Voir la source de Théorie des ensembles de Zermelo

{{Sources à lier|date=juillet 2017}}

La '''théorie des ensembles de Zermelo''', est la théorie des ensembles introduite en 1908 par [[Ernst Zermelo]] dans un article fondateur de l'[[axiomatisation]] de la [[Théorie des ensembles|théorie des ensembles moderne]], mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la [[logique du premier ordre]], et où l'[[axiome de l'infini]] est modifié pour permettre la [[construction des entiers naturels]] de [[John von Neumann|von Neumann]].

== Axiomes de la théorie des ensembles, dans l'article de Zermelo ==
Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908<ref>{{harvsp|Zermelo|1908}}, traduit en anglais dans {{harvsp|van Heijenoort|1967|p=199–215}}.</ref>, numérotés comme dans cet article.

Les axiomes de Zermelo sont exprimés pour un {{nobr|''domaine'' 𝔅}} (en allemand : ''Bereich''&thinsp;) qui est une collection de « choses »<ref>Zermelo parle d'une collection « d'objets » (''Objekte'') qu'il appelle « choses » (''Dinge''), mais la répétition du mot « chose » dans tout ce paragaphe ne serait pas très bien venue en français ; on a évité ici le mot « élément » qui prend, tout de suite après, un sens précis.</ref> appelées ''objets'' ; certains de ces objets, mais pas nécessairement tous, sont appelés ''ensembles''&thinsp; (les versions ultérieures de la théorie des ensembles partent le plus souvent du principe que tous les objets sont des ensembles). Zermelo introduit une [[relation d'appartenance]], qu'il note par la lettre epsilon : {{nobr| ''a'' ε ''b'' }} ; cette relation  se lit : ''a est élément de b'', ou ''b contient a comme élément'' ; Zermelo écrit {{nobr|''a'' {{=}} ''b''}} pour signifier que {{nobr|''a'' et ''b''}} désignent ''le même'' objet du domaine. À une seule exception près (l'ensemble vide de {{nobr|l'axiome II}} ci-dessous), un objet ''b'' du {{nobr|domaine 𝔅}} est appelé ''ensemble'' quand et seulement quand il contient au moins un objet ''a'' comme élément, c'est-à-dire quand il existe un objet ''a'' du domaine tel que {{nobr|''a'' ε ''b''}}. Un ensemble ''M'' est appelé ''sous-ensemble'' d'un ensemble ''N'' quand tous les éléments de ''M'' sont aussi éléments {{nobr|de ''N''.}}

Voici la liste des sept axiomes<ref>dans l'article {{harvsp|Zermelo|1908}}, la liste n'est pas présentée comme ici : elle est entrecoupée de remarques et conséquences ; la présentation des axiomes s'étend de la page&nbsp;263 à la page&nbsp;267.</ref> que le {{nobr|domaine 𝔅}} doit satisfaire. On a respecté dans la mesure du possible les notations de l'article de Zermelo en 1908.

