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{{à sourcer|date=novembre 2017}}
La '''théorie des systèmes dynamiques''' désigne couramment la branche des [[mathématiques]] qui s'efforce d'étudier les propriétés d'un [[système dynamique]]. Cette recherche active se développe à la frontière de la [[topologie]], de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]], de la [[géométrie]], de la [[théorie de la mesure]] et des [[probabilités]]. La nature de cette étude est conditionnée par le système dynamique étudié et elle dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes).

[[Histoire des mathématiques|Historiquement]], les premières questions relevant des systèmes dynamiques concernaient la [[mécanique (science)|mécanique]] à une époque où elle était incluse dans l'[[enseignement des mathématiques]]. Une des questions majeures qui ont motivé la recherche mathématique est le problème de la stabilité du [[système solaire]]. Les travaux de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] sur le sujet consistèrent à interpréter l'influence des corps autres que le Soleil sur une planète comme une succession de chocs infinitésimaux : ces travaux retrouvent des échos dans le [[théorème KAM]] ([[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]] - [[Vladimir Arnold|Arnold]] - [[Jürgen K. Moser|Moser]]).

Les systèmes dynamiques se sont développés et spécialisés au cours du {{XIXe siècle}}. Ils concernaient en premier lieu l'itération des [[Continuité (mathématiques)|applications continues]] et la stabilité des [[équations différentielles]]. Mais progressivement, au fur et à mesure de la diversification des mathématiques, les systèmes dynamiques se sont considérablement élargis. Ils comprennent aujourd'hui l'étude des [[groupe topologique|actions continues de groupes]], dont l'intérêt réside dans ses applications en [[géométrie]], et la [[théorie ergodique]], née de l'avènement de la [[théorie de la mesure]] et qui trouve ses échos en [[probabilité]]s.
 
== Diversité d'étude ==
=== Équations différentielles ===
L'étude du comportement des équations différentielles est à l'origine des systèmes dynamiques. Les questions qui surgissent sont de plusieurs natures. Elles concernent :
* le comportement limite des solutions ;
* la stabilité des solutions par rapport aux conditions initiales ;
* la stabilité des solutions par rapport à des perturbations portant sur l'équation différentielle.
Le cas particulier des équations différentielles homogènes d'ordre 1 semble relativement simple. Elles se résument à la donnée d'un [[champ de vecteurs]] sur un ouvert d'un espace vectoriel réel, dont on cherche les courbes dites intégrales. L'étude des champs de vecteurs a un impact en [[géométrie différentielle]].

{{article détaillé|champ de vecteurs}}

=== Itération d'applications continues ===
L'itération consiste à considérer les [[Composition de fonctions|composées]] successives <math>f^n</math> d'une certaine application continue <math>f</math>. Les puissances sont en général positives, mais peuvent être négatives lorsque l'inverse de <math>f</math> est défini. L'étude porte essentiellement sur ses propriétés limites.

C'est à la suite des travaux d'[[Henri Poincaré]] sur la stabilité du Système Solaire qu'un intérêt à l'itération d'applications continues s'est développé. À cette occasion, l'[[Application de Poincaré|application de premier retour de Poincaré]] a été introduite. L'application de retour de Poincaré et son opération inverse, connue sous le nom de suspension, permettent de passer d'un champ de vecteurs au problème de l'itération d'une application et inversement.

On distingue habituellement :
* Un [[système dynamique continu]] : la donnée d'un [[espace topologique]] [[Espace séparé|séparé]] ''X'' et d'une application continue <math>f:X\rightarrow X</math>, souvent un [[homéomorphisme]] ;
* Un [[système dynamique différentiable]] : la donnée d'une [[variété différentielle]] réelle ''X'' et d'une application différentiable <math>f:X\rightarrow X</math>, souvent un [[difféomorphisme]] (il est souvent supposé un degré de régularité) ;
* Un [[système dynamique complexe]] : la donnée d'une [[variété holomorphe]] ''X'' et d'une application holomorphe <math>f:X\rightarrow X</math>, qui peut être un biholomorphisme.
Le cas échéant, on accole l'adjectif [[Compacité (mathématiques)|compact]] pour signaler que ''X'' est supposé compact. L'étude d'un système dynamique différentiable et de ses particularités s'appelle la [[dynamique différentiable]] et l'étude d'un système dynamique holomorphe la [[dynamique holomorphe]].

Si les [[homéomorphisme]]s du [[cercle]] semblent être un cas d'étude simple, ils montrent bien au contraire la complexité des questions qui se posent. La classification des <math>C^1</math>-difféomorphismes dont la dérivée est à [[Fonction à variation bornée|variation bornée]] est déterminée par un invariant appelé le [[nombre de rotation]]. Une recherche actuelle tend à généraliser ces résultats en dimension supérieure{{citation nécessaire}}.

