Voir la source de Théorie des nombres

Traditionnellement, la '''théorie des nombres''' est une branche des [[mathématiques]] qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient [[Entier naturel|entiers naturels]] ou [[Entier relatif|entiers relatifs]]). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses théorèmes et ses problèmes ouverts, dont les énoncés sont souvent faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens. C'est ce qu'exprime la citation suivante, de [[Jürgen Neukirch]] :

{{Citation bloc|La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences<ref>Introduction à l'ouvrage ''{{Lang|en|Cohomology of Number Fields}}''. {{Citation étrangère|Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften.|langue=de}}</ref>.}}

Le terme « [[arithmétique]] » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé ; pour éviter des confusions, on désignait aussi parfois, jusqu'au début du vingtième siècle, la théorie des nombres par le terme « arithmétique supérieure ». Néanmoins, l'adjectif ''arithmétique'' reste assez répandu, en particulier pour désigner des champs mathématiques ([[géométrie algébrique]] arithmétique, arithmétique des courbes et surfaces [[Ellipse (mathématiques)|elliptiques]], etc.), où la restriction des questions et des solutions aux entiers, ou à certaines de leurs extensions, joue un rôle déterminant. Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé en [[Logique mathématique|logique]] pour l'étude des [[Système formel|systèmes formels]] axiomatisant les entiers, comme dans l'[[arithmétique de Peano]].

La théorie des nombres est divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

== Les diverses branches de la théorie des nombres ==
=== Théorie élémentaire des nombres ===
Le terme ''élémentaire'' désigne généralement une méthode qui n'use pas d'[[analyse complexe]]. Par exemple, le [[théorème des nombres premiers]] a été prouvé en utilisant une analyse complexe en 1896, mais la preuve élémentaire n'a été trouvée qu'en 1949 par [[Paul Erdős|Erdős]] et [[Atle Selberg|Selberg]]. Le terme est quelque peu ambigu : par exemple, les preuves basées sur des [[Théorèmes abéliens et taubériens|théorèmes taubériens]] complexes (par exemple le [[théorème de Wiener-Ikehara]]) sont souvent considérées comme très éclairantes mais non élémentaires. Une preuve élémentaire peut être plus longue et plus difficile pour la plupart des lecteurs qu'une preuve non élémentaire.

La théorie des nombres a la réputation d'être un domaine dont beaucoup de résultats peuvent être compris par le profane. En même temps, les preuves de ces résultats ne sont pas particulièrement accessibles, en partie parce que la gamme d'outils qu'ils utilisent est exceptionnellement large en mathématiques<ref>Voir par exemple le commentaire introductif de {{harvsp|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}}.</ref>.

Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :
* La [[conjecture de Goldbach]] concernant l'expression des [[Parité (arithmétique)|nombres pairs]] comme [[Somme (arithmétique)|somme]] de deux [[Nombre premier|nombres premiers]],
* La [[conjecture des nombres premiers jumeaux]] à propos de l'[[infini]]té des [[Nombres premiers jumeaux|paires de nombres premiers]] consécutifs, et
* La [[conjecture de Syracuse]] concernant une simple [[itération]].

La théorie des [[Équation diophantienne|équations diophantiennes]] a même été montrée comme étant ''[[indécidable]],'' c’est-à-dire qu’on peut construire une équation explicite dont l’existence de solutions ne peut être démontrée à l’aide des axiomes usuels des mathématiques (c’est le [[Théorème de Matiiassevitch|théorème de Matiyasevich]]).

=== Théorie analytique des nombres ===
{{Article détaillé|Théorie analytique des nombres}}
[[Fichier:Complex_zeta.jpg|droite|vignette|La [[fonction zêta de Riemann]] ''ζ''(''s'') dans le [[plan complexe]]. La couleur d'un point ''s'' code la valeur de ''ζ''(''s''): les couleurs proches du noir indiquent des valeurs proches de zéro, alors que la teinte code l'[[Argument (mathématiques)|argument]] de la valeur.]]La [[théorie analytique des nombres]] peut être définie :

* par rapport à ses outils, c'est-à-dire l'étude des entiers au moyen d'outils d'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] réelle et complexe{{sfn|Apostol|1976|p=7}} ;
* par rapport à ses intérêts, c'est-à-dire l'étude des estimations sur la taille et la densité, par opposition aux identités<ref>{{harvsp|Granville|2008|loc=section 1}}: {{Citation étrangère|lang=en|The main difference is that in algebraic number theory [...] one typically considers questions with answers that are given by exact formulas, whereas in analytic number theory [...] one looks for ''good approximations''.}}</ref>.

Certains sujets généralement considérés comme faisant partie de la théorie analytique des nombres, par exemple la [[théorie des cribles]], sont définis plutôt par la seconde définition.
[[Fichier:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|gauche|vignette|L'action du [[groupe modulaire]] sur le plan. La région en gris est le [[domaine fondamental]] standard.]]
Voici des exemples de problèmes en théorie analytique des nombres : le théorème des nombres premiers, la [[conjecture de Goldbach]] (ou la conjecture des [[nombres premiers jumeaux]] ou les [[Conjecture de Hardy-Littlewood|conjectures de Hardy-Littlewood]]), le [[problème de Waring]] ou encore l'[[hypothèse de Riemann]]<ref>{{harvsp|Granville|2008|loc=section 3}} : {{Citation étrangère|lang=en|[Riemann] defined what we now call the Riemann zeta function [...] Riemann's deep work gave birth to our subject [...]}}</ref>. Certains des outils les plus importants de la théorie analytique des nombres sont la [[Méthode du cercle de Hardy-Littlewood|méthode du cercle]], les [[Théorie des cribles|méthodes des cribles]] et les [[Fonction L|fonctions ''L'']]. La théorie des [[Forme modulaire|formes modulaires]] (et plus généralement des [[Forme automorphe|formes automorphes]]) occupe également une place de plus en plus centrale en théorie analytique des nombres<ref>Voir les remarques dans l'introduction de {{harvsp|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}} : {{Citation étrangère|lang=en|However much stronger...}}.</ref>.
{{Clr}}

=== Théorie algébrique des nombres ===
{{Article détaillé|Théorie algébrique des nombres}}Un ''[[nombre algébrique]]'' est un [[nombre complexe]] qui est solution d'une [[équation polynomiale]] à coefficients dans le [[Corps commutatif|corps]] <math>\Q</math>. Par exemple, toute solution <math>x</math> de <math>x^5 + (11/2) x^3 - 7 x^2 + 9 = 0 </math> est un nombre algébrique. La [[théorie algébrique des nombres]] étudie les champs de nombres algébriques. Ainsi, les théories analytique et algébrique des nombres peuvent se chevaucher : la première est définie par ses méthodes, la seconde par ses objets d'étude.
[[Fichier:Ernst Eduard Kummer.jpg|vignette|240x240px|Ernst Kummer]]

Les fondations de cette branche telle que nous la connaissons, ont été établies à la fin du {{S-|XIX}}, lorsque les [[Idéal (mathématiques)|idéaux]] et la [[valuation]] ont été développés. L'impulsion du développement des idéaux (par [[Ernst Kummer]]) semble provenir de l'étude des lois de réciprocité supérieure{{sfn|Edwards|2000|p=79}}, c'est-à-dire des généralisations de la [[loi de réciprocité quadratique]].

