficients indéterminés'' pour expliciter la solution<ref>L. Euler, ''Recherches sur la connaissance mécanique des corps'', Mémoire de l’Académie des sciences de Berlin, 1758 ou ''Opera omnia'', vol. 2, Zurich, 1964, p. 178-199.</ref>. Contrairement aux prévisions de [[Daniel Bernoulli]], une approche analytique permet de trouver une solution conforme à ses expériences : {{Citation|Je me contenterai de dire que l’on remarque aisément dans les valeurs de x & de y trouvées ci-dessus, la double oscillation que M. Bernoulli a observée dans le mouvement du pendule dont il s’agit<ref name="D'Alembert 58">D'Alembert, ''Traité de dynamique'', {{2e|éd.}}, Paris, 1758, {{p.|152}}.</ref>.}}. Néanmoins, les prétentions à la généralité de d'Alembert se révèlent inexactes. Les coefficients indéterminés permettent uniquement de résoudre les cas où seules deux ou trois masses sont présentes.

Pour traiter le cas d'un nombre de masses plus important, [[Joseph-Louis Lagrange]] développe une nouvelle approche. Il utilise ''une pratique [[polynôme|polynomiale]] spécifique s'affranchissant de la méthode des coefficients indéterminés''<ref name="Lagrange 66">J.-L. Lagrange, ''Solutions de différents problèmes de calcul intégral […],'' 1766, disponible dans ''Miscellanea Taurinensia Lagrange 1867-92'', vol. 1, {{p.|471-668}}.</ref>. Grâce au fait que les coefficients sont en miroir, ce qui, en terme moderne se traduit par le fait que l'endomorphisme est auto-adjoint, il utilise une astucieuse méthode sur les ''primes et les indices''. Le polynôme trouvé correspond à ce qui est maintenant nommé le [[polynôme caractéristique]].

La méthode utilisée est relativement générique. Elle correspond à une [[approximation linéaire]] tangente, à ce titre elle fait partie d'une vaste théorie dite des [[Théorie des perturbations|perturbations]]. Elle suppose aussi que l'endomorphisme associé est symétrique. Enfin, elle ne fonctionne que si les [[racine d'un polynôme|racines]] du polynôme caractéristique, maintenant appelé [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]], sont toutes distinctes, enfin le cas des racines imaginaires fait peur. Les savants de l'époque en ont bien conscience : {{Citation|1=d’où l’on voit que le système est susceptible d’autant de différents mouvements isochrones que l’équation {{Formule|1=''P'' = 0}} a de racines réelles négatives et inégales<ref name="Lagrange 66" />.}}

=== Développement astronomique ===
[[Fichier:Joseph Louis Lagrange.jpg|vignette|gauche|redresse|[[Joseph-Louis Lagrange]] étudie les perturbations des trajectoires des planètes engendrées par les autres masses que le Soleil. La méthode proposée met en évidence des perturbations séculaires, phénomène qui s'avère être un moteur essentiel de la théorie pendant tout le {{s-|XIX}}.]]

Une autre situation entre dans le domaine de validité de la méthode : celle de la trajectoire des planètes. En plus de l'attraction solaire, les planètes s'attirent entre elles et engendrent de petites perturbations. [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] les décrit de la manière suivante :

{{Citation bloc|Ces variations sont de deux espèces : les unes périodiques et qui ne dépendent que de la configuration des Planètes entre elles ; celles-ci sont les plus sensibles, et le calcul en a déjà été donné par différents Auteurs ; les autres séculaires et qui paraissent aller toujours en augmentant, ce sont les plus difficiles à déterminer tant par les observations que par la Théorie. […] Ces dernières altèrent les éléments mêmes de l’orbite, c'est-à-dire la position et la dimension de l’ellipse décrite par la planète ; et quoique leur effet soit insensible dans un court espace de temps, il peut néanmoins devenir à la longue très considérable<ref name="Lagrange 83">J.-L. Lagrange, ''Théorie des variations séculaires des éléments des planètes'', Nouv. mém. de l’Acad. des sciences de Berlin, vol. 1, 1783, {{p.|125}}.</ref>.}}

Les variations séculaires fascinent, la stabilité du système solaire est menacée. Cet aspect s'avère un moteur théorique essentiel pour la compréhension du sujet de cet article. S'il existe une méthode numérique opérationnelle, elle ne peut garantir un résultat théorique tant que deux questions ne sont pas résolues. Que se passe-t-il s'il existe une valeur propre multiple ? Et sont-elles toutes réelles ?

