Voir la source de Théorie des équations (histoire des sciences)

{{En-tête label|AdQ|année=2010}}
{{Voir homonymes|Théorie des équations}}
[[Fichier:Evariste galois.jpg|thumb|upright|[[Évariste Galois]] offre une condition nécessaire et suffisante à la résolution d'une équation [[polynôme formel|polynomiale]] par l’[[algèbre]]. Il répond ainsi à une question centrale de la théorie, ouverte depuis des millénaires. Sa [[théorie de Galois|méthode]] fournit des résultats novateurs, à l’origine de nouvelles branches de l’algèbre, qui dépassent le cadre de la théorie des équations.]]
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La '''théorie des équations''' est un ensemble de travaux ayant pour objectif premier la résolution d’[[équation polynomiale|équations polynomiales]]<ref>« [http://fr.encarta.msn.com/encyclopedia_761558588/%C3%A9quations_th%C3%A9orie_des.html Équations, théorie des] », Encyclopédie Encarta.</ref> ou équivalentes<ref group="Note">Le terme ''équivalent'' s’applique lorsque quelques transformations permettent de reformuler l’équation sous la forme de la recherche des [[racine d'un polynôme|racines]] d’un polynôme.</ref>. Une telle équation s’écrit de la manière suivante :
<center><math>a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_1X + a_0 = 0\,</math></center>
où ''X'' désigne l’[[inconnue (mathématiques)|inconnue]].

La « théorie des équations » est une expression utilisée en histoire des sciences<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=83}}.</ref>.

L’étude de ce type de questions remonte aux premiers textes mathématiques connus<ref group="Note">Voir par exemple le [[papyrus Rhind]].</ref>. Une première approche permet de résoudre l’équation dans le cas où le [[degré (mathématiques)|degré]] du [[polynôme]] est [[Équation quartique|strictement plus petit que cinq]]. C'est durant la [[Renaissance (période historique)|Renaissance]] et avec l'étude des [[équation cubique|équations cubiques]] que de nouveaux nombres sont utilisés<ref group="Note">Voir le paragraphe [[#Diffusion en Europe|Diffusion en Europe]].</ref>. Ils sont qualifiés initialement d’imaginaires puis de [[nombre complexe|nombres complexes]]. Ce n'est que plus tard que ceux-ci interviennent comme solutions d’[[équation du deuxième degré|équations de degré deux]].

À partir de l'[[époque moderne]], le polynôme est aussi considéré comme une [[fonction (mathématiques)|fonction]], appelée [[fonction polynomiale]]. Cette approche offre des méthodes pour déterminer le nombre de [[racine d'un polynôme|racines]] réelles, pour localiser les racines (c’est-à-dire trouver des régions où elles se trouvent) et pour fournir des méthodes d’approximations aussi précises que souhaité. L’un de ses achèvements est le [[théorème de d'Alembert-Gauss]], qui indique qu’une fonction polynomiale non [[Constante d'un polynôme|constante]] admet au moins une racine dans les nombres complexes.

Un point de vue du {{XIXe siècle}} consiste à étudier le plus petit ensemble de nombres, stable pour les quatre opérations et qui contienne à la fois coefficients et racines d'une équation donnée. Cette approche entre dans la théorie dite de [[théorie de Galois|Galois]]. Elle offre une condition nécessaire et suffisante pour savoir si une équation polynomiale se résout par les techniques décrites par la première approche, dans le cas contraire l’on doit se limiter à des approximations issues de l’analyse. Jusqu’au {{s-|XIX|e}}, la théorie des équations se confond avec l’algèbre. Puis, à la suite de la théorie de Galois principalement, l’algèbre s’élargit pour prendre en compte de nouvelles questions. Cette théorie est à l’origine de vastes domaines mathématiques, comme la [[théorie des groupes]], celle des [[théorie des anneaux|anneaux]] ou encore la [[géométrie algébrique]].

:''Remarque'' : Quand on ne précise pas, le terme de ''théorie des équations'' désigne généralement<ref group="Note">On trouve néanmoins des exceptions. Un contre exemple est le titre du tome III : ''Théorie des équations'' d’un livre consacré à l’analyse : J. Favart, ''Cours d’analyse de l’école polytechnique'', Gauthier-Villars, 1963.</ref> les équations polynomiales<ref>C’est par exemple le choix de : « Sur l’histoire du théorème fondamental de l’algèbre : théorie des équations et calcul intégral », ''Archive for History of Exact Sciences'', {{vol}}42, {{n°}}2, {{p.}}91-136.</ref>. En revanche, il existe de nombreuses équations qui, sans être algébriques, font néanmoins l’objet d’une théorie. L’usage veut alors que l’on précise la nature de l’équation, comme dans l’expression ''théorie des [[équation différentielle|équations différentielles]]''<ref>On trouve par exemple l’expression ''[http://lmd.upmc.fr/baf.aspx?id=mmat4049&objet=u&lang=fr Théorie analytique des équations différentielles ordinaires]'', par le programme des cours ''LMD'' de l’université Pierre et Marie Curie à Paris.</ref>. Il n’existe pas de théorie unique s’appliquant à tout type d’équations, elles forment pour cela un ensemble trop disparate.

== Origines ==
=== Avant la théorie ===
{{Article détaillé|Inconnue (mathématiques)}}
[[Fichier:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|upright|Le livre ''[[Arithmetica]]'' de [[Diophante]] est le premier à décrire l'inconnue au sens mathématique du terme.]]

Aussi loin que remontent les textes connus en mathématiques, on y trouve des questions qui s'expriment, en langage contemporain, sous forme d’''équations algébriques''. On lit, dans un [[papyrus (papier)|papyrus]] de l’[[Mathématiques dans l'Égypte antique|Égypte ancienne]] : {{Citation|Quand le scribe te dit de quoi 10 est les 2/3 et le 1/10 ?}}<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=75}}.</ref> ce qui se traduit par 2/3''x''&nbsp;+&nbsp;1/10''x''&nbsp;=&nbsp;10. Des problèmes du second degré sont particulièrement étudiés par les [[Mathématiques babyloniennes|Babyloniens]]. Leur langage est géométrique, la [[inconnue (mathématiques)|valeur recherchée]], notée ici ''x'', est appelée ''côté'' et ''x''{{exp|2}} ''carré'', mais leur formulation est souvent purement algébrique. On peut lire, sur une tablette d’argile : {{Citation|J’ai additionné 7 fois le côté de mon carré et 11 fois la surface : {{nobr|6 15}}}}<ref>Cette question est extraite d’une tablette conservée au British museum sous le numéro [[BM 13901]] : ''[http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/brochures/FMPH/FMPH1-ch08.pdf L’algèbre babylonienne]'', par l’IREM de Rennes. La notation {{nobr|6 15}} est ambiguë, la signification choisie ici correspond à la solution x = 1/2 de l'équation donnée dans la tablette.</ref>, pour décrire (en [[Système sexagésimal|numérotation sexagésimale]] utilisée par les Babyloniens) l’équation 11''x''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;7''x''&nbsp;=&nbsp;6&nbsp;+&nbsp;15/60&nbsp;=&nbsp;25/4. Le sens géométrique de la somme d’une aire et d’une longueur est ambiguë, cependant aucun commentaire n’étaye une interprétation purement algébrique de la question (des nombres multipliés et additionnés). Aucun outil algébrique n’est développé, il n’existe pas d'''inconnue'' que l’on peut déterminer à l’aide d'une méthode calculatoire. Les Égyptiens résolvent l’équation du premier degré par essais successifs, à l’aide de la [[méthode de la fausse position]] et les Babyloniens disposent d’[[algorithme]]s sans autre justification qu'empirique, c’est-à-dire qu’à la fin la valeur trouvée est bien la solution recherchée.

La première étape qui approche de l’ébauche d’une véritable ''théorie'' demande plus de deux millénaires. Elle est franchie par trois cultures mathématiques : la [[Mathématiques de la Grèce antique|Grèce]], la [[mathématiques arabes|civilisation arabe]] et celle des [[mathématiques indiennes|Indes]]. [[Diophante]], un mathématicien du {{IIIe siècle}}, formalise l'''arithme'', une lettre qu’il définit<ref>Collectif IREM-APMEP de Poitiers, (Institut de recherche sur l'enseignement en mathématiques - Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public), ''Histoire de symboles'', chapitre 12 : La première inconnue, 2003, {{Lire en ligne|lien=http://irem.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/histoire_des_symboles/HIST_SYMB_p27-30.pdf}}</ref>
par : {{Citation|Le nombre qui possède une quantité indéterminée d’unités s’appelle l’arithme, et sa marque distinctive est σ.}} L’arithme s’additionne et se multiplie : {{Citation|l’inverse de l’arithme multiplié par le bicarré de l’arithme donne le cube de l’arithme<ref>P. Ver Eecke, ''Diophante d’Alexandrie – Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones'', Desclée de Brouwer, Liège, 1926, {{p.}}2.</ref>.}} ce qui signifie en langage moderne que ''x'' divise ''x''<sup>4</sup> et que le résultat est égal à ''x''<sup>3</sup>. Cette démarche permet une véritable formulation mathématique de l’équation et surtout, un mode de résolution. Avant que Diophante ne soit traduit en arabe<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=76}}.</ref>, [[Al-Khawarizmi (Mohamed Ibn Mussa)|Al-Khawarizmi]], un mathématicien d’origine perse, développe au {{VIIIe siècle}} une idée analogue. Son ''inconnue'' s’appelle le ''say’''<ref>[[Roshdi Rashed|R. Rashed]], ''Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l’histoire des mathématiques arabes'', Les Belles lettres, Paris, 1984.</ref>. Une fois encore, le nouveau formalisme offre un moyen de résolution de l’équation. R. Rashed indique : {{Citation|[Avec Al-Khwarizmi] la notion de base c’est la notion d’équation, qui peut couvrir une classe infinie de problèmes, géométriques ou arithmétiques : l’unité n’est plus l’objet mais l’opération même<ref>J. Dhombres G. Beaujouan G. Mazars J.-C. Martzloff R. Rashed, ''Le matin des mathématiciens'', Belin, 1985 {{ISBN|9782701105338}}, {{p.}}146.</ref>.}} La même idée est encore présente chez le mathématicien indien [[Bhāskara II]] dans son texte intitulé ''Bījagaṇita''<ref>L. Rodet, ''l’algèbre d’Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque'', [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995262/f26.table lire sur Gallica], {{p.}}24.</ref>.