* Axiome I. [[Axiome d'extensionnalité]] (''Axiom der Bestimmtheit'') {{citation|1=Si chaque élément d'un ensemble ''M'' est aussi élément de ''N'', et réciproquement, alors {{nobr|''M'' {{=}} ''N''}}. En bref : chaque ensemble est déterminé par ses éléments.}}
* Axiome II. Axiome des ensembles élémentaires (''Axiom der Elementarmengen'') {{citation|Il existe un ensemble (exceptionnel) qui ne contient aucun élément, il est appelé ''ensemble vide'' (''Nullmenge'') et {{nobr|noté<ref>de nos jours c'est le symbole ∅ qui est universellement adopté pour l'ensemble vide.</ref> 0}}. Si ''a'' est un objet quelconque du domaine, il existe un ensemble {''a''} {{nobr|contenant ''a''}} et {{nobr|seulement ''a''}} en tant qu'élément. Si ''a'' et ''b'' sont deux objets quelconques du domaine, il existe toujours un ensemble {{nobr|{''a'', ''b''}<nowiki />}} contenant les éléments {{nobr|''a'' et ''b''}}, mais aucun objet ''x'' distinct de ''a'' et {{nobr|de ''b''}}}} (Voir [[Axiome de la paire]]).
* Axiome III. [[Schéma d'axiomes de compréhension|Axiome de séparation]] (ou axiome de ''compréhension'', ''Axiom der Aussonderung'') {{citation|Chaque fois que la fonction propositionnelle 𝔈(''x'') est définie pour tous les éléments d'un ensemble&nbsp;''M'', l'ensemble ''M'' possède un sous-ensemble ''M''<sub>𝔈</sub>&thinsp; contenant comme éléments précisément tous les éléments ''x'' {{nobr|de ''M''}} pour lesquels 𝔈(''x'') est vrai.}}
* Axiome IV. [[Axiome de l'ensemble des parties]] (''Axiom der Potenzmenge'') {{citation|À chaque ensemble ''T'' correspond un deuxième {{nobr|ensemble 𝔘''T''}}, l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble des parties de l'ensemble]] ''T'', dont les éléments sont précisément tous les sous-ensembles de ''T''.}}
* Axiome V. [[Axiome de la réunion]] (''Axiom der Vereinigung'') {{citation|Pour chaque ensemble ''T'', il existe un {{nobr|ensemble 𝔖''T''}}, appelé ''réunion {{nobr|de T}}'', qui contient comme éléments tous les éléments des éléments {{nobr|de ''T''}}, et seulement ceux-ci.}}
* Axiome VI. [[Axiome du choix]] (''Axiom der Auswahl'') {{citation|Si ''T'' est un ensemble dont les éléments sont des ensembles qui sont différents de&nbsp;0 et mutuellement [[Ensembles disjoints|disjoints]], alors sa {{nobr|réunion 𝔖''T''}} comprend au moins un sous-ensemble ''S''<sub>1</sub> ayant un et un seul élément en commun avec chaque élément de ''T''.}}
* Axiome VII. [[Axiome de l'infini]] (''Axiom des Unendlichen'') {{citation|Il existe dans le domaine au moins un ensemble ''Z'' qui contient l'ensemble vide comme élément et qui a la propriété qu'à chacun de ses éléments ''a'' correspond un élément supplémentaire de la forme {''a''}. En d'autres termes, avec chacun de ses éléments&nbsp;''a'', l'ensemble ''Z'' contient également comme élément l'ensemble {''a''} correspondant.}}

Entre les axiomes, Zermelo tire les premières conséquences : il existe un « plus petit » ensemble ''Z''<sub>0</sub> qui vérifie les propriétés énoncées dans l'axiome&nbsp;VII de l'infini, au sens que ''Z''<sub>0</sub> est sous-ensemble de tout ensemble ''Z'' qui satisfait {{nobr|l'axiome VII}} ; cet ensemble ''Z''<sub>0</sub> jouera le rôle de l'ensemble des [[Entier naturel|entiers naturels]] ; dans ce point de vue, {{nobr|l'entier 0}} est l'ensemble {{nobr|vide 0}}, {{nobr|l'entier 1}} est le {{nobr|[[Singleton (mathématiques)|singleton]] {0}<nowiki/>}}, et plus généralement le successeur de l'entier représenté par un ensemble ''n'' est l'ensemble singleton {''n''} ; par exemple, {{nobr|l'entier 3}} est représenté par {{nobr|l'ensemble <nowiki>{{{0}}}</nowiki>}}, ensemble dont le seul élément est {{nobr|l'ensemble <nowiki>{{0}}</nowiki>}} qui représente {{nobr|l'entier 2}}.

Autre conséquence directe des axiomes : si ''M'' et&nbsp;''N'' sont deux ensembles, l'axiome de la réunion appliqué à l'ensemble paire {''M'',&nbsp;''N''} produit la [[Union (mathématiques)|réunion]] habituelle ''M''&nbsp;&cup;&nbsp;''N'' de ces deux ensembles. Dans les travaux [[#Évolution de la théorie axiomatique des ensembles|plus récents]], on a préféré définir le successeur de l'entier ''n'' (qui est déjà un ensemble) comme étant la réunion ''n''&nbsp;&cup;&nbsp;{''n''} de l'ensemble ''n'' et du singleton&nbsp;{''n''} ; l'axiome de l'infini est alors [[#Présentation moderne de la théorie des ensembles de Zermelo|modifié en conséquence]].

== L'axiome de séparation ==

Dans l'introduction de son article, Zermelo écrit que l'existence même de la discipline de la théorie des ensembles {{citation | semble être menacée par certaines contradictions ou ''antinomies'', qui peuvent être dérivées à partir de ses principes – principes qui régissent nécessairement notre façon de penser, il semble – et auxquelles aucune solution pleinement satisfaisante n'a encore été trouvée}}. Zermelo fait bien sûr référence au [[paradoxe de Russell]]. On ne peut plus s'en tenir à la définition d'origine de [[Georg Cantor|Cantor]].

