Voir la source de Théorie du chaos

{{Voir homonymes|Chaos}}
{{Infobox Concept historique
| image=Double pendule (simulation Algodoo©).gif
| légende=Illustration de la théorie du chaos : le [[pendule double]] a un comportement déterministe (car répondant aux lois newtoniennes) mais imprédictible. La sensibilité aux conditions initiales provoque une divergence des mouvements des deux pendules, initialement quasiment identiques (le changement est ici provoqué par une [[Stabilité numérique|instabilité numérique]] survenant au cours de la résolution).
| nom=Théorie du chaos
| date d'apparition={{sp-|XIX|-|XX}}
| pays=Europe|
| définition=La théorie du chaos étudie les systèmes dynamiques en cherchant à comprendre les conséquences des conditions initiales.
| auteur=[[Henri Poincaré]] et [[Mary Cartwright]]
}}
La '''théorie du chaos''' est une théorie scientifique rattachée aux [[mathématiques]] et à la [[physique]] qui étudie le comportement des [[système dynamique|systèmes dynamiques]] [[Déterminisme|déterministes]] et [[sensibilité aux conditions initiales|sensibles aux conditions initiales]], un phénomène généralement illustré par l'[[effet papillon]].

Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme. Bien que ce soient des [[Système déterministe|systèmes déterministes]], dont le comportement futur est déterminé par les [[condition initiale|conditions initiales]], sans aucune intervention du [[hasard]], ils sont imprévisibles (au moins dans le détail) car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infinie<ref group="alpha">Quand on procède au [[calcul numérique]] des solutions d'un [[système différentiel]] on peut imposer des [[condition initiale|conditions initiales]] exactes (par exemple via des nombres entiers), mais s'il s'agit d'un [[système dynamique]] sensible aux conditions initiales le résultat du calcul reste chaotique en raison des [[erreur d'arrondi|erreurs d'arrondi]], qui ont le même effet que de petites variations des conditions initiales : le résultat des calculs sera reproductible sur un même ordinateur, mais pourrait être complètement différent d'un ordinateur à l'autre.</ref>.

Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de '''chaos déterministe'''<ref>{{Lien web |langue=fr |prénom=Éditions |nom=Larousse |titre=chaos déterministe - LAROUSSE |url=https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/chaos_d%C3%A9terministe/31790 |site=www.larousse.fr |consulté le=2024-01-31}}</ref>, ou tout simplement de '''chaos'''.

Le comportement chaotique est à la base de nombreux [[système]]s naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des [[Modèle mathématique|modèles mathématiques]] chaotiques, ou par des techniques analytiques de [[Théorème de récurrence de Poincaré|récurrence]] et des [[Application de Poincaré|applications de Poincaré]]. La théorie du chaos a des applications en [[météorologie]], [[climatologie]], [[sociologie]], [[physique]], [[informatique]], [[ingénierie]], [[Sciences économiques|économie]], [[biologie]] et [[philosophie]].

== Introduction ==
=== Étymologie ===
La notion de [[Chaos (cosmogonie)|chaos]] renvoie à un [[Concept (philosophie)|concept]] qui remonte à l'[[Antiquité]], dans la perspective d'une explication du monde reposant sur le principe de l'harmonie et du [[Cosmos (philosophie)|cosmos]]. C'est un concept de [[philosophie]] avant d'être un concept des mathématiques.

=== Définition heuristique d'un système chaotique ===
Un [[système dynamique]] est dit '''chaotique''' si une portion « significative » de son [[espace des phases]] présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :
* le phénomène de [[sensibilité aux conditions initiales]] ;
* une forte [[théorie ergodique|récurrence]].

La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné, qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux [[système intégrable|systèmes intégrables]] de la [[Mécanique newtonienne|mécanique classique]], qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en [[physique théorique]]. La dynamique ''quasi périodique'' d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du [[Système solaire]] autour du Soleil ; aussi [[Voltaire]], qui incita [[Émilie du Châtelet]] à entreprendre la traduction des ''[[Philosophiae naturalis principia mathematica]]'' de [[Isaac Newton|Newton]], parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »…

=== Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ? ===
Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déjà trouvée confrontée à la description de [[système complexe|systèmes complexes]] macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de [[Degré de liberté (physique et chimie)|degrés de liberté]] internes du système à l'échelle microscopique (atomes, molécules). La [[Physique statistique|mécanique statistique]] avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du {{s|XIX}} qu'une dynamique d'une grande [[complexité]] pouvait résulter d'un système simple possédant un ''très petit nombre de degrés de liberté''<ref group=alpha>Pour un système dynamique différentiable inversible décrit par une équation différentielle (resp. l'itération d'une application suivant des temps discrets), ''trois'' (resp. deux) degrés de liberté suffisent. Pour un système dynamique décrit par l'itération d'une application différentiable non inversible suivant des temps discrets, un degré de liberté est suffisant. L'exemple paradigmatique est le doublement d'angle sur le cercle.

Pour des dimensions inférieures, la classification de Poincaré des homéomorphismes du cercle et le [[théorème de Poincaré-Bendixson]] sur les difféomorphismes de surface interdisent la présence d'une dynamique chaotique.</ref>, pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.

La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée<ref group=alpha>Bien sûr, un système complexe peut aussi posséder une dynamique d'une grande complexité : mentionnons par exemple les [[météorologie|phénomènes météorologiques]] ou l'[[Économie (discipline)|économie]].</ref>.

=== Chronologie de la théorie du chaos ===

==== Le déterminisme de Laplace ====
La question de départ était de prédire le mouvement de la Lune, question posée par les [[Astronome|astronomes]]. [[Pierre-Simon de Laplace]] a émis l'hypothèse de la stabilité du Système solaire en utilisant la [[théorie des perturbations]] au premier ordre. Mais le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, [[Henri Poincaré]] s'est donc emparé du problème.