Les différentes méthodes de résolution des problèmes des premier et second degrés, avec et sans le formalisme de l’équation, sont présentées dans l’article détaillé.

=== Algèbre arabe ===
[[Fichier:Polynôme-Al-Samaw-al.jpg|thumb|upright=1.1|left|Les polynômes d’[[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]] représentés par un tableau préfigurent une conception purement abstraite de l’algèbre.]]

Le mathématicien [[Al-Khawarizmi]] est souvent considéré comme fondateur de la branche des mathématiques appelée [[algèbre]]. En termes d’étymologie, le titre de son traité sur les équations : ''[[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison|Kitâb al-jabr wa al-muqâbala]]'' utilise le terme ''al-jabr'', devenu ''algèbre''. En arabe, ''al-jabr'' vise {{Citation|à transformer une soustraction dans un membre en une addition dans l’autre membre}}<ref name="Drouin">
{{Lien web
   |url=http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/viemaths/hist/mthacc/alkhwarizmi.htm
   |titre=Muhammad Al-Khâwârîzmî
   |auteur= Christian Drouin
   |date= {{date|4|avril|2001}}
   |site= Équipe de mathématiques de l'académie de Bordeaux
   |consulté le= 25 avril 2009
}}
</ref> dans l’objectif d’obtenir uniquement des coefficients positifs. Par exemple<ref name="Drouin" /> : 2''x''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;100&nbsp;-&nbsp;20''x''&nbsp;=&nbsp;58 devient en suivant ce procédé : 2''x''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;100&nbsp;=&nbsp;58&nbsp;+&nbsp;20''x''. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent que le travail d’Al-Khawarizmi est : {{Citation|l’acte de naissance d’une théorie des équations quadratiques, dans l’ensemble des nombres positifs (presque toujours rationnels), théorie qui comporte encore quelques lacunes}}<ref name="Peiffer85" group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=85}}.</ref>. Ce n’est pas uniquement l’étymologie qui justifie cette attribution à Al-Khawarizmi : en effet, celui-ci s’intéresse à toutes les équations du second degré, tandis que Diophante ne cherche à résoudre que quelques cas particuliers, à solutions entières ou rationnelles. Al-Khawarizmi a une démarche plus systématique : l’objet de son traité est d’offrir une méthode permettant de trouver à coup sûr, s'il en existe, une solution de l’équation.

Les progrès sur la théorie des équations ne s’arrêtent pas à Al-Khawarizmi. Il est à l’origine d’une école mathématique qui se développe sur plusieurs siècles. Son disciple [[Abu Kamil]] dissipe une première appréhension. À l’origine, les équations étudiées sont presque toujours à coefficients rationnels, [[Abu Kamil]] généralise l’étude aux coefficients irrationnels<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=85}}, un exemple d’équation de cette nature est donné dans l’article [[inconnue (mathématiques)]].</ref>. La conception initiale du nombre chez les Arabes est héritée des Grecs et se limite aux fractions. Les grandeurs {{page h'|Incommensurabilité|incommensurables}}, qui correspondent à nos irrationnels, sont des proportions entre longueurs, mais ne possèdent pas le statut de nombre. Al-Khawarizmi les appelle ''gidr asamm'', qui signifie ''racine muette'' ou ''aveugle''<ref name="Peiffer85" group="ADD" />. Deux siècles plus tard, pour les mathématiciens comme [[Omar Khayyam]], les fractions ou les proportions incommensurables sont traitées dans les calculs de la même manière, les deux concepts sont appelés ''al-adad'', qui signifie nombre (les rationnels sont désignés par le terme ''al-adad al muntiqa'' et les irrationnels par ''al-adad al-summa''), la différence n’étant plus que philosophique<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=103}}.</ref>.

Des outils spécifiques sont développés pour permettre le calcul plus aisé des multiplications de polynômes. [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|Al-Samaw'al]] les note sous la forme d'un tableau préfigurant une représentation proche du concept moderne de [[polynôme formel]]<ref group="Note">Voir à ce sujet l’article : [[Construction de l'anneau des polynômes]].</ref>.

=== Géométrie au service de l’algèbre ===
{{Article détaillé|Algèbre géométrique}}
[[Fichier:Equation quadratique (3).jpg|thumb|upright=1.3|Les [[gnomon (géométrie)|gnomons]] et la géométrie d’Euclide sont le moteur de la résolution des équations algébriques pendant plusieurs siècles.]]
La géométrie, et particulièrement celle des [[Éléments d'Euclide]], joue un rôle fondamental dans cette algèbre naissante. Dans le cas d’une équation du second degré et après division par le coefficient du [[monôme (mathématiques)|monôme dominant]], le monôme du second degré peut être vu comme l’aire d’un [[carré]] dont le côté est l’inconnue que l’on recherche. Dans le cas de l’équation du premier degré, on interprète le terme du premier degré comme l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont l’inconnue et le coefficient du monôme ; la constante est interprétée comme l’aire d’un carré parfaitement déterminé. Cette approche permet déjà à Euclide de résoudre des problèmes des premier et second degrés<ref group=Note>Voir à cet égard le [[Livre II des Éléments d'Euclide]].</ref>. L’angle d’analyse des Arabes est différent puisqu’ils cherchent à résoudre une ''équation'', dans ce cas particulier, du second degré. Cependant le cœur de la démonstration est le même : une analyse d’une configuration géométrique, construite sur la base d’un [[gnomon (géométrie)|gnomon]]. De manière méthodique, l’étude du gnomon permet d’établir les trois [[identité remarquable|identités remarquables]] source de résolution des équations du second degré.

L’approche utilisée pour étendre la théorie naissante des équations à l’[[équation cubique]] est tout aussi géométrique, mais cette fois avec des outils un peu différents. Al-Khayyām remarque qu’il est possible d’interpréter la [[racine d'un polynôme|racine]] de l’équation cubique comme l’abscisse de l’intersection d’un [[cercle]] et d’une [[parabole]]<ref group="Note">Voir à ce sujet l’article : [[Algèbre géométrique]].</ref>, ce qui montre déjà l’usage de ce que l’on appellera plus tard un [[repère cartésien]] et permet de remarquer l’existence possible de plusieurs solutions<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=95}}.</ref>. Deux siècles plus tard, profitant des progrès tant algébriques que géométriques, [[Nasir ad-Din at-Tusi]] développe plusieurs outils dans le cadre de l’équation cubique. Le [[discriminant]] lui permet de connaître l’existence de racines positives dans certaines situations<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=97}}.</ref>, la [[polynôme formel|dérivation formelle]] lui permet de localiser les racines et une méthode numérique, variante de celle maintenant dite de [[Méthode de Ruffini-Horner|Ruffini-Horner]], permet d'approcher la racine avec la précision souhaitée<ref>H. Bellosta indique : {{Citation|Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî ({{s-|XII|e}}) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d’existence de ces points d’intersection, dont l’abscisse détermine la racine positive demandée ; ceci va l’amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines et l’obliger à définir la notion de maximum d’une expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle d’un polynôme). Une autre innovation d’al-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré. Il développe pour cela une variante de la méthode de Ruffini Horner.}} : {{pdf}} « [http://smf.emath.fr/Publications/Gazette/1999/82/smf_gazette_82_37-44.pdf À propos de l’histoire des sciences arabes] », ''SMF Gazette'', {{n°}}82, 1999.</ref>.

Les méthodes mathématiques utilisées, ainsi que cette branche de l'histoire des mathématiques, sont développées dans l’article détaillé.

=== Diffusion en Europe ===
{{Article détaillé|Équation cubique}}
[[Fichier:Cardano.jpg|thumb|upright|[[Girolamo Cardano]] généralise la formule de [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]] en lui adjoignant des ''nombres imaginaires'' pour résoudre des cas qualifiés alors d’irréductibles.]]
À travers les textes de [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] ou encore de [[Luca Pacioli]], l’Italie a accès, au début du {{XVIe siècle}}, à l’essentiel du savoir arabe. Les mathématiciens d’alors se passionnent pour l’algèbre et, surtout, pour un problème laissé ouvert : trouver une méthode générale et exacte de résolution de l’équation cubique. Par exacte, on entend une forme différente d’une suite qui converge vers la racine. Ces mathématiciens recherchent une expression analogue à celle d’Al-Khawarizmi pour le second degré qui, à l’aide de racines carrées ou cubiques, donnerait la solution.

