Voir la source de Théorie des représentations d'un groupe fini

[[Fichier:GeorgFrobenius.jpg|vignette|[[Ferdinand Georg Frobenius]], fondateur de la théorie de la représentation des groupes.]]
En [[mathématiques]] et plus précisément en [[théorie des groupes]], la théorie des '''représentations d'un groupe fini''' traite des [[Représentation de groupe|représentations d'un groupe ''G'']] dans le cas particulier où ''G'' est un [[groupe fini]].

Cet article traite de l'aspect mathématique et, de même que l'article de synthèse « [[Représentations d'un groupe fini]] », n'aborde que les représentations ''[[Linéarité|linéaires]]'' de ''G'' (par opposition aux représentations [[Représentation projective|projectives]] ou {{Lien|trad=Affine representation|Représentation affine|texte=affines}}). Ce sont les [[Action de groupe (mathématiques)|actions]] linéaires de ''G'' sur un [[Espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel ''V'' de dimension finie]], ou encore, les [[Morphisme de groupes|morphismes]] de ''G'' vers le [[groupe général linéaire]] GL(''V'') des [[Application linéaire|automorphismes]] de ''V''.

== Généralités ==
{{Article détaillé|Représentation de groupe}}
Dans tout l'article, ''G'' désigne un [[groupe fini]] d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''g'', noté multiplicativement. Son élément neutre est noté 1. ''V'' désigne un espace vectoriel de dimension finie ''n'' sur un [[corps commutatif|corps]] ''K''. Le corps des [[nombres complexes]] est noté ℂ.
;Hypothèses sur le corps.
On supposera toujours que la [[Caractéristique d'un corps|caractéristique]] de ''K'' ne [[Diviseur|divise]] pas ''g'' et que le polynôme ''X<sup>g</sup>'' - 1 est scindé sur ''K'' (ou même seulement le polynôme ''X<sup>e</sup>'' - 1, où ''e'' désigne l'[[Exposant d'un groupe|exposant]] de ''G''). Ces hypothèses peuvent être retranchées {{précision nécessaire|date=octobre 2011|sans effondrement de la théorie}}. Si elle devient différente, les résultats sur les algèbres semi-simples permettent néanmoins de {{quoi|date=octobre 2011|conclure}} dans de {{lesquels|date=octobre 2011|nombreux cas}}.

{{ancre|Définitions}}
* Une '''[[Représentation de groupe|représentation]]''' du groupe ''G'' est la donnée d'un espace vectoriel ''V'' et d'un [[morphisme de groupes]] ρ de G vers le [[Groupe général linéaire#Groupe général linéaire d’un espace vectoriel|groupe linéaire]] GL(''V''), c'est-à-dire une application<center><math>\rho~:~G\to\mathrm{GL}(V)\quad\text{telle que}\quad\forall s,t\in G\quad\rho(s)\circ\rho(t)=\rho(st).</math></center>Une représentation est notée (''V'', ρ) ou parfois et abusivement ''V''. Les notations ρ(''s'') (''v'') ou ρ<sub>s</sub>.''v'' ou même ''s''.''v'' désignent l'action d'un élément ''s'' du groupe ''G'' sur vecteur ''v'' de ''V''.
* La représentation est dite '''[[Représentation fidèle|fidèle]]''' si le morphisme ρ est [[Injection (mathématiques)|injectif]].
* La dimension de ''V'' est appelée '''degré''' de la représentation.
* Une représentation de degré ''n'' est dite '''matricielle''' si ''V = K<sup>n</sup>'', auquel cas le groupe (GL(''V''), [[Composition de fonctions|∘]]) s'identifie canoniquement au [[Groupe général linéaire|groupe GL<sub>''n''</sub>(''K'')]] des matrices carrées d'ordre ''n'' à coefficients dans ''K'' inversibles, muni du [[produit matriciel]].
{{ancre|Morphisme de représentations}}
* Un '''morphisme''' de représentations de ''G'', ou « opérateur d'entrelacement », d'une représentation (''V'', ρ) vers une représentation (''W'', σ), est une application ''K''-linéaire <math>\varphi</math> de ''V'' dans ''W'' telle que pour tout ''s'' appartenant à ''G'' on ait<center><math>\varphi\circ\rho(s)=\sigma(s)\circ\varphi.</math></center>On dit alors aussi que <math>\varphi</math> est un morphisme ''G''-équivariant de ''V'' dans ''W''.
* Les représentations (''V'', ρ) et (''W'', σ) sont dites '''isomorphes''' ou '''équivalentes''' s'il existe un [[Application linéaire|isomorphisme]] ''G''-équivariant de ''V'' dans ''W''.
* Une '''[[sous-représentation]]''' de (''V'', ρ) est la représentation obtenue par restriction des ρ<sub>''s''</sub> à un sous-espace vectoriel de ''V'' [[Sous-espace stable|stable]] sous l'action de G.
* Une représentation (''V'', ρ) est dite '''[[représentation irréductible|irréductible]]''' si ''V'' et {0} sont distincts et sont les deux seuls sous-espaces stables.