{{Citation bloc|[…] il peut néanmoins arriver qu’il y en ait d’égales ou d’imaginaires ; mais il est facile de résoudre ces cas par les méthodes connues : nous observerons seulement que, dans le cas des racines égales, les valeurs de s, s<sub>1</sub>, s<sub>2</sub>,…, u, u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>,… contiendront des arcs de cercle, et que dans celui des racines imaginaires ces valeurs contiendront des exponentielles ordinaires ; de sorte que, dans l’un et l’autre cas, les quantités dont il s’agit croîtront à mesure que t croît ; par conséquent la solution précédente cessera d’être exacte au bout d’un certain temps ; mais heureusement ces cas ne paraissent pas avoir lieu dans le Système du monde<ref name="Lagrange 78">J.-L. Lagrange, ''Recherches sur les équations séculaires des mouvements des nœuds, et des inclinaisons des orbites des planètes'', Hist. de l’Acad. des sciences, 1778.</ref>.}}

La stabilité des perturbations du premier ordre, celles traitées par la méthode de Lagrange, fait couler beaucoup d'encre. La réponse qu'il propose est celle du calcul effectif. Il suppose qu'une planète n'est en interaction qu'avec quatre autres et développe une méthode de substitution sur les polynômes pour en extraire les racines<ref>J.-L. Lagrange, ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', Mémoires de l'Académie de Berlin, 1770.</ref>, qui s'avère soixante ans plus tard le point de départ de la [[théorie de Galois]]. Il en déduit :

{{Citation bloc|Cependant il ne parait pas impossible de parvenir, par quelque artifice particulier, à décider cette question d’une manière générale ; et comme c’est un objet également intéressant pour l’analyse et pour l’Astronomie physique, je me propose de m’en occuper. En attendant, je me contenterai de remarquer que, dans le cas présent, les racines trouvées sont trop différentes entre elles pour qu’un petit changement dans les masses adoptées puisse les rendre égales, et encore moins imaginaires<ref name="Lagrange 83" />}}

[[Pierre-Simon de Laplace]] ne se contente pas de la réponse numérique de Lagrange. Elle n'offre pas à son goût de garantie suffisamment solide de stabilité, que se passe-t-il avec la prise en compte de plus de planètes? Il démontre que la disposition en miroir des coefficients ainsi que la nature de leur valeur imposent une convergence si seuls les effets du premier ordre sont pris en compte<ref>P.-S. Laplace, ''Mémoire sur les variations séculaires des orbites des planètes'', Mém. de l’Acad. des sciences de Paris, 1795, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77599c.f93 p. 88-92] (soumis en 1789), Œuvres '''11''', {{p.|295-306}}.</ref>. Sa méthode néanmoins ne possède aucun caractère générique et ne fait pas avancer les mathématiques. L'avenir montrera de plus que la convergence des perturbations d'ordre 1 ne garantit en rien la stabilité recherchée.

=== Géométrie analytique ===
{{Article détaillé|Géométrie analytique}}

[[Fichier:Augustin Louis Cauchy.JPG|vignette|redresse|[[Augustin Louis Cauchy]] donne une dimension géométrique au problème.]]

Dans les années 1820, [[Augustin Louis Cauchy]] s'attelle à cette question. Il n'est pas un novice en algèbre, son traité<ref>A. L. Cauchy, « [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires <nowiki>[…]</nowiki>] », adressé en [[1812 en science|1812]] et publié dans le ''Journal de l'École polytechnique'', {{XVIIe}} cahier, t. X, Paris, [[1815 en science|1815]].</ref> sur les [[déterminant (mathématiques)|déterminants]] fait autorité. Son approche, si elle reste analytique, diffère radicalement de celle de Lagrange, qui se décrit ainsi :

{{Citation bloc|Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques assujetties à une marche régulière et uniforme<ref>J.-L. Lagrange, ''Mécanique analytique'', Paris, {{2e}} éd., [[1811 en science|1811]].</ref>.}}

Cauchy découvre la dimension géométrique de la question. Il axe son analyse sur l'étude des [[quadrique]]s. Elles sont définies de manière analytique par une forme quadratique, qu'il exprime comme un polynôme homogène du deuxième degré. Il remarque que, dans le cas de la dimension trois, il existe trois plans, définis par le choix de deux vecteurs pris parmi trois, qui divisent la quadrique en deux parties symétriques. Ces trois vecteurs sont orthogonaux et peuvent être choisis de longueur 1. Pour trouver ces vecteurs, Cauchy analyse les [[Extremum|extrema]] de la surface à l'aide des [[dérivée partielle|dérivées partielles]]. Il établit la correspondance entre ces axes et les vecteurs propres de l'application linéaire associé. Un calcul de déterminant, fondé sur les techniques qu'il a développées dans le passé lui permettent d'expliciter les valeurs propres<ref>A. L. Cauchy, ''Sur les centres, les plans principaux et les axes principaux des surfaces du second degré'', Exer. de math.3 = Œuvres (2)8, p. 8-35, [[1828 en science|1828]].</ref>, il correspond maintenant à ce qui est appelé le [[polynôme caractéristique]], le même qu'avait trouvé Lagrange par des méthodes différentes.

Cauchy voit ainsi la question sous trois angles : trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'une application linéaire, étudier les formes quadratiques et classifier les quadriques. Il applique cette triple approche à trois situation : en géométrie, la classification de nombreuses surfaces du second degré dans un espace de dimension quelconque ; en mécanique, l'étude des axes d'[[Moment d'inertie|inertie]] d'un solide en rotation<ref name="Cauchy1830">A. L. Cauchy, Mémoire sur l’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide&nbsp;[…], Mémoires de l'Académie des sciences, t. IX, p. 111 ; présenté en [[1826 en science|1826]] et publié en [[1830 en science|1830]].</ref> ; enfin, en astronomie, l'étude des [[variations séculaires des orbites planétaires|variations séculaires]]<ref name="Cauchy 29">A. L. Cauchy, « [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90201q/f177 Sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires du mouvement des planètes] », Exer. de math. 4 = Œuvres (2) 9, p. 174-195, [[1829 en science|1829]].</ref>.