Les corps sont souvent étudiés comme extensions d'autres corps plus petits: un corps ''L'' est dit être une ''extension'' d'un corps ''K'' si ''L'' contient ''K''. La classification des [[Extension abélienne|extensions abéliennes]] a fait l'objet du programme de [[théorie des corps de classes]], initié à la fin du {{S-|XIX}} (en partie par [[Leopold Kronecker|Kronecker]] et [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]]) et réalisé en grande partie en 1900-1950.

La [[théorie d'Iwasawa]] est un exemple de domaine de recherche actif en théorie algébrique des nombres. Le [[programme de Langlands]], l'un des principaux programme de recherche actuels à grande échelle en mathématiques, est parfois décrit comme une tentative de généraliser la théorie des corps de classes aux extensions non abéliennes.

=== Géométrie diophantienne ===
{{Article détaillé|Géométrie diophantienne}}Le problème central de la ''[[géométrie diophantienne]]'' est de déterminer quand une [[équation diophantienne]] a des solutions, et si oui, combien. L'approche adoptée est de considérer les solutions d'une équation comme un objet géométrique.

Par exemple, une équation à deux variables définit une [[Courbe plane|courbe]] dans le plan. Plus généralement, une équation, ou un système d'équations, à deux ou plusieurs variables définit une courbe, une [[Surface (géométrie analytique)|surface]], etc., dans un espace à ''n'' dimensions. En géométrie diophantienne, on se demande s'il existe des [[Point rationnel|''points rationnels'']] (points dont toutes les coordonnées sont rationnelles) ou des ''points entiers'' (points dont toutes les coordonnées sont des entiers) sur la courbe ou la surface. S'il y a de tels points, l'étape suivante consiste à demander combien il y en a et comment ils sont répartis. Une question fondamentale dans cette direction est la suivante : existe-t-il un nombre fini ou infini de points rationnels sur une courbe (ou surface) donnée ? Qu'en est-il des points entiers ?

Un exemple serait l'[[Théorème de Pythagore|équation de Pythagore]] <math>x^2+y^2 = 1</math> ; nous voudrions étudier ses solutions rationnelles, c'est-à-dire ses solutions <math>(x,y)</math> telles que ''x'' et ''y'' soient tous deux [[Nombre rationnel|rationnels]]. Cela revient à demander toutes les solutions entières de <math>a^2 + b^2 = c^2</math> ; toute solution à cette dernière équation nous donne une solution <math>x = a/c</math>, <math>y = b/c</math>. Cela est équivalent au fait de demander tous les points à coordonnées rationnelles sur la courbe décrite par <math>x^2 + y^2 = 1</math> (cette courbe se trouve être le [[cercle unité]]).
[[Fichier:ECClines-3.svg|droite|vignette|upright=1.7|Deux exemples de [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]]. Celles-ci peuvent être vues comme une tranche d'un [[tore]] en quatre dimensions.]]
La reformulation des questions sur les équations en termes de points sur les courbes s'avère fructueuse. La finitude ou non du nombre de points rationnels ou entiers sur une [[courbe algébrique]], s'avère dépendre de façon cruciale du genre de la courbe. Ce domaine est étroitement lié aux [[Approximation diophantienne|approximations diophantiennes]] : étant donné un nombre, à quel point peut-il être approché par des rationnels ? (On considère qu'un rationnel <math>a/b</math>, avec ''a'' et ''b'' premiers entre eux, est une bonne approximation de <math>x</math> si <math>|x-a/b|<\frac1{b^c}</math>, où <math>c</math> est grand.) Cette question est d'un intérêt particulier si <math>x</math> est un nombre algébrique. Si <math>x</math> ne peut pas être bien approximé, alors certaines équations n'ont pas de solutions entières ou rationnelles. De plus, plusieurs concepts s'avèrent cruciaux à la fois en géométrie diophantienne et dans l'étude des approximations diophantiennes. Cette question est également d'un intérêt particulier en [[théorie des nombres transcendants]] : si un nombre peut être mieux approché que n'importe quel nombre algébrique, alors c'est un [[nombre transcendant]]. C'est par cet argument qu'il a été démontré que <math>\pi</math> et <math>\mathrm e</math> sont transcendants.

La géométrie diophantienne ne doit pas être confondue avec la [[géométrie des nombres]], qui est une collection de méthodes graphiques pour répondre à certaines questions de la théorie algébrique des nombres. Le terme de géométrie arithmétique est sans doute le plus souvent utilisé lorsque l'on veut mettre l'accent sur les liens avec la géométrie algébrique moderne (comme le [[théorème de Faltings]]) plutôt que sur les techniques des approximations diophantiennes.

== Approches et branches récentes ==

=== Théorie probabiliste des nombres ===
En prenant un nombre au hasard entre un et un million, quelle est la probabilité qu'il soit premier ? C'est juste une autre façon de demander combien il y a de nombres premiers entre un et un million. Et combien de diviseurs aura-t-il, en moyenne ?

Une grande partie de ''la théorie probabiliste des nombres'' peut être considérée comme une branche de l'étude de variables qui sont presque [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]] les unes des autres. Parfois, une approche probabiliste non rigoureuse conduit à un certain nombre d'algorithmes [[Heuristique (mathématiques)|heuristiques]] et de problèmes ouverts, notamment la [[conjecture de Cramér]].

=== Théorie combinatoire des nombres ===
Soit ''A'' un ensemble de ''N'' entiers. Considérons l'ensemble ''A'' + ''A'' = { ''m'' + ''n'' | ''m'', ''n'' ∈ ''A'' } constitué de toutes les sommes de deux éléments de ''A''. ''A'' + ''A'' est-il beaucoup plus grand que ''A''? À peine plus grand ? ''A'' ressemble-t-il à une [[suite arithmétique]]? Si nous partons d'un ensemble infini ''A'' assez grand, contient-il beaucoup d'éléments dans la progression arithmétique <math>a+b, a+2 b, a+3 b, \ldots, a+nb</math> ?

Ces questions sont caractéristiques de la théorie combinatoire des nombres. Son intérêt pour les questions de croissance et de distribution tient en partie au développement de ses liens avec la [[théorie ergodique]], la [[Théorie des groupes|théorie des groupes finis]], la [[théorie des modèles]] et d'autres domaines. Les ensembles étudiés n'ont pas besoin d'être des ensembles d'entiers, mais plutôt des sous-ensembles de groupes non [[Loi commutative|commutatifs]], pour lesquels le symbole de multiplication, et non le symbole d'addition, est traditionnellement utilisé; ils peuvent également être des sous-ensembles d'[[Anneau (mathématiques)|anneaux]].