L’âpre compétition qui règne entre les différents mathématiciens stimule les candidats et pousse à l’émergence d’idées nouvelles. [[Scipione del Ferro]] trouve comme formule de résolution de l’équation ''X''{{exp|3}}&nbsp;+&nbsp;''aX''&nbsp;=&nbsp;''b'' :
<center><math>x= \sqrt[3] {\frac b2 + \sqrt {\left(\frac b2\right)^2 + \left(\frac a3\right)^3}} + \sqrt[3] {\frac b2 - \sqrt {\left(\frac b2\right)^2 + \left(\frac a3\right)^3}} </math>.</center>

A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent : {{Citation|Elle devait [...] provoquer de grands progrès dans la théorie des équations [...]}}<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=105}}.</ref>. La formule avait à l’époque de quoi susciter l’étonnement. Un calcul algébrique est encore justifié par un support géométrique. Un nombre tire sa justification d’une longueur, d’une aire ou d’un volume. Le signe '''-''' n’a de sens que si une longueur est soustraite à une plus grande. Dans la solution que propose del Ferro, on retranche une ''longueur'' à une autre longueur plus petite<ref group="Note">La valeur ''b''/2 est plus petite que √{{surligner|(b/2)<sup>2</sup> + (b/3)<sup>3</sup>)}}, ce nombre est donc négatif. Considérer ensuite la longueur de l’arête d’un cube ayant ce nombre négatif pour volume, procède d’une logique incompréhensible à cette époque.</ref>. À cette époque, l’enjeu est de relever des défis, c’est-à-dire de résoudre des équations particulières<ref>On peut lire à ce sujet le site de M. Bichaoui, ''[http://maurice.bichaoui.free.fr/Histoire33.htm L’Histoire des équations du {{3e|degré}}]''.</ref>, la rigueur de la méthode importe peu, tant qu’il est finalement possible de vérifier le résultat en ''remplaçant x'' dans l’équation par la solution présumée.

Une question reste ouverte : comment résoudre l’équation ''X''{{exp|3}}&nbsp;+&nbsp;''a''&nbsp;=&nbsp;''bX'', si 4''b''{{exp|3}}&nbsp;>&nbsp;27''a''{{exp|2}} ? Cette fois-ci, la méthode semble impraticable car la grandeur négative qui apparaît devrait correspondre à la surface d’un carré (au sens géométrique du terme). [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], un des spécialistes de l’époque en la matière, qualifie l’équation d’''irréductible''. C’est finalement [[Girolamo Cardano|Cardano]] qui trouve la solution : il suffit de ne pas arrêter les calculs. Ces étranges termes finissent par disparaître<ref>B. Hauchecorne, D. Surateau, ''Des mathématiciens de A à Z'', Ellipses, Paris, 1996 {{ISBN|2729846832}}.</ref> ; par exemple en appliquant des identités remarquables comme<ref group="ADD">Celle citée est extraite de {{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=106}}.</ref> :
<center><math>(5 + \sqrt {-15})(5 - \sqrt {-15}) = 5^2 - (\sqrt {-15})^2 = 25 + 15 = 40 </math></center>

Une nouvelle étape est franchie. Si la signification précise de l’expression √-1 reste mystérieuse, l’idée de faire appel à un ensemble de nombres plus grand pour résoudre une question en théorie des équations est découverte. Un élève de Cardano, [[Ludovico Ferrari]] résout l’[[équation quartique]], en [[1540]]<ref>« [http://www.britannica.com/EBchecked/topic/204956/Lodovico-Ferrari Lodovico Ferrari] », ''Encyclopædia Britannica''</ref>. [[Raphaël Bombelli|Bombelli]] propose un formalisme autorisant l’existence de nombres négatifs et imaginaires. Son influence, attestée par les commentaires de [[Simon Stevin|Stévin]] ou la correspondance entre [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] et [[Christian Huygens|Huygens]], est durable<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=108}}.</ref>.

L’article ''[[Méthode de Cardan]]'' présente la solution, en termes contemporains, de l’équation cubique, et celui intitulé ''[[Méthode de Ferrari]]'' celle du quatrième degré.

== Nouveau départ ==
=== Viète, Fermat et Descartes ===
[[Fichier:Francois Viete.jpeg|thumb|upright|En découvrant le calcul littéral, [[François Viète]] trouve un langage formel donnant à l’algèbre son autonomie par rapport à la géométrie.]]
Le début d'une véritable ''théorie des équations''<ref>P. Freguglia, « Sur la théorie des équations algébriques entre le {{s2-|XVI|e|XVII|e}} », ''Bollettino di storia delle scienze matematiche'', {{vol}}14, {{n°}}2, 1994, {{p.}}259-298.</ref> est généralement attribué à [[François Viète|Viète]], mathématicien français de la fin du {{s-|XVI|e}}. S’il refuse encore de considérer les avancées de Bombelli, c’est-à-dire les nombres négatifs ou imaginaires, il réalise néanmoins trois avancées majeures.

La plus célèbre est probablement celle qu’il appelle la ''logique spécieuse'' et que l’on qualifie maintenant de calcul littéral. Viète réunit deux usages des lettres en mathématiques<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=109}}.</ref>. Celui de l'algèbre se répand et se perfectionne en Europe au cours du {{s-|XVI|e}}<ref>Chez [[Michael Stifel]], [[Jacques Peletier du Mans|Jacques Peletier]] et [[Jean Borrel]], cf. {{DahanPeiffer}}, {{p.}}109.</ref>, mais apparaissait déjà chez Diophante : une lettre s’additionne ou se multiplie et joue le rôle d’inconnue dans une équation. Celui de la géométrie est courant dès l'Antiquité : une lettre désigne une grandeur ou un objet non spécifié, point, droite, distance entre deux points sur une figure… Les principes généraux de résolution des équations ne peuvent être établis qu'à l’aide de la géométrie, comme l’usage de gnomons pour les identités remarquables, puis illustrés par des exemples d’équations polynomiales aux coefficients numériques, que Viète considère comme appartenant à la ''logique numéreuse''. Viète introduit une deuxième catégorie de lettres pour les coefficients. Ceux-ci sont aussi des valeurs considérées comme fixées, même si on ne les connaît pas : c'est ce qu'on appelle maintenant un ''[[équation#Paramètre|paramètre]]''. En transportant une ancienne habitude géométrique à l’algèbre, Viète crée la ''logique spécieuse''. Cette nouvelle approche revient à considérer une équation comme une expression du type : ''aX''{{exp|2}}&nbsp;+&nbsp;''bX''&nbsp;=&nbsp;''c''. Réussir à résoudre cette équation c’est être capable de résoudre toutes les équations du second degré, un unique cas général de logique spécieuse permet de traiter une infinité de cas particuliers issus de la logique numéreuse.

À ce premier apport, Viète ajoute le développement d’un langage symbolique permettant d’exprimer plus simplement une expression polynomiale. Les idées de Viète permettent une expression plus limpide que celle de ses prédécesseurs. Son vocabulaire est toujours en partie d’actualité : on lui doit le terme de ''coefficient''<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=110}}.</ref> ainsi que celui de ''polynôme''<ref>{{en}} [[Florian Cajori|F. Cajori]], ''A History of Mathematics'', The Macmillan Co, New York, 1919, {{p.}}139.</ref>.

Ce formalisme permet d’exprimer les premiers résultats généraux, au sens où ils sont indépendants du degré du polynôme, comme la [[Relations entre coefficients et racines|relation entre les coefficients et les racines d’un polynôme]].

Le système de notations de Viète est repris par [[Pierre de Fermat|Fermat]] et [[René Descartes|Descartes]] pour, d’après [[Nicolas Bourbaki]], devenir {{Citation|à peu de chose près, celui que nous utilisons aujourd’hui<ref>[[Nicolas Bourbaki]], ''Éléments d’histoire des mathématiques'', Springer, 2007 {{ISBN|3540339817}}, {{p.}}71.</ref>.}} Ces travaux permettent un renversement de la hiérarchie mathématique. Jusqu’à Viète, la ''théorie des équations'' est nécessairement une émanation de la géométrie. L’unique méthode générique de démonstration se fonde sur les ''Éléments d’Euclide'' et les calculs-clés, comme les identités remarquables, sont établis à l’aide de considérations géométriques. Le calcul littéral permet d’affranchir l’algèbre de ces contraintes. Pour Descartes, l’algèbre, additionnée de l’usage d’un [[repère cartésien]], devient une machine à démontrer des théorèmes géométriques. Elle est une {{Citation|extension de la logique, dénuée de toute signification par elle-même, mais indispensable pour le maniement des quantités, et, en un sens, plus fondamentale même que la géométrie<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=111}}.</ref>.}}

=== Calcul infinitésimal ===
[[Fichier:Methode newton.png|thumb|upright=1.1|La [[méthode de Newton]] permet d’approximer aussi précisément que souhaité une racine d’un polynôme.]]
La deuxième moitié du {{XVIIe siècle}} est l’époque d’un séisme appelé [[calcul infinitésimal]]. L’étude des trajectoires et des mouvements, issue de la [[physique]], est à l’origine de nouvelles idées<ref group="ADD">{{chap.}}5 intitulé « La limite : de l’impensé au concept », {{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=168}}.</ref>. Pour cette étude, [[Isaac Newton]] cherche à modéliser l’idée de variable à l’aide du concept de temps, qu’il appelle ''fluente'' : {{Citation|J'appellerai ''quantité fluente'', ou simplement ''fluente'', ces quantités que je considère comme augmentées graduellement et indéfiniment, et je les représenterai par les dernières lettres de l’alphabet ''v'', ''x'', ''y'' et ''z''}}<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=192}}.</ref>.