Cette méthode possède deux faiblesses, toujours les mêmes. Si le polynôme caractéristique possède une racine multiple, alors il est impossible de déterminer les vecteurs propres et la nature réelle ou complexe des valeurs propres reste inconnue. Dans le cas des axes d'inerties d'un solide, un ''artifice particulier'', associé à son aspect tridimensionnel permet de résoudre la question, mais le cas général reste un mystère :

{{Citation bloc|1=D’après ce qui a été dit ci-dessus, il ne peut rester de doutes sur l’exactitude du théorème I, si ce n’est dans le cas où quelques valeurs de ''s'' vérifieraient à la fois deux des équations (36) ''S'' = 0, ''R'' = 0, ''Q'' = 0, …, prises consécutivement<ref name="Cauchy 29" />.}}

La [[Trois Glorieuses|révolution de 1830]], ainsi que la position politique de Cauchy (il est légitimiste) lui impose l'exil et l'arrêt de ses travaux. Une décennie plus tard, il revient sur ces questions pour mieux comprendre la propagation des ondes lumineuses ou d'origine élastique. Ces travaux donnent lieu à la création de l'expression ''polynôme caractéristique'', ou plus précisément dans les textes de Cauchy d{{'}}''équation caractéristique''<ref>A. L. Cauchy, « Méthode générale propre à fournir les équations de condition relatives aux limites des corps dans les problèmes de physique mathématique », ''[[CRAS]]'', vol. 8, [[1940 en science|1940]], {{p.|79-81}} (lu en [[1939 en science|1939]]).</ref>{{,}}<ref>A. L. Cauchy, « Mémoire sur l’intégration des équations linéaires », ''CRAS'', vol. 30, 1940, {{p.|202-211}} (lu en 1939)</ref>. Les travaux de Cauchy sur la stabilité du système solaire se traduisent ''[[in fine]]'' par un apport opposé à celui de Laplace : une importante avancée théorique associée à une absence de résultat concret.

=== Arithmétique et algèbre ===
[[Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|vignette|redresse|Avec l'[[arithmétique]], [[Carl Friedrich Gauss]] introduit en Allemagne une approche purement algébrique pour l'étude des formes quadratiques.]]
Le problème des variations séculaires peut aussi être mis en relation avec un vieux problème d'[[arithmétique]] soulevé par [[Pierre de Fermat|Fermat]] et maintenant appelé [[théorème des deux carrés de Fermat|théorème des deux carrés]]. La question posée est celle des [[nombre premier|nombres premiers]] s'exprimant sous la forme de deux carrés d'entiers. D'une manière plus générale cette question est reliée aux valeurs que peut prendre la forme quadratique ''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}} si ''x'' et ''y'' prennent des valeurs entières. Un regard encore plus général est celui des valeurs que peut prendre une forme quadratique quelconque sur les entiers. Il amène aux [[théorème des trois carrés|théorème des trois]] et des [[théorème des quatre carrés|quatre carrés]].

Un élément de réponse pour cette question correspond à la classification des formes quadratiques, en [[Relation d'équivalence|classes d'équivalence]]. Deux formes quadratiques Φ et Ψ sur un ''Z'' [[module sur un anneau|module]] ''M'' sont dites équivalentes s'il existe un endomorphisme [[bijection|bijectif]] ''f'' de ''M'' tel que Φ soit égal à la composée de Ψ et de ''f''. Autrement dit si les formes quadratiques représentent le même objet dans deux bases différentes. Les formes ont la même image, il suffit donc de connaitre l'image d'une unique forme dans chaque classe pour résoudre une large famille d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]]. Cette classification arithmétique des formes quadratiques est initiée par [[Adrien-Marie Legendre]]<ref>A.-M. Legendre, ''Théorie des nombres'', Paris, Duprat, 1798.</ref> en 1798 et rapidement poursuivi par [[Carl Friedrich Gauss]]<ref>C. F. Gauss, ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', 1801.</ref> en [[1801 en science|1801]]. Cette démarche, éminemment linéaire, est à l'origine par Gauss de la première utilisation du terme [[déterminant (mathématiques)|déterminant]].