=== Théorie algorithmique des nombres ===
{{Article détaillé|Théorie algorithmique des nombres}}
Il y a deux questions principales: « pouvons-nous calculer cela ? » et « pouvons-nous le calculer rapidement ? ». N'importe qui peut tester si un nombre est premier ou, si ce n'est pas le cas, obtenir sa [[Décomposition en produit de facteurs premiers|décomposition en facteurs premiers]] ; le faire rapidement devient plus compliqué. Nous connaissons aujourd'hui des algorithmes rapides pour [[Test de primalité|tester la primalité]], mais, malgré beaucoup de travail (à la fois théorique et pratique), aucun algorithme n'est vraiment rapide pour cette tâche.

La difficulté d'un calcul peut être utile : les protocoles modernes de [[Chiffrement|chiffrement de messages]] (par exemple, le [[Chiffrement RSA|RSA]]) dépendent de fonctions connues de tous, mais dont les inverses ne sont connus que d'un petit nombre, et les trouver par ses propres moyens prendrait trop de temps. Alors que de nombreux problèmes de calcul en dehors de la théorie des nombres sont connus, la plupart des protocoles de chiffrement actuels sont basés sur la difficulté de quelques problèmes théoriques.

Il s'avère que certaines choses peuvent ne pas être [[Calculabilité|calculables]] du tout ; cela peut être prouvé dans certains cas. Par exemple, en 1970, il a été prouvé, résolvant ainsi le [[dixième problème de Hilbert]], qu'il n'existe pas de [[machine de Turing]] capable de résoudre toutes les équations diophantiennes<ref>{{chapitre|auteur ouvrage=[[Felix Browder|Felix E. Browder]] (dir.)|titre ouvrage=Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems|collection=Proc. Symp. Pure Math.|numéro dans collection=XXVIII.2|année=1976|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|isbn=0-8218-1428-1|page=323-378|prénom1=Martin|nom1=Davis|lien auteur1=Martin Davis|prénom2=Yuri|nom2=Matiyasevich|lien auteur2=Yuri Matiyasevich|prénom3=Julia|nom3=Robinson|lien auteur3=Julia Robinson|titre chapitre=Hilbert's Tenth Problem: Diophantine Equations: Positive Aspects of a Negative Solution|zbl=0346.02026}}. Réimprimé dans ''The Collected Works of Julia Robinson'', édité par [[Solomon Feferman]], p. 269-378, AMS, 1996.</ref>. Cela signifie que, compte tenu d'un ensemble d'axiomes calculables et énumérables, il existe des équations diophantiennes pour lesquelles il n'existe aucune démonstration, à partir des axiomes, de savoir si l'ensemble des équations a ou non des solutions entières.

== Histoire ==

=== Origines ===

==== Aube de l'arithmétique ====
[[Fichier:Plimpton_322.jpg|vignette|La tablette [[Plimpton 322]].]]
La découverte historique d'une nature arithmétique est un fragment de tableau : la tablette d'argile brisée [[Plimpton 322]] ([[Larsa]], [[Mésopotamie]], vers 1800 avant notre ère) contient une liste « [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]] », c'est-à-dire des entiers tels que <math>a^2+b^2=c^2</math><ref>Neugebauer {{harv|Neugebauer|1969|p=36-40}} discute en détail le tableau et mentionne incidemment la méthode d'Euclide en notation moderne : {{harv|Neugebauer|1969|p=39}}.</ref>. Ceux-ci sont trop grands pour avoir été obtenus par [[recherche exhaustive]]<ref>{{harvsp|Neugebauer et Sachs 1945|p=40}}. {{Traduire|texte original=The term ''takiltum'' is problematic. Robson prefers the rendering}} {{Citation étrangère|lang=en|The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...}} {{harvsp|Robson|2001|p=192}}.</ref>. La disposition de la tablette suggère<ref>{{harvsp|Robson|2001|p=189}}. {{Commentaire biblio SRL|D'autres sources donnent la formule moderne <math>(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)</math>. Van der Waerden donne à la fois la formule moderne et celle que semble préférer Robson.}} {{harv|van der Waerden 1961|p=79}}.</ref> qu'elle a été construite au moyen de ce qui équivaut, dans un langage moderne, à l'identité{{sfn|van der Waerden 1961|p=184}}

:<math>\left(\frac12\left(x - \frac1x\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac12\left(x + \frac1x\right)\right)^2</math>.

Alors que la théorie des nombres babylonienne consiste en ce seul fragment, l'algèbre babylonienne (au sens de l'« algèbre » des [[Études secondaires en France|études secondaires]]) était exceptionnellement bien développée{{sfn|van der Waerden 1961|p=43}}. [[Pythagore]] aurait appris les mathématiques auprès des Babyloniens<ref name="vanderW2">[[Jamblique]], ''[[Vie de Pythagore (Jamblique)|Vie de Pythagore]]'', cité dans {{harvsp|van der Waerden 1961|p=108}}. Voir aussi [[Porphyre de Tyr|Porphyre]], ''[[Vie de Pythagore (Porphyre)|Vie de Pythagore]]'', paragraphe 6. Van der Waerden {{harv|van der Waerden 1961|p=87-90}} renforce l'idée que Thalès ait connu les mathématiques babyloniennes.</ref>. Beaucoup de sources antérieures<ref name="stanencyc">Herodotus (II. 81) et Isocrates (''Busiris'' 28), cités dans {{Chapitre|lang=en|prénom=Carl A.|nom=Huffman|prénom2=Edward N.|nom2=Zalta|titre=Pythagoras|titre ouvrage=Stanford Encyclopaedia of Philosophy|date=8 août 2011|url=http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/pythagoras/}}. Sur Thalès, voir Eudemus {{Traduire|texte original=ap.}} Proclus, 65.7 (par exemple dans {{harvsp|Morrow 1992|p=52}}) cité dans : {{harvsp|O'Grady|2004|p=1}}. Proclus utilise une œuvre de [[Eudemus of Rhodes]] (aujourd'hui disparue), le ''Catalogue des géomètres''. Voir aussi introduction, {{harvsp|Morrow 1992|p=_ _ _}} {{Traduire|texte original=on Proclus's reliability}}.</ref> déclarent que [[Thalès]] et Pythagore ont voyagé et étudié en [[Égypte]].

La découverte de l'irrationalité de [[Racine carrée de deux|{{sqrt|2}}]] est attribuée aux premiers pythagoriciens<ref name="Thea">Platon, ''[[Théétète (Platon)|Théétète]]'', {{p.|147}} B, cité dans {{harvsp|von Fritz|2004|p=212}} : {{Citation étrangère|lang=en|Theodorus was writing out for us something about roots, such as the roots of three or five, showing that they are incommensurable by the unit;...}}. Voir aussi la spirale de [[Théodore de Cyrène]].</ref>{{,}}{{sfn|van der Waerden 1961|p=109}}{{,}}{{sfn|Becker|1936}}. Cette découverte semble avoir provoqué la première crise de l'histoire mathématique ; sa preuve et sa diffusion sont parfois attribuées à [[Hippase de Métaponte|Hippase]], qui a été expulsé de la secte pythagoricienne{{sfn|von Fritz|2004}}. Cela a forcé à faire une distinction entre les nombres (entiers et rationnels), d'une part, et les longueurs et les proportions ([[Nombre réel|nombres réels]]), d'autre part{{sfn|Heath|1921|p=76}}.