{{référence nécessaire|Vu sous l’angle de la théorie des équations, cela revient à remplacer le ''X'' des formules utilisées depuis Diophante, par un ''x'' qui devient une quantité qui ''varie'' de moins à plus l’infini. Le polynôme devient une [[fonction (mathématiques)|fonction]] appelée [[fonction polynomiale]] et à ce titre jouit de nouvelles propriétés.}} Les outils associés au calcul infinitésimal sont la [[limite (mathématiques)|limite]], la [[dérivée]] ou encore l’[[intégration (mathématiques)|intégrale]]. En [[1691]], [[Michel Rolle]] les utilise pour établir un [[théorème de Rolle|théorème]], indiquant que si ''a'' et ''b'' sont deux racines d’un polynôme ''P'' non constamment nul, il existe une valeur ''c'' comprise dans l’intervalle ]''a'',&nbsp;''b''[ racine du polynôme dérivée de ''P''<ref>M. Blay, « Deux moments de la critique du calcul infinitésimal : Michel Rolle et George Berkeley – Études sur l’histoire du calcul infinitésimal », revue ''Histoire des sciences'', {{vol}}39, {{n°}}3, 1986, {{p.}}223-253.</ref>, retrouvant un résultat<ref>{{en}} T. A. Broadbent, « ''The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar'' », ''The Mathematical Gazette'', {{vol}}52, {{n°}}381, 1969, {{p.}}307.</ref> de [[Bhaskara II]] et Sharaf al-Dîn al-Tûsîau du {{XIIe siècle}}. Une autre application est une découverte de Newton pour le calcul des racines, appelée [[méthode de Newton]]<ref group="H">[[Isaac Newton|I. Newton]], ''De analysi per aequationes numero terminorum infinitas'', W. Jones, Londres, 1711 (première publication en 1669).</ref>. Elle consiste à choisir initialement une valeur, à calculer la tangente du polynôme en cette valeur, à trouver la racine de la tangente et à réitérer.

Si ces résultats apportent des éléments nouveaux à la théorie des équations, ils n’en font pas partie au sens propre. Newton développe sa méthode pour les polynômes, mais elle n’est en rien spécifique à ceux-ci et permet d’approximer un [[zéro d'une fonction|zéro]] d’une fonction dérivable quelconque, ce dont Newton prend conscience puisqu’il applique ensuite sa méthode à des fonctions non polynomiales. Le [[théorème de Rolle]] est maintenant généralisé à toute fonction dérivable, même si la démonstration de ce résultat date de [[1860]]<ref>Cette démonstration est l’œuvre de [[Pierre-Ossian Bonnet|P. O. Bonnet]] : P Appell, « Notice sur la vie et les travaux de Pierre Ossian Bonnet », Comptes rendus de l’Académie des Sciences, {{vol}}117, 1893, {{p.}}1013-1024.</ref>. D’autres résultats de même nature, comme la [[méthode de Ruffini-Horner]] pour approximer une racine ou le [[théorème de Sturm]] pour localiser la présence d’une solution dans un intervalle, sont mis au point durant le {{s-|XIX|e}}.

=== Imaginaires et nombres complexes ===
[[Fichier:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|upright|Les travaux de [[Leonhard Euler]] sont à l’origine d’une meilleure compréhension des [[nombre complexe|nombres complexes]], indispensable à la théorie des équations.]]
{{Article détaillé|Histoire des nombres complexes}}
Les nombres imaginaires sont nés dans une ambiguïté que le calcul infinitésimal finit par dissiper. Pour Bombelli, un nombre imaginaire est une longueur géométrique à laquelle on a ''ajouté'' l’un des quatre signes possibles : le plus des ''vraies'' longueurs, le moins, ainsi que deux autres qu’il appelle ''piu di meno'' et ''meno di meno'' qui correspondent avec nos notations à '''i''' et '''-i'''<ref>
{{Lien web
   |url=http://www.math93.com/Ferrari-Bombelli.html
   |titre=Mathématiciens italiens du {{s-|XVI|e}}
   |date= 1999
   |auteur=Franck Duffaud
   |site= Math93 : Une histoire des mathématiques
   |consulté le= 25 avril 2009
}}
</ref>. Il existe une autre définition, plus générale mais plus vague, qui nous vient de Descartes. Il utilise pour la première fois le terme ''imaginaire'' en [[1637]]. Pour exprimer les relations entre les coefficients et les racines, mises en évidence par Viète, il est nécessaire de faire parfois appel à des ''nombres impossibles'' soit parce qu’ils sont «''moindres que rien''» ce qui n'a pas de sens pour une longueur, soit parce qu’ils sont ''impossibles''. Ces racines doivent alors être imaginées, elles sont {{Citation|[...] quelquefois seulement imaginaires c’est-à-dire que l’on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu’on imagine}}<ref group="H">[[René Descartes]], ''[[s:Page:Descartes La Géométrie.djvu/83#cite ref-0|La géométrie]]'', 1637.</ref>. Ces deux définitions ne semblent pas équivalentes. Dans un cas, les nombres imaginaires sont définis comme des [[nombre complexe|complexes]] de la forme ''a''&nbsp;+&nbsp;i.''b'', dans l’autre, un nombre imaginaire est n’importe quoi qui pourrait servir aux calculs intermédiaires d’une équation algébrique. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer décrivent ainsi cette double définition : {{Citation|Dès son origine, une ambiguïté préside à l’apparition de ce terme imaginaire : entre d’une part l’acception idéale de Descartes ou même de Girard et, d’autre part, les nombres de la forme ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''√-1, avec ''a'', ''b'' réels, qui interviennent dans les résolutions des équations de bas degré<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=249}}.</ref>}}.

Le calcul infinitésimal incite au choix d’une définition précise et permet de résoudre les paradoxes apparents de ces étranges nombres. La racine carrée possède une propriété algébrique, si ''a'' et ''b'' sont deux réels positifs, √{{surligner|''a''}}.√{{surligner|''b''}}&nbsp;=&nbsp;√{{surligner|''a.b''}}, d’où un premier paradoxe<ref group="Note">Ce paradoxe est une des raisons qui pousse à l’usage du symbole '''i''' au lieu de l’ambigu √-1.</ref> :
<center><math>-1=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt 1=1</math>.</center>

À travers des [[série de Taylor|développements en série]], [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] parvient à justifier des égalités de Bombelli comme<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=253}}.</ref> :
<center><math>\sqrt[3]{2+ \sqrt {-121}}+\sqrt[3]{2- \sqrt {-121}} = 4 </math>.</center>

Les travaux de [[Abraham de Moivre|De Moivre]] mettent en évidence une correspondance entre les ''imaginaires'' de Bombelli et la [[trigonométrie]]<ref group="Note">Voir [[Formule de Moivre]].</ref>. La [[formule d'Euler]] ''e''<sup>iπ</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0 donne leurs lettres de noblesse aux nombres complexes de la forme ''a''&nbsp;+&nbsp;''i.b''. Tobias Dantzig remarque que cette formule contient : {{Citation|les symboles les plus importants : union mystérieuse dans laquelle l’arithmétique est représentée par 0 et 1, l’algèbre par √-1, la géométrie par π et l’analyse par ''e''<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=254}}.</ref>.}} La logique de Bombelli est définitivement adoptée.

Si ces travaux ne se rattachent pas à l'algèbre ou à la ''théorie des équations'', ils sont néanmoins indispensables pour comprendre son histoire et son contenu.

=== Théorème fondamental de l’algèbre ===
{{Article détaillé|Théorème de d'Alembert-Gauss}}
[[Fichier:Jean d'Alembert.jpeg|thumb|upright|[[Jean le Rond d’Alembert]] est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le théorème fondamental de l’algèbre.]]
Le récent statut acquis par ces nombres imaginaires impose la démonstration d’un théorème : ''Tout polynôme non constant admet au moins une racine complexe''. Il est alors entendu que les coefficients sont des nombres réels. C’est [[Jean le Rond d’Alembert]] qui en exprime la première fois le besoin en [[1746]]<ref name="Fine">{{en}} B. Fine, G. Rosenberg, ''The fundamental theorem of algebra'', Springer, 1997, {{ISBN|0387946578}}.</ref>. Sa motivation n’est en rien algébrique, il souhaite intégrer des [[fonction rationnelle|fonctions rationnelles]] et utilise pour cela une [[décomposition en éléments simples]]. Sa démonstration est issue de ses préoccupations, elle est purement analytique.

La question est immédiatement considérée comme importante, et ce résultat prend le nom de ''théorème fondamental de l’algèbre''. Le terme est cohérent car l’algèbre désigne, à cette époque, la ''théorie des équations''. Mais la preuve de d’Alembert ne séduit pas. Tout d’abord, elle suppose connus deux résultats, l’existence d’un minimum pour une [[fonction continue]] définie sur un [[espace compact|compact]] ; ensuite un théorème de convergence de série, maintenant appelé [[théorème de Puiseux]]. L’absence de techniques topologiques et de connaissance sur la convergence rend à l’époque impossible une démonstration complète. Ensuite, l’usage exclusif de l’analyse n’apparaît pas comme la méthode la plus adéquate pour démontrer le résultat fondamental de la ''théorie des équations''<ref name="Fine" />.

