Voir la source de Théorèmes de Newton

{{Voir homonymes|Théorème de Newton}}
{{Sources à lier|date=mai 2015}}
[[Fichier:Shell-diag-1.png|vignette|L'illustration du diagramme du premier théorème de Newton.]]
Les {{terme défini|théorèmes de Newton}} sont deux [[théorème]]s relatifs au [[Champ gravitationnel|potentiel gravitationnel]] d'une distribution de masse à [[Symétrie de rotation|symétrie sphérique]]{{sfn|Binney|Tremaine|2008|loc={{§|2.2.1}}|p=60}}{{,}}{{sfn|Ferreras|2019|p=33}}. Leur [[Éponymie|éponyme]] est [[Isaac Newton]], qui les a tous deux [[Démonstration (logique et mathématique)|démontrés]]{{sfn|Ferreras|2019|p=33}}.

== Historique ==
Après avoir découvert la [[Loi universelle de la gravitation|loi universelle de gravitation]] entre deux points, [[Isaac Newton]] s'est penché sur le cas des corps sphériques. Il a apporté deux résultats connus sous le nom de premier et second théorème selon qu'on considère la force à l'intérieur ou à l'extérieur d'une sphère. Il est rapidement parvenu à démontrer le premier théorème. La démonstration du second théorème lui a échappé durant près de dix ans.

== Premier théorème ==

=== Énoncé ===

Un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière de densité uniforme ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche.

=== Démonstration ===

Soit une sphère de matière de densité uniforme. Quelle est sa contribution gravitationnelle au point M de position '''r''' ?

Soit le cône d'angle solide dΩ de sommet M ; l'axe du cône coupe la sphère en deux points P<sub>1</sub> et P<sub>2</sub> dont les distances à M sont r<sub>1</sub> et r<sub>2</sub>. En ces points passent deux plans tangents à la sphère ; ils forment le même angle avec l'axe du cône (Θ<sub>1</sub>=Θ<sub>2</sub>). On peut s'en rendre compte par de simples considérations géométriques. Ainsi les masses δm1 et δm2 délimitées par dΩ à une distance r1 (resp. r2) du sommet M sont proportionnelles au carré de leur distance soit,
:<math>\frac{\delta m_1}{\delta m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2} \right)^2</math>

d'où
:<math>- G\frac{\delta m_1}{ r_1^2} = - G\frac{\delta m_2}{r_2^2}</math>

Donc la particule située en M est attirée par des forces de même intensité mais de directions opposées et la contribution des points P<sub>1</sub> et P<sub>2</sub> est nulle. La somme sur toute la sphère de ces forces donne donc une force globale nulle.

=== Corollaire ===
Le potentiel à l'intérieur d'une sphère de matière uniforme est constant puisque la force gravitationnelle dérive du potentiel.
:<math> \nabla \Phi({\rm P}) = 0 \Rightarrow \Phi({\rm P}) = {\rm cste}</math>

== Second théorème ==

=== Énoncé ===

La force gravitationnelle s'exerçant sur un corps ponctuel se trouvant à l'extérieur d'une couche sphérique fermée de matière est la même que ce qu'elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre.

=== Démonstration ===

Le mode de calcul précédent n'aboutit pas, mais avec une astuce, la démonstration devient simple.

Soient deux sphères de rayons ''a'' et ''r'' > ''a'', concentriques et portant la même [[quantité de matière]] répartie uniformément. Soient P et Q deux points diamétralement opposés sur la sphère extérieure, et de même P' et Q' sur la sphère intérieure (voir schéma<!-- Figure absente !... -->).

La démonstration consiste à comparer le potentiel en P d'un élément de masse compris dans l'[[angle solide]] dΩ autour de Q' avec celui en P' d'un élément de masse en Q dans le même angle solide. Puisque les sphères portent la même masse ''M'', les masses en Q et Q' sont les mêmes et valent
:<math>  \delta m = M\frac{{\rm d}\Omega}{4\pi}</math>
Alors on a en P :
:<math> \delta\Phi({\rm P}) = -G\frac{\delta m}{{\rm PQ'}} </math>
et en P' :
:<math> \delta\Phi({\rm P'}) = -G\frac{\delta m}{{\rm P'Q}} </math>

Par symétrie, les distances PQ' et P'Q sont égales donc les potentiels δΦ(P) et δΦ(P') aussi. En intégrant les deux potentiels sur leurs sphères respectives, les potentiels globaux le sont aussi. Comme on connaît par ailleurs le potentiel à l'intérieur d'une sphère (voir corollaire), on déduit celui à l'extérieur :
:<math> \Phi({\rm P}) = -G\frac{M}{r} </math>

qui ne dépend pas du rayon ''a'' de la sphère intérieure.

== Applications ==

Ces deux théorèmes permettent de calculer le potentiel d'un corps à [[symétrie sphérique]] à l'extérieur et à l'intérieur du corps, quelle que soit la façon dont la densité de masse varie avec la distance au centre. Cela permet d'étudier les trajectoires d'un corps autour d'une planète, en supposant qu'elle est à symétrie sphérique.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=James J. | nom1=Binney | lien auteur1=James Binney | prénom2=Scott D. | nom2=Tremaine | lien auteur2=Scott Tremaine | titre=Galactic dynamics | traduction titre=Dynamique galactique | lieu=Princeton | éditeur=[[Princeton University Press|PUP]] | collection=Princeton series in astrophysics | numéro dans collection=13 | date=1/2008 | numéro édition=2 | année première édition=1987 | pages totales={{XVI}}-885 | format livre={{dunité|15,2|23,5|cm}} | isbn1=978-0-691-13027-9 | isbn2=978-0-691-13026-2 | ean=9780691130279 | oclc=470792048 | bnf=41219425s | doi=10.1515/9781400828722 | bibcode=2008gady.book.....B | jstor=j.ctvc778ff | sudoc=124535194 | présentation en ligne=https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691130279/galactic-dynamics | lire en ligne={{Google Livres|id=6mF4CKxlbLsC}} | consulté le=11 décembre 2022 | libellé=Binney et Tremaine 2008 |plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Ignacio | nom=Ferreras | titre=Fundamentals of galaxy dynamics, formation and evolution | lieu=Londres | éditeur=[[University College de Londres|UCL Press]], hors {{coll.}} | date=4/2019 | numéro édition=1 | pages totales={{XVI}}-181 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn10=1-911307-63-0 | isbn1=978-1-911307-63-1 | isbn2=978-1-911307-62-4 | ean=9781911307631 | doi=10.14324/111.9781911307617 | jstor=j.ctvc778ff | sudoc=249917297 | présentation en ligne=https://www.uclpress.co.uk/products/84079 | lire en ligne=https://discovery.ucl.ac.uk/id/eprint/10070632/1/Fundamentals-of-Galaxy-Dynamics-Formation-and-Evolution.pdf | format=pdf | accès url=libre | consulté le=11 décembre 2022 | libellé=Ferreras 2019 |plume=oui}}

{{Portail|physique}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme de Newton}}
[[Catégorie:Gravitation]]