Le [[théorème des restes chinois]] apparaît comme un exercice dans le traité ''[[Sunzi Suanjing]]'' ({{-s mini-|III}}, {{-s mini-|IV}}, ou {{-s-|V}})<ref>''Sunzi Suanjing'', chap. 3, problème 26. Celui-ci se trouve dans {{harvsp|Lam|Ang|2004|p=219-220}}, qui contient une traduction complète du ''Suan Ching'' (d'après {{harvsp|Qian|1963}}). Voir aussi la discussion dans {{harvsp|Lam|Ang|2004|p=138-140}}.</ref>{{,}}<ref name="YongSe">{{Traduire|texte original=The date of the text has been narrowed down to 220-420 AD (Yan Dunjie) or 280-473 AD (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text).}} Voir {{harvsp|Lam|Ang|2004|p=27-28}}.</ref>.

==== Grèce antique et début de l'époque hellénistique ====
En dehors de quelques fragments, les [[mathématiques de la Grèce antique]] nous sont connues soit par les rapports de non-mathématiciens contemporains ou à travers des œuvres mathématiques de la période hellénistique{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=82}}. Dans le cas de la théorie des nombres, cela inclus [[Platon]] et [[Euclide]]. Platon s'intéressait aux mathématiques et distinguait nettement l'arithmétique et le calcul. (Par arithmétique, il entendait la théorisation sur le nombre.) C'est à travers un des dialogues de Platon, [[Théétète (Platon)|''Théétète'']], que nous savons que [[Théodore de Cyrène|Théodore]] a prouvé que <math>\sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17}</math> sont des [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]]. Théétète était, comme Platon, un disciple de Théodore; il a travaillé sur la distinction des différents types de [[Commensurabilité (mathématiques)|commensurabilité]], et était donc sans doute un pionnier dans l'étude des systèmes numériques.

[[Euclide]] a consacré une partie de ses ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' aux nombres premiers et à la divisibilité, sujets centraux en théorie des nombres (Livres VII à IX des ''Éléments'' d'Euclide). En particulier, il a donné un algorithme pour calculer le [[plus grand commun diviseur]] de deux nombres (''Éléments'', Prop. VII.2) et la première preuve connue de l’existence d'une [[Théorème d'Euclide sur les nombres premiers|infinité des nombres premiers]] (''Éléments'', Prop. IX.20).

==== Diophante ====
[[Fichier:Diophantus-cover.jpg|vignette|Page de couverture de l'édition de 1621 de l{{'}}''Arithmetica'' de Diophante, traduite en [[latin]] par [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].]]
Nous ne savons que très peu de choses sur [[Diophante d'Alexandrie]] ; il a probablement vécu au troisième siècle de notre ère, c'est-à-dire environ cinq cents ans après Euclide. L{{'}}''[[Arithmétiques|Arithmetica]]'' est une collection de problèmes où la tâche est de trouver des solutions rationnelles à des équations polynomiales, généralement de la forme ou <math>f(x,y)=z^2</math> ou <math>f(x,y,z)=w^2</math>. Ainsi, de nos jours, on parle d'[[Équation diophantienne|équations diophantiennes]] quand on parle d'équations polynomiales dont on doit trouver des solutions rationnelles ou entières.

Tandis que Diophante s'intéressait surtout aux solutions rationnelles, il émettait des conjectures sur les entiers naturels, comme le fait que [[Théorème des quatre carrés de Lagrange|tout entier est la somme de quatre carrés]].

==== Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara ====
Alors que l'astronomie grecque a probablement influencé l'apprentissage indien, au point d'introduire la trigonométrie{{sfn|Plofker|2008|p=119}}, il semble que les [[mathématiques indiennes]] soient une tradition indigène<ref name="Plofbab">La possibilité d'un contact précoce entre mathématiques babyloniennes et indiennes reste à l'état de conjecture. {{harv|Plofker|2008|p=42}}.</ref> ; en effet, il n'y a aucune preuve que les ''Éléments'' d'Euclide aient atteint l'Inde avant le {{S-|XVIII}}{{sfn|Mumford|2010|p=387}}.

[[Aryabhata|Āryabhaṭa]] (476-550 av. J.C.) a montré que les paires de congruences <math>n\equiv a_1 \bmod m_1</math>, <math>n\equiv a_2 \bmod m_2</math> pouvaient être résolues par une méthode qu'il a appelée ''kuṭṭaka''<ref>Āryabhaṭa, ''Āryabhatīya'', chap. 2, vers 32-33, cité dans : {{harvsp|Plofker|2008|p=134-140}}. Voir aussi {{harvsp|Clark|1930|p=42-50}}. Une description sensiblement plus explicite de la ''kuṭṭaka'' a plus tard été faite dans [[Brahmagupta]], ''Brāhmasphuṭasiddhānta'', XVIII, 3-5 (dans {{harvsp|Colebrooke|1817|p=325}}, cité dans {{harvsp|Clark|1930|p=42}}).</ref> ; c'est une procédure proche et généralisée de l'[[algorithme d'Euclide]], qui a probablement été découvert indépendamment en Inde{{sfn|Mumford|2010|p=388}}{{,}}{{sfn|Plofker|2008|p=119}}. [[Brahmagupta]] (628 avant J.C.) a commencé l'étude des équations quadratiques, en particulier l'[[équation de Pell-Fermat]], à laquelle [[Archimède]] s'était déjà intéressé, et qui n'a commencé à être résolue en Occident qu'avec [[Pierre de Fermat|Fermat]] et [[Leonhard Euler|Euler]]. Une procédure générale (la méthode [[Méthode chakravala|chakravala]]) pour résoudre l'équation de Pell-Fermat a été trouvée par Jayadeva (cité au {{S-|XI}}, son travail est perdu) ; la première exposition survivante apparaît dans ''Bīja-gaṇita'' de [[Bhāskara II]]{{sfn|Plofker|2008|p=194}}. Les mathématiques indiennes sont restées inconnues en Europe jusqu'à la fin du {{S-|XVIII}}{{sfn|Plofker|2008|p=283}}. Le travail de Brahmagupta et Bhāskara a été traduit en anglais en 1817 par [[Henry Thomas Colebrooke|Henry Colebrooke]]{{sfn|Colebrooke|1817}}.

