Voir la source de Tractrice

[[Image:Tractrice.png|thumb|upright=2|Tractrice pour ''x'' et ''y'' positifs ; ''T'' parcourt (''Ox'').]]
En [[mathématiques]], une '''tractrice''' est une [[courbe plane]] parcourue par un point ''M'' lié à un point ''T'' par les conditions suivantes : 
* le point ''T'' parcourt une droite ;
* la distance ''MT'' est constante ;
* la droite (''MT'') est tangente à la tractrice.
Elle est connue aussi sous le nom de ''courbe équitangentielle''<ref name=mathcurve>{{Lien web|url=http://www.mathcurve.com/courbes2d/tractrice/tractrice.shtml|titre=Tractrice|site=mathcurve.com<!--consulté le 9/3/2018-->}}.</ref>.

L'histoire de la tractrice remonte au {{S-|XVII}}. [[Claude Perrault]], rencontrant [[Leibniz]] vers les [[années 1670]], lui aurait parlé d'un problème qu'il aurait posé déjà à de nombreux mathématiciens sans en obtenir de réponse satisfaisante. Posant sa montre à gousset sur la table, il la tire par la chaînette en déplaçant l'extrémité de cette chaînette le long du bord rectiligne de la table ; il demande alors quelle est la [[trajectoire]] suivie par la montre. Nous sommes alors au tout début du [[calcul infinitésimal]] et des [[équation différentielle|équations différentielles]]. Leibniz propose une [[mise en équation]] mais la résolution proprement dite demande l'outil des [[logarithme naturel|fonctions logarithmes]] ou des [[fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]]. 

Elle a été aussi étudiée par [[Isaac Newton]] en [[1676]], [[Christian Huygens|Huygens]] en [[1692]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] en [[1693]].

De nombreux mathématiciens, appartenant au ''« mouvement tractionnel »'', s'intéressent alors à cette courbe et proposent des instruments spécifiques, les ''« intégraphes »'', qui permettent la construction d'une tractrice, ou de courbes plus complexes, à partir d'un mécanisme de traction. Une tractrice est également utilisée pour calculer l'aire d'un domaine au moyen du [[planimètre#Planimètre de Prytz|planimètre de Prytz]].

On peut citer, en particulier, les instruments de Leibniz et de Huygens en [[1693]], de [[Jakob Bernoulli]] en [[1696]], de John Perks en [[1706]], de [[Giovanni Poleni]] en [[1728]] (premier instrument réellement opérationnel<ref>{{Lien web
 | langue      = 
 | url         = http://slideplayer.fr/slide/3677416/12/images/38/Giovanni+Poleni+1729.jpg
 | titre       = Les instruments mécaniques d’intégration
 | sous-titre  = Intégraphe de Giovanni Poleni (1729)
 | auteur      = Waltier Masse
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 | date        = 16 mars 2004
<!--consulté le=9/3/2018-->
}}.</ref>), de {{Lien|Giambattista Suardi}} en [[1752]]<ref>{{Lien web
 | langue      = 
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 | titre       = Les instruments mécaniques d’intégration
 | sous-titre  = Intégraphe de Giambattista Suardi (1752)
 | auteur      = Waltier Masse
 | site        = slideplayer.fr
 | date        = 16 mars 2004
<!--consulté le=9/3/2018-->
}}.</ref>.

On peut imaginer une construction de la tractrice à l'aide d'une adaptation de la [[méthode d'Euler]] ([[Leonhard Euler]] a entretenu une correspondance soutenue, en particulier avec Giovanni Poleni, entre [[1735]] et [[1739]])<ref>{{Lien web
 | langue      = 
 | url         = http://semioweb.msh-paris.fr/f2ds/docs/geo_2007/TOURNES.pdf
 | titre       = La Construction tractionnelle des équations différentielles dans la première moitié du {{S-|XVIII}}
 | auteur      = Dominique Tournès
 | site        = semioweb.msh-paris.fr
 | format électronique = pdf
 | date        = 19 mars 2007
<!--consulté le=9/3/2018-->
}}.</ref>.  

== Propriétés ==
* La tractrice est une [[courbe développante|développante]] de la [[chaînette]].
* Elle admet l'[[Abscisse#Abscisse sur une droite affine|axe des abscisses]] comme [[asymptote]].
* On l'appelle parfois « courbe aux tangentes égales » pour exprimer que la longueur des segments de tangentes limités à la courbe et à l'asymptote est constante.
* la [[surface de révolution]] obtenue en faisant tourner la tractrice autour de son asymptote est la [[pseudosphère]] de [[Eugenio Beltrami|Beltrami]]. Cette surface, qui est localement isométrique au [[demi-plan de Poincaré]], fut le premier modèle explicite de la géométrie de [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Lobatchevski]].