Euler reprend la question sous un angle algébrique, héritage d’al-Khawarizmi et de Viète. Son objectif est de montrer que les racines, au sens de Descartes, sont bien des nombres complexes au sens de Bombelli. Dans le cas du degré 4, sa démonstration est rigoureuse mais inutile, les formules de Ferrari établissant déjà le résultat. Pour les autres cas, la démonstration n’est qu’esquissée<ref group="H">[[Leonhard Euler|L. Euler]], ''[http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist/1749&seite:int=228 Recherches sur les racines imaginaires des équations]'', Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, 1751.</ref>. [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] comble les lacunes en [[1771]]<ref name="Gilain">C. Gilain, « Sur l’histoire du théorème fondamental de l’algèbre : théorie des équations et calcul intégral », ''Archive for History of Exact Sciences'', {{vol}}42, {{n°}}2, {{p.}}91-136.</ref>.

Cette approche algébrique ne convainc pas [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] qui indique : {{Citation|l’hypothèse de base de la démonstration est que toute équation possède effectivement ''n'' racines possibles ou impossibles. Si l’on entend par possibles réels et par impossibles, ''complexes'', cet axiome est inadmissible puisque c’est justement ce qu’il s’agit de démontrer. Mais si l’on entend par possibles les quantités réelles et complexes et par impossibles tout ce qui manque pour qu’on ait exactement ''n'' racines, cet axiome est acceptable. Impossible signifie alors quantité qui n’existe pas dans tout le domaine des grandeurs<ref group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=252}}.</ref>.}} Rien ne permet effectivement encore de donner un sens comme le fait Descartes aux racines, qui sont pourtant utilisées dans les calculs de Lagrange.

La première démonstration de Gauss est construite sur le canevas de d’Alembert, mais la compréhension des fonctions continues est encore trop faible pour permette de conclure. Les travaux de [[Bernard Bolzano|Bolzano]] finissent par permettre à [[Jean-Robert Argand]] de rédiger la première démonstration solide, encore sur les idées de d’Alembert<ref name="Gilain" />. Gauss trouve une preuve un peu plus tard, cette fois ci sur le canevas d’Euler et de Lagrange. Sa compréhension des [[polynôme formel|polynômes formels]] lui permet de trouver un contournement<ref>Jean-Yves Briend, ''Le théorème fondamental de l'algèbre'' (version moderne de cette preuve, la {{n°}}5), Centre de mathématiques et informatique de l'université de Provence Aix-Marseille, 30 janvier 2006, {{pdf}} {{Lire en ligne|lien=http://www.cmi.univ-mrs.fr/~briend/cours/theo-fond.pdf}}</ref>. Comme toutes les preuves ''algébriques'' du théorème, elle contient une partie analytique, à savoir l’existence d’une racine si le degré du polynôme est impair.

L’article détaillé relate plus précisément cette partie de l’histoire et propose diverses démonstrations du théorème.

== Vers le théorème d'Abel ==
=== Premières tentatives ===
{{Article détaillé|Méthode de Tschirnhaus}}
Si la découverte du calcul infinitésimal permet quelques percées, celles-ci ne sont guère ''algébriques'', et à ce titre n’entrent que partiellement dans la ''théorie des équations''. Les mathématiciens, forts des succès concernant les équations de degré inférieur à quatre, se sont efforcés de trouver des formules analogues à celles d’al-Khawarizmi, Cardano ou Ferrari, mais cette fois pour un degré quelconque. Plusieurs tentatives, émanant de [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|Tschirnhaus]] (un ami de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]) puis d'[[Leonhard Euler|Euler]] et enfin de [[Étienne Bézout|Bézout]], se soldent par des échecs.

Les canevas sont similaires, l’objectif est de ramener une équation de degré ''n'' à une forme canonique ''X''<sup>n</sup>&nbsp;-&nbsp;''c''&nbsp;=&nbsp;0. À partir de cette forme canonique, l’équation n’est pas encore complètement résolue mais les travaux de Moivre en [[trigonométrie]] permettent d'écrire une solution ''x'' <sub>k</sub>, si ''c'' est positif :
<center><math>x_k = \sqrt[n]{c} \left( \cos \frac {2k\pi}{n} + i\sin \frac {2k\pi}{n}\right)</math>.</center>

Pour cela, la méthode consiste à passer d’une équation à une inconnue ''P''(''X'')&nbsp;=&nbsp;0 à deux équations à deux inconnues en ajoutant la suivante : ''Q''(''X'')&nbsp;-&nbsp;''Y''&nbsp;=&nbsp;0. En choisissant habilement le polynôme ''Q'', serait-il possible d’annuler les coefficients intermédiaires ? Pour ''n'' égal à 2, 3 ou même 4, cette méthode revient à résoudre une équation d’un degré inférieur, que l’on résout avec les méthodes précédentes. Mais avec ''n'' égale 5, l’équation à résoudre est de degré 120, et si l’on peut ramener son degré à 24 par d’autres artifices, la méthode n’est guère concluante.

Le point noir de la théorie reste la résolution effective de l’équation polynomiale<ref group="ADD">Ce paragraphe correspond aux idées de {{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=113}}.</ref>.

=== Vandermonde et l’équation cyclotomique ===
{{Article détaillé|Polynôme cyclotomique}}
[[Fichier:Polynôme cyclotomique d'ordre 6.jpg|thumb|upright=0.9|Les racines du [[polynôme cyclotomique]] sont régulièrement espacées sur le [[cercle trigonométrique]] complexe.]]
En [[1771]], [[Alexandre-Théophile Vandermonde]] apporte du nouveau sur ce délicat point noir<ref group="H">[[Alexandre-Théophile Vandermonde|A. T. Vandermonde]], ''Mémoire sur la résolution des équations'', Histoire de l’Académie royale des sciences, 1771.</ref>. Son ambition est plus modeste que celle de ses prédécesseurs. Il ne cherche plus à résoudre l’équation algébrique dans son intégralité, mais uniquement celle que les tentatives précédentes recherchaient comme point d’arrivée, à savoir {{math|''X<sup>n</sup>''&nbsp;-&nbsp;''c''&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}. Comme le passage du coefficient 1 au coefficient ''c'' est trivial, il se limite à l’équation {{math|''X<sup>n</sup>''&nbsp;-&nbsp;''c''&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, dite cyclotomique<ref group="Note">Si l’équation est dite cyclotomique, le polynôme ne l’est pas. Une définition précise est donnée dans l’article ''[[Polynôme cyclotomique]]''.</ref>. La valeur ''n'' peut être choisie parmi les [[nombre premier|nombres premiers]], la résolution de ce cas particulier permet d’en déduire les solutions dans le cas général.

Une expression trigonométrique de la solution est connue, ce qui assure que les ''n'' racines de l’équation sont bien complexes et dans ce cas particulier, le théorème fondamental de l’algèbre est déjà établi. Il reste encore à trouver une ''formule'' algébrique capable de les exprimer. Par formule algébrique, on entend une expression contenant des nombres rationnels, l’[[unité imaginaire]] ''i'', les quatre opérations et des fonctions [[Racine d'un nombre|racines ''n''<sup>ièmes</sup>]]. Le terme consacré est ''résolution par radicaux de l’équation algébrique''.

La méthode de Vandermonde consiste à faire usage de [[polynôme en plusieurs indéterminées|polynômes en plusieurs indéterminées]], et particulièrement des [[polynôme symétrique|polynômes symétriques]], c’est-à-dire ceux qui sont invariants par toute permutation des indéterminées. La relation entre les coefficients et les racines peut se lire comme le fait que ''n'' polynômes symétriques à ''n'' indéterminées ont une image connue du ''n''-uplet des racines, ces images sont les coefficients du polynôme. Ce résultat est une reformulation d’une remarque de Viète. L’intérêt est que ces ''n'' polynômes symétriques génèrent l’intégralité des polynômes symétriques. En plus les images sont particulièrement simples pour le polynôme cyclotomique, elles sont toutes nulles, à l’exception de celle associée au polynôme ''X''<sub>1</sub>...''X<sub>n</sub>'', qui vaut ±1 selon la parité de ''n''. Enfin, si les racines sont notées dans l’ordre trigonométrique ξ<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1, ξ<sub>1</sub>, ξ<sub>2</sub>..., ξ''<sub>n</sub>'' on trouve que, ξ''<sub>j</sub>''•ξ''<sub>k</sub>''&nbsp;=&nbsp;ξ<sub>''j''+''k''</sub> si ''j''&nbsp;+&nbsp;''k''&nbsp;<&nbsp;''n'', et ξ<sub>''n''-''j''-''k''</sub> sinon.

La méthode de Vandermonde consiste à calculer des sommes partielles de racines, qui peuvent s’exprimer comme des images de fonctions rationnelles en des polynômes symétriques. Ceci permettrait de calculer ses sommes partielles, puis d’appliquer une nouvelle décomposition de chaque somme en sous-sommes et de calculer ces sous-sommes. En réitérant, il a l’espoir d’obtenir des sous-sommes composées chacune d’une unique racine et de conclure. Cette méthode lui permet de résoudre le cas où ''n'' est égal à 11, mais une méthode générique reste hors de portée. Il a toutefois résolu une équation du {{11e|degré}} qui n’avait aucune factorisation évidente autre que celle associé au terme (''X''&nbsp;-&nbsp;1)<ref>Cette lecture du traité de Vandermonde provient de : [[Jean Dieudonné|J. Dieudonné]], ''Abrégé d’histoire des mathématiques, 1700-1900'', Hermann, 1996 {{ISBN|2705660240}}.</ref>.

