Voir la source de Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

{{ébauche|mathématiques}}
[[Fichier:In symbol in theory.png|vignette|L'appartenance]]
En [[mathématiques]], la '''théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel''', abrégée en '''ZF''', est une [[axiomatisation]] en [[logique du premier ordre]] de la [[théorie des ensembles]] telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du {{XIXe siècle}} par [[Georg Cantor]]. L'axiomatisation a été élaborée au début du {{XXe siècle}} par plusieurs mathématiciens dont [[Ernst Zermelo]] et [[Abraham Adolf Fraenkel|Abraham Fraenkel]] mais aussi [[Thoralf Skolem]].

Cette axiomatisation échappe aux paradoxes d'une [[théorie naïve des ensembles|théorie trop naïve des ensembles]], comme le [[paradoxe de Russell]], en écartant le [[Schéma d'axiomes de compréhension#Sch.C3.A9ma de compr.C3.A9hension non restreint|schéma de compréhension non restreint]] (le fait que toute propriété puisse définir un ensemble, celui des objets ayant cette propriété) pour n'en conserver que certains cas particuliers utiles. De ce fait il existe des [[Classe (mathématiques)|classes]], des collections d’objets mathématiques définies par une propriété partagée par tous leurs membres, qui ne sont pas des ensembles.

Dans la théorie ZF et ses extensions, ces classes dites ''classes propres'' ne correspondent pas à des objets de la théorie et ne peuvent être traitées qu'indirectement, à la différence de la très voisine [[Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel|théorie des classes]] de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG).

En raison de son statut particulier, on considère en général que l'[[axiome du choix]] ne fait pas partie de la définition de '''ZF''' et on note '''ZFC''' la théorie obtenue en ajoutant celui-ci.

Les mathématiques usuelles peuvent être théoriquement développées entièrement dans le cadre de la théorie ZFC, éventuellement en ajoutant des axiomes, comme les axiomes de [[grand cardinal|grands cardinaux]], pour certains développements (ceux de la [[théorie des catégories]] par exemple). En ce sens il s'agit d'une théorie des [[fondements des mathématiques]].

En 1963 [[Paul Cohen]] utilise la théorie ZFC pour répondre à la question posée par Cantor de l'[[hypothèse du continu]], en montrant qu'elle n'était pas conséquence des axiomes de cette théorie, et que l'axiome du choix n'était pas conséquence de la théorie ZF. La méthode qu'il développe, le [[forcing]], est à l'origine de nombreux développements de la théorie des ensembles. La très grande majorité des travaux des théoriciens des ensembles depuis au moins cette époque se situent dans le cadre de la théorie ZF, de ses extensions, ou parfois de ses restrictions.

La [[univers constructible|constructibilité]], une méthode développée par [[Kurt Gödel]] en 1936 dans le cadre de la théorie NBG pour montrer que l'hypothèse du continu et l'axiome du choix n'étaient pas en contradiction avec les autres axiomes de la théorie des ensembles, s'adapte immédiatement à la théorie ZF.
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Fichier:Ernst Zermelo 1900s.jpg|Ernst Zermelo c. 1900
File:Adolf Abraham Halevi Fraenkel.jpg|Adolf Abraham Halevi Fraenkel
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== Théorie de Zermelo (Z) ==

{{Voir|contenu=Article détaillé : [[Théorie des ensembles de Zermelo]].}}
La théorie de Zermelo est une présentation moderne de la théorie publiée par [[Ernst Zermelo|Zermelo]] en 1908<ref>{{Article |langue=Allemand |auteur1=Zermelo |titre=Untersuchungen uber die Grundladen der Mengenlehre |périodique=Matematische Annalen |date=1908 |lire en ligne=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0065?tify={%22pages%22:[271],%22panX%22:0.313,%22panY%22:0.445,%22view%22:%22info%22,%22zoom%22:0.752} |pages=261 }}</ref>, présentée explicitement ou implicitement dans le cadre de la logique du premier ordre avec égalité. Elle apparaît souvent dans les livres d'introduction à la théorie des ensembles<ref>Par exemple {{harvsp|Moschovakis|2006}}.</ref>. Elle comporte les axiomes suivants :