=== Théorie ergodique ===
{{article détaillé|théorie ergodique}}
La théorie ergodique concerne l'étude des applications mesurables préservant une [[mesure]] donnée et de leur itération. Trouvant ses origines dans les interrogations du physicien [[Ludwig Boltzmann]] en [[1871]], elle s'est constituée véritablement comme domaine de recherche mathématique dans le tournant du {{XXe siècle}}. L'introduction de la théorie de la mesure par [[Henri-Léon Lebesgue]] a permis d'introduire un cadre d'étude et d'élargir le domaine de questions d'analyse à des questions probabilistes. L'un des premiers grands théorèmes est le [[théorème ergodique|théorème ergodique de Birkhoff]] : sous de bonnes hypothèses, la moyenne dite spatiale d'un flot est égale à la moyenne dite temporelle le long d'une orbite donnée.

La théorie ergodique trouve des applications notamment en [[physique statistique]], domaine actif de la recherche physique né des travaux de Boltzman sur les [[Théorie cinétique des gaz|gaz classiques cinétiques]].

On a coutume de distinguer :
* Un [[système dynamique mesurable]] : la donnée d'un espace mesurable ''X'' et d'une application mesurable <math>f:X\rightarrow X</math>, éventuellement admettant un inverse presque partout ;
* Un [[système dynamique mesuré]] : la donnée d'un espace mesuré ''X'' de mesure <math>\mu</math> et d'une application mesurable <math>f:X\rightarrow X</math> préservant la mesure <math>\mu</math>, éventuellement admettant un inverse presque partout qui préserve aussi la mesure <math>\mu</math> ;
* Un [[système dynamique continu mesuré]] : la donnée d'un espace topologique ''X'' muni d'une [[Tribu borélienne|mesure borélienne]] <math>\mu</math>, et d'une application continue <math>f:X\rightarrow X</math> préservant la mesure <math>\mu</math>, éventuellement un homéomorphisme dont l'inverse préserve aussi la mesure <math>\mu</math>.

=== Étude des actions continues de groupes ===
Les [[Action de groupe (mathématiques)#Action continue|actions continues]] d'un groupe topologique sur un espace topologique peuvent être vues comme une généralisation des flots continus. Dans ce langage, un flot continu est une action continue du groupe additif '''R'''.

Pour les groupes topologiques localement compacts, l'existence d'une [[mesure de Haar]] permet d'inclure des méthodes de la théorie de la mesure. En particulier ont été formalisées des notions de moyennabilité.

En géométrie différentielle, l'intérêt porte sur l'étude des actions différentiables des [[Groupe de Lie|groupes de Lie]] sur les variétés différentielles.

== L'unicité des systèmes dynamiques ==
Malgré la diversification de son champ d'action, ce domaine mathématique garde une unité tant dans les questions posées que dans la description des objets étudiés.

=== Espace des phases ===
Quelle que soit sa nature (topologique, différentiable, mesurable, mesuré…), un système dynamique est la donnée conjointe :
* d'un [[espace des phases]], c'est-à-dire une structure (espace mesurable, variété différentielle, ...) correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré ;
* d'un paramètre usuellement appelé "temps", qui peut être discret ([[entiers naturels]], [[entiers relatifs]], groupe discret), continu ([[Nombre réel|réels positifs]], réels, groupe de Lie [[Connexité (mathématiques)|connexe]])… ;
* d'une loi d'évolution.

=== Comportement asymptotique ===
{{...}}
=== Stabilité ===
{{loupe|Stabilité de Lyapunov}}
La notion de stabilité a pour but de formaliser la propriété d'un système dynamique tel que le système reste proche d'un état dit d'équilibre (dans un sens à préciser et à quantifier).

Il existe des dizaines de types de stabilités différentes pour caractériser l'évolution d'un point vers son état stable. Les principaux types de stabilité sont abordés ici.

Soit un système autonome <math>\dot x = f(x)</math> où <math>f : D \to \mathbb{R}^n</math> est une application supposée localement [[Application lipschitzienne|lipschitzienne]] sur <math> D  \subset \mathbb{R}^n</math>. On suppose que l'origine <math>x=0</math> est un point d'équilibre du système qui satisfait <math>f(0)=0  \Rightarrow x=0 \subset D</math>.