Pour résoudre l’équation cyclotomique de degré quelconque, il reste encore un problème combinatoire. Comment associer les racines pour en faire des sommes partielles, solutions d’équations de degrés moindres ? Problème que ne résout pas Vandermonde. L’article détaillé propose une résolution pour les degrés 5 et 17.

=== Synthèse de Lagrange ===
{{Article détaillé|Polynôme symétrique}}
[[Fichier:Joseph Louis Lagrange.jpg|thumb|upright|Lagrange remet sérieusement en doute la possibilité de résolution algébrique de l’équation, dans le cas général.]]
Dans son mémoire de 1771<ref group="H">[[Joseph-Louis Lagrange]], ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', Nouveaux mémoires de l’académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, 1771, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f206.chemindefer lire sur Gallica]</ref>, Lagrange réalise une synthèse de toutes les méthodes utilisées dans le passé pour résoudre l’équation algébrique de petit degré. À l’aide de cette synthèse, il développe une méthode, qui s’applique aux degrés 2, 3 et 4. Il montre de plus que cette méthode ne peut aboutir dans le cas général si le degré est plus élevé. Sa démarche, même si elle aboutit à un échec, est à beaucoup d’égards un véritable pas en avant.

Tout d’abord, la méthode est suffisamment générale pour que toutes les tentatives précédentes ne soient que des cas particuliers de la sienne. Il met ainsi un terme à l’époque des méthodes empiriques de Tschirnchaus ou Euler, nécessairement vouées à l’échec.

Il reprend l’idée de Vandermonde d’utiliser les fonctions symétriques ainsi que les relations entre les coefficients et les racines et montre l’importance des ''n''! [[permutation]]s des racines pour la résolution du cas général. Il établit à ce propos deux théorèmes préfigurant la théorie des groupes. Le premier est que les ''n''! permutations d’un ''n''-uplets ont comme image par une fonction de ''n'' variables un ensemble de cardinal un diviseur de ''n''!. Ce résultat est un ancêtre de ce que l’on appelle maintenant le [[théorème de Lagrange sur les groupes]]. Le deuxième concerne les fonctions qu’il qualifie de semblables et qui sont invariantes par le même sous-groupe de permutation. Ce résultat anticipe les théorèmes sur les suites de sous-groupes que l’on trouve dans la [[théorie de Galois]] ou dans le [[Théorème de Jordan-Hölder]].
La conclusion de Lagrange est pessimiste : {{Citation|d’où il s’ensuit que, si la résolution algébrique des équations de degrés supérieurs au quatrième n’est pas impossible, elle doit dépendre<ref>Extrait du texte précédemment cité. Il provient de l’analyse suivante : O. Gebuhrer, {{pdf}} ''[http://irem.u-strasbg.fr/php/articles/45_Gebuhrer.pdf Invitation à des réflexions sur la résolution algébrique des équations]'', IREM de Strasbourg</ref> [...]}} L’idée d’une impossibilité de résolution algébrique de l’équation est émise. Le chemin est tracé, soit pour trouver une méthode générale de résolution, soit pour montrer l’inexistence d’une telle méthode. La solution réside dans une analyse combinatoire des possibles permutations des racines. La conclusion est analogue à celle de Vandermonde pour le polynôme cyclotomique, mais cette fois, elle reste valable dans le cas général.

En parallèle des travaux de Vandermonde et de Lagrange, les développements de l’analyse ont fait perdre beaucoup d’intérêt au problème millénaire de la résolution d’une équation. À l’époque des mathématiques arabes, cette résolution était une méthode de calcul numérique essentielle. Al-Buruni souhaitait résoudre l’équation cubique pour calculer des sinus de tiers d’angle déjà connue<ref name="ReferenceA" group="ADD">{{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=94}}.</ref>. Dès l’aube du {{s-|XIX|e}}, l’analyse offre des méthodes beaucoup plus efficaces pour calculer des racines. Les résultats de Lagrange montrent qu’il faudra de plus, soit beaucoup de calculs, soit une grande idée, pour mettre un point final à cette question. De plus, elle risque fort de prendre la forme d’un constat d'échec, peu prometteur en termes de progrès des mathématiques. Cet environnement n’est pas favorable pour motiver des mathématiciens déjà renommés par ailleurs.

=== Progrès de Gauss ===
{{section à sourcer|date=juin 2016}}
{{Article détaillé|Arithmétique des polynômes}}
[[Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|upright|[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pousse plus loin les travaux engagés par [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]] sur les [[Polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]]. Il use pour cela d’une approche structurelle, qui préfigure l’avenir de l’[[algèbre commutative]].]]
Gauss ouvre le siècle suivant en apportant des éléments de réponses, sur les questions de Vandermonde et de Lagrange. Avancer dans la théorie des équations suppose le choix de « bonnes » fonctions rationnelles, invariantes par certaines permutations des racines. Lagrange l’a clairement montré et Vandermonde a émis l’hypothèse qu’elles devaient exister pour l’équation cyclotomique. Le nombre de permutations augmente rapidement en fonction du degré ''n'' du polynôme, il en existe factorielle ''n'', soit déjà 120 pour le degré 5. L’approche aléatoire imposerait une quantité de calcul rapidement rédhibitoire. Gauss tient compte de cet acquis et change radicalement les méthodes d’analyse.

Il ne s’attaque pas au problème général, mais uniquement à l’équation cyclotomique, qu’il appelle {{Citation|la théorie de la division du cercle<ref group="H" name="Gauss">[[Carl Friedrich Gauss]], ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', 1801 (page XV dans l’édition de 1807), traduite en français par [[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle|Poullet-Delisle]] et publié aux éditions Jacques Gabay en 1989 {{ISBN|2876470543}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29060d/f17.item lire sur Gallica]</ref>}}. Sa méthode préfigure la démarche-clé du {{s-|XIX|e}}, toujours en vigueur. {{référence nécessaire|Au lieu d’étudier directement le polynôme, il analyse la structure de l’ensemble des polynômes muni de son addition et de sa multiplication}}. Cette structure possède des points communs avec celle des entiers, il en conclut que cette branche des mathématiques {{Citation|n’appartient pas ''par elle-même'' à l’arithmétique, mais ses ''principes'' ne peuvent être puisés que dans l’arithmétique transcendante. Ce résultat pourra sembler aux géomètres aussi inattendu que les vérités nouvelles qui en dérivent<ref group="H" name="Gauss" />.}}. Par arithmétique transcendante, Gauss entend ce que l’on appelle maintenant la [[théorie algébrique des nombres]]. En termes contemporains, l’analogie provient du fait que si les coefficients sont choisis dans un [[corps commutatif]], l’[[polynôme formel|anneau des polynômes]] et celui des entiers sont tous les deux [[anneau euclidien|euclidiens]]. {{référence nécessaire|Il va considérer les ensembles de polynômes en choisissant les coefficients les plus divers.}} Le cas où ils sont entiers l’amène à démontrer un [[Lemme de Gauss (polynômes)|lemme qui porte son nom]], montrant le caractère [[anneau factoriel|factoriel]] de cette structure. Il utilise une de ses découvertes, l’[[arithmétique modulaire]] et travaille aussi sur des polynômes à coefficients sur les [[corps fini]]s. {{référence nécessaire|Cette démarche impose l’usage du [[polynôme formel]] au détriment de la [[fonction polynomiale]], remettant ainsi à l’honneur la conception de Viète du polynôme.}}

Pour « choisir » les bonnes permutations, Gauss remarque qu’elles sont liées à la structure du [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif des racines, ou plus exactement celui de ses [[automorphisme]]s. Dans le cas du polynôme cyclotomique, les racines sont les [[racine de l'unité|racines ''n''-ièmes de l’unité]] et elles forment un [[groupe commutatif]]. À la différence de Lagrange, il perçoit l’importance de la [[Loi de composition interne|loi]] du groupe, qui permet de combiner les différents éléments, alors que Lagrange se limitait à un simple dénombrement. Cette opération se traduit par des [[somme de Gauss|sommes de Gauss]], qui permettent de trouver les sommes partielles imaginées par Vandermonde. Il en profite pour résoudre une conjecture qu’avaient vainement tenté de démontrer Euler et [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]<ref>
{{Lien web
   |url=http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Recipro/node4.html
   |titre= Legendre, Gauss, Jacobi et les autres...
   |auteur= Cyril Banderier
   |date= {{date|23|juillet|1998}}
   |site= Laboratoire d'informatique de Paris-Nord (université Paris 13)
   |consulté le=25 avril 2009
}}
</ref> : la [[loi de réciprocité quadratique]].

Si Gauss fait progresser la théorie des équations, son objectif est néanmoins différent ; il met à jour une connexion inattendue entre la [[théorie des nombres]] et celle des équations.

