Voir la source de Théorie de Galois inverse

En [[mathématiques]] et plus précisément en [[algèbre]] la '''théorie de Galois inverse''' est une branche de la [[théorie de Galois]].

L'objet de la théorie est de répondre à la question : Soit ''G'' un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] et ''K'' un [[Corps commutatif|corps]], existe-t-il une [[extension de corps|extension]] de ''K'' de [[groupe de Galois]] ''G'' ? Peut-on la choisir [[Extension de Galois|galoisienne]] ?

La plus grande [[conjecture]] de la théorie est la suivante : ''Tout groupe fini est le groupe de Galois d'une extension galoisienne des [[nombre rationnel|nombres rationnels]]''.

Malgré d'importants progrès durant les trente dernières années du {{s-|XX}} et un grand nombre de résultats établis, la théorie reste une vaste conjecture.
== Problème ==
Le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] montre que des extensions ayant même groupe de Galois sont très semblables. La détermination de ce groupe apprend énormément sur la structure de l'extension, elle est cependant souvent délicate. Il apparaît alors naturel de se poser la question inverse.

Les groupes de Galois des [[Extension algébrique|extensions algébriques]] sont naturellement munis d'une structure de [[groupe profini]]. On peut montrer réciproquement, par une construction ''ad hoc'', que tout groupe profini ''G'' est bien groupe de Galois d'une certaine extension algébrique<ref>{{RibesZalesskii}}, [https://books.google.fr/books?id=DlnspRgfDhsC&pg=PA73 Theorem 2.11.5, p. 73-74]</ref> : soit ''F'' un corps (commutatif), on note ''K'' le [[corps des fractions]] rationnelles sur ''F'' en un ensemble d'indéterminées indicé par les éléments des groupes quotients de ''G'' par ses sous-groupes distingués ouverts. On peut alors montrer que l'extension ''K/K<sup>G</sup>'' est alors une extension galoisienne de groupe de Galois ''G''. Cependant, rien n'assure que ''K<sup>G</sup> = F''. Le problème de la théorie de Galois inverse devient : peut-on, ''via'' éventuellement une autre construction, obtenir ''K<sup>G</sup> = F'' ?

Cette question peut donc se résumer :

* Soit un [[groupe fini]] (ou profini) et un corps, existe-t-il une extension galoisienne de ce corps ayant pour groupe de Galois ce groupe ?
* Soit un groupe fini (ou profini), existe-t-il une extension galoisienne de ℚ ayant pour groupe de Galois ce groupe<ref name=Kraus>{{chapitre|prénom1=Alain|nom1=Kraus|titre=Introduction au problème de la théorie de Galois inverse|titre ouvrage=Théorie de Galois – Cours accéléré de [[Diplôme d'études approfondies|DEA]]|lire en ligne=http://www.galois-group.net/theory/Galois_Kraus.pdf|éditeur=[[université Paris 6]]|année=1998|passage=28-46}}.</ref> ? (le groupe sera alors dit ''réalisable'').
Aucune de ces questions n'est actuellement résolue.

