Voir la source de Théorie des plaques

{{voir homonymes|Plaque}}
{{confusion|Tectonique des plaques}}
La '''théorie des plaques''' est une théorie permettant de calculer les déformations et les contraintes dans une plaque soumise à des charges. Elle s'inspire de la [[théorie des poutres]].

== Historique ==
Vers [[1750]], [[Leonhard Euler]] a énoncé une première [[théorie des poutres]] en définissant l'''elastica'', fibre moyenne ou neutre qui se déforme en flexion sans se contracter ni se comprimer. Il a alors essayé de généraliser cette théorie aux plaques de très faible épaisseur. En 1764, il avait donné une équation différentielle du second ordre pour définir la vibration des tambours assimilés à une membrane élastique formée par des fils élastiques croisés orthogonalement<ref>Jean-Claude Beaune, ''La mesure, instruments et philosophies'', {{p.}}127, Éditions Champ Vallon (collection ''milieux''), Seyssel, 1994 {{ISBN|978-2876731851}} ; {{p.}}279</ref>.

L'étude de la flexion des plaques revient au début du {{s-|XIX}} avec les études de [[Thomas Young]], [[Pierre-Simon de Laplace]] et les polytechniciens en France.

L'acousticien allemand [[Ernst Chladni]] présente en 1808 à l'[[académie des sciences (France)|académie des sciences]] des expériences sur la résonance des plaques, montrant qu'elles donnent des formes régulières, les [[Figure de Chladni|figures de Chladni]]. À l'incitation de Laplace, [[Napoléon Ier|Napoléon I{{er}}]] décide de créer un prix récompensant la personne donnant la première une équation générale des plaques vibrantes. [[Siméon Denis Poisson]], [[Henri Navier]], [[Augustin Louis Cauchy]], [[Joseph Fourier]] se lancent dans la résolution de ce problème. C'est [[Sophie Germain]] qui va donner une équation de la déformée en ajoutant un terme à l'équation d'Euler tenant compte des rayons de courbure dans les deux directions perpendiculaires. Les résultats des calculs sont semblables à ceux des expériences. Laplace puis Poisson ont confirmé la méthode de Germain. En 1812, Sophie Germain reprend sa méthode de calcul pour obtenir la déformation d'une plaque en tenant compte des hypothèses de Laplace. Fourier reprend en 1818 les travaux de Germain en utilisant les [[Série de Fourier|séries de Fourier]] pour trouver une solution particulière de l'équation des plaques.

Navier présente le 1819 un mémoire sur le moment élastique à l'académie des sciences. Le {{date-|14 mai 1821}}, il présente le ''Mémoire sur les lois de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques''<ref>[https://books.google.fr/books?id=jjRCAAAAcAAJ&pg=PA235#v=onepage&q&f=false Lire en ligne : ''Bulletin universel des sciences et de l'industrie. 1: Bulletin des sciences mathématiques'', tome X, {{p.}} 235, 1828]</ref>{{,}}<ref>[http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-3222 Lire en ligne : ''Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France'', tome VII, {{p.}}325, 1827]</ref> fondement de la [[théorie de l'élasticité]] qui a été développée par Cauchy, Poisson en 1828<ref>[http://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3223j Lire en ligne: ''Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. 1816-1949'', tome VIII, {{p.}}357-570 et 623-627, 1829]</ref>, [[Gabriel Lamé]] et [[Émile Clapeyron]].

En [[1888]], [[Augustus Edward Hough Love|Love]] utilise les hypothèses de [[Gustav Kirchhoff]], elles-mêmes inspirées des hypothèses d'Euler-Bernoulli pour les poutres, pour fonder une théorie des plaques minces<ref>A. E. H. Love, ''On the small free vibrations and deformations of elastic shells'', Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, {{Numéro avec majuscule|17}} {{p.|491–549}}.</ref>.

La théorie des plaques épaisses a été consolidée par [[Raymond Mindlin]]<ref>R. D. Mindlin, ''Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates'', Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 {{p.|31–38}}.</ref> à partir des travaux de [[John William Strutt Rayleigh|Rayleigh]] (1877), [[Stephen Timoshenko|Timoshenko]] (1921), [[Eric Reissner|Reissner]] (1945) et [[Uflyand]] (1948).

