Voir la source de Théorèmes de Sylow

{{voir homonymes|Sylow}}
En théorie des [[groupe fini|groupes finis]], les '''théorèmes de Sylow''' forment une réciproque partielle du [[théorème de Lagrange sur les groupes|théorème de Lagrange]], d'après lequel, si ''H'' est [[sous-groupe]] d'un groupe fini ''G'', alors l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de ''H'' divise l'ordre de ''G''. Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de ''G'', l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs et donnent une information sur le nombre de ces sous-groupes.

Ces théorèmes portent le nom du mathématicien [[Norvège|norvégien]] [[Ludwig Sylow]], qui les démontra en 1872<ref name="Sylow"/>. Par la suite, ils ont été partiellement généralisés au cas des [[Groupe infini|groupes infinis]]<ref name="DKU"/>.

== Définition ==

Soit ''p'' un [[nombre premier]] et ''G'' un groupe fini ; alors nous définissons un '''''p''-sous-groupe de Sylow''' de ''G'' comme un élément [[Élément maximal|maximal]] de l'ensemble des [[p-groupe|''p''-sous-groupes]] de ''G'', ordonné par inclusion. Autrement dit, c'est un ''p''-sous-groupe de G qui n'est contenu dans aucun autre ''p''-sous-groupe  de G. Tout ''p''-sous-groupe de ''G'' est inclus dans un ''p''-sous-groupe maximal<ref>Cette propriété est immédiate par finitude de ''G''. Dans le cas d'un groupe ''G'' infini (dont les ''p''-Sylow sont définis exactement de la même façon), elle est assurée par le [[lemme de Zorn]], cf J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', Springer, 1995, {{ISBN|978-0-387-94285-8}}, [https://books.google.be/books?id=lYrsiaHSHKcC&pg=PA78 p. 78].</ref>, ce qui garantit l'existence de ''p''-sous-groupes de Sylow. L'ensemble (non vide, donc) de tous les ''p''-sous-groupes de Sylow pour un entier premier ''p'' donné est parfois noté<ref>{{en}} H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004 {{ISBN|0-387-40510-0}}, [https://books.google.fr/books?id=ZlY7gZacogsC&pg=PA63 p. 63] et suivantes</ref> Syl''<sub>p</sub>G''. On les appelle aussi plus simplement<ref>{{Perrin1}} p. 19-20</ref> : les '''''p''-Sylow''' de ''G''.

Les collections de sous-groupes maximaux, dans un sens ou un autre ne sont pas rares en [[théorie des groupes]]. Le résultat étonnant ici est que dans le cas de Syl''<sub>p</sub>G'', tous les membres sont en fait conjugués entre eux (et donc isomorphes) et cette propriété peut être exploitée pour déterminer d'autres propriétés de ''G''.

== Les théorèmes de Sylow ==

Les propositions suivantes furent présentées et démontrées par le [[mathématicien]] [[norvégien]] [[Ludwig Sylow]] en 1872<ref name="Sylow">{{Article|auteur=M. L. Sylow|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0005&DMDID=DMDLOG_0050|titre=Théorème sur les groupes de substitutions|lien périodique=Mathematische Annalen|revue=Math. Ann.|volume=5|année=1872|p.=584-594}}</ref>.

{{Théorème|Théorèmes de Sylow pour les groupes finis|2=Soit ''G'' un groupe d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''p''<sup>''n''</sup> ''s'', où ''p'' est un nombre premier, ''n'' est un entier naturel et ''p'' ne divise pas ''s'', autrement dit ''n'' est la [[valuation p-adique]] de l'ordre de ''G''. Alors :
*'''Théorème 1'''<ref>Dans cet énoncé du théorème 1, la précision « ''p''-Sylow » est bien sûr redondante : tout sous-groupe de ''G'' d'ordre ''p''<sup>''n''</sup> est évidemment un ''p''-Sylow de ''G''.</ref> : Il existe un ''p''-Sylow de ''G'' d'ordre ''p''<sup>''n''</sup>.
*'''Théorème 2''' : Tous les ''p''-Sylow de ''G'' sont [[classe de conjugaison|conjugués]] entre eux, c'est-à-dire que si ''H'' et ''K'' sont deux ''p''-Sylow de ''G'', alors il existe un élément ''g'' dans ''G'' vérifiant ''gHg''<sup>-1</sup> = ''K''.
*'''Théorème 3''' : Soit ''n<sub>p</sub>'' le nombre de ''p''-Sylow de ''G''.
** ''n<sub>p</sub>''  divise ''s''.
** ''n<sub>p</sub>'' ≡ 1 mod ''p''}}