==== Arithmétique à l'âge d'or islamique ====
[[Fichier:Hevelius_Selenographia_frontispiece.png|gauche|vignette|Johannes Hevelius, Selenographia (Gdansk, 1647). Représentations d'Alhasen, [[Alhazen|Ibn al-Haytham]], à gauche, tenant un diagramme géométrique symbolisant la [[Rationalisme|connaissance par la raison]] et [[Galilée (savant)|Galilée]] à droite, tenant un télescope et symbolisant la [[Empirisme|connaissance par les sens]].]]
Au début du {{S-|IX}}, le calife [[Al-Ma’mūn|Al-Ma'mūn]] ordonna la traduction de nombreuses œuvres mathématiques grecques et d'au moins une œuvre sanscrite (le ''Sindhind'', qui pourrait<ref>{{harvsp|Colebrooke|1817|p=lxv}}, cité dans {{chapitre|lang=en|nom=Hopkins|prénom=J. F. P.|auteurs ouvrage=M. J. L. Young, J. D. Latham et R. B. Serjeant|année=1990|titre chapitre=Geographical and Navigational Literature|titre ouvrage=Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period|collection=The Cambridge History of Arabic Literature|éditeur=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-32763-3|page=302}}. Voir aussi la préface de {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Eduard Sachau]]|titre=[[al-Biruni|Alberuni]]'s India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India|volume=1|lieu=Londres|éditeur=Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co.|année=1888|présentation en ligne=http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Sachau%2C%20Eduard%2C%201845-1930}}, citée dans {{harvsp|Smith|1958|p=168}}.</ref> ou non<ref name="Plofnot">{{article|lang=en|auteur1=[[David Pingree]]|année=1968|titre=The Fragments of the Works of {{Lien|Yaʿqūb ibn Ṭāriq}}|journal=Journal of Near Eastern Studies|volume=26|p.=97-125}} et {{article|lang=en|auteur1=[[David Pingree]]|année=1970|titre=The Fragments of the Works of [[Muhammad al-Fazari|al-Fazari]]|journal=Journal of Near Eastern Studies|volume=28|p.=103-123}}, cité dans {{harvsp|Plofker|2008|p=256}}.</ref> être le ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' de [[Brahmagupta]]). L'œuvre principale de Diophante, l{{'}}''[[Arithmétiques|Arithmetica]]'', a été traduite en arabe par [[Qusta ibn Luqa]] (820-912). Selon Roshdi Rashed{{sfn|Rashed|1980|p=305-321}}, [[Alhazen]], contemporain d'[[Al-Karaji]], connaissait ce qui sera plus tard appelé le [[théorème de Wilson]].

==== L'Europe de l'Ouest au Moyen Âge ====
À part un traité sur les carrés en progression arithmétique par [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]], aucun progrès en théorie des nombres ne fut effectuée en Europe de l'Ouest au [[Moyen Âge]]. Les choses ont commencé à changer en Europe à la fin de la Renaissance, grâce à une étude renouvelée des œuvres de l'Antiquité grecque.

=== Théorie des nombres moderne ===

==== Fermat ====
[[Fichier:Pierre_de_Fermat.png|vignette|Pierre de Fermat.]]
[[Pierre de Fermat]] (1601-1665) n'a jamais publié ses écrits ; en particulier, son travail sur la théorie des nombres est contenu presque entièrement dans des lettres aux mathématiciens et dans les notes et marges privées{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=45-46}}. Il n'a presque écrit aucune démonstration en théorie des nombres. Il n'avait aucun modèle dans le domaine<ref>{{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=118}}. {{Traduire|texte original=This was more so in number theory than in other areas (remark in {{harvsp|Mahoney|1994|p=284}}). Bachet's own proofs were {{Citation|ludicrously clumsy}}}} {{harv|Weil|texte=Weil 1984|p=33}}.</ref>. Il a fait un usage répété du [[raisonnement par récurrence]], en introduisant la [[méthode de descente infinie]]. Un des premiers intérêts de Fermat était les [[Nombre parfait|nombres parfaits]] (qui apparaissent dans les ''Éléments'' IX d'Euclide) et les [[nombres amicaux]] ; ceci l'amène à travailler sur des diviseurs entiers, qui furent dès le début parmi les sujets de la correspondance (année 1636 et suivantes) qui le mettent en contact avec la communauté mathématique de l'époque<ref>{{harvsp|Mahoney|1994|pp=48, 53-54}}. {{Traduire|texte original=The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636}}, {{harvsp|Tannery et Henry 1891|loc=vol. II, p. 72, 74}}, cité dans {{harvsp|Mahoney|1994|p=54}}.</ref>. Il avait déjà étudié attentivement l'édition de Bachet de Diophante{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=1-2}} ; après 1643, ses intérêts se sont portés vers les problèmes diophantiens et somme de carrés{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=53}} (aussi traités par Diophante).

Les résultats de Fermat en arithmétique incluent :

* Le [[petit théorème de Fermat]] (1640)<ref>{{harvsp|Tannery et Henry 1891|loc=vol. II, p. 209}}, {{nobr rom|Lettre XLVI}} de Fermat à Frenicle, 1640, citée dans {{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=56}}.</ref>, indiquant que, si ''a'' n'est pas divisible par un nombre premier ''p'', alors <math>a^{p-1} \equiv 1 \bmod p</math>.
* Si ''a'' et ''b'' ne sont pas premiers entre eux, <math>a^2 + b^2</math> n'est pas divisible par n'importe quel nombre premier congru à −1 modulo 4<ref>{{harvsp|Tannery et Henry 1891|loc=vol. II, p. 204}}, cité dans {{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=63}}. {{Traduire|texte original=All of the following citations from Fermat's ''Varia Opera'' are taken from {{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|loc=chap. II}}. The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous ''Varia Opera Mathematica'' originally prepared by his son}} {{harv|Fermat|1679}}.</ref> et tout nombre premier congru à 1 modulo 4 peut être écrit sous la forme <math>a^2 + b^2</math>{{sfn|Tannery et Henry 1891|loc=vol. II, p. 213}}. Ces deux énoncé datent de 1640 ; en 1659, Fermat écrivit à [[Christian Huygens|Huygens]] qu'il avait prouvé la dernière déclaration par descente infinie{{sfn|Tannery et Henry 1891|loc=vol. II, p. 423}}. Fermat et Frenicle ont fait quelques travaux (certains erronés) sur d'autres formes quadratiques{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=80, 91-92}}.
* Fermat a posé le problème de la résolution de <math>x^2 - N y^2 = 1</math> comme un défi pour les mathématiciens anglais (1657). Le problème a été résolu en quelques mois par Wallis et Brouncker{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=92}}. Fermat a considéré leur solution valide, mais a souligné qu'ils avaient fourni un algorithme sans preuve (comme Jayadeva et Bhaskara, bien que Fermat ne le saurait jamais). Il déclare qu'une preuve peut être trouvée par descente infinie.
* Fermat déclare et prouve (par descente infinie) en appendice aux observations sur Diophante (Obs XLV) que l'[[équation diophantienne]] <math>x^4+ y^4= z^4</math> n'a pas de solutions non triviales dans les entiers{{sfn|Tannery et Henry 1891|loc=vol. I, p. 340-341}}. Fermat a également mentionné à ses correspondants qu'il n'y a pas de solutions non triviales à <math>x^3 + y^3 = z^3</math>, et que cela pourrait être prouvé par descente infinie{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=115}}. La première preuve connue est due à Euler (1753, par descente infinie){{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=115-116}}.