== Démarche ==
[[Image:Demarche generale rdm.svg|thumb|300px|Démarche pour l'étude des plaques]]

Comme pour l'étude des poutres, on met en relation
* la forme finale de la plaque, c'est-à-dire le [[champ vectoriel|champ]] des déplacements, avec le champ de [[tenseur des déformations]] ;
* les [[efforts de cohésion]] avec les efforts extérieurs ;
* les efforts de [[Cohésion (physique)|cohésion]] avec le [[tenseur des contraintes]], grâce au [[principe d'équivalence]] ;
* et le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la [[loi de Hooke]] généralisée.
Le modèle de poutre permet de passer des efforts de cohésion au tenseur des contraintes ; il permet d'appliquer le principe d'équivalence.
{{clr}}

== Définitions et hypothèses ==
Une plaque est un solide délimité par deux plans parallèles, les faces, et un [[cylindre (solide)|cylindre]] au sens large (de section quelconque et pas nécessairement circulaire) dont l'axe est perpendiculaire aux faces. On définit :
* le plan moyen, ou plan médian : plan situé à équidistance entre les faces (c'est l'équivalent de la courbe moyenne des poutres) ;
* le feuillet neutre : élément de matière d'épaisseur infinitésimale situé autour du plan moyen (c'est l'équivalent de la [[fibre neutre]] des poutres) ; c'est le plan (O, ''x'', ''y''), d'équation ''z'' = 0 ;
* une fibre normale : ensemble des points situés sur une normale au plan médian, à un endroit (''x'', ''y'') donné ; elle a pour direction ''z''.
On appelle ''h'' l'épaisseur de la plaque ; le plan inférieur est donc le plan ''z'' = -''h''/2 et le plan supérieur est le plan ''z'' = ''h''/2.

On se place dans le cas d'un matériau '''continu''', '''élastique''', '''homogène''' et '''isotrope'''.

Si, au repos, les faces ne sont pas planes, on parle de [[Coque (mécanique)|coque]] plutôt que de plaque.

On sépare l'étude en deux parties : pour l'étude de la flexion, on considère que les charges sont perpendiculaires aux faces, donc que les forces sont de la forme
: <math>\vec{\mathrm{F}} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ \mathrm{F}
\end{pmatrix}</math>
et que les couples sont de la forme
: <math>\vec{\mathrm{M}} = \begin{pmatrix}
\mathrm{M}_x \\ \mathrm{M}_y \\ 0
\end{pmatrix}</math>.
Pour les charges situées dans le plan des faces, on parle de ''voile'' ou de ''membrane''.

== Théorie des plaques minces ==
[[Image:Plaque mince deplacement element matiere.svg|thumb|250px|Déformation d'une plaque mince (contour gris) avec mise en évidence du déplacement d'un élément de matière (contour noir), de son feuillet moyen (rouge) et de sa fibre normale (bleue)]]

La '''théorie des plaques minces''', ou '''théorie de Love-Kirchhoff''', suppose que
* le plan moyen (équivalent de la courbe moyenne des poutres) est initialement plan ;
* le feuillet moyen (équivalent de la fibre neutre des poutres) ne subit pas de déformation dans son plan ; on ne considère que le déplacement transversal ''w'' des points du feuillet moyen ;
* modèle de Kirchhoff : les sections normales au feuillet moyen restent normales lors de la déformation ; en conséquence, on peut négliger le cisaillement ;
* l'épaisseur est faible ; en conséquence, les contraintes dans le sens de l'épaisseur sont supposées nulles ;
* on reste en petites déformations.
{{clr}}

=== Déplacement ===
[[Image:Plaque mince deplacement rotation fibre neutre.svg|thumb|400px|Déplacement du feuillet moyen (gauche) et d'une fibre normale (droite)]]

Soit un point M(''x'', ''y'', ''z'') de la plaque au repos. À l'instant ''t'', sa position est M’, et l'on définit le vecteur déplacement
: <math>\overrightarrow{\mathrm{MM}'} =
\begin{pmatrix}
u \\
v \\
w \\
\end{pmatrix}</math>
Pour une plaque à un instant donné, les déplacements sur les axes ''u'', ''v'' et ''w'' sont fonction du point M, donc de ses coordonnées (''x'', ''y'', ''z''), et de l'instant ''t''.