Zermelo veut montrer comment la théorie originelle de Georg Cantor et [[Richard Dedekind]] peut être réduite à quelques définitions et aux sept principes ou axiomes. Il signale qu'il n'a ''pas'' été en mesure de prouver que les axiomes sont cohérents les uns avec les autres, c'est-à-dire qu'ils n'entraînent pas une contradiction du type 0=1, en d'autres termes que son système d'axiomes est ''non-contradictoire''. Zermelo explique que l'axiome III de son système permet l'élimination des antinomies :
: {{citation|à l'aide de cet axiome, on n'aura jamais d'ensembles ''définis indépendamment'', mais ils seront au contraire obtenus comme sous-ensembles formés d'éléments ''triés'' [''ausgesondert'' : triés, séparés] dans des ensembles déjà construits. De cette façon, on éliminera les notions contradictoires comme ''l'ensemble de tous les ensembles'' ou ''l'ensemble de tous les nombres ordinaux''.}}<ref>{{harvsp|Zermelo|1908|p=264}}.</ref>

Zermelo se débarrasse du [[paradoxe de Russell]] par le biais du théorème suivant<ref>C'est le point 10. de {{harvsp|Zermelo|1908|p=264}}.</ref> : {{citation|Tout ensemble <math>M</math> possède au moins un sous-ensemble <math>M_0</math> qui n'est pas un élément de <math>M</math>}}.

En notation actuelle, soit <math>M_0 = \{ x \in M | x \notin x\}</math> le sous-ensemble de <math>M</math> qui est "séparé" par la propriété ''<math>x \notin x</math>'' (c'est-à-dire défini comme sous-ensemble de <math>M</math> par l'axiome&nbsp;III). L'ensemble <math>M_0</math> ne peut pas être élément de <math>M_0</math>, sinon <math>M_0</math> contiendrait un élément <math>x</math> tel que <math>x \in x</math>, à savoir <math>M_0</math> lui-même, ce qui est absurde d'après la définition de <math>M_0</math> qui implique qu'aucun de ses éléments <math>x</math> n'ait cette propriété.

On voit ensuite que <math>M_0</math> ne peut pas être élément de&nbsp;<math>M</math> : sinon, puisqu'on a vu que <math>M_0 \notin M_0</math>, l'ensemble <math>M_0</math> serait un élément <math>x</math> de <math>M</math> qui remplirait la condition <math>x \notin x</math>, on aurait donc <math>M_0 \in M_0</math> ce qui est une contradiction.

Par conséquent, <math>M_0</math> ne peut pas être élément de&nbsp;<math>M</math>, ce qui prouve le théorème.

Il en résulte que tous les objets du domaine universel ''B'' ne peuvent être éléments d'un seul et même ''ensemble'' : le domaine ''B'' lui-même n'est pas un ensemble. Le ''domaine B'' est d'une autre nature mathématique, qui renvoie à la notion de [[Classe (mathématiques)|classe]].

== Théorème de Cantor ==

L'article de Zermelo présente sous le nom de ''[[théorème de Cantor]]'' (''{{lang|de|Satz von Cantor}}'') un résultat de ce dernier<ref>{{article|langue=de|prénom=Georg|nom=Cantor|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002113910&physid=PHYS_0084 <!--http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002113910-->|titre=Über eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre|revue=Jahresber. der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|DMV]]|volume=1|année=1891|pages=|75-78}}, repris dans ''Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts'', édité par E.&nbsp;Zermelo, 1932.</ref>, dont c'est peut-être la première mention sous ce nom. Zermelo définit « ''M'' est de [[Cardinalité (mathématiques)|cardinalité]] plus faible que ''N'' »<ref>''M {{lang|de|ist von kleinerer Mächtigkeit als}} N'', où ''{{lang|de|Mächtigkeit}}'' se traduit plus littéralement par puissance.</ref>, au sens strictement plus faible, noté  {{nobr|''M''&thinsp;<&thinsp;''N''}}, c'est-à-dire : l'ensemble ''M'' est [[équipotence|équipotent]] (''{{lang|de|äquivalent}}'') à un sous-ensemble de ''N'', mais ''N'' ne l'est pas à un sous-ensemble {{nobr|de ''M''}}<ref>{{harvsp|Zermelo|1908|page=275-276}}, Définition 31.</ref> ; c'est essentiellement la définition de la [[subpotence]] stricte (il existe une injection de ''M'' dans ''N'' mais pas d'injection de ''N'' {{nobr|dans ''M''}}). On note ici {{nobr|par P(''M'')}}, comme on le fait de nos jours, l'ensemble des parties de {{nobr|l'ensemble ''M''}}, ensemble fourni par l'axiome&nbsp;IV.