* l'[[Axiome d'extensionnalité|axiome d’extensionnalité]] qui dit que si deux ensembles A et B possèdent les mêmes éléments, alors ils sont égaux : <math>\forall A\ \forall B\ [ (\forall x\ [x \in A \Leftrightarrow x \in B]) \Leftrightarrow A = B ]</math><ref name=":0">{{Ouvrage|langue=français|auteur1=Paul R. HALMOS|traducteur=J. Gardelle|langue originale=anglais|titre=INTRODUCTION A LA THÉORIE DES ENSEMBLES|titre original={{langue|en|Naive Set Theory}}|lieu=Paris|éditeur=Éditions Jacques Gabay|année=1997|pages totales=136|passage=11, 18, 21, 15|isbn=2-87647-126-4|présentation en ligne=https://www.gabay-editeur.com/HALMOS-Introduction-a-la-theorie-des-ensembles-2e-ed-1970|consulté le=25 octobre 2024}}</ref>. 
* et les axiomes de « construction » :
** l'[[axiome de la paire]] qui dit que si ''a'' et ''b'' sont des ensembles, leur paire ''C'' est aussi un ensemble : <math>\forall A\  \forall B\ \exists C\ \, \forall x \left(x \in C \Leftrightarrow (x = A \vee x =  B)\right)</math><ref name=":0" /> ;
** l'[[axiome de la réunion]] qui dit que, pour tout ensemble ''E'' (dont les éléments sont des ensembles), il existe un ensemble ''U'' qui est l'union des ensembles éléments de ''E'' : <math>\forall E\ \exists U\ \forall x[x \in U \Leftrightarrow \exists e(e \in E \wedge x \in e)]</math><ref name=":0" /> ;
** l'[[axiome de l'ensemble des parties]] qui dit que la collection ''P'' des parties d'un ensemble ''E'' est un ensemble  : <math>\forall E\ \exists P\ \forall X(X \in P \Leftrightarrow X \subset E)</math>, où l'[[inclusion (mathématiques)|inclusion]] <math>X \subset E</math> signifie : <math>\forall x (x \in X \Rightarrow x\in E) </math> ;
** l'[[axiome de l'infini]] qui énonce l'existence d'un ensemble ''I'' contenant 0 ainsi que, pour chacun de ses éléments ''n'', le successeur ''S''(''n'') de ''n'' : <math>\exists I(\varnothing \in I \wedge \forall n(n \in I \Rightarrow S(n) \in I) 
</math>. Ici ''S''(''n'') est une notation signifiant l'[[Union (mathématiques)|union]] ''n'' ∪ {''n''} de plus, dans ZF, 0 est représenté par l'ensemble vide Ø ;
** le [[schéma d'axiomes de compréhension]] : pour chaque propriété ''P'' « bien définie », et chaque ensemble ''E'', il existe un ensemble ''S'' qui a pour éléments l'ensemble des éléments de ''E'' vérifiant la propriété ''P :'' <math>\forall E\ \exists S\  \forall x(x \in S \Leftrightarrow [x \in E \wedge P(x)]) 
</math><ref name=":0" /> ;
** L'[[axiome de l'ensemble vide]], parfois introduit séparément, dit qu'il existe un ensemble ne contenant rien : <math>\exists E\ \forall x[\neg(x \in E)] 
</math>. Il se déduit du schéma d'axiomes de compréhension (en [[logique du premier ordre]]), en effet : soit ''A'' un ensemble, <math>\varnothing = \{x \in A\ |\ \neg(x = x)\} 
</math>.
Le [[ordinal de Hartogs|théorème de Hartogs]], vu comme l'existence pour tout ensemble ''A'' d'un ensemble [[bon ordre|bien ordonné]]  qui ne s'injecte pas dans ''A'', se démontre dans la théorie de Zermelo.

La théorie de Zermelo comprenait de plus à l'origine l'[[axiome du choix]]. Dans la théorie (Z), le [[théorème de Zermelo]] et le [[lemme de Zorn]] peuvent se déduire de cet axiome supplémentaire<ref>Voir par exemple {{harvsp|Moschovakis|2006}}, chap 8.</ref> et lui sont donc équivalents.

== Théorie de Zermelo-Fraenkel (ZF) ==
=== Schéma d'axiomes de remplacement ===
{{article détaillé|Schéma d'axiomes de remplacement}}
La théorie de Zermelo-Fraenkel étend la théorie de Zermelo et comporte en plus un schéma d'axiomes, le [[schéma d'axiomes de remplacement]], qui énonce essentiellement que l'image d'un ensemble par une relation fonctionnelle est un ensemble, sachant qu'ici « relation fonctionnelle  » est à prendre au sens étendu d'une relation entre ensembles que l'on peut décrire dans le langage de la théorie, et qui vérifie que chaque ensemble possède au plus une image par cette relation, mais dont le graphe n'est pas nécessairement un ensemble (et c'est d'ailleurs dans ce cas qu'il y a vraiment besoin d'un nouvel axiome).