En particulier, les deux premiers théorèmes impliquent que 
<center>les ''p''-Sylow de ''G'' sont exactement<ref>C'est parfois cette caractérisation qui est prise comme ''définition'' des ''p''-Sylow, comme dans : Bourbaki, Algèbre, Partie 1, Springer 2006 {{isbn|9783540338499}} [https://books.google.fr/books?id=4RIDPH1ULXcC&pg=SA1-PA74 p. A.I.74 § 6 déf 10] ; J.-P. Serre, [http://www.college-de-france.fr/media/historique/UPL61389_groupes_finis.pdf Groupes finis] (Cours à l'ENSJF 1978/79) ; {{Perrin1}} p. 18 ; {{Lang1}} chap. I § 6 ; {{Szpirglas}} def 6.115 ; M. Reversat, B. Bigonnet, ''Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés'', Dunod (2000) p. 50, ou le [[#Voir aussi|cours de Wikiversité sur les théorèmes de Sylow]].</ref> ses sous-groupes d'ordre ''p<sup>n</sup>'',</center> par conséquent tout ''p''-sous-groupe de ''G'' est inclus dans un sous-groupe d'ordre ''p<sup>n</sup>''.

Par ailleurs, le deuxième théorème implique que tous les ''p''-Sylow de ''G'' sont [[isomorphisme|isomorphes]], et que le [[normalisateur]] de chacun d'entre eux est d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] ''n<sub>p</sub>'' dans ''G''.

== Exemples et applications ==

Soit ''G'' un groupe d'ordre 15 = 3 · 5. Nous devons avoir ''n''<sub>3</sub> divise 5, et ''n''<sub>3</sub> ≡ 1 mod 3. La seule valeur satisfaisant ces contraintes est 1 ; ainsi, il y a un seul sous-groupe d'ordre 3, et il doit être [[Sous-groupe normal|normal]] (puisqu'il n'a pas de conjugués distincts). De façon analogue, ''n''<sub>5</sub> divise 3, et ''n''<sub>5</sub> ≡ 1 mod 5 ; il a donc aussi un seul sous-groupe normal d'ordre 5. Puisque 3 et 5 sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], l'intersection de ces deux sous-groupes est triviale, et donc ''G'' est nécessairement un [[groupe cyclique]]. Ainsi, il existe un seul groupe d'ordre 15 (à un isomorphisme près) : le groupe ''Z''/15''Z''.

Donnons un exemple plus complexe. Nous pouvons montrer qu'il n'y a pas de [[groupe simple]] d'ordre 350. Si |''G''| = 350 = 2 · 5<sup>2</sup> · 7, alors ''n''<sub>5</sub> doit diviser 14 (= 2 · 7), et ''n''<sub>5</sub> ≡ 1 mod 5. Donc ''n''<sub>5</sub> = 1 (puisque ni 6 ni 11 ne divisent 14), et ainsi ''G'' doit avoir un sous-groupe normal d'ordre 5<sup>2</sup>, et donc ne peut pas être simple.

L'article [[groupe simple d'ordre 168]] utilise un théorème de Sylow pour démontrer la simplicité d'un groupe. L'article [[groupe alterné]] utilise ces théorèmes pour montrer que le plus petit groupe simple non abélien est d'ordre 60.