==== La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré ====
Le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du {{s|XIX}} par Henri Poincaré, dans des travaux concernant le [[problème à N corps]] en [[mécanique céleste]] (notamment dans le volume 3 des ''Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste''), puis par [[Jacques Hadamard]] avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « [[flot géodésique]] sur une surface à [[courbure]] négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe ''Développements historiques'' situé plus loin.

==== Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930 ====
[[Mary Cartwright|Mary Lucy Cartwright]], [[Mathématicien|mathématicienne]] [[Royaume-Uni|britannique]] est également une pionnière de l’étude du chaos<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Byers Nina (Editrice) et Gary Williams (Editeur)|titre=Out of the Shadows: Contributions of Twentieth-Century Women to Physics|éditeur=Cambridge University Press|date=2010|pages totales=498|isbn=0521169623|lire en ligne=https://www.goodreads.com/book/show/12932341-out-of-the-shadows?ac=1&from_search=true&qid=Jkm6gMEcMT&rank=2|consulté le=14 mars 2022}}</ref>.

==== Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970 ====
[[Image:Lorenz attractor boxed.svg|vignette|[[Attracteur de Lorenz|Attracteur étrange de Lorenz]] (1963).]]
Ce n’est véritablement que dans les [[années 1970]] que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture [[épistémologie|épistémologique]] forte. Le terme suggestif de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. Yorke<ref>Cf. {{article|auteurs=Tien-Yien Li & James A. Yorke |titre=Period three implies chaos|journal= American Mathematical Monthly |numéro=82|année=1975|pages=985-992}}.</ref>. [[Otto Rössler|Otto E. Rössler]], connu pour avoir découvert l'un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd'hui [[attracteur de Rössler]]<ref>{{article|auteurs=Rössler Otto E.|titre=A equation for continuous chaos|journal= Physics Letters A|numéro=57|année=1976|pages=397-398}}.</ref>), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s'explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l'[[informatique]] à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique idoine.

À titre d'illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d'images produites par la théorie du chaos ; il s'agit ici d'un objet géométrique découvert par [[Edward Lorenz|Lorenz]] en 1963, et initialement baptisé « [[attracteur de Lorenz|attracteur étrange]] » à la suite de l'introduction de ce concept par [[David Ruelle]] et Floris Takens<ref>{{article|auteurs=Ruelle David & Floris Takens|titre=On the nature of turbulence|journal= Communications in Mathematical Physics|numéro=20|année=1971|pages=167-192}}.</ref>. (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : ''[[#Lorenz et la météorologie|Lorenz et la météorologie]]''.)

La théorie du chaos est une [[théorie]] scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l'espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l'espace plutôt que l'une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c'est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à « trouver de l'ordre caché sous un désordre apparent »<ref>Cf. {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Ivar|nom1=Ekeland|lien auteur1=Ivar Ekeland|titre=Le Calcul, l'Imprévu|sous-titre=les figures du temps de Kepler à Thom.|lieu=Paris|éditeur=[[éditions du Seuil]]|collection=Points Sciences|année=1987|pages totales=165|isbn=2-02-009557-2}}</ref>. L'attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d'une évolution d'un système dans l'espace des phases. Au déterminisme laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement longs a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière [[probabilité|probabiliste]]<ref>Cf. {{Ouvrage|prénom1=Ilya|nom1=Prigogine|prénom2=Isabelle|nom2=Stengers|titre=[[La Nouvelle Alliance (essai)|La Nouvelle Alliance. Métamorphose de la science]]|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Gallimard|Gallimard]]|collection=Folio-Essais, n°26|année=1979|isbn=|titre chapitre=Livre III}}.</ref> et alors caractérisé par l'existence d'invariants prenant la forme de [[mesure (mathématiques)|mesures]] de probabilités, de [[dimension fractale]]… ou par une description topologique des [[attracteur]]s<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Christophe|nom1=Letellier|titre=Le chaos dans la nature,|lieu=Paris|éditeur=[[Vuibert]]|année=2006|pages totales=276|isbn=2-7117-9140-8}}</ref>. Toutes les [[science]]s, y compris [[sciences sociales|sociales]], sont concernées<ref>{{Ouvrage|prénom1=Byrne, David|nom1=S.|titre=Complexity Theory and the Social Sciences|sous-titre=The State of the Art|éditeur=[[Routledge]]|année=2014|pages totales=297|isbn=978-0-415-69368-4|isbn2=0415693683|isbn3=9780415693677|oclc=931022789|lire en ligne=|consulté le=2018-11-24}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Chaos Theory in the Social Sciences|sous-titre=Foundations and Applications|éditeur=University of Michigan Press|année=1996|pages totales=349|isbn=978-0-472-10638-7|isbn2=9780472022526|lire en ligne=https://dx.doi.org/10.3998/mpub.14623|consulté le=2018-11-24}}</ref>{{,}}<ref>Article de vulgarisation, en anglais, sur le sujet de la théorie du chaos en sciences sociales : "Social Sciences : Chaos Theory; An Overview, by Ashley Crossman, 2017 [https://www.thoughtco.com/chaos-theory-3026621 Lire en ligne]</ref>{{,}}<ref>Alain Degenne. Les attracteurs. 2014. [https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01081801 Lire en ligne]</ref> par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l'organisation du vivant dans la nature<ref>A. Hastings, C. L. Hom, S. Ellner, P. Truchin & H. C. J. Godfray, « ''Chaos in ecology : is Mother Nature a strange attractor ?'' », Annual Reviews of Ecology and Systematics, vol. 24, 1–33, 1993.</ref>.