Par hypothèse, les déplacements verticaux sont les mêmes pour tous les points d'une même fibre normale, on a donc :
: <math>w(x, y, \bcancel{z}, t) = w(x, y, t)</math>
La fibre normale en (''x'', ''y'') tourne d'un angle θ<sub>''x''</sub> autour de l'axe ''x'' et d'un angle θ<sub>''y''</sub> autour de l'axe ''y''. Comme on est en petite déformation, l'arc de cercle décrit par un point lors de la rotation de la fibre normale est assimilable à un segment de droite, et l'on a :
: <math>u(x, y, z, t) \approx z \cdot \theta_y(x, y, t)</math>
: <math>v(x, y, z, t) \approx -z \cdot \theta_x(x, y, t)</math>
ou encore
: <math>\begin{matrix}
\frac{\partial u}{\partial z} = \theta_y \\ [1ex]
\frac{\partial v}{\partial z} = -\theta_x \\
\end{matrix}</math>

{{Démonstration|[[Image:Plaque relation theta u.svg|thumb|200px|Relation entre θ<sub>''x''</sub>, θ<sub>''y'', ''u'' et ''v''</sub>]]
D'après la [[trigonométrie]], on a
: <math>\tan \theta_x = -\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} z}</math>
le signe - vient du fait que l'axe ''x'' pointe vers le lecteur, le sens positif est donc le sens antihoraire, ce qui correspond à un déplacement ''v'' négatif lorsque ''z'' est positif. Et comme on est en petites déformations, θ<sub>''x''</sub> ≪ 1 donc tan θ<sub>''x''</sub> {{≃}} θ<sub>''x''</sub>.

On a la même chose pour θ<sub>''y''</sub> et ''u'' ; le signe + vient du fait que l'axe ''y'' pointe à l'opposé du lecteur, le sens positif est donc le sens horaire.}}

Les angles θ<sub>''x''</sub> et θ<sub>''y''</sub> représentant aussi la pente que prend le feuillet moyen, on a donc également :
: <math>\begin{matrix}
\theta_x = \frac{\partial w}{\partial y} \\ 
[1ex]
\theta_y = -\frac{\partial w}{\partial x} \\
\end{matrix}</math>

=== Déformation ===
D'après la définition du [[tenseur des déformations]], on a :
: <math>\left \{
\begin{array}{l}
\varepsilon_{11} = \frac{\partial u}{\partial x} = z \cdot \frac{\partial \theta_y}{\partial x} =
   -z \cdot \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \\ [1ex]
\varepsilon_{22} = \frac{\partial v}{\partial y} = -z \cdot \frac{\partial \theta_x}{\partial y} =
   -z \cdot \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \\ [1ex]
\varepsilon_{33} = \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \\ [1ex]
\varepsilon_{12} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right ) = 
   \frac{z}{2} \left ( \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right ) =
   -z \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} \\ [1ex]
\varepsilon_{13} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right ) = \frac{1}{2} ( \theta_y - \theta_y ) = 0 \\ [1ex]
\varepsilon_{23} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right ) = \frac{1}{2} ( -\theta_x + \theta_x ) = 0 \\
\end{array}
\right .</math>
soit le tenseur
: <math>[\varepsilon] = \begin{pmatrix}
-z \cdot \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} & -z \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} & 0 \\
-z \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} & -z \cdot \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}</math>

Les coefficients ε<sub>13</sub> et ε<sub>23</sub> (demi-variations des angles droits d'un petit [[Volume#Volume élémentaire|volume élémentaire]]) sont nuls du fait de l'hypothèse qui lie les rotations de la fibre normale θ<sub>x</sub>, θ<sub>y</sub> aux dérivées spatiales du déplacement transversal ''w''. C'est l'équivalent de l'hypothèse d'Euler-Bernoulli pour les poutres.

Comme pour les poutres, la déformation varie de manière linéaire avec ''z'' : de part et d'autre du feuillet moyen, une face est en traction et l'autre est en compression.

On remarque qu'ici le feuillet moyen ne se déforme pas dans son plan : on ne prend pas en compte les déformations dites ''de membrane''.