{{citation | ''Théorème de Cantor''<ref>C'est le point 32. p.&nbsp;276, de l'article {{harvsp|Zermelo|1908}}.</ref> : Si ''M'' est un ensemble quelconque, alors on a toujours ''M''&nbsp;<&nbsp;P(''M''). Tout ensemble est de plus faible cardinalité que l'ensemble de ses sous-ensembles}}.

Zermelo remarque d'abord que ''M'' est équipotent à l'ensemble des singletons formés sur ses éléments. Il montre ensuite que P(''M'') ne peut être équipotent à un sous-ensemble ''M''<sub>0</sub> de ''M'' (c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'injection de P(''M'') {{nobr|dans ''M''}}). Zermelo le montre directement, mais c'est aussi une conséquence de ce qu'il n'existe pas de [[surjection]] de  P(''M'') dans ''M'' (voir [[théorème de Cantor]]). La démonstration est essentiellement la même.

== Évolution de la théorie axiomatique des ensembles ==

Le texte de Zermelo en 1908 ne propose pas ''d'ensemble'', objet du {{nobr|domaine 𝔅}}, qui traduise la notion de ''paire ordonnée'' (''a'',&nbsp;''b''). La paire ordonnée (ou ''couple'') peut servir à représenter une fonction ''f'' par l'intermédiaire de son [[Fonction (mathématiques)#Représentation graphique|graphe]], formé des paires ordonnées de la forme (''a'',&nbsp;''f''(''a'')). La paire ordonnée apparaît ''en tant qu'ensemble'' chez [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] en&nbsp;1914<ref>{{harvsp|Kanamori|2009}}, sec.&nbsp;2.4, ''Hausdorff and Functions'' ; {{ouvrage
|nom1=Hausdorff
|prénom1=Felix
|lien auteur=Felix Hausdorff
|année=1914
|titre=Grundzüge der Mengenlehre
|éditeur=de Gruyter
|lieu=Leipzig}}, réimpression chez Chelsea,
New York, 1965.</ref>, ce qui permet d'englober la notion de fonction dans celle d'ensemble, en assimilant ''fonction'' et ''graphe de fonction''.

En 1922, [[Abraham Adolf Fraenkel|Abraham Fraenkel]] affirme que la théorie de Zermelo présente des lacunes<ref>{{article|langue=de |prénom=Abraham|nom=Fraenkel |titre=Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre|revue=Mathematische Annalen|volume=86|année=1922|pages=230-237}}.</ref>, qu'elle ne permet pas de définir certains ensembles dont l'existence serait naturelle. Il propose un nouvel axiome, l'[[Schéma d'axiomes de remplacement|axiome de remplacement]] (''Ersetzungsaxiom'') dont l'esprit est le suivant : si une correspondance F est bien définie sur le {{nobr|domaine 𝔅}} et associe à chaque objet du domaine un autre objet uniquement déterminé, alors pour tout ensemble ''a'' il existe un nouvel ensemble ''b'' dont les éléments ''d'' sont précisément les images ''d''&nbsp;=&nbsp;F(''c'') des éléments ''c'' de&nbsp;''a'' par la correspondance&nbsp;F. La même année, [[Thoralf Skolem]] en vient à des conclusions analogues<ref>{{harvsp|van Heijenoort|1967|p=290–301}}, notamment le point&nbsp;4 {{p.|296 et 297}}.</ref> ; de plus, Skolem précise clairement dans son article<ref>{{harvsp|van Heijenoort|1967|p=292–293}}, point&nbsp;2 de l'article.</ref> la notion de ''proposition bien définie'' restée encore vague chez Zermelo, dans l'énoncé de l'axiome&nbsp;III de « séparation ».