== Le déterminisme, de Laplace à Poincaré ==
{{Article détaillé|Système déterministe}}

=== La stabilité du Système solaire ===
{{Article détaillé|Problème à N corps}}

Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme le système : { Soleil - Terre - Lune }, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le [[Système solaire]] est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du Système solaire vers l'infini.

Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne : en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]], qui crut avoir prouvé la stabilité du Système solaire en utilisant la [[théorie des perturbations]] au premier ordre. Mais en réalité, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement, et un siècle après Laplace, [[Henri Poincaré]] s'est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l'évolution des idées qui distinguent la pensée de Laplace de celle de Poincaré.

=== Notion de système dynamique différentiel conservatif ===
{{Article détaillé|Système dynamique}}

Pour un système possédant ''n'' [[Degré de liberté (mécanique)|degrés de libertés]], l'[[espace des phases]] <math>\Gamma </math> du système possède ''2n'' dimensions, de telle sorte que l'état complet <math>x(t) \in \Gamma </math> du système à l'instant ''t'' est en général un [[vecteur]] à ''2n'' composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du type<ref>Rappelons qu'une équation différentielle d'ordre ''n'' peut toujours se ramener à un système de ''n'' équations différentielles couplées d'ordre un.</ref> :

{| align="center" border="0"
|<math>\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f(x(t),t)
</math>
|}

où la fonction ''f'' définit le système dynamique étudié (c'est en général également un vecteur à ''n'' dimensions, c’est-à-dire un ensemble de ''n'' fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale <math>x_0</math> ''un et un seul état final'' <math>x(t)</math>. Il faut pour cela qu'il existe une application [[bijection|bijective]] <math>\phi_t : \Gamma \to \Gamma </math> de l'espace des phases sur lui-même telle que :

{| align="center" border="0"
|<math>x(t) \ = \ \phi_t(x_0)</math>
|}

Lorsque le temps ''t'' varie, cette bijection engendre un ''[[flot (mathématiques)|flot]]'' sur <math>\Gamma </math>, c’est-à-dire un [[Sous-groupe à un paramètre|groupe continu à un paramètre]] <math>\phi_t</math>. Cette modélisation mathématique correspond par exemple au [[mécanique hamiltonienne|flot hamiltonien]] de la [[Mécanique newtonienne|mécanique classique]], ainsi qu'au [[flot géodésique]].

=== Laplace, ou le déterminisme triomphant ===
{{loupe|Démon de Laplace}}
Fort des succès obtenus en [[mécanique céleste]], [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] écrit en 1814 dans l’introduction de son ''Essai philosophique sur les probabilités''<ref>{{Ouvrage|auteur1=Pierre-Simon Laplace|titre=Essai philosophiques sur les probabilités|éditeur=Courcier|année=1814|passage=2-3.|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=rDUJAAAAIAAJ&pg=PA2}}, consulté le 27 juin 2013.</ref> :

{{Citation bloc|Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux.

L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales, les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l’espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux; et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire.}}

Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant.

=== Le théorème de Cauchy-Lipschitz ===
{{Article détaillé|Théorème de Cauchy-Lipschitz}}

C'est le mathématicien [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] qui énonce en 1820 le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle. [[Rudolf Lipschitz|Lipschitz]] lui donnera sa forme définitive en [[1868 en science|1868]].

=== Poincaré et l'imprédictibilité ===
Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son ''Calcul des Probabilités''<ref>Henri Poincaré ; ''Calcul des probabilités'', Gauthier-Villars (Paris - {{2e|édition}}, 1912). Réimpression : Éditions Jacques Gabay (Paris-1987).</ref>{{,}}<ref>{{pdf}} {{lien web|url=http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/pdf/hp1912cp.pdf|titre=Calcul des Probabilités, p.1. p.4. et p.5.|site=le Laboratoire d’Histoire des Sciences et de Philosophie, Archives Henri Poincaré, [[Université de Lorraine]], UMR 7117 CNRS|consulté le=28 juin 2013.}}</ref> un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du Système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré.

{{Citation bloc|Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime [[Joseph Bertrand|Bertrand]], au début de son ''Calcul des probabilités''. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit.

Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. […]

Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits qu'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités paraît s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale.}}

{{Citation bloc|Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.}}

==== Sensibilité aux conditions initiales ====
Dans le paragraphe précédent, Poincaré met en exergue le phénomène connu aujourd'hui sous la dénomination de '''sensibilité aux conditions initiales''' : pour un système chaotique, une très petite erreur sur la connaissance de l'état initial ''x<sub>0</sub>'' dans l'espace des phases va se trouver (presque toujours) rapidement amplifiée.

Quantitativement, la croissance de l'erreur est localement ''exponentielle'' pour les systèmes fortement chaotiques, baptisés selon la [[théorie ergodique]] ''K-systèmes'' (le ''K'' est pour [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]]), ainsi que pour les systèmes très fortement chaotiques, dits ''B-systèmes'' (le ''B'' est pour [[Jacques Bernoulli|Bernoulli]])<ref>On a l'implication : <math>B\Longrightarrow K</math>, la réciproque étant fausse en général. Les systèmes ''K'' et ''B'' possèdent une ''[[entropie de Kolmogorov-Sinai]]'' positive.</ref>. Cette amplification des erreurs rend rapidement totalement inopérant le pouvoir prédictif qui découle de l'unicité de la solution, assurée par Cauchy-Lipschitz.