== Exemples ==
*Le groupe d'ordre 2 est réalisable : n'importe quelle [[extension quadratique]] convient, par exemple le corps ℚ(i) des [[Rationnel de Gauss|rationnels de Gauss]].
*Pour tout entier ''n'' > 0, le [[Anneau Z/nZ#Groupe des unités|groupe (ℤ/''n''ℤ)*]] des [[Groupe des unités|inversibles de l'anneau]] ℤ/''n''ℤ (le cas précédent correspond à ''n'' = 3), est réalisable, par l'[[extension cyclotomique]] ℚ(''r''), où ''r'' est une [[racine de l'unité|racine primitive ''n''-ième de l'unité]].
*D'après le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]], tout [[Groupe quotient|quotient]] d'un groupe réalisable est réalisable (par une sous-extension).
*On déduit des deux points précédents que tout [[groupe abélien fini]] est réalisable<ref>{{article|langue=de|prénom=E.|nom=Fischer|lien auteur=Ernst Sigismund Fischer|titre=Zur Theorie der endlichen Abelschen Gruppen|p.=81-88|revue=Math. Ann.|lien périodique=Mathematische Annalen|volume=77|année=1915|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002266253}}.</ref>, et qu'il l'est même par une sous-extension d'une extension cyclotomique (mais il ne faut confondre cette précision avec le [[théorème de Kronecker-Weber]], beaucoup plus profond).
{{Démonstration|contenu=
Soit ''G'' un groupe abélien fini. Alors ''G'' est un produit de [[Groupe cyclique|groupes cycliques]] finis, c'est-à-dire qu'il existe une suite finie d'entiers naturels
<center><math>a_1,\ldots,a_k\quad\text{tels que}\quad G \simeq \prod_{i=1}^k\Z/a_i\Z.</math></center>
[[Théorème de la progression arithmétique|Un théorème de Dirichlet]] assure que pour tout entier ''a'', il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo ''a''.
On en déduit qu'il existe des entiers premiers ''distincts'' ''p''{{ind|1}}, … , ''p{{ind|k}}'' tels que pour chaque indice ''i'', ''a{{ind|i}}'' soit un diviseur de ''p{{ind|i}}'' – 1. Comme le groupe multiplicatif (ℤ/''p{{ind|i}}''ℤ)* est cyclique d'ordre ''p{{ind|i}}'' – 1 (par primalité de ''p{{ind|i}}''), ceci assure que le groupe additif ℤ/''a{{ind|i}}''ℤ en est un quotient.

Comme les ''p{{ind|i}}'' sont premiers entre eux deux à deux, en notant ''n'' leur produit, on déduit du [[théorème chinois]] que l'[[Anneau commutatif|anneau]] ℤ/''n''ℤ est isomorphe au [[Produit d'anneaux|produit]] des ℤ/''p{{ind|i}}''ℤ, d'où l'isomorphisme entre leurs groupes des inversibles :
<center><math>(\Z/n\Z)^* \simeq \prod_{i=1}^k (\Z/p_i\Z)^*.</math></center>
On en déduit que ''G'' est un quotient de (ℤ/''n''ℤ)*, le groupe de Galois de l'[[extension cyclotomique]] engendrée sur ℚ par une racine ''n''-ième de l'unité, ce qui conclut.
}}

== Quelques résultats ==
Les résultats suivants sont maintenant démontrés :