Dès 1923<ref>{{article|langue=de|prénom=John|nom=von Neumann
|titre=Zur Einführung der transfiniten Zahlen
|revue=Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, sectio scientiarum mathematicarum
|volume=1|année=1923|pages=|199-208}}
réimprimé en 1961, pages 24–33 de {{ouvrage
|nom1=von Neumann
|prénom1=John
|année=1961
|titre=John von Neumann, Collected Works
|volume=1
|éditeur=Pergamon Press
|lieu=New York}}.
Jean {{harvsp|van Heijenoort|1967|p=346–354}} commence par une analyse de l'article de von Neumann, avant d'en proposer une traduction en anglais.</ref>, [[John von Neumann|von Neumann]] propose une nouvelle conception pour les [[Nombre ordinal|nombres ordinaux]] de Cantor, que ce dernier avait définis à partir de l'abstraction du ''type d'ordre'' des [[Ensemble bien ordonné|ensembles bien ordonnés]]. Von Neumann envisage les ordinaux comme des ensembles spécifiques introduits grâce aux axiomes de la théorie des ensembles. Il commence avec l'ensemble {{nobr|vide 0}}, puis le singleton {0} pour {{nobr|l'ordinal 1}}, suivi de la paire {{nobr|<nowiki>{0,{0}}</nowiki>}} {{nobr|pour 2}} : ainsi l'ordinal&nbsp;2 ''contient'' 0 et&nbsp;1 comme éléments ; après chaque ordinal ''n'' (qui est un ensemble) vient son successeur, défini comme étant la réunion ''n''&nbsp;&cup;&nbsp;{''n''}. Sans aller plus loin dans la description, on peut ajouter que l'ordinal ω est le plus petit ordinal qui contient tous les ordinaux finis, c'est le premier ordinal infini, qui est suivi de ω+1&nbsp;= ''ω''&nbsp;&cup;&nbsp;{''ω''}, etc&hellip; Von&nbsp;Neumann développe par la suite, en utilisant l'axiome de remplacement, la puissante méthode de définition d'ensembles par ''induction ordinale'', méthode qui tient toujours une bonne place dans les livres actuels<ref>par exemple {{harvsp|Krivine|1998}}, chap. 2 {{p.|24}}, ''Définitions par induction sur les ordinaux''.</ref> de théorie des ensembles.

En 1930, Zermelo propose un nouveau système d'axiomes qu'il désigne par ZF, en référence à lui-même et Fraenkel<ref>{{article
|langue=de
|prénom=Ernst
|nom=Zermelo
|titre=Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre
|revue=Fundamenta Math.
|volume=16
|année=1930
|pages=29-47}}.</ref>. Ce système contient l'axiome de remplacement et l'[[axiome de fondation]]. Cependant, Zermelo ne se restreint pas au cadre de la logique du premier ordre, contrairement à Skolem <ref>Voir {{harvsp|Kanamori|2009}}, sec.&nbsp;3.2, ''Well-Foundedness and the Cumulative Hierarchy'', ainsi que la longue analyse de l'article de Zermelo dans {{article
|langue=en
|prénom=Akihiro
|nom=Kanamori
|titre=Zermelo and Set Theory
|revue=The Bulletin of Symbolic Logic
|volume=10
|année=2004
|pages=487-553}}, §6. {{p.|519}}.</ref>. Comme en&nbsp;1908, Zermelo permet l'existence d'[[Ur-element|Urelements]], des objets du domaine qui ne sont pas des ensembles et ne contiennent pas d'éléments ; ces objets sont maintenant habituellement omis des théories des ensembles<ref>Cependant, {{harvsp|Moschovakis|2006|loc=3.25}} se dit prêt à les admettre ; ils les appelle ''atomes''.</ref>.

Le système d'axiomes GB<ref>voir par exemple {{harvsp|Cohen|1966|loc=chap.&nbsp;II, sec.&nbsp;6}} ; voir aussi l'article sur le [[Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel|système NBG]].</ref> (ou BG<ref>{{harvsp|Kanamori|2009|loc= sec.&nbsp;3.6}}.</ref>), pour [[Kurt Gödel|Gödel]] et [[Paul Bernays|Bernays]], apparu avant 1940<ref>il est utilisé dans {{ouvrage
|nom1=Gödel
|prénom1=Kurt 
|titre=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory
|collection=Annals of Mathematics Studies
|numéro dans collection=3
|éditeur=Princeton University Press
|année=1940
}}.</ref>, est une extension de&nbsp;ZF. Le langage de GB comporte des variables d'ensemble et des variables de ''classe'' (on peut penser que les variables de classe représentent certaines familles d'ensembles<ref>telles que par exemple, ''l'univers'' entier (c'est le {{nobr|''domaine'' 𝔅}} de {{harvsp|Zermelo|1908}}, la collection de ''tous les ensembles x''), ou bien la collection de toutes les paires ordonnées (''x'',&nbsp;''y'') pour lesquelles les ensembles ''x'' et ''y'' sont tels que ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''y''.</ref>) ; cependant, les énoncés qui ne concernent que les ensembles et qui peuvent être démontrés dans GB peuvent aussi être démontrés dans ZF<ref>{{harvsp|Cohen|1966|p=77}}.</ref>.