La théorie pourrait être étendue sur des espaces ''V'' de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] infinie, cependant, {{refsou|date=octobre 2011|on peut démontrer que}} toute représentation d'un groupe fini est une [[Représentation de groupe#Glossaire des représentations|somme directe de représentations]] de dimensions finies. {{refsou|date=octobre 2011|Le cas de la dimension infinie ne présente donc pas d'intérêt théorique.}}

== Exemples ==
=== Groupe symétrique d'indice trois ===
{{Article détaillé|Représentations du groupe symétrique#Quatre représentations irréductibles de Sn{{!}}Représentation standard et représentations irréductibles de S{{ind|3}}}}

Le [[groupe symétrique]] S{{ind|3}} est constitué des six [[permutation]]s de l'ensemble ''E'' = {1, 2, 3}. Nous noterons (''V'', ρ) la [[#Exemples généraux|représentation associée]] sur le corps ℚ des [[nombre rationnel|rationnels]], et (''e''{{ind|1}}, ''e''{{ind|2}}, ''e''{{ind|3}}) la [[base canonique]] de ''V'' = [[Exemples d'espaces vectoriels|ℚ{{exp|''E''}} ≃ ℚ{{3}}]].

Pour tout élément ''s'' de S{{ind|3}}, ρ(''s'') envoie (''e''{{ind|1}}, ''e''{{ind|2}}, ''e''{{ind|3}}) sur (''e''{{ind|''s''(1)}}, ''e''{{ind|''s''(2)}}, ''e''{{ind|''s''(3)}}), donc [[Point fixe|fixe]] chaque élément de la [[droite vectorielle]] ''V''{{ind|1}} engendrée par le vecteur ''e''{{ind|1}} + ''e''{{ind|2}} + ''e''{{ind|3}} et laisse globalement stable le [[plan vectoriel]] [[Sous-espace supplémentaire|supplémentaire]] ''V''{{ind|2}} constitué des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle. (''V'', ρ) est donc la [[Représentation de groupe#Glossaire des représentations|somme directe de deux représentations]] (''V''{{ind|1}}, ρ{{ind|1}}) et (''V''{{ind|2}}, ρ{{ind|2}}).

[[Fichier:Isométries du triangle.jpg|vignette|Représentation de S<sub>3</sub> comme groupe des isométries du triangle]]

Puisque ρ{{ind|1}} est [[trivial]]e, la représentation ρ{{ind|2}} est, tout comme ρ, [[#Définitions|fidèle]]. Toute représentation fidèle de S{{ind|3}} est de [[#Définitions|degré]] supérieur ou égal à 2 (en effet S{{ind|3}} est non [[Groupe abélien|abélien]], alors que toute représentation de degré 0 ou 1 a pour image un groupe abélien). On démontre que toute représentation fidèle de S{{ind|3}} de degré 2 est [[#Morphisme de représentations|isomorphe]] à ρ{{ind|2}}.

