Voir la source de Théorie des catégories

{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la théorie des [[Charles Sanders Peirce#Théorie des catégories|catégories de Charles Peirce]].}}
[[File:Baby Category 2.svg|thumb|Une catégorie très simple, constituée de deux objets '''a''' et '''b''' et (outre les identités de ces deux objets) d'une flèche, de '''a''' vers '''b'''.]]
La '''théorie des catégories''' est l'étude des [[Structure (mathématiques)|structures mathématiques]] et de leurs relations. Ce domaine rend compte de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses [[Classe (mathématiques)|classes]] liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans plusieurs branches des mathématiques et dans certains secteurs de l'[[informatique théorique]] et de la [[physique théorique]]. Elles forment une notion unificatrice. {{Citation|La théorie des catégories commence avec l'observation que de nombreuses propriétés des systèmes mathématiques peuvent être unifiées et simplifiées par des dessins avec des flèches<ref>{{MacLane1}}</ref>.}}

== Histoire ==
Cette théorie a été mise en place par [[Samuel Eilenberg]] et [[Saunders Mac Lane]] en 1942-1945, en lien avec la [[topologie algébrique]], et propagée dans les années 1960-1970 en France par [[Alexandre Grothendieck]], qui en a fait une étude systématique. À la suite des travaux de [[William Lawvere]], la théorie des catégories est utilisée depuis [[1969]] pour définir la [[logique]] et la [[théorie des ensembles]] ; la théorie des catégories peut donc, comme la théorie des ensembles ou la [[théorie des types]], avec laquelle elle a des similarités, être considérée comme [[fondements des mathématiques|fondement des mathématiques]]<ref> [[Henri Cartan]], dans le film ''Une vie de mathématicien'' qui lui est consacré, confie que [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] aurait probablement commencé [[Éléments de mathématique|ses ''Éléments'']] par les catégories si elles étaient apparues plus tôt.</ref>.

== Éléments de base ==

=== Morphismes ===
{{Article détaillé|Morphisme}}
Voici un exemple. La [[Classe (mathématiques)|classe]] '''Grp''' des [[Groupe (mathématiques)|groupes]] comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, '''Grp''' comprend tous les [[ensemble]]s ''G'' munis d'une [[Loi de composition interne|opération interne]] qui satisfait les [[axiome]]s d'[[associativité]], [[Inversible|inversibilité]] et de l'[[élément neutre]]. Des [[théorème]]s peuvent ainsi être [[Preuve (mathématiques)|prouvés]] en effectuant des déductions logiques à partir de ces axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l'[[élément neutre]] d'un groupe est unique.

Au lieu d'étudier les objets (par exemple les groupes) qui possèdent une structure donnée, comme les théories mathématiques l'ont toujours fait, la théorie des catégories met l'accent sur les [[morphisme]]s et les ''processus qui préservent la structure'' entre deux objets. Il apparaît qu'en étudiant ces morphismes, l'on est capable d'en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les [[morphisme de groupes|morphismes de groupes]], à savoir toute application <math>f</math> d'un groupe <math>(G, \bullet)</math> dans un groupe <math>(G', \star)</math> vérifiant : <math>\forall x,y \in G, f(x \bullet y) = f(x) \star f(y)</math>. L'étude des morphismes de groupes fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes.

Il en est de même dans de nombreuses théories mathématiques, où l'on peut définir une classe d'objets ainsi que des applications particulières entre ces objets vérifiant certaines propriétés. Un autre exemple de catégorie est donnée par la classe des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]], les morphismes étant les [[application linéaire|applications linéaires]]. Un dernier exemple est donné par la classe des [[espace topologique|espaces topologiques]], les morphismes étant les [[Continuité (mathématiques)|applications continues]]. Ainsi, une catégorie est une formulation ''axiomatique'' qui relie des structures mathématiques aux fonctions qui les préservent. Une étude systématique des catégories permet de prouver des résultats généraux à partir des axiomes d'une catégorie.