Si l'on définit le vecteur des [[courbure]]s 
: <math>\vec{\chi} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial \theta_y}{\partial x} \\ [1ex]
-\frac{\partial \theta_x}{\partial y} \\ [1ex]
\frac{1}{2} \left (  \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right )
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \\ [1ex]
-\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \\ [1ex]
-\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\gamma_x \\ [1ex]
-\gamma_y \\ [1ex]
-\gamma_{xy}
\end{pmatrix}</math>
on a alors
: <math>\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12}
\end{pmatrix} = z \cdot \vec{\chi}</math>.
On peut définir de manière plus générale le [[Tenseur de Riemann#Tenseur de Riemann d'une surface|tenseur de courbure]]
: <math>\mathrm{K} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \theta_y}{\partial x} &
   \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right ) \\ [1ex]
\frac{1}{2} \left ( \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right ) &
   - \frac{\partial \theta_x}{\partial y}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
- \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} &
   - \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} \\ [1ex]
- \frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x}  &
   - \frac{\partial^2 w}{\partial y^2}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
- \gamma_x & - \gamma_{xy} \\ [1ex]
- \gamma_{yx} & - \gamma_y
\end{pmatrix}
</math>.
Le tenseur des déformations sans les termes en ''z'' s'écrit donc :
: <math>\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \\
\end{pmatrix} =
z \cdot \mathrm{K}</math>.
Cette écriture met en évidence la linéarité de la déformation en ''z''.

=== Champ des vitesses ===
La détermination du champ des vitesses permet d'utiliser les [[puissance virtuelle|puissances virtuelles]] en statique (il s'agit alors de vitesses virtuelles), et de résoudre les problèmes de dynamique.

On considère qu'une fibre normale se comporte comme un [[cinématique du solide|solide indéformable]]. On peut donc en chaque point déterminer le [[torseur cinématique]] :
: <math>\left \{ \begin{matrix}
\omega_x = \frac{\partial \theta_x}{\partial t} = \frac{\partial^2 w}{\partial y \partial t} \\ [1ex]
\omega_y = \frac{\partial \theta_y}{\partial t} = -\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial t} \\ [1ex]
\omega_z = 0 & \text{ (pas de torsion dans le plan)} \\
v_z = \frac{\partial w}{\partial t} \\
\end{matrix} \right .</math>
Sur le feuillet moyen (''w'' = 0), on a :
: <math>v_x = v_y = 0</math>
soit
: <math>\{ \mathcal{V} \} =
\begin{matrix}\\ [1ex] \\ [1ex] \\ \end{matrix}_{\mathrm{G}} \begin{Bmatrix}
\dot{\theta}_x & 0 \\ [1ex]
\dot{\theta}_y & 0 \\ [1ex]
0 & \dot{w} \\
\end{Bmatrix}
= \begin{matrix}\\ [1ex] \\ [1ex] \\ \end{matrix}_{\mathrm{G}} \begin{Bmatrix}
\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial t} & 0 \\ [1ex]
-\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial t} & 0 \\ [1ex]
0 & \frac{\partial w}{\partial t} \\
\end{Bmatrix}</math>
Les valeurs de ''v<sub>x</sub>'' et de ''v<sub>y</sub>'' à une altitude ''z'' quelconque se détermine en transportant le torseur, ou bien en écrivant <math>\dot{u}(z)</math> et <math>\dot{v}(z)</math>
: <math>\{ \mathcal{V} \} =
\begin{matrix}\\ [1ex] \\ [1ex] \\ \end{matrix}_z \begin{Bmatrix}
\dot{\theta}_x & z \dot{\theta}_y \\ [1ex]
\dot{\theta}_y & -z \dot{\theta}_x \\ [1ex]
0 & \dot{w} \\
\end{Bmatrix}
= \begin{matrix}\\ [1ex] \\ [1ex] \\ \end{matrix}_z \begin{Bmatrix}
\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial t} & -z \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial t} \\ [1ex]
-\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial t} & -z \frac{\partial^2 w}{\partial y \partial t} \\ [1ex]
0 & \frac{\partial w}{\partial t} \\
\end{Bmatrix}</math>

=== Efforts de cohésion et principe d'équivalence ===
Dans le cas des poutres, on peut définir les [[effort de cohésion|efforts de cohésion]] pour une section complète. Dans le cas des plaques, il faut considérer deux sections perpendiculaires d'un petit élément de matière ; les efforts intérieurs sont donc définis « par mètre ». On peut établir une relation entre le [[tenseur des contraintes]] et les efforts de cohésion (principe d'équivalence).