=== Solution d'Abel ===
{{Article détaillé|Théorème d'Abel (algèbre)}}
[[Fichier:Niels Henrik Abel (detail).jpeg|thumb|upright|[[Niels Henrik Abel]] montre l’impossibilité de la résolution par radicaux de l’équation algébrique, dans le cas général, mettant fin à la quête millénaire et centrale de la théorie des équations. Son résultat est passé sous silence.]]
L’éventuelle impossibilité de la résolution par radicaux du cas général fait son chemin. [[Paolo Ruffini (mathématicien)|Paolo Ruffini]] publie quatre mémoires à ce sujet, en [[1799]], [[1804]]<ref group="H">[[Paolo Ruffini (mathématicien)|P. Ruffini]], ''La théorie générale des équations dans laquelle il est démontré qu’il est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4'', 1799, et ''Sur la détermination des racines d’équations numériques de degré quelconque'', 1804.</ref> puis en [[1808]] et [[1813]]<ref>J. J. O'Connor E. F. Robertson, ''[http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Ruffini.html Paolo Ruffini]'', par le site de l'université de St Andrew.</ref>. Pour la première fois, est déclarée clairement cette impossibilité. Sa tentative pour le montrer suit la démarche de Lagrange et consiste à montrer que l’usage d’une équation auxiliaire ne permet pas, pour le degré 5, d’abaisser systématiquement le degré de l’équation initiale. Il établit que, si une fonction symétrique de cinq variables prend strictement moins de cinq valeurs par permutations des variables<ref>Nicolas Bourbaki, ''Éléments d'histoire des mathématiques'', Springer-Verlag, (réédition 2006) {{ISBN|3540339388}}, {{p.}}104.</ref>, alors elle n’en prend pas plus de 2. En conséquence, si la méthode de Tschirnhaus fonctionnait, elle réduirait une équation du cinquième degré à une équation du deuxième degré, ce qui n’est pas possible dans le cas général. Cette approche est lacunaire<ref>Nicolas Bourbaki, ''Éléments d'histoire des mathématiques'', Springer-Verlag, (réédition 2006) {{ISBN|3540339388}}, {{p.}}103.</ref>. Rien n’indique qu’une approche radicalement différente de celles décrites par Lagrange ne pourrait aboutir<ref group="H">Lagrange précise : {{Citation|Si les équations de degré supérieur au quatrième n'est pas impossible, elle doit dépendre de quelque fonctions racine, différentes de la précédente.}} [[Joseph-Louis Lagrange|J-L Lagrange]], ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d.zoom.f358 Réflexions sur la résolution algébrique des équations]'', Nouveaux mémoires de l’académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, 1771, {{p.}}357.</ref>.

Pour conclure de manière définitive, il fallait raisonner différemment que ne l’avaient fait Lagrange ou Ruffini. [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]] l’exprime ainsi : {{Citation|[...] on se proposait de résoudre les équations sans savoir si cela était possible. Dans ce cas, on pouvait bien parvenir à la résolution, quoique ce ne fût nullement certain [...] Au lieu de demander une relation dont on ne sait pas si elle existe ou non, il faut se demander si une telle relation est en effet possible<ref group="ADD">Cette citation d’Abel est reprise de {{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=118}}.</ref>.}} En [[1826 en science|1826]], Abel part du résultat et suppose qu’il existe une formule, fonction rationnelle de radicaux, qui donne la solution d’une équation de degré 5. Il sait qu’elle est à même d’exprimer 5 racines différentes et qu’en conséquence, elle possède un comportement précis vis-à-vis des permutations des variables, déjà étudiées par Vandermonde, Lagrange puis [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref group="ADD">Cauchy avait généralisé le résultat de Ruffini au cas de ''n'' variables en [[1815 en science|1815]], {{harvsp|Dahan-Dalmedico|Peiffer|id=DahanPeiffer|p=118}}.</ref>. Il démontre que ce comportement introduit une absurdité<ref group="H">[[Niels Henrik Abel|N. Abel]], « Démonstration de l’impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré », ''[[Journal de Crelle]]'', {{nobr|tome I}}, {{p.}}65.</ref>.

Ce résultat reste à ce moment fort peu connu. Son article, pourtant envoyé à Gauss, Legendre et Cauchy n’intéresse personne. Gauss, qu’Abel souhaite rencontrer dans sa ville de Göttingen, ne le reçoit pas<ref>J. J. O'Connor E. F. Robertson, ''[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Abel.html Niels Henrik Abel]'', université de St Andrew.</ref>. D’un point de vue théorique, le résultat d’Abel apparaît tout d’abord comme la mort de la ''théorie des équations'', du moins sous sa forme classique, et l’intérêt de s’investir dans une branche condamnée semble limité. Et puis, à quoi bon souhaiter exprimer les racines sous forme de radicaux ? En termes algébriques, comme le fait remarquer Gauss, il est plus simple de noter les racines ''x''<sub>1</sub>..., ''x''<sub>n</sub> et l’expression sous forme de radicaux est un peu désuète. En termes de calcul numérique, cette méthode est lourde, comparée à ce que permet l’analyse. Il suffit, pour s’en rendre compte, de regarder l’expression de la partie réelle d’une des racines de l’équation ''X''<sup>&nbsp;17</sup>&nbsp;–&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0, trouvée par Gauss :

<center><math> \mathfrak {Reel}\, x_1 = \frac{1}{16}\left(-1 + \sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}} +\sqrt{68 +12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{578-34\sqrt{17}}}\right)</math>.</center>

Abel ne trouve une première notoriété que posthume, avec son travail sur les [[intégrale elliptique|intégrales elliptiques]], et non avec son travail sur la théorie des équations<ref>Sur les travaux d’Abel, on peut consulter le site, extrait du livre : B. Hauchecorne, D. Surateau, {{pdf}} ''[http://www.editions-ellipses.fr/PDF/4164_Extrait.pdf Des mathématiciens de A à Z]'', Ellipses, Paris, 1996 {{ISBN|2729846832}}.</ref>.

== Les théories de Galois ==
=== Œuvre de Galois ===
{{Article détaillé|Théorie de Galois}}
[[Évariste Galois]] naît en [[1811]], soit huit ans après Abel. Il n’a que 14 ans lors de la publication du théorème de son prédécesseur. Quand il trouve une nouvelle démonstration, il n’est probablement pas au courant de l’article d’Abel<ref>C'est ce qu'affirme la source : {{en}} P. Pesic, ''Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability'', MIT Press, 2004 {{ISBN|0262661829}}, {{p.}}105.</ref>. De façon certaine, sa démarche est différente. Elle entre plus dans la tradition de Gauss que dans celle de Lagrange ou de Cauchy. Il s’intéresse aux permutations qui laissent invariants tous polynômes en plusieurs indéterminées, appliquées aux racines, tout comme Lagrange, Cauchy ou Abel. Cependant, à l’image de Gauss, il concentre ses efforts sur l’étude de la loi de composition, il précise : {{Citation|dans le groupe de permutations dont il s’agit ici, la disposition des lettres n’est point à considérer, mais seulement les substitutions de lettres par lesquelles on passe d’une permutation à l’autre}}<ref group="H">Extrait de [[Évariste Galois]], ''Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques'', Journal de Liouville, 1846.</ref>. {{référence nécessaire|Il donne le nom de ''groupe formel'' à cette structure, qu’il considère comme ''incarnée'' par des permutations, mais qui possède aussi une existence abstraite}}. À la différence de Gauss, il n’étudie pas le cas particulier de l’équation cyclotomique, dont le groupe est très simple, car [[groupe cyclique|cyclique]], mais le cas général.

À l’aide de cet outil maintenant appelé [[groupe de Galois]], le mathématicien établit trois résultats, le [[théorème de l'élément primitif]], le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] et une nouvelle mouture du théorème d’Abel, plus profonde que la précédente puisqu’il donne une condition nécessaire et suffisante de résolubilité. G. Verriest décrit les travaux du mathématicien dans les termes suivants : {{Citation|[...] le trait de génie de Galois c’est d’avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l’étude de la nature du groupe de l’équation. Ce groupe [...] exprime le degré d’indiscernabilité des racines [...]. Ce n’est donc plus le degré d’une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c’est la nature de son groupe<ref>G. Verriest, ''Œuvres Mathématiques d’Évariste Galois'', Gauthier-Villars, Paris, 1951.</ref>.}} Un peu à l’image des réflexions de Lagrange, ces trois théorèmes font le tour complet de la théorie des équations. Mais en plus d’englober les méthodes passées, Galois donne aussi une vision qui permet de comprendre la nature de toute équation algébrique, résoluble ou non.

L’accueil qu’il reçoit est encore plus glacial que celui d’Abel. Cette fois-ci, {{référence souhaitée|Cauchy ''n’oublie'' pas l’article que lui envoie Galois, mais le ''perd'' carrément}}. Un nouvel envoi de ses travaux sur les équations elliptiques provoque le commentaire suivant : {{Citation|le raisonnement n’en est pas assez clair, ni assez développé pour lui permettre d’en juger la rigueur<ref>
{{Lien web
   |url=http://www.math93.com/galois.htm
   |titre=Évariste Galois
   |date= 1999
   |auteur=Franck Duffaud
   |site= Math93 : Une histoire des mathématiques
   |consulté le= 25 avril 2009
}}
</ref>.}}

=== Naissance de l'algèbre moderne ===
[[Fichier:Camille Jordan 3.jpg|thumb|upright|Pour [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]], le premier à utiliser l’expression ''théorie de Galois'', les travaux de cet inventeur portent sur l’analyse des groupes et des applications linéaires, pris sous l’angle structurel.]]
On utilise souvent les expressions d'« inventeur » ou de « père » de l’algèbre moderne pour désigner Galois<ref>On trouve une expression de cette nature dans le très officiel site : Ambassade de France, « [http://www.ambafrance-vn.org/article.php3?id_article=1505 Lancement du programme de bourses « Evariste Galois »] », Ambassade de France au Viêt Nam.</ref>. [[Alain Connes]], un spécialiste du domaine, précise : {{Citation|Galois, à l’âge de 19 ans, a déjà à son actif des résultats mathématiques d’une portée incomparable qui sont l’acte de naissance des mathématiques contemporaines}}<ref name="Connes">[[Alain Connes|A. Connes]], ''[http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf La pensée d’Évariste Galois et le formalisme moderne]''</ref>. Pour comprendre la raison d’être d’un tel propos, il est utile de regarder ce qu’est l’algèbre du milieu de {{s-|XIX|e}}. En [[1854]], [[Joseph-Alfred Serret|Serret]] publie un livre ''Cours d’Algèbre supérieur'' qu’il définit comme {{Citation|l’Algèbre est, à proprement parler, l’analyse des équations, les diverses théories partielles qu’elle comprend se rattachent toutes, plus ou moins, à cet objet principal<ref group="H">[[Joseph-Alfred Serret|J. A. Serret]], ''[https://books.google.fr/books?hl=fr&id=A_U3AAAAMAAJ&dq=Alg%C3%A8bre+Serret&printsec=frontcover&source=web&ots=7K2jyavXa8&sig=i6X3xnx1KP7uaPetaBQhfpD5GRs&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA1,M1 Cours d’Algèbre supérieur]'', deuxième édition, 1854, {{p.}}1.</ref>.}} Cette vision, que confirmait déjà Al-Khayyam dans son grand traité écrit au {{XIe siècle}}<ref name="ReferenceA" group="ADD"/>, était dès l’époque de Gauss puis de Galois, déjà devenue obsolète.