La déclaration de Fermat (« [[dernier théorème de Fermat]] ») d'avoir montré qu'il n'y a pas de solutions à l'équation <math>x^n + y^n = z^n</math> pour tout <math>n\geq 3</math> apparaît seulement en marge d'une copie d'''Arithmetica'' de Diophante.

==== Euler ====
[[Fichier:Leonhard_Euler.jpg|vignette|Leonhard Euler.]]
L'intérêt de [[Leonhard Euler]] (1707-1783) pour la théorie des nombres fut d'abord stimulé en 1729, quand un de ses amis, l'amateur [[Christian Goldbach|Goldbach]], l'orienta vers une partie du travail de Fermat sur le sujet{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=2, 172}}{{,}}{{sfn|Varadarajan|2006|p=9}}. Cela a été appelé la « renaissance » de la théorie moderne des nombres{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=1-2}}, après le relatif manque de succès de Fermat pour attirer l'attention de ses contemporains sur le sujet<ref>{{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=2}} et {{harvsp|Varadarajan|2006|p=37}}</ref>. Le travail d'Euler sur la théorie des nombres comprend les éléments suivants<ref>{{harvsp|Varadarajan|2006|p=39}} et {{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=176-189}}.</ref> :
* ''Preuves des déclarations de Fermat''. Cela inclut le [[petit théorème de Fermat]] (généralisé par Euler aux modules non premiers) ; le fait que <math>p = x^2 + y^2</math> si et seulement si <math>p\equiv 1 \bmod 4</math> ; un travail en vue d'une preuve du théorème des quatre carrés (la première preuve complète est de [[Joseph-Louis Lagrange]] (1770), ensuite améliorée par Euler lui-même{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=178-179}}) ; l'absence de solutions entières non nulles à <math>x^4 + y^4 = z^2</math> (impliquant le cas ''n'' = 4 du dernier théorème de Fermat, le cas ''n'' = 3 a aussi été traité par Euler).
* L'''équation de Pell-Fermat''<ref name="Eulpell">{{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=174}}. {{Traduire|texte original=Euler was generous in giving credit to others {{harv|Varadarajan|2006|p=14}}, not always correctly.}}</ref>, et de son lien aux [[Fraction continue|fractions continues]]{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=183}}.
* ''Premiers pas vers la théorie analytique des nombres''. Dans son travail de sommes de quatre carrés, de [[Partition (mathématiques)|partitions]], de [[Nombre pentagonal|nombres pentagonaux]] et de la distribution des nombres premiers, Euler fut le pionnier de l'utilisation de ce qui peut être vu comme une analyse (en particulier, des [[Série (mathématiques)|séries infinies]]) en théorie des nombres. Il a effectué un travail précoce remarquable (mais non entièrement rigoureux) sur ce que l'on appellera plus tard la [[fonction zêta de Riemann]]<ref>{{harvsp|Varadarajan|2006|p=45-55}} ; voir aussi chap. III.</ref>.
* ''Formes quadratiques.'' À la suite de Fermat, Euler a poursuivi ses recherches sur la question de savoir quels nombres premiers pouvaient être exprimés sous la forme <math>x^2 + N y^2</math>, préfigurant alors la [[loi de réciprocité quadratique]]{{sfn|Varadarajan|2006|p=44-47}}{{,}}{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=177-179}}{{,}}{{sfn|Edwards|1983|p=285-291}}.
* ''Équations diophantiennes.'' Euler a travaillé sur quelques équations diophantiennes{{sfn|Varadarajan|2006|p=55-56}}{{,}}{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=179-181}}. En particulier, il a étudié le travail de Diophante, et a essayé de le systématiser, mais le temps n'était pas encore mûr pour un tel effort — la [[géométrie algébrique]] était encore à ses balbutiements{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=181}}. Il remarqua un lien entre les problèmes diophantiens et les [[Intégrale elliptique|intégrales elliptiques]], dont il avait lui-même initié l'étude{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=181}}.

==== Lagrange, Legendre, et Gauss ====
[[Fichier:Disqvisitiones-800.jpg|vignette|''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' de [[Carl Friedrich Gauss]], première édition.]]
[[Joseph-Louis Lagrange]] (1736-1813) fut le premier à donner des preuves complètes à certains travaux et observations de Fermat et Euler – par exemple, le [[Théorème des quatre carrés de Lagrange|théorème des quatre carrés]] et la théorie de l'[[équation de Pell-Fermat]]. Il a également étudié les [[Forme quadratique|formes quadratiques]] définissant leur [[relation d'équivalence]], montrant comment les mettre sous forme réduite, etc.

[[Adrien-Marie Legendre]] (1752-1833) fut le premier à énoncer la [[loi de réciprocité quadratique]]. Il a également [[Conjecture|conjecturé]] ce qui équivaut aujourd'hui au [[théorème des nombres premiers]] et au [[Théorème de la progression arithmétique|théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques]]. Il a donné une analyse complète de l'équation <math>a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0</math>{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=327-328 et 332-334}}. Durant la fin de sa vie, il fut le premier à prouver le dernier théorème de Fermat pour ''n'' = 5{{sfn|Weil|texte=Weil 1984|p=337-338}}.
Dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae|Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798), [[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) a démontré la loi de réciprocité quadratique et développé la théorie des formes quadratiques. Il a également introduit la notation de [[Congruence sur les entiers|congruence]] et a consacré une section aux [[Test de primalité|tests de primalité]]{{sfn|Goldstein|Schappacher|2007|p=14}}. La dernière section des ''Disquisitiones'' établit un lien entre les [[Racine de l'unité|racines de l'unité]] et la théorie des nombres<ref>{{Traduire|texte original=From the preface of}} ''Disquisitiones Arithmeticae'' ; {{Traduire|texte original=the translation is taken from}} {{harvsp|Goldstein|Schappacher|2007|p=16}}</ref>. De cette façon, Gauss a sans doute amorcé le travail d'[[Évariste Galois]] et de la [[théorie algébrique des nombres]].