Le schéma d'axiomes de remplacement permet en particulier le développement de la théorie des [[ordinal|ordinaux]].

Le schéma d'axiomes de compréhension se déduit du schéma d'axiomes de remplacement (et donc en particulier l'existence de l'ensemble vide, étant admis que tout univers ensembliste possède au moins un élément).

L'axiome de la paire [[Axiome de la paire#Schéma de remplacement et axiome de la paire|se déduit de l'axiome des parties et du schéma de remplacement]].

=== Axiome de fondation ===

L'axiome de fondation fait ou non partie de la théorie de Zermelo-Fraenkel selon les auteurs. Il est indépendant des autres axiomes et n'est pas nécessaire à la théorie des ordinaux.
* [[Axiome de fondation]] : <math>\forall x \left [ x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y (y \in x \wedge y\cap x=\varnothing) \right ]. 
</math>

== Théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (ZFC) ==
Elle comporte en plus :
* [[Axiome du choix]] : <math>\forall X\left[\varnothing\notin X\Longrightarrow\exists f:X\rightarrow \bigcup X\;\forall A\in X\;(f(A)\in A)\right] 
</math>

== Autres axiomes ==
D'autres axiomes peuvent être ajoutées à la théorie ZFC, comme
* l'[[hypothèse du continu]], qui ne peut ajouter de nouvelle contradiction (si la théorie ZFC avec hypothèse du continu est contradictoire, c'est que la théorie ZFC l'est aussi),
* les [[Grand cardinal|axiomes de grands cardinaux]], qui renforcent la théorie (on peut démontrer la cohérence de la théorie ZFC dans la théorie ZFC plus un axiome de grand cardinal, ce qui entraîne que la cohérence de ZFC plus un axiome de grand cardinal ne se déduit pas de celle de ZFC, par le second [[théorème d'incomplétude]] de [[Kurt Gödel|Gödel]]).

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Liste d'énoncés indécidables dans ZFC]]
* [[Théorie axiomatique]]
* [[Théorie des ensembles]]
* [[Théorie des ensembles de Zermelo]]
* [[Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel]]
* [[Théorie des ensembles de Morse-Kelley]]
* [[Théorie des ensembles non bien fondés]]
* [[Méréologie]]
* [[Richard Montague]]

=== Bibliographie ===
==== Ouvrages introductifs ====
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Yiannis Moschovakis]]|titre=Notes on Set Theory|éditeur=Springer|année=2006|numéro d'édition=2|année première édition=1993|pages totales=278|isbn=978-0-387-28723-2|lire en ligne={{Google Livres|Uz2h4I2Z9PEC}}}}

==== Aspects historiques ====
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Abraham Fraenkel]]|auteur2=[[Yehoshua Bar-Hillel]]|auteur3=[[Azriel Levy]]|année=1973|année première édition=1958|titre=Foundations of Set Theory|éditeur=[[Elsevier (éditeur)|North-Holland]]|url={{Google Livres|ah2bwOwc06MC}}}}
* {{en}} [[Akihiro Kanamori]], « [http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf Set Theory from Cantor to Cohen] », dans Andrew Irvine et John H. Woods (éditeurs), ''The Handbook of the Philosophy of Science'', volume 4, Mathematics, [[Cambridge University Press]], 2008

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://global.britannica.com/EBchecked/topic/346217/history-of-logic/284157/Zermelo-Fraenkel-set-theory-ZF history of logic: Zermelo-Fraenkel set theory (ZF)] sur l’[[Encyclopedia Britannica]].
* {{en}} [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/ZFC ZFC] sur ''{{Lang|en|[[Encyclopædia of Mathematics]]}}''
* {{en}} [http://www.ltn.lv/~podnieks/gt2.html#BM2_3 Set Theory. Zermelo-Fraenkel Axioms. Russell's Paradox. Infinity.], K. Podnieks
* {{MacTutor|class=HistTopics|id=Beginnings_of_set_theory|title=A history of set theory}}

== Notes et références ==
<references />
{{Palette|Systèmes axiomatiques}}
{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Theorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel}}
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]