=== Foncteurs ===
{{Article détaillé|Foncteur}}
Une catégorie est elle-même un type de structure mathématique. Si l'on dispose de deux catégories <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>, il est parfois possible de définir une correspondance entre la première catégorie et la deuxième, associant à chaque objet (respectivement chaque morphisme) de la première catégorie un objet (respectivement un morphisme) de la deuxième, tout en préservant la structure de catégorie. De telles correspondances sont appelées [[foncteur]]s.

Si l'on se restreint aux petites catégories (c'est-à-dire aux catégories dont les classes d'objets et de morphismes sont des ensembles), on définit ainsi la [[catégorie des petites catégories]] '''Cat''' : ses objets sont les petites catégories, et ses morphismes sont les foncteurs.

Cette idée fondamentale de relier une classe d'objets à une autre apparut d'abord en [[topologie algébrique]] : certains problèmes topologiques complexes peuvent être traduits en questions algébriques, qui sont souvent plus faciles à résoudre. Ainsi, on peut définir un foncteur de la [[catégorie des espaces topologiques]] dans la [[catégorie des groupes]], qui, à un espace topologique, associe son [[groupe fondamental]]. Toute propriété topologique de la première catégorie pourra se traduire par une propriété algébrique dans la deuxième catégorie et inversement.

=== Transformations naturelles ===
{{Voir | transformation naturelle}}
Par un nouvel effort d'[[Abstraction (philosophie)|abstraction]], les foncteurs sont souvent « reliés naturellement ». C'est pourquoi l'on définit le concept de [[transformation naturelle]], qui est une manière d'envoyer un foncteur sur un foncteur. Alors que le foncteur est un morphisme de catégories, la transformation naturelle est un morphisme de foncteurs (i.e. un morphisme dans une [[catégorie de foncteurs]]). On peut ainsi étudier de nombreuses constructions mathématiques. La « naturalité » est un principe plus profond qu'il n'en a l'air au premier regard. [[Saunders Mac Lane]], coinventeur de la théorie des catégories, a ainsi déclaré : {{Citation|je n'ai pas inventé les catégories pour étudier les foncteurs ; je les ai inventées pour étudier les transformations naturelles}}.

Par exemple, il existe un [[isomorphisme]] entre un [[espace vectoriel]] de dimension finie et son [[espace dual]], mais cet isomorphisme n'est pas « naturel », dans le sens où sa définition requiert d'avoir choisi une [[Base (algèbre linéaire)|base]], dont elle dépend étroitement. En revanche, il existe un isomorphisme naturel entre un [[espace vectoriel de dimension finie]] et son [[espace bidual]] (le dual de son dual), c'est-à-dire en l'occurrence indépendant de la base choisie. Cet exemple est, historiquement, le premier formulé dans l'article fondateur de [[Samuel Eilenberg]] et [[Saunders Mac Lane]] en 1945.

Autre exemple : il existe plusieurs manières de relier par divers foncteurs les [[espace topologique|espaces topologiques]] à la [[théorie des groupes]] : [[Homologie et cohomologie|homologie, cohomologie]], [[homotopie]]… L'étude des transformations naturelles permet d'examiner comment ces foncteurs sont eux-mêmes reliés les uns aux autres.

== Définitions ==
[[Image:Morphism-Composition-with-name.svg|vignette|upright=1.5|Composition des morphismes.]]
[[Image:Associatividadecat.svg|vignette|upright=0.8|Associativité de la composition[f(gh)=(fg)h]]]

=== Catégorie ===
Une catégorie <math>\mathcal C</math>, dans le langage de la [[Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel|théorie des classes]], est la donnée de six éléments<ref>[[Richard Ewen Borcherds]] consacre une video "Categories pour le mathématicien oisif" à exposer ces axiomes</ref> :