== Construction graphique ==
Pour construire une approximation d'une tractrice entre les points ''M''<sub>1</sub> et ''M''<sub>2</sub> associés aux points ''T''<sub>1</sub> et ''T''<sub>2</sub>, on divise le segment [''T''<sub>1</sub>''T''<sub>2</sub>] en ''n'' intervalles [''t<sub>i</sub>t''<sub>''i''+1</sub>] qui permettent de construire ''n'' + 1 points ''m''<sub>0</sub>, … , ''m<sub>n</sub>'' de la tractrice (''m''<sub>0</sub> = ''M''<sub>1</sub> et {{nobr|1=''m<sub>n</sub> = M''<sub>2</sub>)}} de proche en proche. Si ''r'' est la distance ''M''<sub>1</sub>''T''<sub>1</sub>, on trace le segment [''m<sub>i</sub>t''<sub>''i''+1</sub>] et l'on place le point ''m''<sub>''i''+1</sub> sur ce segment et à une distance ''r'' de ''t''<sub>''i''+1</sub>.
[[Image:tractrice2.png]]

== Résolution mathématique ==
[[Image:Tractrice1.png|thumb|upright=1.5|Tractrice, position de M et T.]] 
En considérant la tractrice comme une courbe paramétrée, autrement dit si ''x''(''t''), ''y''(''t'') sont les coordonnées cartésiennes de ''M'' dans un repère orthonormé, cherchons  deux fonctions ''x'' et ''y'' vérifiant ''x''(0) = 0, ''y''(0) = ''a'' et vérifiant les conditions requises.

Dans le dessin ci-contre, elles se traduisent par 
* <math>y^2 + h^2 = a^2</math> pour <math>MT=a</math>
*(''h'', –''y'') est proportionnel à (''x{{'}}'', ''y{{'}}'') car (''MT'') est tangente à la courbe.
Le problème revient donc à résoudre la relation  différentielle : 
:<math>y^2 + \left(\frac{x'y}{y'}\right)^2 = a^2</math>,
dans laquelle il s'agit de choisir judicieusement les fonctions paramétrées.

===''y'' en fonction de ''x''===
En prenant <math>x</math> comme paramètre, on obtient l'équation 
:<math> y'^2 = \frac{y^2}{a^2-y^2}</math>,
soit encore 
:<math>y'=\pm\frac y{\sqrt{a^2-y^2}}</math>.
C'est une [[équation différentielle autonome]]. Cela était prévisible puisque la propriété géométrique étudiée est invariante par translation parallèle à l'axe des ''x'' : si le graphe de <math>x\mapsto y(x)</math> a la propriété requise, il doit en être de même du graphe de <math> x\mapsto y(x-x_0)</math>, quel que soit le réel <math>x_0</math>. 

Pour une telle équation, sur tout intervalle où <math>y^\prime</math> ne s'annule pas, on peut expliciter
les fonctions réciproques des solutions au moyen d'intégrales. Ici, pour les conditions initiales requises,
<center><math>
x=\int_a^y\pm\frac{\sqrt{a^2-u^2}}u\,\mathrm du
</math>.</center>
Cette intégrale peut se calculer par divers [[Intégration par changement de variable|changements de variable]]. Si l'on se limite aux conditions <math>x</math> et <math>y</math> positifs ou nuls, avec comme conditions initiales <math>x_0=0</math> et <math>y_0=a</math>, on trouve ainsi<ref>Voir par exemple le lien [[#Voir aussi|ci-dessous]] vers [[Wikiversité]].</ref>, entre autres<ref name=mathcurve/> :

*en utilisant des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques circulaires]] :
*:<math>y=a\cos t</math> avec <math>t\in\left[0,\pi/2\right[</math> (la géométrie du problème imposant la condition <math>0<y\le a</math>) et
*:<math>x=a\left(\ln\frac{1+\sin t}{\cos t}-\sin t\right)</math>.
*:Puis, en remplaçant <math>a\cos t</math> par <math>y</math> :
*:<math>x=a\ln\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}y-\sqrt{a^2-y^2}</math> ;
*en utilisant des [[fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]] [[tangente hyperbolique|tanh]] et [[cosinus hyperbolique|cosh]] :
*:<math>y=\frac a{\operatorname{cosh} t}</math> et
*:<math>x=a\left(t-\operatorname{tanh}t\right)</math>.

La relation entre ces deux points de vue est donnée par la [[fonction de Gudermann]].

==Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Tractrix|v=Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 10|wikiversity titre=Exercice corrigé sur la tractrice}}

=== Article connexe===
* [[Courbe du chien]]
* [[Tractoire]]

=== Liens externes ===
* [http://www.cabri.net/abracadabri/Courbes/Tract/Tract2.html Le mouvement tractionnel en géométrie] sur le site cabri.net
* [http://serge.mehl.free.fr/anx/tractrice.html Tractrice] sur le site de Serge Mehl
* {{MacTutor|class=Curves|id=Tractrix|titre=Tractrix}}
* {{planetmath|nom_url=Tractrix|titre=Tractrix}}
* {{planetmath|nom_url=FamousCurves|titre=Famous curves}}
* {{mathworld|nom_url=Tractrix|titre=Tractrix}}

{{Portail|géométrie|analyse}}

[[Catégorie:Courbe]]