Voir la source de Théorie algébrique des nombres

{{à sourcer|date=octobre 2013}}
En [[mathématiques]], la '''théorie algébrique des nombres''' est la branche de la [[théorie des nombres]] utilisant des outils issus de l'[[Algèbre générale|algèbre]]. Son origine est l'étude des [[Entier relatif|nombres entiers]] et particulièrement les [[équations diophantiennes]]. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits [[entier algébrique|algébriques]]. Un exemple est donné par le [[théorème des deux carrés de Fermat]] utilisant les [[entier de Gauss|entiers de Gauss]].

Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'[[Anneau unitaire|anneaux]]. En particulier, certains d'entre eux disposent d'une [[division euclidienne]]. Les résultats classiques de l'[[arithmétique]] des [[entier naturel|entiers naturels]] s'appliquent encore : [[lemme d'Euclide]], [[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] ou encore [[théorème fondamental de l'arithmétique]]. Une structure est particulièrement utilisée, celle de l'[[anneau quotient]] [[anneau ℤ/nℤ|ℤ/''n''ℤ]] composée de [[congruence sur les entiers|congruences sur les entiers]]. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie algébrique des nombres : l'[[arithmétique modulaire]].

Tous les ensembles de cette nature n'admettent pas une division euclidienne. Il existe parfois plusieurs décompositions en facteurs premiers. Cette spécificité amène à étudier de manière générale les propriétés de ces structures. {{pas clair|date=2012|Si l'ensemble choisi n'est pas trop vaste, c'est-à-dire qu'il existe un entier ''n'' tel que tout élément de l'ensemble est [[racine d'un polynôme|racine]] d'un [[polynôme formel|polynôme]] dont le degré ne dépasse pas ''n'', il existe une famille de propriétés toujours vérifiées. De telles structures sont appelées [[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]].}} L'étude de ces structures est appelée « théorie algébrique classique des nombres ».

Une autre structure est utile, elle correspond au plus petit ensemble contenant celui des entiers algébriques considérés tel que tous les éléments non nuls admettent un inverse pour la multiplication. La structure porte le nom de [[corps commutatif]], il s'obtient par une démarche de la même nature que celle qui permet de construire les [[nombre rationnel|nombres rationnels]], on parle de [[corps des fractions]]. Ces ensembles dont les éléments sont appelés [[nombre algébrique|nombres algébriques]] sont l'objet d'une [[théorie de Galois|théorie dite de Galois]].

Des théories mathématiques avancées – comme la [[cohomologie galoisienne]], la [[théorie des corps de classes]], la théorie des [[représentations d'un groupe fini]] et les [[fonctions L]] – permettent d'étudier les propriétés fines de ces classes de nombres. De nombreuses questions en théorie des nombres sont étudiées    ''modulo p'' pour tous les [[nombre premier|nombres premiers]] ''p'' (voir les [[corps fini|corps finis]]). Ce procédé  est appelé ''localisation'' et conduit à la construction des [[nombre p-adique|nombres ''p''-adiques]] ; l'étude des [[corps local|corps locaux]] emploie les mêmes techniques que celle décrite précédemment des [[corps de nombres]]. Elle est même en fait beaucoup plus simple, et les résultats sur les corps de nombres sont souvent déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le [[principe local-global]].

== Arithmétique élémentaire ==
Résoudre des [[équation diophantienne|équations diophantiennes]], c'est-à-dire des équations à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières est une question qui fascine l'humanité depuis l'Antiquité. Ainsi, les ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]] expliquent comment construire des [[Carré parfait|carrés parfaits]] dont la somme est encore un carré parfait<ref>{{Euclide Vitrac}}, vol. 3, Livre X, {{p.|171-176}}.</ref>.