* une classe <math>\mathrm{ob}(\mathcal C)</math> dont les éléments sont appelés ''objets'' (les objets de la catégorie) ;
* une classe <math>\mathrm{mor}(\mathcal C)</math> dont les éléments sont appelés ''morphismes'' ou ''flèches'' (les morphismes ou les flèches de la catégorie) ;
* deux « [[Application (mathématiques)|applications]] » de <math>\mathrm{mor}(\mathcal C)</math> dans <math>\mathrm{ob}(\mathcal C)</math> (au sens de la théorie des classes, c'est-à-dire que leurs « [[Graphe d'une fonction|graphes]] » peuvent être des [[Classe (mathématiques)|classes propres]]), appelées source et but ; {{nobr|''f'' : ''A'' → ''B''}} signifie que ''f'' est un morphisme « de ''A'' dans ''B'' » (c'est-à-dire de source ''A'' et de but ''B'') et la classe de tous ces morphismes ''f'' est notée <math>\mathrm{Hom}(A,B )</math> ;
* un morphisme <math>\mathrm{id}_A: A \rightarrow A</math>, pour chaque objet <math>A</math>, appelé ''identité de <math>A</math>'' ou ''flèche unité'' ou ''flèche neutre''<ref name=":1" />;
* une composition <math>\circ</math> qui, à tout couple de morphismes <math>f:A\rightarrow B</math> et <math>g:B \rightarrow C</math>, associe un morphisme <math>g\circ f:A\rightarrow C</math> appelé ''composée de <math>f</math> et <math>g</math>'', et telle que :
** la composition est associative : pour tous morphismes <math>f:A\to B</math>, <math>g:B\to C</math> et <math>h:C\to D</math>,{{Retrait|<math>(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)</math> ;}}
** les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme <math>f:A\rightarrow B</math>,{{Retrait|<math>\mathrm{id}_B\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{A}</math>.}}

Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets ; nous suivrons ici cette convention.

Certains auteurs comme D. E. Rydeheard et Burstall<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=D.E Rydehear, Burstall|titre=Computational category theory|éditeur=Prentice hall|année=1988|passage=Chapter 3, Section 3.1, Definition 2|isbn=}}</ref> définissent une catégorie comme un [[graphe orienté]] (plus précisément un multigraphe). Les sommets du graphe sont les objets, et les flèches sont les morphismes. De même, il arrive parfois que l'on oublie complètement les objets d'une catégorie et que l'on ne s'intéresse plus qu'aux flèches, en identifiant les objets à leurs flèches identités.

=== Quelques propriétés ===
Une catégorie <math>\mathcal C</math> est dite '''localement petite''' si, pour tous objets A, B de <math>\mathcal C</math>, la classe des morphismes de A dans B, i.e. <math>\mathrm{Hom}\big(A,B \big)</math> est un ensemble. Une catégorie <math>\mathcal C</math> est '''petite''' si la classe de tous les morphismes de <math>\mathcal C</math>, i.e. <math>\mathrm{mor}(\mathcal C)</math>, est un ensemble<ref>{{Cf|maj}} par exemple {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Roy L.|nom1=Crole|titre=Categories for Types|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1993|pages totales=335|passage=61|isbn=978-0-521-45701-9|lire en ligne={{Google Livres|mHptq6sqJRIC|page=61}}}}. Signalons que {{Harvsp|Mac Lane}} appelle « métacatégorie » ce qui est appelé ici « catégorie », qu'il nomme « catégorie » ce qu'on appelle couramment « petite catégorie », et qu'il réserve le nom de « petite catégorie » à une notion encore plus restrictive.</ref>. La plupart des catégories usuelles — {{cf.}} exemples ci-dessous — sont seulement localement petites.

Une '''sous-catégorie''' de <math>\mathcal C</math> est une catégorie dont les objets sont des objets de <math>\mathcal C</math> et dont les flèches sont des flèches (mais pas nécessairement toutes les flèches) de <math>\mathcal C</math> entre deux objets de la sous-catégorie. Lorsqu'une sous-catégorie <math>\mathcal S</math> de <math>\mathcal C</math> est telle que toutes les flèches de <math>\mathcal C</math> entre deux objets de <math>\mathcal S</math> sont des flèches de <math>\mathcal S</math>, cette sous-catégorie est dite '''pleine'''. Par exemple, [[Catégorie des groupes abéliens|Ab]] est une sous-catégorie pleine de [[Catégorie des groupes|Gr]]. La catégorie de tous les [[Espace métrique|espaces métriques]] avec les [[isométrie]]s n'est pas une sous-catégorie pleine de [[Catégorie des espaces topologiques|Top]] mais celle des [[Espace séparé|espaces séparés]] en est une<ref>{{Ouvrage|lang=en|prénom1=Jan R.|nom1=Strooker|titre=Introduction to Categories, Homological Algebra and Sheaf Cohomology|passage=4|lieu=Cambridge|éditeur=[[Cambridge University Press]]|date=1978|isbn=978-0-521-21699-9|oclc=3168073}}.</ref>.