=== Division en sous-domaines ===
[[Fichier:Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.jpg|gauche|vignette|[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]].]]
Commençant au début du {{S-|XIX}}, les développements suivants ont progressivement eu lieu :
* L'émergence de la théorie des nombres comme domaine d'étude<ref>{{Traduire|texte original=See the discussion in section 5 of {{harvsp|Goldstein|Schappacher|2007}}. Early signs of self-consciousness are present already in letters by Fermat: thus his remarks on what number theory is, and how "Diophantus's work [...] does not really belong to [it]" (quoted in}} {{harvsp|Weil|texte=Weil 1984|p=25}}).</ref>.
* Le développement d'une grande partie des mathématiques modernes nécessaires à la théorie moderne des nombres : [[analyse complexe]], [[théorie des groupes]], [[théorie de Galois]] — accompagné d'une plus grande rigueur d'analyse et d'abstraction dans l'algèbre.
* La subdivision primitive de la théorie des nombres en ses sous-domaines modernes, en particulier la [[Théorie analytique des nombres|théorie analytique]] et [[Théorie algébrique des nombres|algébrique]] des nombres. La théorie algébrique des nombres émerge avec l'étude de la réciprocité et de la cyclotomie, mais celle-ci a véritablement pris son essor avec le développement de l'[[Algèbre générale|algèbre abstraite]] et de la théorie de la [[valuation]]. Un point de départ de la théorie analytique des nombres est le [[Théorème de la progression arithmétique|théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques]] (1837){{sfn|Apostol|1976|p=7}}{{,}}{{sfn|Davenport|Montgomery|2000|p=1}}, dont la preuve introduisait les [[Fonction L|fonctions ''L'']] et impliquait une [[Asymptotique|analyse asymptotique]]<ref>{{Traduire|texte original=See the proof in {{harvsp|Davenport|Montgomery|2000|loc=section 1}}.}}</ref>. La première utilisation des idées analytiques en théorie des nombres revient à Euler (1730){{sfn|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}}{{,}}{{sfn|Varadarajan|2006|loc=sections 2.5, 3.1 and 6.1}} avec l'utilisation de séries et de limites. L'utilisation de l'analyse complexe en théorie des nombres vient plus tard : le travail de [[Bernhard Riemann]] (1859) sur la fonction zêta est le point de départ{{sfn|Granville|2008|p=322-348}}. Le [[Théorème de Jacobi|théorème des quatre carrés de Jacobi]] (1839) a pris un rôle de premier plan en théorie analytique des nombres ([[Forme modulaire|formes modulaires]])<ref>{{Traduire|texte original=See the comment on the importance of modularity in {{harvsp|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}}.}}</ref>.
{{Clr}}

== Citation ==
{{Citation|La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques.}} Gauss

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Number theory|835159607|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| commons = Category:Number theory
| wikiversity = Département:Théorie des nombres
}}

=== Bibliographie ===
;Ouvrages cités
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Tom M.|nom1=Apostol|lien auteur1=Tom M. Apostol|titre=Introduction to Analytic Number Theory|éditeur=Springer|collection=Undergraduate Texts in Mathematics|année=1976|pages totales=340|isbn=978-0-387-90163-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Il64dZELHEIC|consulté le=2016-02-28}}
* {{article|année=1936|auteur=[[Oskar Becker]]|langue=de|titre=Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente|journal=Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung B:Studien|volume=3|pages=533-553}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Carl Benjamin|nom1=Boyer|lien auteur1=Carl Benjamin Boyer|prénom2=Uta C.|nom2=Merzbach|lien auteur2=Uta Merzbach|titre=A History of Mathematics|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=1991|numéro d'édition=2|année première édition=1968|pages totales=736|isbn=978-0-471-54397-8}}, édition 1968 sur archive.org
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=Aryabhata|lien auteur1=Aryabhata|prénom2=Walter Eugene|nom2=Clark|responsabilité2=traducteur|titre=The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa : An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy|éditeur=[[University of Chicago Press]]|année=1930|lire en ligne=https://archive.org/details/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930|consulté le=2016-02-28}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Henry Thomas|nom1=Colebrooke|lien auteur1=Henry Thomas Colebrooke|titre=Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara|lieu=Londres|éditeur=[[John Murray (maison d'édition)|J. Murray]]|année=1817|lire en ligne=https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft|consulté le=2016-02-28}}
* {{ouvrage|lang=en|auteur=[[Harold Davenport]]|année=2000|nom2=Montgomery|prénom2=Hugh L.|lien auteur2=Hugh Montgomery|titre=Multiplicative Number Theory|numéro édition=3 (révisée)|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=74|éditeur=Springer|isbn=978-0-387-95097-6}}
* {{article|lang=en|nom=Edwards|prénom=Harold M.|lien auteur=Harold Edwards|année=1983|titre=Euler and Quadratic Reciprocity|journal=Mathematics Magazine|volume=56|numéro=5|p.=285-291|jstor=2690368}}
* {{ouvrage|lang=en|nom=Edwards|prénom=Harold M.|année=2000|année première édition=1977|titre=Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory|numéro édition=réimpression de l'édition de 1977|collection=GTM|numéro dans collection=50|éditeur=Springer Verlag|isbn=978-0-387-95002-0|url=https://books.google.com/books?id=_IxN-5PW8asC}}
* {{Ouvrage|langue=fr+la|prénom1=Pierre de|nom1=Fermat|lien auteur1=Pierre de Fermat|titre=Varia Opera Mathematica|lieu=Toulouse|éditeur=Joannis Pech|année=1679|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=fvZaAAAAQAAJ|consulté le=2016-02-28}}
* {{chapitre|lang=en|nom=von Fritz|prénom=Kurt|auteurs ouvrage=J. Christianidis|année=2004|titre chapitre=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|titre ouvrage=Classics in the History of Greek Mathematics|lieu=Berlin|éditeur=Kluwer (Springer)|isbn=978-1-4020-0081-2}}
* {{chapitre|lang=en|auteur1=[[Catherine Goldstein]]|auteur2=[[Norbert Schappacher]]|année=2007|auteurs ouvrage=C. Goldstein, N. Schappacher et Joachim Schwermer|titre chapitre=A book in search of a discipline|titre ouvrage=The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae"|lieu=Berlin & Heidelberg|éditeur=Springer|isbn=978-3-540-20441-1|url=https://books.google.com/books?id=IUFTcOsMTysC|page=3-66|consulté le=2016-02-28}}
* {{chapitre|lang=en|nom=Granville|prénom=Andrew|lien auteur=Andrew Granville|année=2008|auteurs ouvrage=[[Timothy Gowers]], [[June Barrow-Green]] et [[Imre Leader]]|titre chapitre=Analytic number theory|titre ouvrage=[[The Princeton Companion to Mathematics]]|éditeur=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA332|consulté le=2016-02-28}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Thomas L.|nom1=Heath|lien auteur1=Thomas Heath|titre=A History of Greek Mathematics|volume=1|titre volume=From Thales to Euclid|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press|Clarendon Press]]|année=1921|lire en ligne=https://archive.org/details/historyofgreekma01heat|consulté le=2016-02-28}}
* {{ouvrage|lang=en|auteur=[[Henryk Iwaniec]]|nom2=Kowalski|prénom2=Emmanuel|année=2004|titre=Analytic Number Theory|collection=AMS Colloquium Publications|volume=53|lieu=Providence, RI|éditeur=AMS|isbn=0-8218-3633-1}}
* {{ouvrage|lang=en|nom=Lam|prénom=Lay Yong|nom2=Ang|prénom2=Tian Se|année=2004|lien auteur=Lam Lay Yong|titre=Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China|lieu=Singapore|éditeur=World Scientific|isbn=978-981-238-696-0|url=https://books.google.com/books?id=fGYmpWE5UZgC|consulté le=2016-02-28}}
* {{ouvrage|lang=en|nom=Mahoney|prénom=M. S.|année=1994|titre=The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665|numéro édition=2|éditeur=Princeton University Press|isbn=978-0-691-03666-3|url=https://books.google.com/books?id=My19IcewAnoC}}
* {{ouvrage|id=Morrow 1992|lang=en|nom2=Morrow|prénom2=Glenn Raymond|responsabilité2= éditeur et traducteur|année=1992|nom1=Proclus|lien auteur1=Proclus|titre=A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements|éditeur=Princeton University Press|isbn=978-0-691-02090-7|url=https://books.google.com/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PA52}}
* {{article|lang=en|auteur=[[David Mumford]]|titre={{Harvsp|Plofker|2008|texte=Mathematics in India}}: reviewed by David Mumford|journal=Notices of the American Mathematical Society|année=2010|volume=57|numéro=3|p.=385-390|url=http://www.ams.org/notices/201003/rtx100300385p.pdf}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Otto E.|nom1=Neugebauer|lien auteur1=Otto E. Neugebauer|titre=[[The Exact Sciences in Antiquity]]|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1969|numéro d'édition=réimpression corrigée de l'édition de 1957|pages totales=240|isbn=978-0-486-22332-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C}}
* {{ouvrage|lang=en|id=Neugebauer et Sachs 1945|nom=Neugebauer|prénom=Otto E.|nom3=Götze|prénom3=Albrecht|année=1945|auteur2=[[Abraham Sachs]]|titre=Mathematical Cuneiform Texts|collection=American Oriental Series|numéro dans collection=29|éditeur=American Oriental Society etc.|isbn=}}
* {{lien web|lang=en|nom=O'Grady|prénom=Patricia|date=septembre 2004|titre=Thales of Miletus|url=http://www.iep.utm.edu/thales/|éditeur=The Internet Encyclopaedia of Philosophy|consulté le=7 février 2012}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Kim|nom1=Plofker|lien auteur1=Kim Plofker|titre=Mathematics in India|lieu=Princeton (N.J.)|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2008|pages totales=357|isbn=978-0-691-12067-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&printsec=frontcover|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=zh|prénom1=Baocong|nom1=Qian|directeur1=oui|titre=Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics)|lieu=Pékin|éditeur=Zhonghua shuju|année=1963|lire en ligne=https://www.scribd.com/doc/53797787/Jigu-Suanjing%E3%80%80%E7%B7%9D%E5%8F%A4%E7%AE%97%E7%B6%93-Qian-Baocong-%E9%8C%A2%E5%AF%B6%E7%90%AE}}
* {{article|lang=fr|nom=Rashed|prénom=Roshdi|année=1980|titre=Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=22|numéro=4|p.=305-321|doi=10.1007/BF00717654}}
* {{article|lang=en|nom=Robson|prénom=Eleanor|année=2001|titre=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322|volume=28|journal=Historia Mathematica|numéro=28|p.=167-206|doi=10.1006/hmat.2001.2317|url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141021070742/http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf|archivedate=2014-10-21}}
* {{ouvrage|lang=en|nom=Smith|prénom=D. E.|année=1958|titre=History of Mathematics|vol=I|lieu=New York|éditeur=Dover Publications|isbn=}}
* {{Ouvrage|langue=fr+la|prénom1=Paul|nom1=Tannery|lien auteur1=Paul Tannery|prénom2=Charles|nom2=Henry|lien auteur2=Charles Henry|responsabilité2=éditeurs|prénom3=Pierre de|nom3=Fermat|lien auteur3=Pierre de Fermat|titre=Œuvres de Fermat|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1891|id=Tannery et Henry 1891}}, 4 vol. (1912)
* {{ouvrage|lang=en|nom=Varadarajan|prénom=V. S.|année=2006|titre=Euler Through Time: A New Look at Old Themes|éditeur=AMS|isbn=978-0-8218-3580-7|url=https://books.google.com/books?id=CYyKTREGYd0C|consulté le=2016-02-28}}
* {{ouvrage|id=van der Waerden 1961|lang=en|nom=van der Waerden|prénom=Bartel L.|nom2=Dresden|prénom2=Arnold|responsabilité2=traducteur|année=1961|lien auteur=Bartel Leendert van der Waerden|titre=Science Awakening|volume=2|lieu=New York|éditeur=Oxford University Press|isbn=}}
* {{Weil1}}