==== Moments fléchissants ====
[[Image:Plaque moment flechissant contrainte.svg|thumb|300px|Moments fléchissants et contraintes normales|alt=remplacer mxy par mxx et remplacer myx par myy pour être en accord avec les formules]]

On peut définir deux moments fléchissants :
* le moment fléchissant autour de l'axe ''y'', qui s'exerce donc sur la face normale à ''x'' ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte normale σ<sub>''xx''</sub> :
*: <math>m_{xy} = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_{xx} z \mathrm{d} z</math> ;
* le moment fléchissant autour de l'axe ''x'', qui s'exerce donc sur la face normale à ''y'' ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte normale σ<sub>''yy''</sub> :
*: <math>m_{yx} = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_{yy} z \mathrm{d} z</math>.
Ils s'expriment en newtons (N) ({{nb|N m/m}}).
{{clr}}

==== Moments de torsion ====
[[Image:Plaque moment torsion contrainte.svg|thumb|300px|Moments de torsion et cission|alt=remplacer mxx et myy par mxy et myx respectivement pour être en accord avec les formules]]

On peut définir deux moments de torsion :
* le moment de torsion autour de l'axe ''y'', qui s'exerce donc sur la face normale à ''y'' ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte de cisaillement τ<sub>''yx''</sub> :
*: <math>m_{yy} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{yx} z \mathrm{d} z</math> ;
* le moment de torsion autour de l'axe ''x'', qui s'exerce donc sur la face normale à ''x'' ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte de cisaillement τ<sub>''xy''</sub> :
*: <math>m_{xx} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{xy} z \mathrm{d} z</math>.
Ils s'expriment également en newtons (N) (N m/m).
{{clr}}

==== Efforts tranchants ====
[[Image:Plaque effort tranchant contrainte.svg|thumb|300px|Efforts tranchants et cission]]

On peut définir deux efforts tranchants :
* l'effort tranchant sur la face normale à ''y'' ; il se traduit par une répartition de la contrainte de cisaillement τ<sub>''yz''</sub> qui tend vers 0 sur les surfaces libres (voir ''[[Flexion (matériau)#Cisaillement|Flexion (matériau) &gt; Cisaillement]]'') :
*: <math>q_{y} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{yz} \mathrm{d} z</math> ;
* l'effort tranchant sur la face normale à ''x'' ; il se traduit par une répartition de la contrainte de cisaillement τ<sub>''xz''</sub> qui tend vers 0 sur les surfaces libres :
*: <math>q_{x} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{xz} \mathrm{d} z</math>.
Ils s'expriment {{nb|N/m}}, et sont négligés dans le cas des plaques minces.
{{clr}}

=== Dynamique ===
Cette théorie permet de déterminer la propagation des [[onde]]s dans les plaques, ainsi que l'étude des [[onde stationnaire|ondes stationnaires]] et des modes vibratoires. Les illustrations ci-dessous montrent quelques modes vibratoires d'une peau de tambour (plaque circulaire simplement supportée sur ses bords).

<gallery>
Image:Drum vibration mode01.gif|mode ''k'' = 0, ''p'' = 1
Image:Drum vibration mode02.gif|mode ''k'' = 0, ''p'' = 2
Image:Drum vibration mode12.gif|mode ''k'' = 1, ''p'' = 2
</gallery>

== Déformation de membrane ==

== Théorie des plaques épaisses ==
Dans la '''théorie des plaques épaisses''', ou '''théorie de Reissner et Mindlin''', la fibre normale reste toujours rectiligne, mais n'est plus nécessairement perpendiculaire au plan moyen. Si θ<sub>''x''</sub> et θ<sub>''y''</sub> désignent les angles que fait la fibre normale avec l'axe ''z'', ils ne correspondent plus à l'inclinaison du plan moyen, on a donc
: <math>\begin{matrix}
\theta_x \neq \frac{\partial w}{\partial y} \text{ ;}\\ [1ex]
\theta_y \neq -\frac{\partial w}{\partial x} \text{.}\\
\end{matrix}</math>