=== Catégorie duale ===
{{Voir|contenu=Article détaillé : [[Catégorie opposée]], et [[Dualité (théorie des catégories)]].}}
Étant donné une catégorie <math style="inline">\mathcal C</math>, on définit la catégorie '''opposée''' ou '''duale''', en prenant les mêmes objets et les mêmes flèches, mais en inversant les fonctions source et but et en remplaçant la composition par son "symétrique". On la note <math style="inline">\mathcal C^{\rm op}</math> (ou <math style="inline">\mathcal C^{\rm o}</math>). Plus précisément : {{math|Hom}}{{ind|''C''{{exp|{{math|op}}}}}}(''A'', ''B'') = {{math|Hom}}{{ind|''C''}}(''B'', ''A''), et la composition opposée de deux flèches est le "symétrique" de leur composition : ''f''∘{{exp|{{math|op}}}}''g = g''∘''f''. Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : <math style="inline">(\mathcal C^{\rm op})^{\rm op} = \mathcal C</math>. Cette dualisation permet de symétriser la plupart des énoncés.

== Exemples ==
Intuitivement, les objets d'une catégorie sont souvent des ensembles avec une structure, et les flèches sont souvent des applications entre les ensembles qui en préservent la structure. La table suivante donne des exemples de catégories qui illustrent cette intuition<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Benjamin C. Pierce|titre=Basic category theory for computer scientist|sous-titre=Fondations of computation series|éditeur=[[MIT Press|The MIT Press]]|année=1991|passage=p. 5|isbn=}}</ref>.
{| class="wikitable"
|+
!Catégorie
!Objets
!Flèches
|-
|[[Catégorie des ensembles|catégorie {{math|Ens}} ou {{math|Set}}]]
|[[ensemble]]s
|[[fonction et application|applications]]
|-
|[[Catégorie des espaces topologiques|catégorie {{math|Top}}]]
|[[espace topologique|espaces topologiques]]
|applications continues
|-
|catégorie {{math|Met}}
|[[espace métrique|espaces métriques]]
|applications uniformément continues
|-
|[[Catégorie des monoïdes|catégorie {{math|Mon}}]]
|[[monoïde]]s
|morphismes de monoïdes
|-
|[[Catégorie des groupes|catégorie {{math|Grp}}]]
|[[groupe (mathématiques)|groupes]]
|morphismes de groupes
|-
|[[Catégorie des groupes abéliens|catégorie {{math|Ab}}]]
|[[groupe (mathématiques)|groupes abéliens]]
|morphismes de groupes
|-
|catégorie {{math|ACU}}
|[[anneau commutatif|anneaux commutatifs unitaires]]
|morphismes d'anneaux
|-
|catégorie {{math|Ord}}
|[[Ensemble ordonné|ensembles ordonnés]]
|applications croissantes
|}
On définit également la catégorie des [[Module sur un anneau|modules à gauche sur un anneau]], la catégorie des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels sur un corps donné]], la catégorie des [[Espace mesurable|ensembles munis d'une tribu]], la catégorie des [[Espace mesuré|espaces mesurés]]<ref name=":1">{{Ouvrage|auteur1=[[Georges Poitou]]|auteur2=Paul Jaffard|titre=Introduction aux catégories et aux problèmes universels|passage=4|lieu=Paris|éditeur=Ediscience|date=1971}}.</ref>, etc.