== Démonstrations ==
La [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstration]]<ref>Les éléments de cette [[Preuve#Différents types de preuves|preuve]]] sont essentiellement les mêmes que dans {{Lang1}}, mais présentés dans un ordre différent, pour qu'une partie de la démonstration reste valide même lorsque le groupe ''G'' est infini.</ref> des théorèmes de Sylow repose sur des propriétés de l'[[action par conjugaison]] du groupe ''G'' sur lui-même et sur l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble de ses parties]], ainsi que de la restriction de cette action à un sous-groupe ''H'' :
* l'[[action par conjugaison#Propriétés|équation aux classes]] de ''G'', |''G''| = |''Z''(''G'')| + ∑<sub>''i''</sub> [''G'':''Z<sub>i</sub>''], où
**Z(''G'') est le [[centre d'un groupe|centre]] de ''G'',
**chaque ''Z<sub>i</sub>'' est un sous-groupe strict de ''G'', d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]]  [''G'':''Z<sub>i</sub>''] > 1 ;
* |Cl(''S'')| = [''G'':N(''S'')], où
**''S'' est n'importe quel [[sous-ensemble]] de ''G'',
**Cl(''S'') est sa [[classe de conjugaison]], dont les éléments sont les parties de ''G'' de la forme ''gSg''<sup>-1</sup>, pour chaque ''g'' dans ''G'',
**le sous-groupe N(''S'') est le [[normalisateur]] de ''S'' dans ''G'' ;
* de même, |Cl<sub>''H''</sub>(''S'')| = [''H'':N<sub>''H''</sub>(''S'')], où
**Cl<sub>''H''</sub>(''S'') est la classe de conjugaison de ''S'' par les éléments de ''H'', c'est-à-dire l'ensemble des ''hSh''<sup>-1</sup>, pour chaque ''h'' dans ''H'',
**N<sub>''H''</sub>(''S'')=''H''∩N(''S'')<ref>Cette notation est introduite p. 59 de H. Kurzweil, B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004.</ref>.
=== Preuve du théorème 1 ===
On procède par récurrence sur l'ordre de ''G''. Si cet ordre vaut 1 (ou plus généralement si ''n'' = 0, i.e. si ''p'' ne divise pas l'ordre de ''G''), le groupe trivial est bien un sous-groupe de ''G'' d'ordre ''p<sup>n</sup>'' = 1. Supposons désormais que ''G'' est non trivial, et que le théorème 1 est vérifié pour tout groupe d'ordre strictement plus petit que celui de ''G''.
*Si ''G'' a un sous-groupe strict d'indice premier à ''p'' alors, d'après l'hypothèse de récurrence, ce sous-groupe a un sous-groupe d'ordre ''p''<sup>''n''</sup> ; ainsi, il en est de même pour ''G''.
*Si au contraire tous les sous-groupes stricts de ''G'' sont d'indice divisible par ''p'' alors, dans l'équation aux classes, |''G''| et tous les [''G'':''Z<sub>i</sub>''] sont divisibles par ''p'', donc |Z(''G'')| aussi. Comme de plus ''Z''(''G'') est [[groupe abélien|abélien]], il a un sous-groupe ''H'' d'ordre ''p''<ref>Voir l'article [[Groupe abélien fini]], ou (sans invoquer l'abélianité) l'article [[Théorème de Cauchy (groupes)|Théorème de Cauchy ]].</ref>. Ce sous-groupe ''H'' étant [[sous-groupe normal|normal dans ''G'']] (car inclus dans le centre de ''G''), on peut considérer le [[groupe quotient]] ''G''/''H'', dont l'ordre est ''p''<sup>''n''-1</sup>''s''. D'après l'hypothèse de récurrence, ''G''/''H'' possède alors un sous-groupe ''L'' d'ordre ''p''<sup>''n''-1</sup>. Soit ''K'' l'image réciproque de ''L'' par la projection canonique de ''G'' sur ''G''/''H'' : c'est un sous-groupe de ''G'' contenant ''H'', et ''K''/''H'' est isomorphe à ''L'' (d'après le [[Théorèmes d'isomorphisme#Premier théorème d'isomorphisme|premier théorème d'isomorphisme]]). Puisque ''H'' est d'ordre ''p'', alors ''K'' est d'ordre ''p''<sup>''n''</sup>.