La connaissance des formes quadratiques ne manquent pas d'avoir des applications. Un nouvel exemple est rapidement fourni, encore par l'[[astronomie]]. Les données associées à la trajectoire d'un corps céleste sont à la fois nombreuses et toutes entachées de petites erreurs. Utiliser la [[méthode des moindres carrés]] pour estimer précisément la trajectoire est fructueux et permet à Gauss de retrouver l'[[astéroïde]] [[(1) Cérès|Cérès]] (les détails sont données dans l'article sur la [[méthode des moindres carrés]]). Cette méthode consiste à trouver le minimum d'une forme quadratique, soit encore le vecteur propre de la plus petite valeur propre associée. Legendre est le premier à publier ce résultat, cependant Gauss ne lui reconnait pas la paternité de cette découverte. La réaction de Legendre est brutale : ''Cette impudence excessive est incroyable chez un homme au mérite personnel suffisant pour ne pas avoir besoin de s'approprier les découvertes d'autrui.''<ref>{{en}} [[Stephen Stigler]], « An attack on Gauss, published by Legendre in 1820 », ''[[Historia Mathematica|Historia Math.]]'', vol. 4, 1977, {{p.|31-35}}.</ref>

[[Fichier:Carl Jacobi2.jpg|vignette|gauche|redresse|[[Charles Gustave Jacob Jacobi]] démontre que toute forme quadratique possède une base orthogonale.]]
Dans le cas d'un espace vectoriel réel de dimension finie, la réduction d'une forme quadratique est réalisée par [[Charles Gustave Jacob Jacobi]]. Il montre qu'elles sont toutes équivalentes à une combinaison linéaire de carrés dont le coefficient est égal soit à 1 soit à –1<ref>C. G. J. Jacobi, « Sur la réduction des formes quadratiques au plus petit nombre de termes », ''Comptes rendus de l'Académie des sciences de Berlin'', [[1848 en science|1848]].</ref>. Ce résultat est redécouvert par [[James Joseph Sylvester]] et appliqué au principe de l'inertie des solides. Il porte maintenant [[Loi d'inertie de Sylvester|son nom]]<ref>J. J. Sylvester, {{Refconf|date=mai 2017|''Théorie sur les invariants algébriques'', [[1852 en science|1852]]}}.</ref>. La distance entre le théorème de l'article et le savoir de l'époque devient ténue. Le résultat de Jacobi exprime que toute forme quadratique possède une base orthogonale. Il suffit d'en adjoindre une autre, définie positive pour conclure, ce que fait [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] en [[1858 en science|1858]]. Les techniques utilisées, comparables à celles des démonstrations données dans cet article, sont infiniment plus simples que celles de Cauchy.

Cette approche algébrique, dont l'Allemagne est probablement le plus riche contributeur avec Gauss, Jacobi, [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] ou [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] est la solution, non seulement d'un problème d'algèbre, mais aussi des questions que se posent les français depuis longtemps. Weierstrass en a parfaitement conscience :

{{Citation bloc|1=[Le problème] a été complètement résolu par Cauchy, Jacobi etc. pour le cas où l’on ne trouve aucune grandeur égale parmi ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, …, ''s<sub>n</sub>''. Il n'est pas encore résolu en revanche dans les circonstances exceptionnelles où les racines de l’équation ''f''(''s'') = 0 ne sont pas différentes l’une de l’autre, la difficulté qui se présente alors aurait déjà du être éclaircie et je propose de l'examiner attentivement plus en détail. Je ne pensais pas initialement qu'une solution serait possible sans des discussions spécifiques aux nombreux cas différents qui peuvent se produire. Il me fallait espérer que la résolution du problème soit susceptible d’une méthode indifférente à la multiplicité des grandeurs ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, …, ''s<sub>n</sub>''<ref name="Weierstrass"/>.}}

Le théorème de Weierstrass éclaire la question des variations séculaires sous un autre angle, l'auteur du théorème conclut :

{{Citation bloc|1=Après avoir indiqué et énoncé la forme des intégrales, Lagrange a conclu que, comme les oscillations x<sub>1</sub>, dx<sub>1</sub>/dt restent toujours petites si elles le sont à l'origine, l’équation ne peut pas avoir de racines égales car les intégrales pourraient devenir arbitrairement grandes avec le temps. La même affirmation se trouve répétée chez Laplace lorsqu’il traite dans la Mécanique céleste des variations séculaires des planètes. Beaucoup d’autres auteurs, comme Poisson, mentionnent cette même conclusion. Mais cette conclusion n'est pas fondée […] et, si la fonction Ψ reste négative et de déterminant non nul, on peut énoncer le même résultat, que les racines de l’équation f(s)=0 soient ou non toutes distinctes ; l'homogénéité de cette conclusion n'a pu être découverte dans la passé car on a toujours envisagé ce cas [des racines multiples] par des approches particulières<ref name="Weierstrass"/>.}}

S'il est définitivement établi que les variations du premier ordre ne peuvent en aucun cas déstabiliser le système solaire, la question reste néanmoins ouverte : l'astronome [[Urbain Le Verrier]] montre que les termes d'ordre deux ne peuvent être négligés<ref>La conséquence des perturbations d'ordre deux est étudiée par Le Verrier en 1856, voir par exemple [[Jacques Laskar]], « La stabilité du système solaire », {{p.|184-187}} dans : [[Amy Dahan]]-Dalmédico et Pierre Arnoux, ''Chaos et déterminisme'', Seuil, 1992 {{ISBN|978-2-02-015182-5}}.</ref>. Il faut attendre le siècle suivant et le talent de [[Henri Poincaré]] pour conclure positivement<ref>Pour une étude moderne voir {{en}} J. Laskar, ''[http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/preprints/prep.2003/th2002_laskar.pdf Chaos in the Solar System]''.</ref>.