En 1966, le livre de [[Paul Cohen]] consacré à la preuve de l'indépendance de l'[[hypothèse du continu]]<ref>{{harvsp|Cohen|1966}}.</ref> présente la théorie ZF comme on le fait aujourd'hui.

== Présentation moderne de la théorie des ensembles de Zermelo ==

La version moderne de la théorie des ensembles de Zermelo comprend les axiomes suivants<ref>{{harvsp|Cori|Lascar|2003|p=114}} ; {{harvsp|Moschovakis|2006|loc= chap. 3|p=24}}, présente les mêmes six axiomes mais dans un autre ordre.</ref> :

* axiome d'extensionnalité ;
* axiome de la paire ;
* axiome de la réunion ;
* axiome de l'ensemble des parties ;
* axiome de compréhension (ou de séparation) ;
* axiome de l'infini<ref>{{harvsp|Moschovakis|2006|loc= chap. 3}}, au point 3.17, s'en tient à la forme donnée par Zermelo en&nbsp;1908 pour l'axiome de l'infini ; pour cet axiome, {{harvsp|Krivine|1998|loc = chap.&nbsp;4, p.&nbsp;56}}, ''Comparaison des théories Z et ZF''  ou {{harvsp|Cori|Lascar|2003|p=135}} ne font pas de différence entre Z et&nbsp;ZF.</ref>.

L'[[axiome du choix]] n'en fait pas partie. Cependant, comme il est très difficile de faire des mathématiques sans une forme minimale de choix, on ajoute souvent une forme dénombrable de choix, ''l'axiome du choix dépendant''<ref>{{harvsp|Moschovakis|2006|p=114}}, section&nbsp;8.13.</ref>.

L'axiome de compréhension peut être énoncé comme en&nbsp;1908, mais la formation de la « fonction propositionnelle » P(''x'') qu'il renferme est maintenant ainsi précisée<ref>{{harvsp|Krivine|1998|loc = chap.&nbsp;1, sec.&nbsp;3, p.&nbsp;11}}.</ref> : l'énoncé de P est constitué à partir de variables ''x'', ''y'',&hellip;, à partir des énoncés « atomiques » ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''y'' et ''x''&nbsp;=&nbsp;''y'', des connecteurs logiques « ou », « non » et des quantificateurs &exist; et&nbsp;&forall; ; si un {{nobr|domaine 𝔅}} (on dit plutôt aujourd'hui un ''univers'') est un [[Structure (logique mathématique)|modèle]] pour le système d'axiomes, les variables ''x'', ''y'',&hellip; de l'énoncé ne seront remplacées dans l'application des axiomes que par des éléments ''a'', ''b'',&hellip; du domaine (à l'exclusion de ''parties'' du domaine). La présence de la « propriété » P(''x''), qui peut prendre une infinité de formes, fait que l'axiome de compréhension n'est pas à proprement parler ''un unique'' axiome, mais un ''schéma d'axiomes''.

La théorie des ensembles la plus largement utilisée et acceptée aujourd'hui est connue sous le nom de&nbsp;ZF, c'est la [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel]] ; on lui ajoute le plus souvent l'axiome du choix, pour obtenir le système noté ZF+AC ou&nbsp;ZFC. Dans la théorie&nbsp;ZF, on n'a plus besoin d'axiome pour l'existence des ''ensembles élémentaires'', qui découle des autres axiomes<ref>{{harvsp|Krivine|1998}}, axiome de la paire {{p.|8}}, puis Th.&nbsp;1.4. pour l'ensemble vide et existence de la paire {{p.|15}}.</ref>, et l'axiome de l'infini de Zermelo (axiome&nbsp;VII) y est modifié comme suit : il existe un ensemble ''Z'' qui contient&nbsp;0, et qui avec chacun de ses éléments&nbsp;''a'' contient également l'ensemble ''a''&nbsp;&cup;&nbsp;{''a''}. Les ordinaux de ZF sont les ordinaux de von Neumann ; on peut énoncer l'axiome de l'infini sous la forme : ''il existe un ordinal non fini''<ref>{{harvsp|Krivine|1998}}, "La collection des ordinaux" chap. 2 {{p.|20}} et axiome de l'infini, chap.&nbsp;2 sec.&nbsp;5, {{p.|35}} puis dernière formulation équivalente de cet axiome à la&nbsp;{{p.|36}}.</ref>.