Chacun des six éléments ρ(''s'') permute évidemment les trois vecteurs ''e''{{ind|2}} + ''e''{{ind|3}} – 2''e''{{ind|1}}, ''e''{{ind|1}} + ''e''{{ind|3}} – 2''e''{{ind|2}} et ''e''{{ind|1}} + ''e''{{ind|2}} – 2''e''{{ind|3}}. Or ces trois vecteurs sont de somme nulle et deux quelconques d'entre eux forment une base de ''V''{{ind|2}}. Il y a donc exactement six [[Endomorphisme linéaire|endomorphismes]] de ce plan qui permutent ces trois vecteurs, et ce sont les ρ{{ind|2}}(''s'').

[[Groupe compact#Complète réductibilité|Comme pour toute représentation d'un groupe fini]] ou même d'un [[groupe compact]], il existe pour ρ au moins un [[produit scalaire]] sur ''V'' tel que tous les ρ(''s'') soient des [[Automorphisme orthogonal|isométries]]. Mais on peut se passer ici de ce résultat théorique : le [[produit scalaire canonique]] convient, puisque toute [[matrice de permutation]] est [[Matrice orthogonale|orthogonale]].

Pour ce produit scalaire, les ρ{{ind|2}}(''s'') apparaissent alors comme les six isométries laissant invariant le [[triangle équilatéral]] suivant (choisi [[Cercle circonscrit à un triangle|inscrit]] dans le cercle unité, ce qui nécessite d'[[Extension des scalaires|étendre le corps de base]]) : ''u'' = (''e''{{ind|2}} + ''e''{{ind|3}} – 2''e''{{ind|1}})/{{racine|6}}, ''v'' = (''e''{{ind|1}} + ''e''{{ind|3}} – 2''e''{{ind|2}})/{{racine|6}}, ''w'' = (''e''{{ind|1}} + ''e''{{ind|2}} – 2''e''{{ind|3}})/{{racine|6}}.

La figure de droite illustre une interprétation graphique de la représentation (en prenant comme [[base orthonormée]] de ''V''{{ind|2}}, par exemple : (''u'', (''v – w'')/{{racine|3}})). Les lignes rouges représentent les trois axes de [[Symétrie (transformation géométrique)|symétrie]] des trois transpositions.

=== Exemples généraux ===
# Si ''G'' est un sous-groupe de GL<sub>''n''</sub>(''K''), l'[[injection canonique]] associée est une représentation matricielle appelée la '''représentation standard'''.
# Toute [[Action de groupe (mathématiques)|action]] de ''G'' sur un ensemble fini ''E'' fournit une représentation ρ de ''G'' sur l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|espace vectoriel ''K<sup>E</sup>'' des applications de ''E'' dans ''K'']] : on considère dans cet espace la [[base canonique]] (δ<sub>''e''</sub>)<sub>''e''∈''E''</sub>, où δ désigne le [[symbole de Kronecker]] (δ<sub>''e''</sub>(''f'') vaut 1 pour ''f = e'' et vaut 0 pour les autres ''f''∈''E''), et pour tout ''s''∈''G'', on définit l'automorphisme ρ(''s'') par son action sur cette base : il la permute par ρ(''s'')(δ<sub>''e''</sub>) = δ<sub>''s.e''</sub>. On en verra un exemple avec la [[#Représentation régulière|représentation régulière]], issue de l'action de ''G'' sur lui-même par multiplication à gauche.
# Une représentation de degré 1 est naturellement irréductible. Elle est à valeurs dans un groupe de racines ''g''-ièmes de l'unité dans ''K'' (ce résultat est conséquence d'[[Théorème de Lagrange sur les groupes|un théorème de Lagrange]]). Un tel groupe est toujours [[groupe cyclique|cyclique]]. En conséquence, une représentation de degré 1 n'est fidèle que si le groupe ''G'' est cyclique. Une autre conséquence, démontrée dans l'analyse des [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères]], est qu'un groupe fini est abélien si et seulement si toute représentation irréductible est de degré 1.