== Formalisation algébrique ==
[[Fichier:Karl Weierstrass.jpg|vignette|redresse|[[Karl Weierstrass]] propose la formulation algébrique de la propriété des [[quadrique]]s, souvent connue sous le nom de ''théorème spectral''.]]

Le théorème spectral ne peut s'énoncer rigoureusement que dans un formalisme algébrique. C'est celui qui finit par prévaloir historiquement. Les démonstrations de Cauchy sont plus longues et surtout moins exhaustives (même s'il est possible de retrouver l'intégralité des propriétés). Les énoncés sont plus concis et enfin, la formalisation algébrique s'adapte mieux aux applications dans des domaines divers.

Le formalisme contemporain modifie peu l'expression du théorème de Weierstrass, qui prend le nom de « théorème spectral » ; ce théorème possède de nombreuses généralisations en dimension infinie portant le même nom. Cette formulation possède un corollaire immédiat : toute forme Ψ quadratique ou hermitienne possède une base orthogonale ''B'' telle que l'image de tout élément de ''B'' par Ψ est égale à 1, -1 ou 0 (ou même simplement 1 ou 0 dans le cas hermitien)<ref>Dans le cas quadratique, la [[loi d'inertie de Sylvester]] précise que le nombre des 1, le nombre des 0, et le nombre des -1 ne dépendent que de la forme quadratique et pas de la base orthogonale choisie.</ref>.

{{Théorème|Théorème spectral en dimension finie, pour les formes|
Soient ''E'' un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels (resp. des complexes) et Φ, Ψ deux formes [[forme bilinéaire symétrique|bilinéaires symétriques]] (resp. [[Forme sesquilinéaire complexe#Formes hermitiennes|sesquilinéaires hermitiennes]]) de ''E'' telles que Φ soit définie positive. Alors il existe une base ''B'' de ''E'' [[base orthonormée|orthonormée]] pour Φ et [[orthogonalité|orthogonale]] pour Ψ. Dans cette base, les coefficients de la matrice associée à Ψ sont tous réels.}}

Ce résultat se déduit de l'un ou l'autre des deux suivants :
{{Théorème|Théorème spectral en dimension finie, pour les endomorphismes|
Tout endomorphisme [[auto-adjoint]] d'un espace euclidien ou hermitien est [[Diagonalisation|diagonalisable]] dans une base orthonormée et ses [[valeur propre|valeurs propres]] sont toutes réelles.}}

Ce théorème se généralise partiellement dans le cas hermitien : il n'est pas nécessaire que l'endomorphisme soit auto-adjoint pour qu'il soit diagonalisable, il suffit qu'il soit [[Endomorphisme normal|normal]], c'est-à-dire qu'il commute avec son adjoint. En revanche, un endomorphisme normal d'un espace euclidien (par exemple : une rotation plane) n'est en général pas diagonalisable.

Tout théorème sur les endomorphismes possède son équivalent en matière de [[matrice (mathématiques)|matrices]] car les deux structures sont [[isomorphisme d'espaces vectoriels|isomorphes]]. Le théorème suivant est une transcription en termes matriciels.
{{Théorème|Théorème spectral pour les matrices|
Soit ''A'' une [[matrice symétrique]] réelle (resp. [[hermitien]]ne complexe), alors il existe une matrice ''P'' [[matrice orthogonale|orthogonale]] (resp. [[Matrice unitaire|unitaire]]) et une matrice ''D'' [[Matrice diagonale|diagonale]] dont tous les coefficients sont réels, telles que la matrice ''A'' est égale à ''PDP''<sup>-1</sup>.}}

Pour des démonstrations de ces théorèmes, voir le [[Endomorphisme autoadjoint#Dimension finie|§ « Dimension finie » de l'article ''Endomorphisme autoadjoint'']], ainsi que les articles ''[[Endomorphisme normal]]'' et ''[[Orthogonalisation simultanée]]'', pour leurs généralisations.

== Classification des quadriques ==
{{Article connexe|Quadrique}}
=== Cas d'une quadrique homogène ===
[[Fichier:Hyperb2N.png|vignette|Certains axes de symétrie de l'hyperboloïde à deux nappes ne croisent pas la [[quadrique]]. Tel est le cas pour les axes horizontaux.]]
Si l'approche algébrique est la plus générale et la plus concise, la géométrie permet néanmoins d'établir certains résultats. Cette voie fut celle de Cauchy. Nous utiliserons la formalisation moderne issue de la [[géométrie différentielle]], relativement différente de celle analytique du {{s-|XIX}}.

Soit ''E'' un espace vectoriel euclidien de dimension ''n'', ''B'' = (''e<sub>i</sub>'') une base orthonormale de ''E'' et ''S'' une surface quadrique définie par une forme quadratique Ψ. L'objectif est d'étudier les [[extremum|extrema]] de Ψ sur la [[variété différentielle]] qu'est la sphère de rayon l'unité. Ici le terme d'extremum de la quadrique désigne un point de cette nature, elle permet de trouver des axes de symétries même si un tel axe ne croisent pas la surface, comme dans le cas de l'hyperboloïde à deux nappes.