Les exemples de la table sont des [[catégorie concrète|'''catégories concrètes''']], c'est-à-dire des catégories munies d'un [[foncteur#Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles|foncteur fidèle]] vers la catégorie des ensembles (dans les cas présents, il s'agit du [[foncteur d'oubli]], qui fait abstraction des structures considérées pour ne retenir que leur ensemble de base ; par exemple, appliquer le foncteur d'oubli au groupe (ℤ, +) donne l'ensemble ℤ). Toute petite catégorie est concrète, comme les deux suivantes :
* On se donne un [[monoïde]] ''M'', et on définit la catégorie associée ainsi :
** objets : un seul
** flèches : les éléments du monoïde, elles partent toute de l'unique objet pour y revenir ;
** composition : donnée par la loi du monoïde (l'identité est donc la flèche associée au neutre de ''M'').
* On se donne un [[ensemble]] ''E ''muni d'une [[relation binaire|relation réflexive et transitive]] ''R ''(autrement dit, ''R ''est une relation de [[préordre]]) et on définit la catégorie associée, notée <math>\bar{E}</math><ref name=":1" />, ainsi :
** objets : les éléments de l'ensemble ;
** flèches : pour tous objets ''e ''et ''f'', il existe une flèche de ''e ''vers ''f ''si et seulement si ''eRf ''(et pas de flèche sinon) ;
** composition : la composée de deux flèches est la seule flèche qui réunit les deux extrémités (la relation est transitive) ; l'identité est la seule flèche qui relie un objet à lui-même (la relation est réflexive).
:Cet exemple est particulièrement intéressant dans le cas suivant : l'ensemble est l'ensemble des ouverts d'un [[espace topologique]], et la relation est l'inclusion ; cela permet de définir les notions de [[Faisceau (mathématiques)#Préfaisceaux|préfaisceau]] et de [[Faisceau (mathématiques)#Faisceaux|faisceau]], via les [[foncteur]]s.
:Il permet aussi de considérer tout ensemble ordonné comme une catégorie, et tout [[Limite inductive#Système inductif|système inductif]] (resp. [[Limite projective|projectif]]) comme un foncteur covariant (resp. contravariant) sur cette catégorie.
* Un exemple de catégorie non concrète : la {{Lien|langue=en|trad=Homotopy category|fr=catégorie homotopique}} '''hTop''', dont les objets sont les [[Espace topologique|espaces topologiques]] et dont les morphismes sont les classes d'[[homotopie]] d'[[Continuité (mathématiques)|applications continues]].

* Étant donné deux catégories <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>, on peut définir la catégorie produit <math>\mathcal C \times \mathcal D</math> de la façon suivante : les objets de la catégorie produit sont les couples (A, B) formés d'un objet A de <math>\mathcal C</math> et d'un objet B de <math>\mathcal D</math> ; les morphismes sont les couples (''f'',''g'') formés d'un morphisme ''f'' de <math>\mathcal C</math> et d'un morphisme ''g'' de <math>\mathcal D</math>. La composition de ces couples se fait composante par composante.
* Une catégorie est dite [[catégorie discrète|discrète]] si elle n'a pas d'autres flèches que les flèches neutres, ie si pour tout objet <math>A\text{ de }\mathcal{C}\text{, on a } Hom(A,A)=\{1_A\} </math> et si pour tout couple <math>(A,B)</math> d'objets distincts on a <math>Hom(A,B)=\varnothing</math>. Il est bien évident que toute collection d'objets peut être considérée comme une catégorie discrète.
* Un '''doublet''' est une catégorie ayant deux objets, notés par exemple 0 et 1, et seulement deux flèches non neutres, toutes deux de source 0 et de but 1. Un doublet n'a ni [[Objet initial et objet final|objet initial]] ni [[Objet initial et objet final|objet final]].{{sfn|Poitou|Jaffard|1971|p=7}}

