Voir la source de Tore

{{Voir homophones|Tor|Thor}}
[[Fichier:Torus.svg|vignette|Modélisation d'un tore]]
Un '''tore''' est un [[solide géométrique]] représentant un [[tube (forme)|tube]] [[courbe|courbé]] refermé sur lui-même.  Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte :
* en [[ingénierie]] ou en [[Géométrie dans l'espace|géométrie]] élémentaire, un tore est un [[solide de révolution]] de l'espace obtenu à partir d'un [[cercle]], ou bien sa surface. Une [[chambre à air]], une [[bouée]], certains [[joint torique|joints]] d'étanchéité ou encore certains [[beignet]]s (les ''[[donut]]s'' nord-américains) ont ainsi une forme plus ou moins '''torique''' ;
* en [[architecture]], un tore correspond à une [[moulure]] ronde, semi-cylindrique. {{Article détaillé|Tore (architecture)}}
* en [[mathématiques]], plus particulièrement en [[topologie]], un tore est un [[Topologie quotient|quotient]] d'un [[espace vectoriel]] réel de dimension finie par un réseau, ou tout [[espace topologique]] qui lui est [[homéomorphisme|homéomorphe]]. La surface du solide de révolution décrit ci-dessus est généralement homéomorphe à ('''R'''/'''Z''')×('''R'''/'''Z'''), exception faite des [[cas dégénéré]]s.
* en [[électronique (technique)|électronique]], un [[Mémoire (informatique)#Tore magnétique|tore magnétique]] a constitué l'élément de base des mémoires des ordinateurs de seconde génération.
* en [[astronomie]], un tore peut être un [[anneau planétaire]] ou satellitaire .

== Solide de révolution en [[géométrie euclidienne]] ==
[[Fichier:Torus cycles2.svg|vignette|Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle.
R est le rayon du cercle violet. r est le rayon du cercle rouge.]]
Un '''tore''' est le [[volume]] de l'espace euclidien '''R'''{{3}} engendré par la [[Mouvement de rotation|rotation]] d'un [[cercle]] C de rayon ''r'' autour d'une droite affine ''D'' située dans son plan à une distance ''R'' de son centre. Dans cette acception, certains auteurs désignent par ''tore plein'' le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante.  À l'action d'une [[isométrie affine]] directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels ''R'' et ''r''.

La forme du tore (plein) dépend du signe de <math>r-R</math> :
* si <math>r=0=R</math>, le tore se réduit à un point ;
* si <math>r=0<R</math>, le tore se réduit à un cercle de rayon {{mvar|R}} ;
* si <math>0<r<R</math>, le tore est dit « ouvert » et ressemble à une [[chambre à air]] ou encore à un [[beignet]] (''[[donut]]'' nord-américain). Certains auteurs réservent la dénomination de tore à ce cas (ou incluent le cas suivant). 
* si <math>0<r=R</math>, le tore est dit « à collier nul »  ou ''tore fermé'' ou ''tore jointif''<ref>''closed torus'' en anglais.</ref> ;
* si <math>0<R<r</math>, le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une [[citrouille]] ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, et sa surface une sphère. 
* si <math>R=0<r</math>, le tore (plein) est une [[Boule (solide)|boule]] (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres) de rayon {{mvar|r}}.
[[Fichier:Les trois types de tores.PNG|vignette|center|upright=2|Les trois types de tores : tore croisé, à collier nul et ouvert.]]

=== Équations du tore ===
Un tore peut être défini [[équation|paramétriquement]] par<ref>{{lien web |titre=Equations for the Standard Torus<!-- Vérifiez ce titre --> |url=http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html |site=uiuc.edu |consulté le=06-10-2023}}.</ref>:
:<math>x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u}</math>,
:<math>y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u}</math>,
:<math>z(u, v) = r \sin{v}</math>.

où :
:{{mvar|u}} et {{mvar|v}} appartiennent à l'intervalle {{math|[0, 2π[}},
:{{mvar|R}} est la distance entre le centre du tube et le centre du tore,
:{{mvar|r}} est le rayon du cercle C.