=== Preuve des théorèmes 2 et 3 ===
Soient ''K'' un ''p''-Sylow de ''G'', ''n<sub>K</sub>'' le nombre de ses conjugués, et ''H'' un ''p''-Sylow quelconque de ''G''. Alors la [[classe de conjugaison]] Cl(''K''), orbite de ''K'' pour l'action du groupe ''G'', est naturellement [[Partition (mathématiques)|partitionnée]] en sous-orbites pour l'action (restreinte) du groupe ''H''. Ainsi ''n<sub>K</sub>'' = ∑<sub>''i''</sub> |Cl<sub>''H''</sub>(''L<sub>i</sub>'')|, où l'on a choisi un élément ''L<sub>i</sub>'' dans chaque sous-orbite.

Or le cardinal [''H'':N<sub>''H''</sub>(''L'')] de toute sous-orbite d'un élément ''L'' de Cl(''K'') :
*est une puissance de ''p'', comme tout indice fini d'un sous-groupe dans un [[p-groupe|''p''-groupe]] ;
*est égal à 1 (si et) seulement si ''H = L''. En effet, si 1 = [''H'':N<sub>''H''</sub>(''L'')] = [''H'':''H''∩N(''L'')] alors ''H'' est inclus dans N(''L''), si bien que ''HL'' est un groupe dans lequel ''L'' est normal. De plus, d'après le [[Théorèmes d'isomorphisme#Deuxième théorème d'isomorphisme|deuxième théorème d'isomorphisme]], le groupe quotient de ''HL'' par ''L'' est isomorphe au groupe ''H''/(''H''∩''L''), donc c'est un ''p''-groupe. Comme ''L'' est également un ''p''-groupe, il en va de même pour ''HL''. Par maximalité de ''H'' et ''L'' on en déduit : ''H'' = ''HL'' = ''L''.

#En appliquant ce qui précède au cas particulier ''H = K'', on en déduit que ''n<sub>K</sub>'' est une somme de puissances de ''p'' dont exactement une vaut 1, donc que ''n<sub>K</sub>'' est [[Congruence sur les entiers|congru]] à 1 modulo ''p''.
#En particulier, ''n<sub>K</sub>'' n'est pas divisible par ''p''. Donc en appliquant ensuite ce qui précède à un ''p''-Sylow ''H'' quelconque, on en déduit qu'il existe au moins un ''L'' dans Cl(''K'') tel que ''H = L'', autrement dit : que ''H'' est un conjugué de ''K''. Par conséquent, le nombre ''n<sub>p</sub>'' de ''p''-Sylow de ''G'' est exactement ''n<sub>K</sub>''.
#L'autre fait concernant ''n<sub>p</sub>'' suit presque immédiatement : puisque ''n<sub>p</sub> = n<sub>K</sub>'' est congru à 1 modulo ''p'', il est premier avec ''p''<sup>''n''</sup>. Or par ailleurs ''n<sub>K</sub>'' = [''G'' : N(''K'')] divise |''G''| =  ''p<sup>n</sup>s''. On en déduit qu'il divise ''s''.