Typiquement, pour un système chaotique, les erreurs croissent localement selon une loi du type <math>\textstyle e^\frac{t}{\tau}</math>, où <math>\tau</math> est un temps caractéristique du système chaotique, appelé parfois [[Durée de Liapounov|horizon de Liapounov]]<ref>L'inverse du temps <math>\tau</math> est appelé un ''[[exposant de Liapounov]]''.</ref>. Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants <math> t \ll \tau </math>, pour lesquels l'exponentielle vaut approximativement 1, et donc tels que l'erreur garde sa taille initiale. En revanche, pour <math> t \gg \tau </math>, toute prédiction devient pratiquement impossible, bien que le théorème de Cauchy-Lipschitz reste vrai.

== Postérité des travaux de Poincaré ==
{{...}}

=== Poincaré et la stabilité du Système solaire ===
{{Article détaillé|Problème à N corps}}

Un siècle après Laplace, [[Henri Poincaré]] s'est attelé au problème de la stabilité du Système solaire. Entre 1880 et 1886, il commence par publier une série de mémoires intitulés : « ''Sur les courbes définies par une équation différentielle'' » qui donne naissance à l'analyse ''qualitative'' des équations différentielles. Poincaré y introduit notamment la notion capitale de [[portrait de phase]], qui résume géométriquement l'aspect des solutions dans l'[[espace des phases]] du système. Puis, en 1890, il publie le fameux mémoire intitulé : « ''Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique'' », qui lui vaut le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques<ref>Le jury est composé de Weierstrass, Mittag-Lefflet et Hermite.</ref>. L'histoire est célèbre<ref>[[June Barrow-Green]] ; ''Poincaré & the three-body problem'', History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).</ref> : le mémoire lauréat comporte une erreur, détectée par le jeune mathématicien [[Lars Edvard Phragmén]] alors qu'il prépare le manuscrit pour l'imprimeur. Cette erreur oblige Poincaré à procéder à de profonds remaniements dans son mémoire, et aussi à rembourser les frais d'impression du premier mémoire, une somme supérieure de quelque mille couronnes au prix qu'il avait reçu. Mais cette erreur s'avère féconde, car en lieu et place de la stabilité du Système solaire, Poincaré découvre alors le chaos potentiel caché dans les équations de la dynamique.

Plus récemment, des calculs numériques effectués par l'astronome [[Jacques Laskar]] en 1989-1990<ref>Lire e.g. : Jacques Laskar ; ''La stabilité du Système solaire'', dans : Amy Dahan Dalmedico, Jean-Luc Chabert & [[Karine Chemla]] (sous la direction de) ; ''Chaos & déterminisme'', Points Sciences, Le Seuil (1992), {{ISBN|2-02-015182-0}} ; et : Jacques Laskar ; ''Chaos in the Solar System'', conférence plénière donnée à ''TH2002'' (Paris, juillet 2002). Format [http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/preprints/prep.2003/th2002_laskar.pdf pdf].</ref>, puis confirmés par Sussman & Wisdom en 1992<ref>G.J. Sussman & J. Wisdom ; ''Chaotic evolution of the solar system'', Science '''257''' (1992), 56-62.</ref>, montrent que le [[Système solaire]] est chaotique, avec un horizon de Liapounov de l'ordre de 200 millions d'années.

=== L'école russe des années 1890-1950 ===
==== Liapounov et la stabilité du mouvement ====
Le {{date-|12 octobre 1892}}, [[Alexandre Liapounov]] soutient à l'[[Université d'État de Moscou|université de Moscou]] une thèse de doctorat intitulée : ''Le Problème général de la stabilité du mouvement''. Il y introduit l'idée de mesurer la divergence possible entre deux orbites issues de conditions initiales voisines et définit la « [[stabilité de Liapounov]] ». Lorsque cette divergence croît ''exponentiellement'' avec le temps pour presque toutes les conditions initiales voisines d'un point donné, on a le phénomène de [[sensibilité aux conditions initiales]], idée à laquelle sont attachés les [[Exposant de Liapounov|exposants de Liapounov]], qui donnent une mesure quantitative de cette divergence exponentielle ''locale''<ref>La divergence n'est en général exponentielle que localement. Rappelons en effet qu'un système chaotique possède le plus souvent un espace des phases [[Compacité (mathématiques)|compact]], propriété qui permet l'existence d'un phénomène de récurrence.</ref>.

==== L'école de Gorki : 1930-1940 ====
[[Alexandre Andronov|Andronov]] – [[Lev Pontriaguine|Pontriaguine]]

=== L'oscillateur de Van der Pol ===
{{Article détaillé|Oscillateur de Van der Pol}}

=== Émergence et développement de la théorie ergodique ===
{{Article détaillé|Théorie ergodique}}
{{colonnes|taille=20|
* [[Émergence]]
* [[George David Birkhoff|Birkhoff]]
* [[John von Neumann|Von Neumann]]
* {{Lien|langue=en|fr=Bernard Koopman|texte=Koopman}}
* [[Eberhard Hopf|Hopf]]
* [[Gustav Hedlund|Hedlund]]
}}

=== Prédictibilité et calculabilité ===
[[Norbert Wiener]] et [[John von Neumann]] se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de « petites causes » qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de « grands effets » (il donna l'image du « flocon de neige déclenchant une avalanche »), Von Neumann y voyait une occasion exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés [[ordinateur]]s : « Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche », répondait-il à Wiener, « alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas ! » Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que « permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction ». Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend.