== Premiers concepts ==

=== Représentation irréductible ===
{{Article détaillé|Théorème de Maschke}}
[[Fichier:Heinrich_Maschke.jpg|vignette|[[Heinrich Maschke]] ([[1853 en science|1853]] [[1908 en science|1908]])]]
L'objectif est la classification de toutes les représentations d'un groupe fini sur un corps ''K''. Cette démarche, analogue à celle de la [[réduction d'endomorphisme]] par Jordan, se fonde sur le lemme suivant, sous l'hypothèse que la caractéristique de ''K'' ne divise pas l'ordre du groupe :
* ''Tout [[sous-espace stable]] d'une représentation admet un [[Sous-espace supplémentaire|supplémentaire]] stable.''
Cette propriété est illustrée dans l'exemple de la [[#Groupe symétrique d'indice trois|représentation standard du groupe ''S''{{ind|3}}]]. La droite fixe engendrée par le vecteur e<sub>1</sub> + e<sub>2</sub> + e<sub>3</sub> possède un plan supplémentaire stable. C'est une propriété remarquable car dans le contexte général de l'[[algèbre linéaire]], un sous-espace stable par un endomorphisme ne possède pas toujours de supplémentaire stable.

La classification, sous l'hypothèse du lemme ci-dessus, est le théorème de Maschke :
* ''Toute représentation d'un groupe fini est [[Représentation de groupe#Glossaire des représentations|somme directe de représentations]] irréductibles.''
Connaître toutes les représentations d'un groupe fini revient donc à connaître ses représentations irréductibles, les autres s'obtiennent par somme directe.

Il existe une décomposition canonique, elle se fonde sur la définition suivante :
* Une représentation est dite '''isotypique''' si elle est somme directe d'une famille de représentations irréductibles deux à deux équivalentes.
La décomposition d'une représentation en sous-espaces isotypiques maximaux est unique, ou encore: il n'existe qu'une seule sous-représentation isotypique maximale par représentation irréductible.

=== Produit hermitien ===
{{énoncé|Si ''K'' est un sous-corps de ℂ, alors il existe sur ''V'' un [[produit hermitien]] ''G''-invariant, c'est-à-dire tel que tous les ρ<sub>''s''</sub> (quand ''s'' parcourt ''G'') soient des [[isométrie]]s.}}

C'est un cas particulier du [[Groupe compact#Complète réductibilité|lemme d'unitarisation pour les groupes compacts]] (tout [[groupe discret]] fini est compact, et sa [[mesure de Haar]] est la [[mesure de comptage]]).
{{Démonstration/début|titre=Preuve directe}}''V'' isomorphe à ''K<sup>n</sup>'', lui-même inclus dans ℂ<sup>''n''</sup> qui est muni d'un produit hermitien canonique. On dispose donc sur ''V'' d'un produit hermitien ⟨ | ⟩, à partir duquel on en définit un autre, ( | ) — qui, lui, est {{math|''G''}}-invariant — en posant, pour tous vecteurs {{math|''v''}} et {{math|''w''}} de ''V'' :
<center><math>(v|w)=\frac1g\sum_{s\in G}\langle\rho_s(v)|\rho_s(w)\rangle.</math></center>{{Démonstration/fin}}

Si ''K'' est même inclus dans le sous-corps ℝ des [[nombre réel|réels]], ce produit hermitien est en fait un [[produit scalaire]] car la [[conjugué|conjugaison]] est l'identité sur ''K''.

== Caractère ==
{{Article détaillé|Caractère d'une représentation d'un groupe fini}}

=== Lemme de Schur ===
{{Article détaillé|Lemme de Schur}}

* Le '''caractère''' d'une représentation (''V'', ρ) de ''G'' est l'application χ<sub>ρ</sub> qui à tout élément ''s'' de ''G'' associe la [[trace (algèbre)|trace]] de ρ<sub>s</sub>.<br/>C'est donc un élément de l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|espace vectoriel ''K<sup>G</sup>'' des applications de ''G'' dans ''K'']].
* ''Si deux représentations sont équivalentes, alors elles ont même caractère.''<br />La réciproque est vraie si ''K'' est de caractéristique 0.
* Un caractère associé à une représentation irréductible est dit '''caractère irréductible'''.
* ''L'ensemble des caractères irréductibles est [[base orthonormale|orthonormal]] pour la [[Fonction centrale sur un groupe fini#Fonctions centrales et caractères|forme bilinéaire symétrique canonique]] sur K<sup>G</sup>.''