=== Exemple en informatique ===
Benjamin C. Pierce , p. 8 dans ''Basic Category Theory for Computer Scientists'', considère un langage de [[programmation fonctionnelle]] où les types sont Bool (pour les booléens, c.-à-d. pour les [[Valeur de vérité|valeurs de vérité]]), Int (pour les nombres entiers), Real (pour les [[Nombre réel|nombres réels]]) et Unit (un type avec un seul élément). Les opérations sont iszero : Int → Bool (qui teste si un nombre entier vaut zero), not : Bool → Bool (négation), succInt : Int → Int (qui renvoie le successeur d'un nombre entier), succReal : Real → Real, (qui renvoie le successeur d'un nombre réel), toReal : Int → Real (qui réalise la conversion d'un nombre entier en un nombre réel). Les constantes de ce langage sont zero : Int, true : Bool, false : Bool, unit : Unit. Pierce donne alors l'exemple de la catégorie où les objets sont Bool, Int, Real et Unit, et les flèches sont true, false, succInt, succReal, unit, iszero, not, toReal.

Les constantes sont des flèches, chacune d'entre elles associant l'unique élément de Unit à la valeur qu'elle représente. [[Fichier:Categorie types.svg|centré|vignette|Catégorie correspondant à un langage de programmation fonctionnelle.|664x664px]]

<br />

== Monomorphismes, épimorphismes et isomorphismes ==

=== Définitions ===
[[Image:inverse.svg|vignette|Isomorphisme]]
Une flèche <math>f:A\rightarrow\; B</math> est dite un '''[[monomorphisme]]''' lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple <math>g,h</math> de flèches <math>E\rightarrow\; A</math> (et donc aussi pour tout <math>E</math>), si <math>f\circ g=f\circ h</math>, alors <math>g=h</math>.

Une flèche <math>f:A\rightarrow\; B</math> est dite un '''[[épimorphisme]]''' lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple <math>g,h</math> de flèches <math>B\rightarrow\; E</math> (et donc aussi pour tout <math>E</math>), si <math>g\circ f=h\circ f</math>, alors <math>g=h</math>.

Les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales l'une de l'autre : une flèche est un monomorphisme si et seulement si elle est un épimorphisme dans la catégorie duale.

Une flèche <math>f:A\rightarrow\; B</math> est dite un [[Isomorphisme (théorie des catégories)|'''isomorphisme''']] s'il existe une flèche <math>g:B\rightarrow\; A</math> telle que <math>g\circ f=I_A</math> et <math>f\circ g=I_B</math>. Cette notion est autoduale.

=== Exemples et contre-exemples ===
* Dans la catégorie des [[ensemble]]s, les monomorphismes sont les [[fonction et application|injections]], les épimorphismes sont les [[fonction et application|surjections]] et les isomorphismes sont les [[fonction et application|bijections]].
* Un [[contre-exemple]] important en théorie des catégories : un morphisme peut à la fois être un monomorphisme ''et'' un épimorphisme, sans être pour autant un isomorphisme ; pour voir ce contre-exemple, il suffit de se placer dans la [[catégorie des anneaux]] commutatifs unitaires, et considérer la flèche (unique) <math>\mathbb Z\rightarrow\mathbb Q</math> : elle est un monomorphisme car provient d'une application injective, un épimorphisme par [[Localisation (mathématiques)|localisation]], mais n'est clairement pas un isomorphisme.
* On trouve aussi de tels épimorphisme-monomorphisme non isomorphiques dans la catégorie des espaces topologiques : toute injection y est un monomorphisme, toute surjection est un épimorphisme, les isomorphismes sont les [[homéomorphisme]]s, mais il y a des fonctions continues à la fois injectives et surjectives qui ne sont pas des homéomorphismes : par exemple l'identité sur un ensemble muni de deux topologies différentes, l'une plus grossière que l'autre.
* Les [[Relation d'ordre#Applications monotones|isomorphismes dans la catégorie des ensembles ordonnés]] sont les bijections croissantes dont la [[bijection réciproque]] est croissante (cette condition sur la bijection réciproque est automatiquement vérifiée dans le cas des ensembles [[ordre total|totalement ordonnés]], mais pas dans le cas général).