La nouveauté essentielle du système de Zermelo–Fraenkel, comparé au système de Zermelo, consiste en l'introduction de l'axiome de remplacement (en réalité, un ''schéma d'axiome''), plus puissant que l'axiome ''de séparation'' de Zermelo (axiome&nbsp;III, qui peut donc être omis dans&nbsp;ZF). Une conséquence mineure de l'axiome de remplacement est l'existence des « ensembles élémentaires » de Zermelo, mais il permet surtout le développement de la théorie des ordinaux et les définitions par induction sur la collection des ordinaux. L'axiome de régularité (ou ''axiome de fondation'') et l'axiome de remplacement ont été introduits après les travaux de Thoralf Skolem et d'Abraham Fraenkel en&nbsp;1922. L'axiome de fondation implique en particulier qu'on n'ait jamais {{nobr|''x'' &isin; ''x''}}. Comme l'axiome du choix, l'axiome de fondation n'est pas en général inclus dans&nbsp;ZF, on parle de ZF+AF quand on l'inclut.

Dans les systèmes modernes Z ou&nbsp;ZF, la ''fonction propositionnelle'' désignée dans l'axiome de séparation est interprétée comme {{citation|toute propriété définissable par une formule de premier ordre avec des paramètres}}. La notion de {{citation|formule de premier ordre}} n'était pas connue en 1908 quand Zermelo a publié son système d'axiomes, et plus tard, il a rejeté cette interprétation comme trop restrictive. La théorie des ensembles de Zermelo est généralement considérée comme une théorie de premier ordre, elle peut également être considérée comme une théorie de [[Logique d'ordre supérieur#Logique du second ordre|logique du second ordre]], où l'axiome de séparation est un seul axiome. L'interprétation de second ordre de la théorie des ensembles de Zermelo est probablement plus proche de la propre conception de Zermelo, et est plus forte que l'interprétation de premier ordre.

Dans la [[Univers de von Neumann|hiérarchie cumulative]] habituelle ''V''<sub>α</sub> de la théorie des ensembles ZFC (où&nbsp;α varie dans la classe des ordinaux), tout ensemble ''V''<sub>α</sub> pour α [[ordinal limite]] plus grand que le premier ordinal infini ω (comme ''V''<sub>ω·2</sub>) constitue un modèle de la théorie des ensembles de Zermelo. Donc la cohérence de la théorie des ensembles de Zermelo est un théorème de la théorie des ensembles ZFC. Les axiomes de Zermelo n'impliquent pas l'existence du [[Aleph (nombre)|cardinal]] ℵ<sub>ω</sub> ou de cardinaux infinis plus grands, car le modèle ''V''<sub>ω·2</sub> ne contient pas un tel cardinal (les cardinaux doivent être définis différemment dans la théorie des ensembles de Zermelo, car la définition usuelle des cardinaux et des ordinaux n'y fonctionne pas très bien : avec la définition habituelle, il n'est même pas possible de prouver l'existence de l'ordinal&nbsp;ω·2).

== Théorie des ensembles de Mac Lane ==

La théorie des ensembles de Mac Lane, présentée par {{référence Harvard sans parenthèses|Mac Lane|1986}}, est la théorie des ensembles de Zermelo avec l'axiome de séparation restreint aux formules de premier ordre, dans lesquelles chaque quantificateur est borné. La théorie des ensembles de Mac Lane est similaire en force à la [[Topos (mathématiques)|théorie des topos]] avec un objet nombre naturel, ou avec le système des [[Principia Mathematica|Principia mathematica]]. Elle est assez riche pour couvrir les besoins de presque toutes les mathématiques ordinaires, celles qui ne sont pas directement liées à la théorie des ensembles ou à la logique.

== Consistance relative des axiomes de Zermelo ==

Zermelo et Fraenkel se sont posé la question de la non-contradiction de leurs systèmes d'axiomes respectifs. Le second [[Théorèmes d'incomplétude de Gödel|théorème d'incomplétude de Gödel]] vient éclairer cette question en&nbsp;1931 : il est impossible de prouver la non-contradiction du système d'axiomes de Zermelo en n'utilisant que les axiomes de Zermelo, et de même pour le système&nbsp;ZF ; il reste la possibilité d'une preuve de ''cohérence relative'' : en partant des axiomes (plus forts) de&nbsp;ZFC, prouver la non-contradiction des axiomes de Zermelo.