Les propriétés et théorèmes utilisés pour résoudre de telles équations sont tout d'abord relativement simples. Ils dérivent tous plus ou moins directement de la [[division euclidienne]] dans l'anneau ℤ des [[entiers relatifs]]. Les premiers résultats sont le [[lemme d'Euclide]], l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] et le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] qui indique que tout nombre entier positif se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

Ces théorèmes permettent de démontrer une série de résultats, comme le [[dernier théorème de Fermat]] pour ''n'' égal à 2 ou à 4, ou le [[petit théorème de Fermat]] ou celui [[théorème de Wilson|de Wilson]]. Pour aller plus loin, il devient nécessaire de comprendre plus précisément la relation entre la multiplication de deux nombres et le reste du produit par une division euclidienne. Par exemple, résoudre le [[théorème des deux carrés de Fermat]] demande de déterminer la liste des nombres premiers ''p'' tel qu'il existe un entier naturel ''n'' où ''n''{{2}} + 1 est un multiple de ''p''. Le petit théorème de Fermat est un résultat fournissant des informations de cette nature, il est utilisé pour résoudre de façon élémentaire la question des deux carrés ou étudier la [[test de primalité|primalité]] d'un entier (c'est-à-dire pour permettre de savoir si un nombre est premier ou non). On en trouve un exemple pour l'étude des [[nombre de Fermat|nombres de Fermat]].

== Arithmétique modulaire ==
{{Article détaillé|Arithmétique modulaire}}
Si l'équation devient plus difficile, comme la recherche de solutions entières de l'équation ''x''<sup>2</sup> + 2''y''<sup>2</sup> = ''p'' avec ''p'' un nombre premier, les techniques précédentes imposent des calculs de plus en plus astucieux et complexes. Dans certains cas, comme pour la [[loi de réciprocité quadratique]], aucune solution n'est trouvée au {{s-|XVIII}} par les grands arithméticiens qui se penchent sur la question : [[Leonhard Euler]], [[Joseph-Louis Lagrange]] et [[Adrien-Marie Legendre]].

La technique qui, finalement, en vient à bout consiste à étudier des nouveaux nombres et surtout les propriétés structurelles que possèdent leurs ensembles munis de l'addition et de la multiplication. Un de ces ensembles est composé des restes (entiers de 0 à ''p'') de la division euclidienne d'un entier par ''p'', si ''p'' est un nombre premier. Pour la multiplication (cf. l'article « [[Anneau ℤ/nℤ]] »), les entiers de 1 à ''p'' – 1 forment un [[groupe cyclique]]. L'étude de ce groupe permet de venir à bout de la loi de réciprocité quadratique.
== Théorie algébrique classique des nombres ==
=== Entier algébrique ===
{{Article détaillé|Entier algébrique}}
{{Pas clair|date=juin 2015|Une autre famille d'ensembles s'avère utile, ceux de la forme ''a'' + ξ''b'' ou ''a'' et ''b'' sont des entiers et ξ une solution d'une équation du second degré.}} Pour certaines valeurs de ξ comme {{math|i}} l'[[unité imaginaire]], {{math|j}} une [[Racine de l'unité#Exemples|racine cubique primitive de l'unité]] dans les [[nombre complexe|nombres complexes]] ou [[Nombre d'or|(1 + {{racine|5}})/2]], il est possible de définir une division euclidienne, c'est-à-dire que ce sont des [[anneau euclidien|anneaux euclidien]]s. L'étude de ces nombres permet de résoudre des questions comme le [[démonstrations du dernier théorème de Fermat|dernier théorème de Fermat]] pour ''n'' égal à 3 ou 5.

Pour définir de manière générale ces ensembles, il est utile de considérer le plus petit ensemble ''K'' contenant les nombres rationnels, toutes les racines d'un polynôme à coefficients rationnels et stable pour l'addition et la multiplication. Une telle structure est appelée [[corps de décomposition]] du polynôme. L'anneau considéré, souvent noté ''O<sub>K</sub>'' est celui des éléments de ''K'' qui sont aussi racines d'un polynôme à coefficients entiers et dont le monôme de plus haut degré possède un coefficient égal à 1. Ces nombres sont dits « entiers algébriques ». Ces deux structures sont un peu analogues aux rationnels et entiers relatifs. Le deuxième ensemble ''O<sub>K</sub>'' possède des éléments qui n'ont pas d'inverse pour la multiplication, à part quelques exceptions comme 1 et –1 pour les entiers relatifs. Ces exceptions forment une structure multiplicative appelée [[groupe des unités]]. Le corps ''K'' peut être vu comme composé de [[Fraction (mathématiques)|fractions]] d'entiers algébriques et tout élément non nul possède un inverse pour la multiplication. Un [[corps quadratique]] correspond à une incarnation des plus simples de cette situation, le polynôme est de degré 2. [[Entier quadratique|Sa fermeture algébrique]] ne ressemble pas toujours à ℤ. Deux obstructions éloignent la nouvelle structure de la configuration d'origine.