* Tout [[groupe symétrique]] fini ''S{{ind|n}}'' est réalisable<ref name=Kraus/> par le [[corps de décomposition]] du polynôme (irréductible<ref>{{article|langue=en|prénom=E. S.|nom=Selmer|titre=On the irreductibility of certain trinomials|revue=Math. Scand.|volume=4|année=1956|p.=287-302|url=http://www.mscand.dk/article.php?id=1472}}.</ref>) ''X{{exp|n}} – X'' – 1<ref>Voir aussi [[Théorème d'Abel (algèbre)#Contre-exemples en tout degré supérieur ou égal à 5|§ « Contre-exemples en tout degré supérieur ou égal à 5 »]] de l'article sur le théorème d'Abel.</ref>. (Il en [[théorème fondamental de la théorie de Galois|résulte]] [[Théorème de Cayley|immédiatement]] que tout groupe fini est le groupe de Galois d'une extension galoisienne d'un [[corps de nombres]].)
* Une preuve moins explicite<ref group="Note">{{harvsp|Kraus|1998}} mentionne cependant, pour le groupe alterné, deux résultats explicites partiels : si ''n'' est divisible par 4, le polynôme exponentiel tronqué ∑{{ind|0''≤k≤n''}}({{frac|''X{{exp|k}}''|''k''!}}) fournit une réalisation de ''A{{ind|n}}'', et si ''n'' est pair et supérieur ou égal à 4, le polynôme {{nobr|1=''h{{ind|t}}''(''X'') = (''n''–1)''X{{exp|n}} – nX''{{exp|''n''–1}} + (–1){{exp|''n''/2}}(''n''–1)''t''{{2}}}} aussi, pour une infinité de valeurs du rationnel ''t''.</ref> de la [[réalisabilité]] de ''S{{ind|n}}'' permet de montrer aussi<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Helmut|nom1=Völklein|titre=Groups as Galois Groups|sous-titre=An introduction|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|collection=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|numéro dans collection=53|année=1996|pages totales=248|passage=52-53|isbn=978-0-521-56280-5|lire en ligne={{Google Livres|rX_5kp-fiQcC|page=52}}}}.</ref> celle du [[groupe alterné]] ''A{{ind|n}}''.
* Tout [[groupe résoluble]] fini est réalisable. Ce résultat<ref>On peut en trouver une démonstration dans {{NSW}}.</ref> est dû à [[Igor Chafarevitch]], dans une série de quatre articles parus en 1954.
* Parmi 26 [[Groupe sporadique|groupes sporadiques]], tous sont réalisables sauf peut-être le [[Groupe de Mathieu|groupe ''M''{{ind|23}} de Mathieu]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Christian U.|nom1=Jensen|prénom2=Arne|nom2=Ledet|nom3={{Lien|Noriko Yui}}|titre=Generic Polynomials|sous-titre=Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem|éditeur=CUP|année=2002|pages totales=258|passage=5|isbn=978-0-521-81998-5|lire en ligne={{Google Livres|-90wadsswToC|page=5}}}}.</ref>. En particulier, le [[groupe Monstre]] est réalisable<ref>{{article|langue=en|nom=Thompson|prénom=John G.|lien auteur=John Griggs Thompson|titre=Some finite groups which appear as Gal ''L''/''K'', where K ⊆ ℚ(μ{{sub|''n''}})|revue=J. Algebra|volume=89|année=1984|numéro=2|p.=437–499}}.</ref>.

== Les différentes stratégies ==

Pour un groupe ''G'' donné, l'idée d'[[Emmy Noether]]<ref>{{article|langue=de|prénom=E.|nom=Noether|titre=Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe|revue=Math. Ann.|volume=78|année=1918|p.=221-229}}, en ligne {{lire en ligne|lien=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0078&DMDID=DMDLOG_0015|texte=sur GDZ}} ou {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=bsm5lmprAQQC&pg=PA231|texte=sur Google Livres}}.</ref> est de réaliser ce groupe comme le groupe de Galois d'une extension de ℚ(''T''). Ensuite, le [[théorème d'irréductibilité de Hilbert]] nous donne l'existence d'une infinité de valeurs rationnelles pour ''T'' pour lesquelles le groupe de Galois reste ''G''<ref>Cette approche est développée par {{Article|url=http://www.emis.de/journals/SC/2001/5/pdf/smf_sem-cong_5_1-26.pdf|titre=Théorie de Galois inverse et géométrie algébrique|nom=Pierre Dèbes|périodique=Séminaires & Congrès de la [[Société mathématique de France|SMF]]|année=2001|volume=5|pages=1-26}}.</ref>.

==Notes et références==

=== Notes ===
<references group="Note" />

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
===Articles connexes===
*{{Lien|trad=Abhyankar's conjecture|Conjecture d'Abhyankar}}
*{{Lien|trad=Generic polynomial|Polynôme générique}}
*[[Problème de plongement]]
*[[Théorème de Lüroth]]
*[[Variété rationnelle]]

===Bibliographie===
*{{Lang1}}
*{{Samuel1}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Emil Artin]]|titre=Galois Theory|lieu=Londres|éditeur=[[University of Notre Dame Press|Notre Dame Press]]|année=1971|numéro d'édition=2|année première édition=1942|isbn=|lire en ligne=https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/Livres/Artin%20M.%20Galois%20theory%20(2ed,%20London,%201944)(86s).pdf}}
*B. Deschamps, ''Problèmes d'arithmétique des corps et de théorie de Galois'', Hermann, Paris, 1998

{{Palette|Théorie de Galois}}

{{Portail|algèbre}}

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[[Catégorie:Théorie mathématique]]
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