En sommant les carrés :
:<math> x^2+y^2+z^2= R^2+2Rr \cos{v} +r^2</math>.

On isole <math> \cos{v} \,</math> et on élève à nouveau au carré :
:<math>(x^2+y^2+z^2- R^2- r^2)^2 =(2Rr \cos{v})^2</math>.

Ne reste plus alors qu'à injecter
:<math>z^2= r^2 \sin^2{v}</math>
pour obtenir finalement : 
:<math>(x^2+y^2+z^2- R^2- r^2)^2 = 4R^2 r^2 (1-\sin^2{v})</math>,
:<math>(x^2+y^2+z^2- R^2- r^2)^2 = 4R^2 (r^2 -z^2)</math>.

Une autre [[équation cartésienne]] pour un tore symétrique par rapport à l'[[système de coordonnées|axe ''z'']] est
:<math>\left(\sqrt{x^2 + y^2}-R\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!</math>

En éliminant algébriquement la racine carrée, on obtient une [[équation]] du {{4e|degré}}.
:<math> (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2).  \,\!</math>

=== Aire et volume ===
[[Image:Tore.png|thumb|240px|Tore ouvert, pour lequel ''R'' = 3 ''r'']]
Pour ''R''-''r'' positif ou nul, on a :
* [[Aire (géométrie)|Aire]] du tore : <math>A = \int\limits_0^{2\pi}R\,\text{d}\theta\;\left(\int\limits_0^{2\pi} r\,\text{d}\theta\right) = 4\pi^2rR  </math>


* [[Volume]] intérieur du tore : <math>V = \int\limits_0^{2\pi}R\,\text{d}\theta\;\left(\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^r r\,\mathrm dr\text{d}\theta\right) = 2\pi^2r^2R  </math>


Les [[théorème de Guldin|théorèmes de Guldin]] permettent d'obtenir ces résultats, et aussi de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour ''R''<''r'').

=== Groupe des isométries ===
Pour ''R'' > 0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :
* les rotations ''r''<sub>''u''</sub> d'axe (supposé orienté) ''D'' et d'angle ''u'' ;
* le retournement ''a'' par rapport au plan affine ''P'' orthogonal à ''D'' passant par le centre de ''C'' ;
* le retournement ''b''<sub>''Q''</sub> par rapport à tout plan affine ''Q'' contenant ''D'' ;
* la symétrie centrale ''s'' par rapport au projeté orthogonal ''O'' de ''C'' sur ''D'' ;
* les symétries axiales par rapport à toute droite passant par ''O'' et contenue dans ''P'' ;
* les composées d'une rotation ''r''<sub>''u''</sub> par le retournement ''a''.

Évidemment, la [[symétrie centrale]] et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe ''G'' des isométries du tore est isomorphe au produit direct de '''Z'''/2'''Z''' par le [[produit semi-direct]] de '''S'''<sup>1</sup> par '''Z'''/2'''Z''' :
:<math>G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z) </math>.

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :
* ''r''<sub>''u''</sub> correspond à (0,u,0) ;
* ''a'' correspond à (1,0,0) ;
* Pour un plan ''Q'' fixé arbitraire, ''b''<sub>''Q''</sub> correspond à (0,0,1).
En particulier, ''b''<sub>''r''<sub>''u''</sub>(''Q'')</sub>=''r''<sub>''u''</sub>''b''<sub>''Q''</sub>''r''<sub>-''u''</sub> correspond à (0,u,1) ; ''s'' correspond à (1,π,0).