{{Théorème|Axe de symétrie et vecteur propre|
Un vecteur ''u'' de la sphère unité correspond à un extremum local pour la forme Ψ si et seulement s'il est vecteur propre de l'endomorphisme autoadjoint ''a'' associé à la forme Ψ. Un tel vecteur est la direction d'un axe de symétrie de la quadrique.}}

En effet, la fonction Ψ ainsi que la sphère en tant que [[variété différentielle]] sont de classe ''C''<sup>∞</sup>, les extrema se caractérisent donc par des annulations de [[différentielle]]s. Plus précisément, ''u'' est un extremum local si et seulement si le [[Noyau (algèbre)|noyau]] de Ψ est inclus dans l'espace tangent à la sphère au point ''u''.

La sphère est l'image réciproque de {1} par l'application qui à un vecteur ''v'' associe ⟨''v'', ''v''⟩. La différentielle de cette application en ''v'' est la [[forme linéaire]] qui au vecteur ''h'' associe 2⟨''v'', ''h''⟩. Son noyau est donc l'[[hyperplan]] orthogonal de ''v''. Soit ''a'' l'endomorphisme autoadjoint associé à la quadrique, Ψ est alors l'application qui à un vecteur ''v'' associe ⟨''a''(''v''), ''v''⟩. Sa différentielle en ''u'' est l'application qui, à un vecteur ''h'', associe le scalaire ''D''Ψ<sub>''u''</sub>(''h'') égal à 2⟨''a''(''u''), ''h''⟩.

Comme ''u'' est un vecteur extremum, ''D''Ψ<sub>u</sub> est nul sur l'hyperplan orthogonal de ''u'', le vecteur ''a''(''u'') est donc orthogonal à l'orthogonal de ''u'', ce qui signifie qu'il est colinéaire à ''u''. C'est bien la définition d'un vecteur propre.

Réciproquement, si ''u'' est un vecteur propre, alors le théorème précédent sur les endomorphismes autoadjoints montre que l'orthogonal de ''u'' est stable par ''a'' et donc que le noyau de ''D''Ψ<sub>''u''</sub> est bien l'orthogonal de ''u'', ce qui montre que le vecteur est un extremum.

Montrons enfin que ''u'' définit un axe de symétrie de la quadrique. Soit ''v'' un vecteur quelconque de la quadrique. ''v'' est somme d'un vecteur colinéaire à ''u'' et d'un vecteur ''w'' orthogonal : ''v'' = α''u'' + ''h''. Si λ est la valeur propre de ''u'', alors l'image ω de ''w'' par la symétrie axiale de direction ''u'' est ω = α''u'' - ''h''. Il suffit alors de montrer que Ψ(ω) est égal à Ψ(v). Cette propriété est une conséquence directe du fait que ''u'' est orthogonal à ''h'' :

<center><math>\psi (\omega) \, = \, \langle\, a(\omega) \, , \, \omega\, \rangle \; = \; \langle\, a(\alpha  u - h)\, , \, \alpha u - h \, \rangle = \lambda \alpha^2 + \langle\, a(h)\, , \, h \, \rangle\; = \; \langle\, a(w) \, , \, w\, \rangle = \psi (w)</math>.</center>

Les résultats algébriques précédents permettent de conclure :

{{Théorème|Existence de ''n'' axes de symétries|
Toute quadrique homogène possède ''n'' axes de symétries orthogonaux deux à deux.}}
En effet, il existe une base orthogonale de vecteurs propres de ''a''.

=== Cas d'une quadrique non dégénérée ===
Si le cas réellement intéressant est celui que la quadrique homogène, à cause de sa dimension algébrique. Il n'est pas inutile que classifier les quadriques. Dans le cas général, une quadrique comporte aussi des termes d'ordre 1, le polynôme est alors la somme d'une forme quadratique, d'une forme linéaire et d'une constante. En utilisant les notations précédentes il existe alors un vecteur ''b'' tel que la quadrique possède pour image d'un vecteur ''v'' quelconque ⟨''a''(''v''), ''v''⟩ + ⟨''b'', ''v''⟩ - ''c''. Si l'application ''a'' est un [[automorphisme]], c'est-à-dire s'il est [[bijection|bijectif]], alors la forme quadratique associée ainsi que la quadrique sont qualifiées de '''non dégénérée'''. Un simple changement de l'origine permet de se ramener à la situation précédente.

Supposons ''a'' bijectif, alors 1/2.''b'' admet un antécédent β par ''a''. Le polynôme ''P'' prend la forme suivante :
<center><math>\forall v \in E \quad P[v] \, = \, \langle a(v) \, , \, v \rangle \, + \, 2 \langle a(\beta) \, , \, v \rangle \, + \, \langle a(\beta) \, , \, a(\beta) \rangle \, - \, \langle a(\beta) \, , \, a(\beta) \rangle - c </math></center>
On en déduit l'égalité :
<center><math>\forall v \in E \quad P[v] \, = \, \langle a(v + \beta) \, , \, v + \beta \rangle - \; c_1 \quad\text{avec}\quad c_1 \,= \, c \ + \,  \langle a(\beta) \, , \, a(\beta) \rangle </math>.</center>
La situation est donc géométriquement analogue à la précédente.