Depuis Al-Khawarizmi et jusqu’à la fin du {{XVIIIe siècle}}, la théorie des équations est une théorie de formules. Les maîtres arabes, tout autant que ceux de la Renaissance italienne, procèdent de cette logique pour résoudre les équations de bas degrés, ou quant à l’aide d’un discriminant, ils établissent l’existence de racines multiples. Le langage de Viète, ne sert finalement qu’à mieux les exprimer, ce qui permet de trouver d’autres formules comme les relations entre coefficients et racines. Lagrange entre dans cette tradition dans ses ''réflexions'', même si finalement il en établit le caractère aléatoire et aventureux pour les degrés plus élevés.

La logique de Galois est en rupture par rapport à cet héritage millénaire. [[Joseph Liouville|Liouville]], qui la redécouvre 11 ans après la mort de son auteur, la présente à l’Académie des sciences avec les propos suivants : {{citation|Cette méthode, vraiment digne de l’attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d’inventeur<ref group="H">[[Joseph Liouville|J. Liouville]], « Œuvres Mathématiques d’Évariste Galois Suivie d’un avertissement de Liouville », ''Journal des Mathématiques pures et appliquées'', {{vol}}XI, [[1846 en science|1846]].</ref>.}} Ce sont, avant tout, des structures que Galois met en évidence. La première, déjà citée, est celle de groupe. La redécouverte des idées de Galois la met en première ligne : Cauchy ne publie pas moins de vingt-cinq articles sur cette question après la présentation de Liouville, dont un porte [[théorème de Cauchy (groupes)|encore son nom]]<ref group="H">[[Augustin Louis Cauchy]], ''Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d’une manière quelconque'', [[1845 en science|1845]].</ref>. En [[1870 en science|1870]], [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] publie un livre présentant les travaux de Galois essentiellement comme une théorie sur les groupes<ref group="H">[[Marie Ennemond Camille Jordan|C. Jordan]], ''Traité des substitutions et des équations algébriques'', [[1870 en science|1870]].</ref>. Un autre aspect n’est pas passé sous silence. Chez Galois, les éléments du groupe sont aussi des ''symétries''<ref group="Note">Le terme de ''symétrie'' est à prendre ici au sens d’automorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.</ref> d’un espace géométrique. Cet angle d’analyse, que l’on considère maintenant comme de l’[[algèbre linéaire]] est l’une des idées fondatrices développées dans le livre de Jordan. Ces aspects structurels, à travers l’analyse des diviseurs de la dimension d’un [[espace vectoriel]], est la manière la plus simple de démontrer des conjectures plusieurs fois millénaires, à savoir la [[trisection de l’angle]] ou la [[duplication du cube]]. Le titre du livre de Jordan ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' est à cet égard évocateur : {{référence nécessaire|le terme de ''substitution'' est, en effet, celui utilisé à l’époque pour désigner une ''application linéaire''}}. {{référence nécessaire|Plus tard, à la fin du {{s-|XIX|e}}, à la suite des travaux de [[Richard Dedekind|Dedekind]] et [[Leopold Kronecker|Kronecker]], [[Heinrich Weber (mathématicien)|Weber]] identifie la théorie de Galois à celle des corps commutatifs}}<ref group="H">[[Heinrich Weber (mathématicien)|Heinrich Weber]], ''Théorie de Galois'', [[1893 en science|1893]].</ref>.

La logique structurelle inventée par Galois est à l'origine d'une profonde mutation, elle ne touche pas uniquement le périmètre de la ''théorie des équations'' qui devient l'algèbre au sens contemporain du terme, mais toute la mathématique<ref>[[André Lichnerowicz]] utilise les termes suivants, pour décrire la ''mutation dont Galois peut être pris comme un symbole'' : {{Citation|Au lieu de subir les structures et de les reconnaître un peu au hasard, la mathématique s'efforcera de les dominer}} : ''[http://www.sofrphilo.fr/telecharger.php?id=66 L'activité mathématique et son rôle dans notre conception du monde]'', Séance du 27 février 1965 au Collège de France.</ref>.

== Annexes ==
===Articles connexes===
*[[Chronologie de l'algèbre]]
*[[Équation quintique]]
=== Bibliographie ===
* {{DahanPeiffer}}
{{Commentaire biblio|Le plan et le contenu général de l'article sont issus en majeure partie de cette référence. Chaque paragraphe est enrichi par des références plus spécialisées.}}
* R. Rashed, ''Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes'', Les Belles lettres, Paris, 1984.
{{Commentaire biblio|Les paragraphes ''Algèbre arabe'' et ''La géométrie au service de l'algèbre'' sont essentiellement issus de cette référence.}}
* P. Freguglia, « Sur la théorie des équations algébriques entre le {{s2-|XVI|e|XVII|e}} », ''Bollettino di storia delle scienze matematiche'', {{vol}}14, {{n°}}2, 1994, {{p.}}259-298.
{{Commentaire biblio|Cette référence complète le livre ''Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales'' pour les paragraphes ''Appropriation européenne'' et ''Viète, Fermat et Descartes''.}}
* {{Bourbaki}}
{{Commentaire biblio|Seuls trois chapitres ont été consultés. Ils sont utilisés pour la rédaction des paragraphes : ''L'évolution de l'algèbre'', ''Calcul infinitésimal'' et ''Polynômes et corps commutatifs''. Leur lecture a influencé les paragraphes ''Viète, Fermat et Descartes'' et ''Calcul infinitésimal''.}}
* D. Flament, ''Histoire des nombres complexes - Entre algèbre et géométrie'', CNRS éditions, 2003 {{ISBN|2271061288}}.
{{Commentaire biblio|Cette référence couvre une période allant du {{sp-|XIII|au|XIX}}. Elle n'a été consultée que pour la période couverte par le paragraphe « Imaginaires et nombres complexes ».}}
* B. Fine, G. Rosenberger, ''The fundamental theorem of algebra'', Springer, 1997 {{ISBN|0387946578}}.
{{Commentaire biblio|Cette référence est celle qui couvre le paragraphe ''Théorème fondamental de l'algèbre''.}}
* {{Dieudonné (dir.)}}
{{Commentaire biblio|Seuls les chapitres ''L'analyse mathématique au {{s-|XVIII|e}}'', ''L'algèbre et la géométrie jusqu'en 1840'' et ''L'algèbre depuis 1840'' ont été consultés. Cette référence est la source complémentaire sur la dernière partie de l'histoire, commençant à partir du paragraphe ''Vandermonde et le polynôme cyclotomique''.}}

=== Liens externes ===
* H. Bellosta, « [http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/1999/82/smf_gazette_82_37-44.pdf À propos de l’histoire des sciences arabes] », ''SMF Gazette'', {{n°}}82, 1999.
* S. Maronne, ''[http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/site_math_universite/CD-UE/Texte_09.doc Trois jalons dans l’histoire de la théorie des équations algébriques d’al-Khawarizmi à Descartes]'', IURM d’Auvergne.
* {{pdf}} A. Gloden, [http://158.64.59.222/snl/bulletin/SNL_1953_057_030_033.pdf Paragraphe : « Théorie des équations,  » du texte intitulé : ''Viète père de l’algèbre moderne''] de l’Université de Bruxelles.
* {{en}} J. J. O'Connor, E. F. Robertson, ''[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html#41 The fundamental theorem of algebra]'' par le site historique de l’Université de St Andrew.
* O. Gebuhrer, ''[http://irem.u-strasbg.fr/php/articles/45_Gebuhrer.pdf Invitation à des réflexions sur la résolution algébrique des équations]'', IREM de Strasbourg.
* C. Ehrhardt, ''[http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux#Ref_3 Le mémoire d’Évariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux]'', Bibnum : textes fondateurs de la science analysés par les scientifiques d'aujourd'hui.
* [[Alain Connes|A. Connes]], ''[http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf La pensée d’Évariste Galois et le formalisme moderne]''.

=== Notes ===
{{Références|groupe=Note}}

=== Références ===
{{Références|groupe=ADD|taille=30}}
{{Références|taille=30}}

=== Sources historiques ===
{{Références|groupe="H"}}

{{Portail|mathématiques|histoire des sciences}}
{{Article de qualité|oldid=49108344|date=29 janvier 2010}}

[[Catégorie:Équation polynomiale|*]]