=== Cercles de Villarceau ===
[[Fichier:VillarceauTorus.gif|thumb|Section du tore par un plan passant par son centre. La section est constituée de deux cercles pour trois valeurs de l'angle du plan avec celui du tore : lorsqu'il est confondu au plan du tore, lorsqu'il lui est perpendiculaire et lorsqu'il est bitangent. Dans ce cas, la section est constituée des deux cercles de Villarceau]]
{{Article détaillé|Cercles de Villarceau}}
Les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien français [[Yvon Villarceau]] (1813–1883).
Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ;  les deux autres sont les cercles de Villarceau.

=== Colorier un tore ===
[[Fichier:Projection_color_torus.png| vignette| gauche| redresse=2| Cette construction montre un tore divisé en 7 régions qui se touchent mutuellement.]]{{clr|left}}
Le [[théorème des quatre couleurs]] ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs différentes (maximum) de sorte que chacune touche les 6 autres. Le [[Conjecture de Heawood|théorème de Ringel–Youngs]] permet de montrer que 7 couleurs suffisent toujours.

=== Caractéristique d'Euler d'un tore ===
La [[caractéristique d'Euler]] d'un tore est égale à 0 : il est possible de mailler le tore sans introduire de singularité. 

=== Applications ===
* En recherche [[énergie nucléaire|nucléaire]] pour la production d'énergie par [[Fusion nucléaire#Fusion par confinement magnétique|fusion]], dans les réacteurs de type [[tokamak]], le [[Physique des plasmas|plasma]] est contenu par de forts [[champ magnétique|champs magnétiques]] dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de ''Tore Supra''. C'est aussi la forme des chambres à vide des [[Accélérateur de particules|accélérateurs de particules]] du type [[synchrotron]] (en négligeant les canaux d'entrée et de sortie).
* En électricité, la forme idéale du [[circuit magnétique]] d'un [[transformateur]] est celle du tore.

== Tore de dimension ''n'' ==
En [[topologie]], le terme ''tore'' est réservé pour désigner des [[espace topologique|espaces topologiques]] (ou des [[Variété (géométrie)|variétés]]). Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes à [[homéomorphisme]] (ou [[difféomorphisme]]) près. On appelle tore de dimension ''n'' ou ''n''-tore, et l'on note '''T'''<sup>''n''</sup>, l'espace topologique défini comme :
* [[Topologie produit|produit]] de ''n'' copies du [[cercle unité]] S{{1}} ;
*[[Topologie quotient#Actions de groupes|quotient]] de '''R'''<sup>''n''</sup> par '''Z'''<sup>''n''</sup> ;
*plus généralement, quotient d'un [[espace vectoriel]] [[Nombre réel|réel]] ''E'' [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]] ''n'' par un [[Réseau (géométrie)|réseau]] ''G'' ;

Le tore de dimension ''n'' est une [[variété topologique]] [[compacité (mathématiques)|compacte]] et [[connexité (mathématiques)|connexe]] de dimension ''n''. Obtenu comme quotient ''E''/''G'', '''T'''<sup>''n''</sup> est une [[variété différentielle]] et même un [[groupe de Lie abélien]] ; l'[[Carte locale|atlas]] maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel. Si ''E'' est un [[espace vectoriel euclidien]], le quotient '''T'''<sup>''n''</sup> = ''E''/''G'' se présente naturellement comme une [[variété plate]].

[[Image:Tore.svg|thumb|Le 2-tore est obtenu par recollement des côtés opposés d'un carré. On obtient une variété plate.]]
Pour construire un cercle, on peut joindre les extrémités d'un segment en le courbant dans un plan. De même, pour construire un 2-tore, on peut joindre deux à deux les côtés opposés d'un carré en le courbant dans une troisième dimension et plus généralement, pour construire un ''n''-tore, on peut joindre deux à deux les faces {{nobr|(''n'' – 1)-}}dimensionnelles opposées d'un [[hypercube]] de dimension ''n'' en courbant cet hypercube dans une nouvelle dimension ''n'' + 1. Ainsi, un 3-tore est le recollement des 3 paires de faces opposées d'un cube, dans une quatrième dimension.