Remarquons que les arguments 1 et 2 ci-dessus (et l'analyse préalable qui les fonde) restent valables dès lors que |Cl(''K'')| = [''G'':N(''K'')] est fini ; ainsi nous pouvons énoncer de façon analogue :

{{Théorème|Théorème de Sylow pour les groupes infinis<ref name="DKU">{{Article|lang=de|nom1=A. P. Dietzmann|nom2=[[Aleksandr Kurosh|A. Kurosch]]|nom3=A. I. Uzkow|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5660&option_lang=eng|titre=Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen|périodique=Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S.|volume=3 (45)|numéro=1|année=1938|pages=179–185}}</ref>{{,}}<ref>La preuve présentée ici est essentiellement la même que dans {{Ouvrage|lang=en|auteur=W. R. Scott|titre=Group Theory|année première édition=1964|éditeur=Dover|année=1987|url={{Google Livres|pOwxAwAAQBAJ|page=133}}}}, théorème 6.1.10, {{p.|133}}.</ref>|Si l'un des ''p''-Sylow de ''G'' n'a qu'un nombre fini de conjugués, alors tous les ''p''-Sylow de ''G'' sont conjugués, et leur nombre est congru à 1 modulo ''p''.}}

Dans ce théorème, l'hypothèse est cruciale : il existe des groupes (nécessairement infinis) possédant des ''p''-Sylow non conjugués et même non isomorphes, par exemple le [[produit libre]] de deux ''p''-groupes non isomorphes et non [[Groupe trivial|triviaux]], ou encore le « groupe symétrique [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] », c'est-à-dire le sous-groupe du [[groupe symétrique]] <math>\scriptstyle\mathfrak{S}(\N)</math> constitué des permutations à support fini<ref name="DKU"/>.

== Autres démonstrations ==
{{...}}
* Une autre démonstration<ref>Cette démonstration est détaillée dans le paragraphe « Premier théorème de Sylow » de la page de [[Wikiversité]] [[#Voir aussi|proposée en lien ci-dessous]]. Elle est présentée par {{Perrin1}} (p. 18 de l'édition de 1996) comme tirée du cours de [[Jean-Pierre Serre]] à l'[[ENSJF]] en 1978/79 : [https://arxiv.org/pdf/math/0503154.pdf Groupes finis].</ref> du premier théorème (l'existence des ''p''-Sylow, au sens : ''p''-sous-groupes d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] premier à ''p'') consiste à vérifier d'abord ce théorème pour le [[groupe linéaire]] GL<sub>''n''</sub>([[Anneau ℤ/nℤ#Cas où ℤ/nℤ est un corps|'''Z'''/''p'''''Z''']]), [[Espace vectoriel fini|qui est d'ordre (''p{{exp|n}}''–1)(''p{{exp|n}}–p'')…(''p{{exp|n}}–p''{{exp|''n''–1}})]], en remarquant que le sous-groupe constitué des [[matrice triangulaire|matrices triangulaires supérieures]] avec des 1 sur la [[diagonale principale]] est d'ordre ''p''×''p''{{2}}×…×''p''{{exp|''n''–1}} donc est un ''p''-Sylow. L'étape clé est ensuite un lemme de « stabilité du premier théorème par sous-groupes » qui construit, pour tout sous-groupe ''H'' d'un groupe fini ''G'', un ''p''-Sylow pour ''H'' à partir d'un ''p''-Sylow pour ''G''. Il suffit pour conclure de remarquer que grâce au [[théorème de Cayley]], tout groupe de cardinal ''n'' s'identifie à un sous-groupe (constitué de [[matrice de permutation|matrices de permutations]]) du groupe GL<sub>''n''</sub>('''Z'''/''p'''''Z''').
* On peut également faire agir ''G'' par multiplication à droite sur l'ensemble des ''parties'' de ''G'' de cardinal ''p{{exp|n}}''. L'ensemble de ces parties est de cardinal <math>\binom{p^ns}{p^n}</math> qui n'est pas divisible par ''p'', ainsi il existe une partie dont le cardinal de l'orbite n'est pas divisible par ''p'' ; on vérifie alors que son stabilisateur est un ''p''-Sylow.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Sylow theorems|1090714|type=note}}
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wikiversity=Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow}}
*[[Groupe p-clos|Groupe ''p''-clos]]
*[[Argument de Frattini]]
*[[Sous-groupe de Hall]]
*[[Théorème de Burnside (groupe résoluble)|Théorème de Burnside]]

{{portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Sylow]]
[[Catégorie:Groupe fini|Sylow]]