== Somme et produit d'une famille d'objets en théorie des catégories ==

La ''[[Somme (catégorie)|somme]]'' d'une famille <math>(X_i)_{i\in I}</math> est la donnée d'un objet <math>X</math> de <math>\mathcal C</math> et pour tout <math>i</math> d'une flèche <math>\phi_i: X_i \rightarrow X</math> vérifiant la [[propriété universelle]] :

:''quels que soient l'objet <math>Y</math> et les flèches <math>f_i:X_i\rightarrow Y</math> de <math>\mathcal C</math> il existe une unique flèche <math>f:X \rightarrow Y</math> telle que pour tout <math>i</math> le diagramme'' :
[[Image:Coproduct-02.png|centré]]
''soit [[Diagramme commutatif|commutatif]], c'est-à-dire que <math>f_i=f\circ \phi_i</math>.''
{{clr}}

{{Article détaillé|Somme (catégorie)}}

Le ''[[Produit (catégorie)|produit]]'' d'une famille <math>(X_i)_{i\in I}</math> est la donnée d'un objet <math>X</math> de <math>\mathcal C</math> et pour tout <math>i</math> d'une flèche <math>\pi_i: X \rightarrow X_i</math> vérifiant la [[propriété universelle]] :

:''quels que soient l'objet <math>Y</math> et les flèches <math>f_i:Y\rightarrow X_i</math> de <math>\mathcal C</math> il existe une unique flèche <math>f:Y\rightarrow X</math> telle que pour tout <math>i</math> le diagramme'' :
[[Image:CategoricalProduct-01.png|centré]]
''soit [[Diagramme commutatif|commutatif]], c'est-à-dire que <math>f_i=\pi_i\circ f</math>.''

{{Article détaillé|Produit (catégorie)}}

S'ils existent, les sommes et les produits sont uniques aux isomorphismes près<ref>Michel Zisman, ''Topologie algébrique élémentaire'', Armand Colin, 1972, {{p.|10}}.</ref>.

On permute ces définitions en inversant les flèches des diagrammes : une somme (respectivement un produit) dans <math>\mathcal C</math> est un produit (respectivement une somme) dans sa duale.

Une '''[[catégorie cartésienne]]''' est une catégorie munie d'un [[Objet initial et objet final|objet final]] et du produit binaire. Une '''catégorie cartésienne fermée''' est une catégorie cartésienne munie de l'[[exponentiation]].

== En tant que fondement des mathématiques ==
[[William Lawvere]] est le premier à avoir considéré la théorie des catégories comme potentiel fondement des mathématiques. En 1964, il propose une axiomatisation de la théorie des ensembles dans le langage des catégories<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=William Lawvere|titre=An elementary theory of the category of sets|périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A|date=15 décembre 1964|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/72513|pages=1506–1511}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=[[Tom Leinster]]|titre=Rethinking Set Theory|périodique=The American Mathematical Monthly|date=Mai 2014|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.121.05.403|pages=403-415}}</ref>. En 1966, il publie une théorie de la catégorie des catégories dans laquelle tous les objets mathématiques peuvent être exprimés et leurs propriétés démontrées<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=William Lawvere|titre=Proceedings of the Conference on Categorical Algebra|éditeur=|année=1966|passage=1-20|titre chapitre=The category of categories as a foundation for mathematics}}</ref>. La première version de cette catégorie des catégories avait été développée dans sa thèse de doctorat de 1963<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=William Lawvere|titre=Functorial Semantics of Algebraic Theories|périodique=Reprints in Theory and Applications of Categories|date=2004|lire en ligne=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html|pages=1-121}}</ref>.

La théorie des catégories a donc été proposée comme fondement des mathématiques en au moins deux sens distincts<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=J. L. Bell|titre=Category Theory and the Foundations of Mathematics|périodique=The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 32, No. 4|date=décembre 1981|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/687305|pages=349-358}}</ref>. En un premier sens, elle fournirait une axiomatisation alternative au concept d’ensembles. En comparaison avec l'[[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|axiomatisation de ZF]], cette formulation ne place pas au premier plan la notion d’être « élément de » (x ∊ X). C’est plutôt la notion de fonction, exprimée par les morphismes de la catégorie, qui est fondamentale. La catégorie des ensembles s’est avérée être un exemple particulier de ''[[Topos (mathématiques)#Topos élémentaires (topos en logique)|topos élémentaire]]'', un type de catégorie inspiré des ''[[Topos (mathématiques)#Les topoï de Grothendieck en géométrie|topos de Grothendieck]]''<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=Colin McLarty|titre=Exploring categorical structuralism|périodique=Philosophia Mathematica
(3) 12|date=2004|lire en ligne=|pages=37-53}}</ref>.