=== Décidabilité ===
Les mathématiciens brésiliens [[Francisco Dória]] et {{Lien|langue=en|fr=Newton da Costa}}) ont prouvé que la théorie du chaos est indécidable (preuve publiée en 1991)<ref name="Stewart">[[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]], «Deciding the undecidable," ''Nature'' vol. 352, pp. 664–665 (1991) et I. Stewart, ''From Here to Infinity'', Oxford (1996).{{Commentaire biblio|1=Commentaires sur la preuve d'indécidabilité de la théorie du chaos.}}.</ref> et que si elle est correctement axiomatisée au sein de la théorie des ensembles classique, alors elle est incomplète dans la théorie des ensembles classique au sens de [[Kurt Gödel|Gödel]]<ref>NCA da Costa et FA Dória, "Undecidability and incompleteness in classical mechanics", ''Int. J. Theor. Physics'' vol. 30, pages 1041-1073 (1991). {{Commentaire biblio|1=Preuve que la théorie du chaos est indécidable et, si elle est axiomatisée dans la théorie des ensembles, incomplète au sens de [[Kurt Gödel|Gödel]]}}</ref>. Le mathématicien [[Morris Hirsch]] avait formulé le problème de la décision concernant les systèmes dynamiques chaotiques.

=== Lorenz et la météorologie ===
{{Article détaillé|Système dynamique de Lorenz}}

==== Présentation ====
[[Image:Attracteur étrange de Lorenz.png|vignette|[[Attracteur de Lorenz]].|255x255px]]
Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la [[météorologie]] fut pressenti par Henri Poincaré{{note| groupe=alpha|{{citation|Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres.}}<br/>
Henri Poincaré, ''[[Science et Méthode]]''<ref>{{lien web| url=http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Scienceetmethode.pdf| format=pdf| titre=Science et Méthode, p. 37| site=l’[[Académie de Nancy-Metz]]| consulté le=27 juin 2013}}.</ref>.}}, le [[météorologie|météorologue]] [[Edward Lorenz]] est néanmoins considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963<ref>Edward N. Lorenz, ''Deterministic non-periodic flow'', Journal of the Atmospheric Sciences '''20(2)''' (1963), 130–141. Format [http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2 pdf].</ref>.

Mathématiquement, le couplage de l'[[Atmosphère terrestre|atmosphère]] avec l'[[océan]] est décrit par le système d'[[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] couplées de [[Équations de Navier-Stokes|Navier-Stokes]] de la [[mécanique des fluides]]. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de [[convection]] de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement ''trois'' degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la [[sensibilité aux conditions initiales]].

==== La métaphore du papillon ====
En 1972, Lorenz fait une conférence à l'''American Association for the Advancement of Science'' intitulée<ref>Le titre n'est en fait pas de Lorenz, mais d'un autre météorologue, Philip Merilees, organisateur de la conférence ; Lorenz l'a découvert trop tard pour pouvoir en changer. Cf. Nicolas Witkowski : ''La chasse à l'effet papillon'', Alliage '''22''' (1995), 46-53.</ref>: « ''Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?'' », qui se traduit en français par :

{{Citation bloc|Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil provoque-t-il une tornade au Texas ?}}

Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée ''à tort'' de façon causale : ce serait le battement d'ailes du papillon qui déclencherait la tempête. Il n'en est rien ; Lorenz écrit en effet<ref>Edward N. Lorenz ; ''Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?'', Alliage '''22''' (1993), 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié (en anglais) dans : ''The essence of chaos'', The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993). Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.</ref>:

{{Début citation}}De crainte que le seul fait de demander, suivant le titre de cet article, « un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? », fasse douter de mon sérieux, sans même parler d'une réponse affirmative, je mettrai cette question en perspective en avançant les deux propositions suivantes :
* si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce ;
* si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher.{{Fin citation}}

Il serait plus juste de dire que la ''différence de cause'' (ici de conditions initiales) due à un battement d'ailes du papillon « induit » une ''différence d'effet'' qui est la tornade ; le battement d'ailes ne la provoque pas !

=== Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle ===
{{...}}

=== L'école russe des années 1950-1980 ===
{{Article détaillé|Système d'Anosov|Théorème KAM}}
[[Dmitri Anossov|Anosov]] – [[Iakov Sinaï|Sinaï]] - [[Vladimir Arnold|Arnold]]

== Transition d'une dynamique régulière vers le chaos ==
Soit un système dynamique dépendant d'un paramètre <math>r </math> :

{| align="center" border="0"
|<math>\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f_{r}(x(t),t)
</math>
|}

Il arrive que la dynamique change de comportement lorsque le paramètre <math>r </math> varie. On a pu mettre en évidence trois grands scénarios de passage d'une dynamique régulière à une dynamique chaotique lors de la variation d'un paramètre.

=== Cascade de doublements de période ===
[[Image:LogisticMap_BifurcationDiagram.png|vignette|upright|Bifurcation vers le chaos par doublement de période.]]
[[Mitchell Feigenbaum]] a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 1960 par Myrberg. Aujourd'hui, cette route est appelée « ''cascade de doublements de période'' » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la [[suite logistique]], qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même :

{| align="center" border="0"
|<math>x_{n+1} \ = \ r \, x_n \ (1 - x_n)</math>
|}

où {{mvar|n}} = 0, 1, … dénote le temps discret, {{mvar|x}} l'unique variable dynamique, et <math>0 \le r \le 4</math> un paramètre<ref>Lorsque le paramètre {{mvar|r}} devient ''supérieur'' à 4, l'application sort de l'intervalle [0, 1].</ref>. La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre <math>r</math> :
* Pour <math>0 \le r < 3 </math>, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque <math>r = 3</math>.
* Pour <math>3 \le r <3{,}57\dots<</math>, l'application possède un [[attracteur]] qui est une orbite périodique, de période <math>2^n</math> où ''n'' est un entier qui tend vers l'infini lorsque <math>r</math> tend vers 3,57…
* Lorsque <math>r =3{,}57\dots<</math>, l'application possède un attracteur chaotique [[Fractale|fractal]] découvert par le biologiste [[Robert May|May]] (1976)<ref>R. M. May, ''Nature'' '''261''' (1976), 459.</ref>.
* Le cas <math>r = 4</math> avait été étudié dès 1947 par [[Stanislaw Ulam|Ulam]] et [[John von Neumann|von Neumann]]<ref>Stanislas Ulam & John Von Neumann, ''Bulletin of the American Mathematical Society'', '''53''' (1947), 1120.</ref>. À noter qu'on peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante [[théorie ergodique|ergodique]]<ref>Pierre Collet & Jean-Pierre Eckmann, ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Birkhaüser, 1980.</ref>.