L'ensemble des éléments inversibles de ''O<sub>K</sub>'' peut devenir vaste. Un exemple est donné par l'étude des [[Anneau des entiers de Q(√5)|entiers de ℚ({{racine|5}})]] dont le groupe des unités est infini. Pour tous ces éléments, les outils comme le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout ou la décomposition en facteurs premiers s'avèrent inopérants. [[Dirichlet]] parvient à élucider la structure de ce groupe à travers le théorème dit [[théorème des unités de Dirichlet|des unités de Dirichlet]]. Pour les corps quadratiques, cette difficulté se traduit par l'[[équation de Pell-Fermat]].

La deuxième obstruction provient du fait qu'il n'existe plus assez de nombres premiers pour assurer une décomposition unique. Par exemple dans l'[[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|anneau ℤ<nowiki>[</nowiki>{{math|i}}{{racine|5}}<nowiki>]</nowiki>]] des [[Entier quadratique#Entier quadratique|entiers de ℚ({{math|i}}{{racine|5}})]], le nombre 6 admet deux factorisations différentes :
<center><math>6 = 2\times 3 = (1 +{\rm i}\sqrt 5)(1-{\rm i}\sqrt 5).</math></center>
Pourtant aucun des quatre entiers algébriques utilisés ne contient de diviseurs autres qu'eux-mêmes et 1 (à un facteur du groupe des unités près). Un contournement est imaginé par [[Ernst Kummer]], il propose d'adjoindre des « {{Lien|trad=Ideal number|Nombre idéal|texte=nombres idéaux}} » pour obtenir à nouveau une factorisation unique. Plus tard, [[Richard Dedekind]] formalise la notion d'[[idéal]] généralisant cette idée à tous les anneaux. Les fermetures algébriques possèdent un jeu de propriétés formalisé par les axiomes définissant la notion d'[[anneau de Dedekind]]. Pour une telle structure, à chaque nombre est associé son idéal, qualifié de [[idéal principal|principal]] et il existe des idéaux qui ne sont  associés à aucun nombre. Les idéaux disposent d'une addition et surtout d'une multiplication. De même que les entiers se généralisent en nombres rationnels, la définition d'un idéal s'étend à celle d'[[idéal fractionnaire]] qui possède un inverse s'il est non nul. Cette généralisation confère une structure de [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif à l'ensemble. Le groupe des idéaux fractionnaires possède un sous-groupe particulier, celui des idéaux fractionnaires principaux, correspondant aux ''vrais'' nombres de ''K''. Le [[groupe quotient|quotient]] du groupe par ce sous-groupe, opération analogue à celle utilisée en arithmétique modulaire, permet de ''mesurer le volume'' des nombres premiers manquants. Le théorème permettant de contourner la deuxième obstruction décrit une propriété de ce groupe quotient, appelé [[groupe des classes d'idéaux]]. Il possède un nombre fini d'éléments.

=== Théorie classique de Galois ===
{{Article détaillé|Théorie de Galois}}
D'autres questions, ne portant pas sur les nombres entiers, imposent une généralisation de la notion de nombre. La diagonale d'un carré de côté de longueur ''un'' ne s'exprime pas comme une fraction. Elle amène à l'étude d'un nouveau nombre, initialement perçu comme une longueur et égale à la [[racine carrée de deux]]. De manière plus générale, l'étude des [[équation polynomiale|équations polynomiales]] introduit des nombres comme l'[[unité imaginaire]] ou des racines n<sup>ièmes</sup> de rationnels, appelées radicaux. Certaines méthodes comme celles de [[Méthode de Cardan|Cardan]] ou de [[Méthode de Ferrari|Ferrari]] permettent la résolution par radical de toute équation de degré strictement inférieur à cinq.