=== Fonction centrale ===
{{Article détaillé|Fonction centrale d'un groupe fini}}
* Une application définie sur G est dite '''[[fonction centrale|centrale]]''' si elle est constante sur chaque [[action par conjugaison|classe de conjugaison]].
* ''L'ensemble des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est un [[sous-espace vectoriel]] de l'espace ''K<sup>G</sup>'' des applications de ''G'' dans ''K''. Sa [[base canonique]] est la famille'' ('''1'''<sub>''c''</sub>)''<sub>c∊C</sub> des [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonctions indicatrices]] des classes de conjugaison.''

L'indicatrice d'une classe de conjugaison ''c'' se décompose dans la base canonique ([[symbole de Kronecker|δ<sub>''s''</sub>]])<sub>''s∊G''</sub> de ''K<sup>G</sup>'' en : '''1'''<sub>''c''</sub>=∑<sub>''s∊c''</sub>δ<sub>''s''</sub>.

Les propriétés des traces montrent que le caractère d'une représentation est une fonction centrale, de plus :
* ''La famille orthonormale des caractères irréductibles forme une base de l'espace des fonctions centrales à valeurs dans K.''
On en déduit que le nombre de représentations irréductibles est égal au nombre ''h'' de classes de conjugaison du groupe.

== Algèbre d'un groupe ==
=== Structure semi-simple ===
{{Article détaillé|Représentation_de_groupe#Lien avec les K.5BG.5D-modules{{!}}Lien avec les ''K''[''G'']-modules|Anneau semi-simple}}
La théorie des représentations se fonde sur deux approches qui, sous des angles différents, permettent l'analyse des représentations d'un groupe. La première est couverte par le paragraphe précédent, les caractères, la deuxième se fonde sur des structures : celles d'algèbre et de module. Une des raisons de la richesse de la théorie est la complémentarité de ces deux points de vue dont le second fournit un cadre théorique général au premier.

On associe à ''G'' une ''K''-[[algèbre associative sur un corps|algèbre associative]], appelée la [[Algèbre d'un groupe fini|''K''-'''algèbre du groupe fini''']] ''G'' et notée ''K''[''G''], de la manière suivante. Sur l'espace vectoriel ''K<sup>G</sup>'' on choisit, comme multiplication interne, la [[Produit de convolution|convolution]], qui s'exprime dans la base canonique (δ<sub>''s''</sub>)<sub>''s∊G''</sub> par :
<center><math>\forall (a_s)_{s\in G},\; (b_t)_{t\in G}\in K^G \quad \Big(\sum_{s\in G} a_s\delta_s\Big)*\Big(\sum_{t\in G} b_t\delta_t\Big)= \sum_{s\in G}\sum_{t\in G} a_sb_t\delta_{st}</math></center>

On obtient alors un [[Représentation de groupe#Lien avec les K.5BG.5D-modules|dictionnaire complet]] entre représentations de ''G'' et ''K''[''G'']-[[Module sur un anneau|modules]]. En particulier les représentations irréductibles correspondent aux [[Module simple|modules simples]] et leurs sommes directes aux [[Module semi-simple|modules semi-simples]].

Dans ce contexte, le théorème de Maschke se reformule en disant que ''K''[''G''] est un [[anneau semi-simple]].

=== Théorème d'Artin-Wedderburn ===
{{Article détaillé|Algèbre d'un groupe fini#Théorème d'Artin-Wedderburn{{!}}Structure de l'algèbre d'un groupe fini}}
Grâce aux résultats précédents, on démontre directement :
* ''L'algèbre K''[''G''] ''est isomorphe à la somme directe des algèbres'' L<sub>''K''</sub>(''S<sub>i</sub>'') ''d'[[Application linéaire|endomorphismes]] des K-espaces vectoriels S<sub>i</sub> sous-jacents aux h représentations irréductibles de G :''
<center><math>K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h\mathrm L_K(S_i).</math></center>
(Sous l'hypothèse supplémentaire que ''K'' est [[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]], une manière plus savante d'arriver au même résultat est d'utiliser le [[Anneau semi-simple#Cas des algèbres semi-simples de dimension finie|théorème d'Artin-Wedderburn pour les algèbres semi-simples de dimension finie]].)