Lorsque le paramètre {{mvar|r}} augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur la figure ci-contre.

{{Clr}}

=== Scénario de Ruelle-Takens ===
Par quasi-périodicité…
{{...}}

=== Scénario de Pomeau-Manneville ===
{{...}}
Par intermittence…

== Quelques exemples ==
* [[Transformation du boulanger]]. La transformation du boulanger a de nombreuses variantes, qui toutes ont pour point commun de « faire remonter » très vite au niveau macroscopique d'infimes différences microscopiques, plus faible que la [[Qualité métrologique d'un appareil de mesure#Résolution|résolution]] de l'instrument utilisé.
* [[Transformation du cliché Photomaton|Transformation du photomaton]].

== Applications ==
* [[Astrophysique]] : [[Étoile variable|Étoiles variables]] à [[Courbe de lumière]] irrégulière, ''Du chaos dans la musique des étoiles'' [http://xxx.lanl.gov/abs/nlin.CD/0109028]
* [[Économie (discipline)|Économie]] : son modèle simplifié décrit les [[Cycle économique|cycles économiques]]<ref>{{ouvrage|langue=en|prénom1=Jan|nom1=Tinbergen|titre=Statistical Testing of Business Cycle Theories: Part II: Business Cycles in the United States of America, 1919-1932|collection=Books (Jan Tinbergen) |éditeur=Agaton Press |lieu=New York|date=1939-01-01|lire en ligne=https://repub.eur.nl/pub/14937/|consulté le=2022-12-21}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|prénom1=Giuseppe|nom1=Orlando|prénom2=Giovanna|nom2=Zimatore|titre=RQA correlations on real business cycles time series|périodique=Indian Academy of Sciences – Conference Series|volume=1|numéro=1|date=2017-12-18|doi=10.29195/iascs.01.01.0009|lire en ligne=https://www.ias.ac.in/describe/article/conf/001/01/0035-0041|consulté le=2022-12-21|pages=35–41}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Giuseppe|nom1=Orlando|prénom2=Giovanna|nom2=Zimatore|titre=Recurrence quantification analysis of business cycles|périodique=Chaos, Solitons & Fractals|volume=110|date=2018-05|doi=10.1016/j.chaos.2018.02.032|lire en ligne=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0960077918300924|consulté le=2022-12-21|pages=82–94}}</ref>, l'évolution de la [[Bourse (économie)|bourse]] <ref>{{Article|langue=en|prénom1=Giuseppe|nom1=Orlando|prénom2=Michele|nom2=Bufalo|prénom3=Ruedi|nom3=Stoop|titre=Financial markets’ deterministic aspects modeled by a low-dimensional equation|périodique=Scientific Reports|volume=12|numéro=1|date=2022-02-01|issn=2045-2322|pmid=35105929|pmcid=PMC8807815|doi=10.1038/s41598-022-05765-z|lire en ligne=https://www.nature.com/articles/s41598-022-05765-z|consulté le=2023-03-19|pages=1693}}</ref>, du prix de l'[[or]] ou l'évolution d'une [[population]] donnée<ref>[[Trinh Xuan Thuan]], ''Le chaos et l'harmonie'' : la fabrication du réel, Éditions [[Gallimard]], page 192.</ref>
* [[Psychologie du développement]] : [[Esther Thelen]] a décrit le développement des premières acquisitions motrices de l'enfant et ses premiers apprentissages implicites (acquisition de la [[Marche à pied|marche]]) en utilisant les modélisations issues des [[Théorie des systèmes dynamiques|théories des systèmes dynamiques]] et théorie du chaos. Son approche était novatrice et a fortement influencé les modèles théoriques de la psychologie du développement après la publication de deux ouvrages de référence sur le sujet en 1993 et 1994 (co-auteur, Linda Smith) <ref>Thelen, E. and Smith, L.B. (1994). ''A Dynamic Systems Approach to the Development of Cognition and Action''. Cambridge, Mass.: MIT Press</ref>{{,}}<ref>Smith, L. B., & Thelen, E. E. (1993). A dynamic systems approach to development: Applications. In ''This book grew out of a workshop," Dynamic Systems in Development," held for the Society for Research in Child Development in Kansas City, KS, Apr 1989.''. The MIT Press.</ref>. Ce champ d'investigation est la ''{{Lien|fr=Théorie developpementale des systèmes|lang=en|trad=developmental systems theory |texte=théorie developpementale des systèmes}}''.