Le point d'équilibre <math>0</math> du système <math>\dot x = f(x)</math> est :
* '''stable''' au sens de Lyapunov si <math>\forall \epsilon > 0, \exists \delta (\epsilon) > 0 </math> tel que : <math>\forall t>0 , \left\| {x(0)} \right\| < \delta \Rightarrow  \left\| {x(t)} \right\| < \epsilon</math> ;
* '''instable''' s'il n'est pas stable ;
* '''[[stabilité asymptotique|asymptotiquement stable]]''' si le point est stable et que <math> \left\| {x(0)} \right\| < \delta \Rightarrow x(t) \to 0 </math> quand <math>t \to \infty</math> ;
* '''exponentiellement stable''' si le point est stable et que : <math> \exists \alpha , \beta > 0</math> tel que <math> \left\| {x(t)} \right\| < \alpha \cdot \left\| {x(0)} \right\| \cdot e^{-\beta t} , \forall t>0</math>.

== Culture populaire ==
Un certain nombre de résultats des systèmes dynamiques ont eu un impact non négligeable dans la [[culture populaire]]. En particulier, la [[théorie du chaos]] pour les systèmes dynamiques continus et les [[Ensemble de Mandelbrot|ensembles de Mandelbrot]] en [[dynamique holomorphe]] ont eu un impact dans les domaines artistiques.

=== Théorie du chaos ===
{{article détaillé|Théorie du chaos}}
La théorie du chaos est un ensemble de méthodes mathématiques apparaissant et dans les itérations d'applications continues et dans les questions de stabilité des équations différentielles, qui tend à mettre en valeur une sensibilité en la ou en les conditions initiales.

La [[suite logistique]] et le [[chat d'Arnold]] figurent parmi les exemples classiques relevant de la théorie du chaos. Cependant, l'exemple des [[système dynamique hyperbolique|systèmes dynamiques hyperboliques]] est plus représentatif des phénomènes chaotiques. Un modèle simple mais déjà présentant une dynamique assez riche est celui des [[difféomorphisme hyperbolique du tore|difféomorphismes hyperboliques du tore]] (en toute dimension).

Les systèmes chaotiques présentent en général une très grande {{Lien|trad=Structural stability|stabilité structurelle}}. Dit informellement, une perturbation portant non plus sur des conditions initiales mais sur la loi de transformation ne modifie pas en général la dynamique globale. C'est le cas par exemple des systèmes dynamiques hyperboliques.

Un outil central pour prouver qu'un système dynamique est chaotique est de faire usage des méthodes dites de [[Dynamique symbolique|codage]] ou de {{Lien|trad=Markov partition|Partition de Markov|texte=partitions de Markov}}.

Dans la culture populaire, la théorie du chaos se dit de toute structure sociale ou phénomène social dont on ne maitrise pas les causes ou le développement.

Dans les romans ''[[Jurassic Park (roman)|Jurassic Park]]'' et ''[[Le Monde perdu (Michael Crichton)|Le Monde perdu]]'' de [[Michael Crichton]], c'est ce point de vue populaire qui est présenté par le mathématicien fictif [[Ian Malcolm (Jurassic Park)|Ian Malcolm]].

=== Ensembles de Mandelbrot ===
{{article détaillé|Ensemble de Mandelbrot}}
<!--
== Notes et références ==
<references />
-->
== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* Robert Roussarie et Jean Roux, ''Des équations différentielles aux systèmes dynamiques'', [[EDP Sciences]], 2012 (présentation en ligne : vol. [http://laboutique.edpsciences.fr/produit/537/9782759812141/Des%20equations%20differentielles%20aux%20systemes%20dynamiques%20I I] et [http://laboutique.edpsciences.fr/produit/538/9782759812158/Des%20equations%20differentielles%20aux%20systemes%20dynamiques%20II II])
* {{en}} John Hubbard et Beverly West, ''Differential Equations: A Dynamical Systems Approach''
* {{ouvrage|langue=en|auteur=Robert L. Devaney|titre=Introduction to Chaotic Dynamical Systems (second edition)|éditeur=Addison-Wesley, Redwood City|année=1989}}
*[[Abdelhaq El Jai|A. El Jai]], E. Zerrik et K. Ztot, ''Systèmes dynamiques. Analyse et contrôle des systèmes localisés'', [[Princeton University Press|PUP]], 2008 {{Isbn|978-2-35412-025-2}}
*A. El Jai, L. Afifi et E. Zerrik, ''Systèmes dynamiques II. Analyse régionale des systèmes linéaires distribués'', PUP, 2008 {{ISBN|978-2-35412-031-3}}

=== Articles connexes ===
* [[Système dynamique]] (article doublon)
* [[Théorie supersymétrique de la dynamique stochastique]]

=== Liens externes ===
* [http://interstices.info/equations-differentielles Systèmes dynamiques et équations différentielles]

{{Palette|Science des systèmes}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Systèmes dynamiques]]