=== Cas général ===
[[Fichier:ParabHyper.png|vignette|gauche|Même dans le cas dégénéré, les axes principaux sont parfois aussi des axes de symétries, comme c'est le cas pour le [[paraboloïde|paraboloïde hyperbolique]].]]

L'analyse précédente permet d'établir une rapide classification des quadriques. Le cas général est entièrement traité si le vecteur ''b'' est dans l'image de l'endomorphisme ''a''. Il correspond à une équation de la forme :
<center><math> x_1^2 + \cdots + x_i^2 - x_{i+1}^2 - \cdots - x_j^2 = \epsilon</math>.</center>
ε désigne ici un entier égal à 0 ou à 1. La base dans laquelle les coordonnées s'expriment est orthogonale mais n'est plus normée, la norme des vecteurs est choisie pour égaler à {{pas clair|date=mai 2017|1 ou son inverse}} les coefficients de la quadrique. La quadrique est non dégénérée si et seulement si ''j'' est égal à ''n''.

Dans le cas où la quadrique est dégénérée et ou ''b'' n'est pas dans le noyau de l'endomorphisme ''a''. Il est alors possible de choisir comme dernier vecteur de la base un élément de la droite de direction ''b''. Et, quitte à translater l'origine, il existe encore une base orthogonale tel que l'équation de la quadrique prenne la forme suivante :
<center><math> x_1^2 + \cdots + x_i^2 - x_{i+1}^2 - \cdots - x_j^2 = x_n</math>.</center>
Dans ce cas, ''j'' est toujours strictement plus petit que ''n'', les vecteurs propres de la forme quadratique ne sont plus toujours des axes de symétrie comme le montre le paraboloïde de l'introduction. Pour cette raison, et pour obtenir un vocabulaire parfaitement générique, on appelle ''axe principal'' toute droite passant par l'origine (une fois la translation réalisée) et de direction une droite de vecteurs propres.

== Applications ==
=== Pendule de d'Alembert à deux boules ===
[[Fichier:Pendule de D'Alembert deux boules.jpg|vignette|La [[corde vibrante]] est ici modélisée par un pendule dont la masse est concentrée en deux points régulièrement espacés.]]

D'Alembert, dans la deuxième édition de son traité de dynamique, propose de résoudre l'équation du pendule illustré sur la figure de droite. La corde est élastique et de masse nulle, les deux parois sur lesquelles elle est maintenue sont fixes. Enfin, les oscillations des deux masses, dont les coordonnées verticales sont notées ''x'' et ''y'', sont petites devant ''l''. Les deux boules sont régulièrement espacées et de même masse. Dans ce contexte la première masse reçoit une force verticale, proportionnelle à -2''x'' + ''y'' et la deuxième à -2''y'' + ''x''.

Si ''E'' est l'espace vectoriel des couples (''x'', ''y''), ''f'' la fonction du temps à valeur dans ''E'' décrivant la trajectoire du pendule, ''a'' l'endomorphisme défini par la matrice suivante, il existe une constante ''k'' telle que :
<center><math>\frac {d^2f}{dt^2}(t)\; = \; a \cdot f(t) \quad\text{avec}\quad a \; : \; k \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}</math></center>

L'endomorphisme ''a'' dispose d'une matrice réelle symétrique, il est donc autoadjoint. L'existence d'une base orthonormée diagonalisant ''a'' permet de séparer les variables et donc de résoudre l'équation différentielle. D'Alembert, qui ne dispose pas de ce formalisme, utilise le théorème grâce à la méthode d'Euler dite des ''coefficients indéterminés''. Elle se fonde sur l'utilisation du changement de variable suivant, si λ est un réel :

<center><math> \begin{cases} \frac {d^2x}{dt^2} = k(-2x + y) \\ \frac {d^2y}{dt^2} = k(x - 2y) \end{cases} \quad\text{posons}\quad \begin{cases} u = x + \lambda y \\ v = x - \lambda y \end{cases} \quad\text{et}\quad
\begin{cases} \frac {d^2u}{dt^2} = \frac {k}{2\lambda}\Big( (\lambda^2-4\lambda + 1)u + (\lambda^2 -1)v \Big)\\ \frac {d^2v}{dt^2} = \frac {-k}{2\lambda}\left( (\lambda^2 -1)u + (\lambda^2+4\lambda + 1)v \right) \end{cases} </math></center>

Choisir <math>1</math> pour valeur de λ permet de séparer les variables, le système devient :

<center><math> \frac {d^2u}{dt^2} = -k u \quad\text{et}\quad \frac {d^2v}{dt^2} = - 3 k v </math>.</center>

En termes modernes, ''u'' et ''v'' correspondent à deux vecteurs propres de ''a'' formant une base orthonormale dont les coordonnées dans la base canonique est {{frac|2|{{racine|2}}}} (1, 1) et {{frac|2|{{racine|2}}}} (-1, 1).