== Bibliographie ==
=== Bibliothèque virtuelle ===
* [[David Ruelle]], ''Chaos, imprédictibilité et hasard'', conférence de vulgarisation donnée en 2000 par l'auteur à l'Université de tous les savoirs, puis publiée dans : ''Qu'est-ce que l'Univers ?'' (éd. Y. Michaud), Odile Jacob (2000), 647-656. Texte complet disponible au format [http://www.ihes.fr/~ruelle/PUBLICATIONS/129chaos.pdf pdf].
* Académie des sciences morales et politiques ; ''Le chaos'', dans : ''Implications philosophiques de la science contemporaine'' (2001), groupe de travail présidé par [[Bernard d'Espagnat]] :
** {{Lien web|auteur=François Lurcat|titre=Le chaos & l'occident|format =PDF|site=Académie des Sciences morales et politiques|url=https://academiesciencesmoralesetpolitiques.fr/wp-content/uploads/2019/01/lurcat.pdf |date=2019}}.
** Éric Bois, ''De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos'', format [http://www.asmp.fr/travaux/gpw/philosc/rapport1/bois.pdf pdf].
** ''Débat'', format [http://www.asmp.fr/travaux/gpw/philosc/rapport2/2-3_Debat.pdf pdf].
* {{en}} {{Lien|langue=en|fr=Predrag Cvitanović}}, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri et Gábor Vattay, ''The Chaos Webbook'', (Version 11 - {{date-|Décembre 2004}}). Ouvrage de référence [http://chaosbook.org/ en ligne] écrit par Predrag Cvitanović (Niels Bohr Institute, Copenhague) et ses collaborateurs.

=== Ouvrages de vulgarisation ===
* [[Amy Dahan]]-Dalmedico, Jean-Luc Chabert et [[Karine Chemla]] (sous la direction de), ''Chaos & déterminisme'', Points Sciences, Le Seuil (1992), {{ISBN|2-02-015182-0}}. Un ouvrage collectif au format poche, divisé en trois parties : ''Approches mathématiques'', ''Physique & Calcul'', et ''Quelques retours sur l'histoire et la philosophie'', écrits par quelques-uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine.
* David Ruelle, ''Hasard & Chaos'', Collection Opus 89, éditions Odile Jacob, 1991 {{ISBN|2-7381-0665-X}}. Ouvrage d'introduction au chaos au format poche par un expert, professeur de physique théorique à l'[[IHES]].
* [[Pierre Bergé (physicien)|Pierre Bergé]], [[Yves Pomeau]] et Monique Dubois-Gance, ''Des rythmes au chaos'', Collection Opus 64, Éditions Odile Jacob, 1997 {{ISBN|2-7381-0524-6}}. Un autre ouvrage d'introduction au format poche, par des spécialistes français.
* {{en}} {{Lien|langue=en|fr=Florin Diacu}} et [[Philip Holmes]], ''Celestial Encounters - The Origin of Chaos'', Princeton University Press, 1996 {{ISBN|0-691-00545-1}}. L'origine du "chaos" moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du {{s-|XIX}} à propos d'un vieux problème de mécanique newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours. Vulgarisation accessible à partir du premier cycle universitaire.
* [[Ivar Ekeland]], ''Le Chaos'', Dominos, Flammarion, 1995 {{ISBN|2-08-035172-9}}. Un ouvrage vulgarisant les notions de la théorie du chaos.
* [[James Gleick]], ''La Théorie du chaos'', Albin Michel, 1989 {{ISBN|2-226-03635-0}}. Réédité par Flammarion, 1991. [[Best-seller|Bestseller]], a influencé les auteurs [[Michael Crichton]] ([[Jurassic Park (roman)|Jurassic Park]]) et [[Tom Stoppard]] ([[Arcadia (Stoppard)|Arcadia]]).
* [[Julien Gargani]], '' Poincaré, le hasard et l’étude des systèmes complexes'', L'Harmattan, 2012. un ouvrage d'histoire et philosophie des sciences.
* {{Lien|langue=en|trad=John Briggs (author)|fr=John Briggs (auteur)|texte=John Briggs}} et [[David Peat]], ''Un miroir turbulent'', Dunod, 1997 {{ISBN|978-2-7296-0348-9}}. Un ouvrage de vulgarisation de la théorie du chaos.
* [[Vincent Fleury]], ''Arbres de pierre'', 1998. Ouvrage de vulgarisation qui part de l'histoire des dendrites pour introduire la [[morphogenèse]] (sensible) et articuler les relations entre structures compactes et arborescentes.
* [[Étienne Ghys]], ''La Théorie du chaos''. Une conférence enregistrée pour rendre ce concept accessible à tous, une coédition De vive voix - Académie des sciences, 2011 (ce CD a reçu le prix Lire dans le noir du livre audio 2011).