Le [[groupe fondamental]] de '''T'''<sup>''n''</sup> est le [[groupe abélien libre]] à ''n'' générateurs, soit '''Z'''<sup>''n''</sup>.

Les tores sont les seuls groupes de Lie abéliens compacts connexes. L'introduction des [[tore maximal|tores maximaux]] ([[Groupe de Lie#Homomorphismes et isomorphismes|sous-groupes compacts]] abéliens connexes [[Élément maximal|maximaux]]) est d'une importance capitale dans l'étude des [[Groupe de Lie compact|groupes de Lie compacts]].

== Dynamique d'un plasma ou d'un fluide dans un tore ==
Des réservoirs toroïdes ou toriques (en forme de tore) sont présents dans plusieurs modèles de [[centrales nucléaires]] dont le récent [[AP 1000]], ou les réacteurs de la série ''Mark''. 

En cas de séisme important avec déplacement latéral du sol, d'explosion ou choc ayant les mêmes conséquences, le ''flushing'' (les ondes et vagues induites et leur effet de [[Ballottement]]) peut être une source de contraintes inhabituelles et différentiées dans le tore. 
Comprendre le flushing est donc un [[enjeu]] pour certaines technologies utilisant des réservoirs toriques, de même que pour les réservoirs circulaire ou toroïde dans un véhicule en déplacement, y compris avion, fusée ou [[véhicule spatial]]<ref>NASA (1969), ''[http://www.dept.aoe.vt.edu/~cdhall/courses/aoe4065/NASADesignSPs/sp8031.pdf Slosh suppression]'', May 1969, PDF, 36p</ref>.

La physique des plasmas formés dans les tores fait également l'objet de nombreuses études, dans le cadre du développement des [[Tokamak]]s et de la [[fusion nucléaire]].

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Bouteille de Klein]] 
* [[Cercles de Villarceau]]
* [[Complexe simplicial]]
* [[Plan projectif]]
* [[Tore non commutatif]]
* [[Tore de Stanford]]
*[[Conjecture de Willmore]]
* [[Tube (mathématiques)]]
* [[Univers en tore bidimensionnel]].

=== Liens externes ===
* [http://www.geometrygames.org/TorusGames/index.html.fr Torus Games] Quelques jeux téléchargeables gratuitement, fonctionnant sous Windows et Mac OS X, qui détaillent la topologie du tore
* {{YouTube|id=iuvXFg67uwo
|titre=Revêtement universel du tore 
|langue= 
|chaîne=
Henri Paul de Saint-Gervais}}
* {{Lien|trad=Toroidal propeller|fr=Hélice toroïdale}} : {{Lien web |titre=Des chercheurs du MIT ont trouvé comment réduire le bruit énervant des drones quadricoptères, en remplaçant les pales droites par des pales toroïdales |url=https://www.futura-sciences.com/tech/actualites/drone-helices-toroidales-vont-revolutionner-aviation-marine-103146/ |site=[[Futura (portail web)|Futura]] |date=30 janvier 2023 |consulté le=12 mai 2023}}

=== Bibliographie ===
* {{en}} Meserole, J.S., A. Fortini (1987), “Slosh Dynamics in a Toroidal Tank,” Journal Spacecraft, Volume 24, Number 6, November-December 1987 ([http://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/3.25948 résumé])
* {{en}} Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) ''Nonlinear liquid oscillation in a cylindrical tank with an eccentric core barrel''. Journal of Fluids and Structures, Volume 35, November 2012, Pages 120–132 ([http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0889974612001417 résumé]
* {{en}} Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) ''Frequency response of sloshing in an annular cylindrical tank subjected to pitching excitation''. Journal of Sound and Vibration 331:13, 3199-3212 ; En ligne:  2012-06-01. ([http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022460X12001708 résumé])

== Notes et références ==
<references />

{{Palette|Solides géométriques}}
{{portail|géométrie}}

[[Catégorie:Surface]]
[[Catégorie:Groupe de Lie]]