=== Pendule de d'Alembert à trois boules ===
[[Fichier:Pendule de D'Alembert trois boules.jpg|vignette|La [[corde vibrante]] est ici modélisée par un pendule dont la masse est concentrée en trois points régulièrement espacés.]]

Les hypothèses et notations sont équivalentes à celles du paragraphe précédent, l'espace vectoriel ''E'' est maintenant celui des triplets (''x'', ''y'', ''z'').

<center><math>\frac {d^2f}{dt^2}(t)\; = \; a \cdot f(t) \quad\text{avec}\quad a \; : \; k \begin{pmatrix} -2 & 1  & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.</math></center>

Il existe une base orthonormée de vecteurs propres, d'après le théorème de l'article. Le calcul du polynôme caractéristique ''P''[''X''] donne les valeurs propres λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub> et λ<sub>3</sub> :
<center><math>P[X] = k^3(X+2)(X^2 + 4X +2) \quad\text{donc}\quad \lambda_1 = -2 \, , \, \lambda_2 = -2 + \sqrt 2\quad\text{et}\quad\lambda_3 = -2 - \sqrt 2</math>.</center>

On en déduit les trois vecteurs propres associés :
<center><math> v_1 : \frac {\sqrt 2}2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
, \quad v_2 : \frac 12 \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad v_3 : \frac 12 \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.</center>

== Généralisations ==
=== Réciproque ===
Si un endomorphisme est diagonalisable dans une base orthonormée et si ses valeurs propres sont toutes réelles, alors il est clairement auto-adjoint.

En revanche, un endomorphisme est le plus souvent diagonalisable sans être normal. Il suffit, par exemple, de considérer un endomorphisme dont les racines du polynôme caractéristique sont toutes distinctes et dont les vecteurs propres ne forment pas une base orthogonale.

=== Généralisation en dimension finie ===
{{Article détaillé|Diagonalisation|réduction d'endomorphisme}}
Il est possible d'étudier la diagonalisabilité d'un endomorphisme sans utiliser le produit scalaire, en passant par l'étude de son [[polynôme caractéristique]]. Le résultat le plus précis est qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si son [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] est scindé et ne contient aucune racine multiple.

Le cas général est traité par [[Camille Jordan (mathématicien)|Camille Jordan]] en [[1870 en science|1870]]<ref>C. Jordan, ''Traité des substitutions et des équations algébriques'', 1870.</ref> : même si l'endomorphisme n'est pas diagonalisable, une forme canonique existe toujours, permettant ainsi la [[réduction de Jordan|réduction]] de l'endomorphisme.

=== La dimension infinie ===
{{...}}
{{Article détaillé|Théorie spectrale|opérateur compact|théorie de Sturm-Liouville}}
La tentation de généraliser le théorème à la dimension infinie est grande. L'exemple historique de la théorie est celui d'une corde vibrante, une modélisation exacte suppose une infinité de masses et impose donc un espace de dimension infinie. D'autres [[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] se modélisent par un passage à la dimension infinie. Celle de la propagation de la [[équation de la chaleur|chaleur]] est un exemple.

On a, dans les [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], la généralisation suivante :

{{théorème|Théorème spectral pour les espaces de Hilbert|Un [[opérateur compact]] ''A'' sur un espace de Hilbert complexe ''H'' est [[endomorphisme normal|normal]] si et seulement s'il existe une [[base hilbertienne]] de ''H'' formée de vecteurs propres pour ''A''.}}

(Un opérateur non compact ou non normal [[Spectre d'un opérateur linéaire#Propriétés|peut n'avoir aucun vecteur propre]].)

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|colonnes=2}}
=== Références ===
* N. et [[Jean Dhombres|J. Dhombres]], ''Naissance d’un pouvoir : sciences et savants en France 1793 - 1824'', Payot, 1989 {{ISBN|2228881074}}
{{Commentaire biblio|Un livre qui retrace le contexte scientifique de l'époque, particulièrement l'importance de l'approche analytique en France p. 470}}
* {{Lang1}}
{{Commentaire biblio|Une référence sur l'algèbre, il traite intégralement les démonstrations algébriques de l'article.}}
* {{Brezis}}
{{Commentaire biblio|Une introduction à l'analyse fonctionnelle, il traite des opérateurs autoadjoints compacts et introduit l'[[opérateur de Fredholm]].}}
* Frédéric Brechenmacher, [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0704/0704.2931.pdf L'identité algébrique d'une pratique portée par ''la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes'' (1766-1874)]
{{Commentaire biblio|Largement utilisé dans la section [[#Histoire]], y compris pour ses traductions de Weierstrass.}}

== Voir aussi ==
=== Lien externe ===
{{MacTutor|class=history|id=HistTopics/Abstract_linear_spaces|title=Abstract linear spaces}}
=== Articles connexes ===
* [[Réduction d'endomorphisme]], [[diagonalisation]], [[trigonalisation]], [[orthogonalisation simultanée]]
* [[Décomposition en valeurs singulières]]
* [[Décomposition de Schur]]
* [[Théorie spectrale des graphes]]
* [[Théorème min-max]]

{{Palette|Algèbre bilinéaire}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Algèbre bilinéaire]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre linéaire|Spectral]]