=== Textes techniques ===
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Kathleen T.|nom1=Alligood|prénom2=Tim D.|nom2=Sauer|prénom3=James A.|nom3=Yorke|titre=Chaos: An Introduction to Dynamical Systems|éditeur=Springer Science & Business Media|date=2000-09-27|isbn=978-0-387-94677-1|lire en ligne=https://books.google.it/books?id=48YHnbHGZAgC&redir_esc=y|consulté le=2023-03-19}}
* {{en}} Devaney, Robert L. (2003). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2nd ed.). Westview Press. {{ISBN|978-0-8133-4085-2}}.
* Pierre Bergé, Yves Pomeau et Christian Vidal, ''L'ordre dans le chaos - Vers une approche déterministe de la turbulence'', Hermann, 1988 {{ISBN|2-7056-5980-3}}. Un ouvrage d'introduction au chaos par des experts français, accessible dès le premier cycle universitaire. [[Prix Henri-Poincaré]] 1990 de l'Académie des Sciences.
* [[Gilles Deleuze]], [[Félix Guattari]], ''Du chaos au cerveau'' dans ''Qu'est-ce que la philosophie?'', Paris, Les éditions de minuit, 1991
* Christophe Letellier, ''Le Chaos dans la nature'', Vuibert, 2006 {{ISBN|2-7117-9140-8}}. Un ouvrage d'introduction tant aux aspects historiques qu'aux concepts techniques par un expert français.
* {{en}} [[Thomas Kibble|T. W. B. Kibble]] et F.H. Berkshire, ''Classical Mechanics'', Prentice Hall, {{4e}} édition, 1997 {{ISBN|0-582-25972-X}}. Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements newtoniens jusqu’aux formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette {{4e}} édition (avec un coauteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)
* {{en}} Kathleen T. Alligood, Tim Sauer et {{Lien|langue=en|fr=James A. Yorke}}, ''Chaos: An Introduction to Dynamical Systems'', Springer-Verlag, 1997 {{ISBN|978-0-387-94677-1}}
* {{en}} David Ruelle, ''Deterministic chaos: the science and the fiction'', Proceedings of the Royal Society London '''A 427''' (1990), 241-248
* [[Henri Poincaré]], ''Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste'', 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars, 1892
* [[Jacques Hadamard]], ''Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques'', [[Journal de mathématiques pures et appliquées]] '''4''' (1898), 27. Pour une revue plus récente, voir e.g. la référence suivante : [[Pierre Pansu]], ''Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative'', [[Séminaire Nicolas Bourbaki|Séminaire Bourbaki]] '''738''' (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
* {{en}}  Orlando, Giuseppe; Pisarchick, Alexander; Stoop, Ruedi (2021). Nonlinearities in Economics | SpringerLink. Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance. Vol. 29. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. {{ISBN|978-3-030-70981-5}}. S2CID 239756912.
* {{en}} [[Vladimir Arnold]], ''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', Springer-Verlag, {{2e}} édition, 1989 {{ISBN|0-387-96890-3}}. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes lagrangien & hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.
* {{en}} Vladimir Arnold, V.V. Kozlov et A.I. Neishtadt, ''Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics'', Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag ({{2e}} édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.
* {{en}} Vladimir Arnold et André Avez, ''Ergodic problems of classical mechanics'', Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988. Réédition d'un ouvrage classique écrit en 1968.
* {{en}} David Ruelle et Jean-Pierre Eckman, ''Ergodic theory of chaos and strange attractors'', Review of Modern Physisc '''57''' (1985), 617-656
* {{en}} [[Vladimir Damgov]], ''Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems'', World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004.
* René Lozi, ''Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems ?'', in ''Topology and Dynamics of Chaos In Celebration of Robert Gilmore’s 70th Birthday'', World Scientific Series on Nonlinear Science, 84, 2013, pp.63-98

=== Aspects historiques ===
* {{en}} [[David Aubin]], ''A Cultural History of Catastrophes and Chaos: Around the Institut des Hautes Études Scientifiques, France 1958-1980'', [[Philosophiæ doctor|Ph.D.]], [[université de Princeton]], 1998, UMI #9817022 {{lire en ligne|url=http://www.math.jussieu.fr/~daubin/publis.html}} au format [[Portable Document Format|pdf]]
* {{article|lang=en|prénom1=Amy|nom1=Dahan|prénom2=David|nom2=Aubin|titre=Writing the History of Dynamical Systems and Chaos : Longue Durée and Revolution, Disciplines and Culture|revue=[[Historia Mathematica]]|volume=29|année=2002|p.=273-339|url=http://www.math.jussieu.fr/~daubin/publis/Aubin-Dahan2002.pdf|format=pdf}}
* {{article|prénom=Amy|nom=Dahan|titre=Le chaos a-t-il engendré une révolution scientifique ?|lien périodique=La Recherche (magazine)|périodique=La Recherche|mois=1|année=2000}}
* {{chapitre|prénom=Amy|nom1=Dahan|titre=Le difficile héritage de Henri Poincaré en systèmes dynamiques|auteurs ouvrage=J. Greffe, G. Heinzmann et K. Lorenz|titre ouvrage=Henri Poincaré, science et philosophie|éditeur=Berlin, Akademie Verlag et Paris, Blanchard|année=1997|passage=13-33}}
* {{Chapitre |langue=fr |auteur1=Norman Mousseau |titre chapitre=De l'atome à la conscience : phénomènes d'émergence et complexité |auteurs ouvrage=Solange Lefebvre |titre ouvrage=Raisons d'être |sous-titre ouvrage=Le sens à l'épreuve de la science et de la religion |lieu=Montréal |éditeur=Les Presses de l'Université de Montréal |année=2008 |isbn=9782760620605 }}.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Chaos theory|type=note|3=708560074}}

=== Notes ===
{{Références|groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=20|
* [[Problème à N corps]]
* [[Simulation d'un système à N-corps]]
* [[Billard (mathématiques)]]
* [[Chaos quantique]]
* [[Chat d'Arnold]]
* [[Effet papillon]]
* [[Exposant de Liapounov]]
* [[Frontière du chaos]]
* [[Hasard]]
* [[Mécanique hamiltonienne]]
* [[Mouvement brownien]]
* [[Stabilité de Liapounov]]
* [[Théorie des systèmes dynamiques]]
* [[Science du complexe]]
}}

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* [http://just.loic.free.fr/ Découverte de la théorie du chaos de A à Z]
* [http://vivienmallet.net/chaos/index/ Contrôle de systèmes chaotiques]
* [http://chaos.aip.org/ La revue ''Chaos'', une des revues scientifiques de référence (en anglais)]
* [[Étienne Ghys]], « [http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos] » {{pdf}} {{taille fichier|5.5|Mo}}
* [[Jos Leys]], [[Étienne Ghys]] et [[Aurélien Alvarez]], [http://www.chaos-math.org/ ''Chaos, une aventure mathématique'']

{{Portail|analyse|physique}}

{{CLEDETRI:Theorie Chaos}}
[[Catégorie:Théorie du chaos| ]]
[[Catégorie:Physique théorique]]