L'égalité des dimensions des deux membres de cet isomorphisme fournit une identité remarquable : ''g=∑d<sub>i</sub>''{{2}}, où ''d<sub>i</sub>'' désigne la dimension de ''S<sub>i</sub>''. On démontre par ailleurs que [[Représentation irréductible#Algèbre du groupe|tous les ''d<sub>i</sub>'' divisent ''g'']]<ref>{{Lien web|auteur1=Tristan Vaccon|titre=Le degré d’une représentation irréductible divise l’ordre du groupe|site=unilim.fr|date=24 septembre 2012|lire en ligne=https://www.unilim.fr/pages_perso/tristan.vaccon/degre_des_representations_irreductibles.pdf}}</ref>.

Il résulte directement de la définition du produit de convolution que :
* ''Le [[centre (algèbre)|centre]] de K''[''G''] ''coïncide avec le [[#Fonction centrale|sous-espace vectoriel des fonctions centrales]].''
Par ailleurs, un élément de ''K''[''G''] appartient au centre si et seulement si, via l'isomorphisme ci-dessus, chacune de ses composantes est une homothétie. L'algèbre commutative des fonctions centrales (munie du produit de convolution) est donc isomorphe à l'algèbre produit ''K<sup>h</sup>''. On peut préciser cet isomorphisme :
* ''Pour toute fonction centrale <math>f</math>, le rapport de l'homothétie correspondante sur S<sub>i</sub> vaut :''<center><math>\frac1{d_i}\sum_{s\in G}f(s)\chi_i(s).</math></center>

=== Représentation régulière ===
{{Article détaillé|Représentation régulière}}
La représentation régulière de ''G'' est définie sur l'espace ''K<sup>G</sup>'' comme cas particulier du deuxième [[#Exemples généraux|exemple général]] : un élément ''u'' de ''G'' agit linéairement en permutant la base canonique :
<center><math>u.\delta_s=\delta_{u.s}.~</math></center>
Cette représentation correspond donc, via le « dictionnaire » mentionné précédemment, à la structure naturelle de ''K''[''G'']-module à gauche de l'algèbre ''K''[''G'']. Grâce à la décomposition ci-dessus de cette algèbre on a par conséquent :
* ''La représentation régulière est équivalente à la somme directe des h représentations irréductibles'' ρ''<sub>i</sub> répétées chacune un nombre de fois égal à son degré d<sub>i</sub>.''
et comme [[Corollaire (mathématiques)|corollaire]] :
* ''Toute représentation irréductible de G est équivalente à une sous-représentation de la régulière.''

== Extension ==
=== Motivation ===
Un objectif important de la théorie des groupes finis est la classification. Elle se fonde sur deux concepts : un ensemble de ''briques élémentaires'' correspondant à des groupes finis facilement analysable et une extension qui permet, à l'aide des briques élémentaires de construire les groupes de la famille.

Dans le cas des groupes abéliens, les briques élémentaires sont constituées par les groupes cycliques, l'extension est celle du [[Produit direct (groupes)|produit direct]]. Ainsi tout groupe abélien fini est produit direct de groupes cycliques.

Dans le cas général, les briques élémentaires sont les [[groupe simple|groupes simples]] et l'extension les produits directs et [[produit semi-direct|semi-directs]].

Il est donc naturel de traduire en termes de représentations les deux grandes méthodes d'extension.
=== Produit tensoriel ===
{{Article détaillé|Produit tensoriel et représentations de groupes finis}}
Le produit tensoriel de deux représentations est une représentation. Plus précisément : le produit tensoriel d'une représentation d'un groupe ''G''<sub>1</sub> et d'une représentation d'un groupe ''G''<sub>2</sub> est une représentation du [[Produit direct (groupes)|groupe produit]] ''G''<sub>1</sub>×''G''<sub>2</sub>. Le caractère de la représentation obtenue est le produit tensoriel des caractères des deux représentations. On obtient de plus une [[bijection]] entre les couples de représentations irréductibles des deux groupes et les représentations irréductibles de leur produit.