Le second type de proposition consiste plutôt à dire que tous les concepts mathématiques importants peuvent être exprimés dans le langage des catégories. Alors que le premier type de fondement est logique et propose un [[système axiomatique]], ce second type de fondement est plutôt méthodologique et offre une manière de comparer entre eux différents domaines des mathématiques à l’aide d’un langage commun. Ces deux propositions ne sont pas nécessairement incompatibles, la question des ''[[Fondements des mathématiques|fondements de mathématiques]]'' pouvant prendre plusieurs sens<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=Jean-Pierre Marquis|titre=Category Theory and the Foundations of Mathematics: Philosophical Excavations|périodique=Synthese (103)|date=1995|lire en ligne=|pages=421-447}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=Stewart Shapiro|titre=Foundations of Mathematics: Metaphysics, Epistemology, Structure|périodique=The Philosophical Quarterly (1950-), Vol. 54, No. 214|date=Janvier 2004|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/3543074|pages=16-37}}</ref>.

Cependant, toutes ces propositions concernant les fondements qui font appel aux catégories ont un point en commun. Elles s’inscrivent dans une perspective structuraliste des mathématiques. On entend par cette expression que les propriétés importantes des objets mathématiques sont les relations qui existent entre eux et non pas des propriétés intrinsèques aux objets eux-mêmes. Pour les structuralistes, un objet mathématique se définit donc entièrement par la place qu’il occupe dans une ''[[Structure (mathématiques)|structure mathématique]]''. Par exemple, le fait que le nombre 3 s’écrit avec le symbole “3” n’est pas une propriété structurelle, mais le fait d’être entre 2 et 4 dans l’ordre des nombres naturels est une telle propriété<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=Colin McLarty|titre=Numbers Can Be Just What They Have To|périodique=Noûs, Vol. 27, No. 4|date=Décembre 1993|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/2215789|pages=487-498}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=Julian Cole|titre=Mathematical Structuralism Today|périodique=Philosophy Compass 5/8|date=2010|lire en ligne=|pages=689–699}}</ref>. La théorie des catégories est particulièrement adéquate afin d’exprimer une telle fondation, puisque les objets d’une catégorie ne sont définis qu’[[isomorphisme#Catégorie|à isomorphisme près]]. Cela signifie que deux objets isomorphes et qui possèdent donc la même structure ne peuvent être distingués l’un de l’autre au sein d'une catégorie. Le langage des catégories exprime donc uniquement les propriétés structurelles de ces objets<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=[[Steve Awodey]]|titre=Structure in mathematics and logic: A categorical perspective|périodique=Philosophia Mathematica (3) 4|date=1996|lire en ligne=|pages=209-237}}</ref>.

Tous les structuralistes ne sont cependant pas partisans de la théorie des catégories comme fondement<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Michael Resnick|titre=Mathematics As a Science of Patterns|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1997|isbn=}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Stewart Shapiro|titre=Philosophy of Mathematics|sous-titre=Structure and Ontology|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1997|isbn=}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}
== Voir aussi ==
* [[Foncteur]]
* [[Produit fibré]]
* [[Lemme de Yoneda]]
* [[Catégorie additive]]
* [[Catégorie abélienne]]
* {{Lien|langue=en|trad=n-category|fr=n-catégorie|texte=''n''-catégorie}}

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{{Boîte déroulante/début|titre=Ouvrages spécialisés et monographies}}
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== Liens externes ==
* {{en}} [http://www.math.mcgill.ca/triples/ Théorie des catégories], sur le site de l'[[université McGill]] (Canada)
* {{en}} Jiří Adámek, [[Horst Herrlich]] et George E. Strecker, ''[http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats]''
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