Concernant le champ de déformation, les termes gardent leur forme générale
: <math>\left \{
\begin{array}{l}
\varepsilon_{11} = z \cdot \frac{\partial \theta_y}{\partial x} \\ [1ex]
\varepsilon_{22} = -z \cdot \frac{\partial \theta_x}{\partial y} \\ [1ex]
\varepsilon_{33} = 0 \\ [1ex]
\varepsilon_{12} = \frac{z}{2} \left ( \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right ) \\ [1ex]
\end{array}
\right .</math>
et par ailleurs, ε<sub>13</sub> et ε<sub>23</sub> ne sont plus nuls :
: <math>\left \{
\begin{array}{l}
\varepsilon_{13} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right ) = \frac{1}{2} \left  ( \theta_y + \frac{\partial w}{\partial x} \right  ) \\ [1ex]
\varepsilon_{23} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right ) = \frac{1}{2} \left  ( -\theta_x + \frac{\partial w}{\partial y} \right  ) \\
\end{array}
\right .</math>,
On ne peut donc plus négliger le cisaillement.

Les vecteur et tenseur des courbures ne peuvent plus se simplifier et restent :
: <math>\vec{\chi} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial \theta_y}{\partial x} \\ [1ex]
-\frac{\partial \theta_x}{\partial y} \\ [1ex]
\frac{1}{2} \left (  \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right )
\end{pmatrix}</math>

: <math>\mathrm{K} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \theta_y}{\partial x} &
   \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right ) \\ [1ex]
\frac{1}{2} \left ( \frac{\partial \theta_y}{\partial y} - \frac{\partial \theta_x}{\partial x} \right ) &
   -\frac{\partial \theta_x}{\partial y}
\end{pmatrix}
</math>,
et l'on a toujours
: <math>\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12}
\end{pmatrix} = z \cdot \vec{\chi}</math> et : <math>\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \\
\end{pmatrix} =
z \cdot \mathrm{K}</math>.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=1}}

== Voir aussi ==
{{autres projets|commons=:Category:Plate theory}}

=== Articles connexes ===
*[[Mécanique des milieux continus]]
*[[Résistance des matériaux]]
*[[Stephen Timoshenko]]
*[[Théorie des coques]]
*[[Théorie des poutres]]

== Liens externes ==
* [http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/plaque/f_plaque_accueil.php Cours des Mines de Paris] (licence [[Creative Commons]])
* [http://www.numdam.org/item?id=SJL_1963-1964___1_78_0 ''Flexion de la bande homogène isotrope à bords libres et du rectangle à deux bords parallèles appuyés''], [[Jean Leray]] (1963-1964) (téléchargeable en [[portable document format|PDF]] et [[DjVu]])
* {{Pdf}} [http://imacwww.epfl.ch/MecaStrucSolid/MSSV/Transparent/Transp1.pdf Cours de l'EPFL], P. Lestuzzi
* [http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&elt=537 Théorie des plaques élastiques], M. François, Librecours.org
* [http://gtmma.sourceforge.net/aboutme/ens/flexion_plaques.pdf Vibrations de flexion de plaques], L. Jaouen, Université de Sherbrooke
* [http://www.argenco.ulg.ac.be/pdf/etudiants/Plaques%20-%20Partie1.pdf Théorie des plaques élastiques], département Architecture, [[géologie]], environnement & constructions de l'Université de Liège
* [http://www.icab.fr/guide/valid/ssls.html Calcul statique linéaire pour coques], ''Guide de validation des progiciels de calcul de structure'', ICAB
* application au génie civil et à la construction :
** {{lien brisé|url=http://www.refer.sn/cresa/bos.htm |titre=Application aux panneaux de bois }}
** [http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/recherche/LGCNSN/themesrecherche/structuresgonflables/structur.htm Application aux structures gonflables]
* application à l'acoustique :
** {{Pdf}} [http://www.cnrs.fr/publications/imagesdelaphysique/couv-PDF/imagephys98/86-93.pdf Entendre la forme d’un tambour], [[Laboratoire de physique des solides]] d'Orsay, ''Images de la physique'' éd. CNRS
** {{en}} {{Pdf}} [http://www.cedrat.com/fileadmin/user_upload/cedrat_groupe/Publications/Publications/2004/03/EAP_PVDF_dome_loudspeaker_2004.pdf Study of a dome shaped PVDF loudspeaker], application à la membrane d'un haut-parleur, Université du Maine

{{Portail|matériaux}}

[[Catégorie:Résistance des matériaux]]