Dans le cas particulier où les deux groupes sont égaux à un même groupe ''G'', ce produit tensoriel de deux représentations de ''G'' fournit aussi, par composition avec le morphisme diagonal, une représentation de ''G''. Son caractère est le produit des deux caractères, et elle possède deux sous-représentations naturelles, sur le sous-espace des tenseurs symétriques et celui des tenseurs antisymétriques.

=== Représentation induite ===
{{Article détaillé|Représentation induite d'un groupe fini}}
L'induction est un mode de construction d'une représentation d'un groupe ''G'' à l'aide d'une représentation d'un de ses sous-groupes ''H''. Soit (''W'', θ) une représentation de ''H''. Une représentation (''V'', ρ) de ''G'' est équivalente à la représentation induite par (''W'', θ) si et seulement si ''W'' est un sous-''H''-module de ''V'' et les différents sous-espaces ρ<sub>c</sub>''W'', quand ''c'' parcourt un système de représentants des [[Classe suivant un sous-groupe|classes à gauche]] de ''G''/''H'', sont en somme directe, et de somme égale à ''V''.

En termes de ''G''-module, la représentation induite s'exprime simplement :
<center><math>V\simeq K[G]\otimes_{K[H]}W.</math></center>
Elle correspond à une extension des scalaires ''K''[''H''] à l'anneau ''K''[''G''] sur le ''H''-module ''W''.

La technique de la représentation induite est largement utilisée en théorie des groupes finis, par exemple pour l'étude des représentations de certains [[Produit semi-direct|produits semi-directs]] {{harv|Serre|p=II - 18}} et pour la caractérisation des [[groupe simple|groupes simples]].

Les représentations induites sont le cadre de nombreux théorèmes. On peut citer l'un des plus anciens : la formule de [[réciprocité de Frobenius]]. Si ψ désigne le caractère de la représentation θ de ''H'' et χ celui d'une représentation σ de ''G'', si Ind(ψ) désigne le caractère de la représentation induite par θ et Res(χ) le caractère de la restriction de σ à ''H'', alors :
<center><math>\langle\mathrm{Ind}_H^G\,\psi\mid\chi\rangle_G=\langle\psi\mid\mathrm{Res}_H^G\,\chi\rangle_H</math>.</center>

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
{{Lien|trad=Molien series|Série de Molien}}
=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/td-repres-groupe-fini.pdf|titre=TD Représentation des groupes finis|auteur=Vincent Beck|date=2005-2006}} du cours de [[Master (France)|M2]] de [[Michel Broué]] ([[Université Paris VII - Diderot]]), et [https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/corrige-repres-groupe-fini.pdf corrigé]
*{{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/poly-09.pdf|titre=Éléments d'analyse et d'algèbre|auteur=[[Pierre Colmez]]|date=2010|site=[[IMJ-PRG]]}}
*{{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~daniel.ferrand/RepFinal.pdf|titre=Représentation linéaire des groupes finis, une introduction|auteur=Daniel Ferrand|date=2005|site=IMJ-PRG}}
*{{Lien web|url=http://dyna.maths.free.fr/docs/lecons/developpement_algebre_220.pdf|titre=Représentation linéaire des groupes finis|auteur=Gabriel Peyré|site=dyna.maths.free.fr}}

=== Bibliographie ===
* [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', Algèbre, chap. VIII, Paris, Hermann, 1958
* {{Hall1}}
*{{Ouvrage|auteur1=[[Yvette Kosmann-Schwarzbach]]|titre=Groupes et symétries|éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]]|année=2005|pages totales=193|isbn=978-2-7302-1257-1|lire en ligne={{Google Livres|onpsxg02K_wC}}}}
* {{Lang1}}
* {{Serre2}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des représentations|*]]