Un [[nombre algébrique]] est défini comme une [[racine d'un polynôme]]. [[Évariste Galois]] étudie les propriétés de symétrie de telles racines et met en évidence l'existence d'un [[groupe fini]] dit de [[groupe de Galois|Galois]]. En terme moderne, le cadre d'étude est celui d'une [[extension finie]] ''L'' d'un corps ''K'', c'est-à-dire d'un corps ''L'' contenant un corps ''K'' et de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension finie]] s'il est considéré comme un [[espace vectoriel]] sur ''K''. Le groupe de Galois est le groupe des automorphismes de ''L'' laissant ''K'' invariant. Un exemple est donnée par le plus petit corps contenant toutes les racines d'un polynôme ainsi que ses coefficients. Le groupe de Galois permet une expression générale du [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]] donnant une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] pour qu'une équation soit résoluble par radicaux.

La théorie classique de Galois s'appuie sur deux théorèmes, celui de l'[[théorème de l'élément primitif|élément primitif]] et celui dit [[théorème fondamental de la théorie de Galois|fondamental]]. Le premier suppose une propriété sur le [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] d'un élément ''a'' de ''L''. Le polynôme minimal de ''a'' est le polynôme à coefficients dans ''K'' de plus petit degré, unitaire et admettant ''a'' pour racine. La théorie montre que dans une extension finie, un tel polynôme existe toujours. Une configuration fréquente indique qu'un polynôme minimal n'admet jamais de racine multiple. Si tel est le cas, l'extension est dite [[extension séparable|séparable]]. Le théorème de l'élément primitif indique qu'une extension finie séparable contient toujours un élément ''p'', dit ''primitif'' tel que ''L'' est le plus petit corps contenant ''K'' et ''p''. Si l'extension est séparable et si le groupe de Galois contient autant d'éléments que la dimension de ''L'' en tant qu'espace vectoriel, l'extension est dite [[extension de Galois|galoisienne]]. Dans une telle extension, les sous-corps de ''L'' contenant ''K'' sont en [[bijection]] avec les sous-groupes du groupe de Galois. L'analyse des propriétés de cette bijection est le contenu du théorème fondamental de cette théorie.

Cette approche structurelle, souvent considérée comme l'origine de l'algèbre moderne, dépasse le cadre de l'étude de la résolution d'équations polynomiales. Avant les travaux de Galois, [[Carl Friedrich Gauss]] avait compris certains éléments de la théorie, ce qui lui permet de trouver un nouveau [[polygone régulier]] [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]]. Il contient dix-sept sommets (cf. l'article « [[Théorème de Gauss-Wantzel]] »). La théorie classique des entiers algébriques utilise fréquemment les outils de cette théorie. Le calcul de grandeur comme la [[norme (théorie des corps)|norme]] d'un entier ou le [[forme trace|discriminant d'un anneau]] peut s'exprimer à l'aide du groupe de Galois. Cette propriété est à l'origine de nombreuses démonstrations comme celle du [[théorème des unités de Dirichlet]].

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Algebraic number theory|68405793|type=n}}
{{Références}}

==Voir aussi==

===Bibliographie===
* {{Samuel1}}
* {{Neukirch1}}

===Articles connexes===
{{colonnes|taille=30|
*[[Liste des matières de la théorie des nombres]]
*[[Corps cyclotomique]]
*[[Théorie des corps de classes]]
*[[Géométrie arithmétique]]
* [[Topologie arithmétique]]
}}

===Lien externe===
* {{Lien archive|langue=en|horodatage archive=20070807075930|url=http://www.math.okstate.edu/~wrightd/6723/<!--notes plus récentes mais moins riches : http://math.okstate.edu/people/pyan/AlgebraicNumberTheory.pdf-->|titre=MATH 6723: Algebraic Number Theory|auteur=David J. Wright|site=[[Université d'État de l'Oklahoma]]}} : notes de cours, exercices résolus, suggestions d'approfondissements, bibliographie

{{Portail|théorie des nombres|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]