Un argument valide dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel procède comme suit<ref>par exemple {{harvsp|Krivine|1998|p=56}}, ''Comparaison des théories Z et ZF''.</ref>. On définit un {{nobr|ensemble  ''V''<sub>α</sub>}}, pour&nbsp;α variant parmi les [[Nombre ordinal|ordinaux]] 0, 1, 2,&hellip;,ω, ω+1, ω+2,&hellip;, ω·2, de la façon suivante :
* V<sub>0</sub> est l'ensemble vide ;
* pour α ordinal successeur de la forme β+1, ''V''<sub>α</sub> est la collection de tous les sous-ensembles de ''V''<sub>β</sub>, c'est-à-dire que {{nobr|1= ''V''<sub>α</sub> = 𝔘''V''<sub>β</sub>}} ;
* pour α ordinal limite (par exemple, ω, ω·2), alors ''V''<sub>α</sub> est défini comme la réunion des ''V''<sub>β</sub> pour {{nobr|β < α}}.
Alors les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo sont vrais dans le [[Structure (logique mathématique)|modèle]]&nbsp;''V''<sub>ω·2</sub>. Alors qu'un non-constructiviste pourrait considérer cela comme un argument valable, un constructiviste ne le ferait probablement pas : bien qu'il n'y ait pas de problèmes avec la construction des ensembles jusqu'à ''V''<sub>ω</sub>, la construction de ''V''<sub>ω+1</sub> est moins évidente, car on ne peut pas définir de manière constructive chaque sous-ensemble de ''V''<sub>ω</sub>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Zermelo set theory|726825258}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===

* {{ouvrage
|nom1=Cohen
|prénom1=Paul J. 
|titre=Set Theory and the Continuum Hypothesis
|éditeur=Benjamin
|année=1966
}}
* {{ouvrage
|nom1=Cori
|prénom1=René
|nom2=Lascar
|prénom2=Daniel
|année=2003
|titre=Logique mathématique
|tome=II
|titre tome=Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles 
|éditeur=Dunod
|lieu=Paris}}
*{{ouvrage
|nom1=Ebbinghaus, in cooperation with Volker Peckhaus
|prénom1=Heinz-Dieter
|lang=en
|titre=Ernst Zermelo. An Approach to His Life and Work
|numéro d'édition=2
|éditeur=Springer
|lieu=Berlin-Heidelberg
|année=2015
|isbn=978-3-662-47996-4
}}
*{{ouvrage
|nom1=van Heijenoort
|prénom1=Jean
|lang=en
|titre=From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931
|collection=Source Books in the History of the Sciences
|éditeur=Harvard Univ. Press
|lieu=Cambridge, Mass.
|année=1967
|isbn=978-0-674-32449-7
}}
* {{ouvrage
|prénom1=Akihiro 
|nom1=Kanamori
|lien auteur=Akihiro Kanamori 
|titre=Set theory from Cantor to Cohen 
|passage=395--459 
|collection= Handbook of the Philosophy of Science
|numéro dans collection=4
|série=Philosophy of mathematics
|champ libre=A. D. Irvine, éd.
|éditeur= Cambridge University Press
|lieu= Cambridge
|année=2009}}
* {{ouvrage
|nom1=Krivine
|prénom1=Jean-Louis
|lien auteur=Jean-Louis Krivine
|année=1998
|titre=Théorie des ensembles
|éditeur=Cassini
|lieu=Paris}}
* [[Saunders Mac Lane]], {{langue|en|texte=Mathematics, form and function, New York: Springer-Verlag}}, 1986 {{ISBN|0-387-96217-4}}, MR 0816347
* {{ouvrage|lang=en|auteur=Yiannis Moschovakis
|lien auteur=Yiannis Moschovakis
|année=2006|titre=Notes on Set Theory
|numéro d'édition=2|éditeur=Springer
|isbn=978-0-387-28723-2|année première édition=1993|url={{Google Livres|Uz2h4I2Z9PEC}}}}
* {{Article
|langue=de
|nom1 = Zermelo
|prénom1 = Ernst
|lien auteur=Ernst Zermelo
|titre=Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I
|périodique= Mathematische Annalen
|volume= 65
|numéro=2
|url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065&DMDID=DMDLOG_0018
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|pages=261–281
|doi= 10.1007/bf01449999 }}

=== Article connexe ===
* {{Lien|trad=S (set theory)|S (théorie des ensembles)}}

=== Liens externes ===
* {{autorité}}
* {{Bases}}

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[[Catégorie:Théorie des ensembles]]