;Autres ouvrages
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Tom M.|nom1=Apostol|titre=An Introduction to the Theory of Numbers|éditeur=|année=|isbn=|math reviews=0568909}}
* {{HardyWrightFr}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Hugh L.|nom1=Montgomery|lien auteur1=Hugh Montgomery|prénom2=Robert C.|nom2=Vaughan|lien auteur2=Bob Vaughan|titre=Multiplicative Number Theory|volume=I|titre volume=Classical Theory|lieu=Cambridge (GB)|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2007|pages totales=552|isbn=978-0-521-84903-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=nGb1NADRWgcC}}
* {{Serre1}}
* {{Chapitre|lang=en|nom=Truesdell|prénom=C. A.|lien auteur=Clifford Truesdell|année=1984|auteurs ouvrage=John Hewlett (trad.)|titre chapitre=Leonard Euler, Supreme Geometer|titre ouvrage=Leonard Euler, Elements of Algebra|numéro édition=5|lieu=New York|éditeur=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-96014-2|url=https://books.google.com/books?id=mkOhy6v7kIsC}}. La version en ligne ne contient pas l'introduction de Truesdell qui, quant à elle, est reproduite (légèrement abrégée) dans :
* {{Chapitre|lang=en|nom=Truesdell|prénom=C. A.|année=2007|auteurs ouvrage=William Dunham|titre chapitre=Leonard Euler, Supreme Geometer|titre ouvrage=The Genius of Euler: reflections on his life and work|collection=MAA tercentenary Euler celebration|numéro dans collection=2|lieu=New York|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|isbn=978-0-88385-558-4|url=https://books.google.com/books?id=M4-zUnrSxNoC|consulté le=2016-02-28}}

=== Articles connexes ===
* [[Liste des matières de la théorie des nombres]]
* [[Problème des bœufs d'Hélios]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Bases}}
* [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/ThNbTdeM.htm Initiation à la théorie des nombres]
* [https://openclassrooms.com/fr/courses/1574306-nombres-et-operations/1577698-sigma-et-pi Complément pédagogique depuis OpenClassRoom]
* {{lien web|lang=en|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf|nom=Milne|prénom=J. S.|année=2014|titre=Algebraic Number Theory}}

{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorie des nombres|*]]
[[Catégorie:Branche des mathématiques]]