Voir la source de Transformation de Fortescue

{{voir homonymes|Fortescue}}
En [[électrotechnique]], la '''transformation de Fortescue''' est utilisée afin de simplifier l'analyse des [[triphasé|systèmes électriques triphasés]] déséquilibrés. Il s'agit mathématiquement d'un [[Matrice de passage|changement de base]]. L'idée de base est qu'un système asymétrique de ''N'' [[Phaseur (physique)|phaseurs]] (3 pour le triphasé) peut être décomposé comme la somme de ''N'' systèmes symétriques<ref>{{Ouvrage|prénom1=Nouredine|nom1=Hadjsaïd|prénom2=Jean-Claude|nom2=Sabonnadière|titre=Power Systems and Restructuring|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2013|pages totales=704|passage=244|isbn=978-1-118-59992-1|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=bpEeycYeWJIC&pg=PT244}}</ref>. La transformation de Fortescue est ainsi également appelée méthode des '''composantes symétriques'''. Un système triphasé, que ce soit des courants, des tensions, des flux..., se décompose ainsi en trois systèmes équilibrés (ou symétriques) :
* un système équilibré '''direct''' noté ''G<sub>d</sub>'' ;
* un système équilibré '''inverse''' noté ''G<sub>i</sub>'' ;
* un système de tension '''[[homopolaire]]''' noté ''G<sub>o</sub>'' (en réalité une grandeur monophasée que l'on divise en 3 pour le calcul matriciel).
Après transformation, les trois vecteurs forment une [[famille libre]]. La méthode est principalement utilisée pour le calcul des [[courant de court-circuit|courants de court-circuit]].

== Histoire ==
[[Fichier:Unbalanced symmetrical components.pdf|vignette|upright=2.0|En bas, le système triphasé avant transformation, en haut à gauche le système direct (''{{lang|en|positive sequence}}'' en anglais), au centre le système indirect (''{{lang|en|negative sequence}}'' en anglais), à droite celui homopolaire (''{{lang|en|zero sequence}}'' en anglais)]]
En 1918, [[Charles Legeyt Fortescue]] avec son équipe (R.E. GILMAN, J.F. PETERS, J.  SLEPIAN)<ref>THESE présentée le 30 juin 1978 à  L UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE LILLE pour  obtenir le grade de DOCTEUR ès SCIENCES PHYSIQUES par Jacques LESENNE lngénieur H.E.I., Docteur-Ingénieur </ref> présente une publication qui démontre qu'un ensemble de N phaseurs déséquilibrés peut être décomposé comme la somme de N systèmes de phaseurs équilibrés pour le peu que N soit un [[nombre premier]]. Les phaseurs ont tous la même fréquence<ref>{{article|langue=en|prénom1=Charles L.|nom1=Fortescue|url=http://www.energyscienceforum.com/files/fortescue/methodofsymmetrical.pdf|titre=Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks|périodique=AIEE Transactions|volume=37|numéro=II|passage=1027-1140|année=1918}} et présenté lors de la {{34e|convention}} de l'AIEE (American Institute of Electrical Engineers) le 28 juin 1918</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=J. Lewis|nom1=Blackburn|titre=Symmetrical Components for Power Engineering|lieu=Boca Raton|éditeur=[[CRC Press]]|année=1993|passage=3–4|isbn=}}</ref>.

La méthode a été employée en premier par les ingénieurs des sociétés [[General Electric]] et [[Westinghouse Electric Corporation|Westinghouse]]. Elle est universellement utilisée depuis la [[Deuxième Guerre mondiale]].

== Principe ==
Dans le cas d'un système triphasé, pour le système direct les trois phaseurs sont disposés de manière qu'un observateur voit défiler les trois phases dans l'ordre 1, 2 puis 3. Pour le système indirect, l'observateur voit d'abord la phase 1 puis la 3 et enfin la 2. Pour le système homopolaire, les trois vecteurs sont en phase (voir figure ci-contre)<ref name="schneider">{{Ouvrage|titre=Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l’aide des composantes symétriques|éditeur=|année=2005|isbn=|lire en ligne=http://www2.schneider-electric.com/documents/technical-publications/fr/shared/electrotechnique/savoir-electrotechnique/haute-tension-plus-1kv/ct018.pdf|consulté le=13 mars 2016}}</ref>.

En analysant dans cette nouvelle base les différents composants du réseau électrique : générateurs, [[transformateur électrique|transformateurs]], [[ligne haute tension|lignes hautes tensions]]... il devient possible de calculer facilement les différents [[courant de court-circuit|courants de court-circuit]].

Dans un transformateur, les courants directs créent un champ tournant dans un sens, les courants indirects un champ tournant dans le sens opposé, enfin les courants homopolaires créent un champ immobile qui oscille en amplitude. Les relais utilisés en [[protection des réseaux électriques|protection électrique]] utilisent ces propriétés pour différencier les différents défauts électriques. L'apparition d'un système indirect est un bon indicateur d'un problème.

== Systèmes triphasés homopolaires ==
{{multiple image|caption_align=center
<!-- Essential parameters -->
 | direction         = vertical
<!-- Images -->
 | width             = 340
<!--image 1-->
 | image1            = VoltagePhasors.gif
 | caption1          = Système triphasé avec l'angle de la phase en bleu changeant avec le temps
<!--image 2-->
 | image2            = SymmComponents.gif
 | caption2          = Composantes symétriques correspondants au système triphasé ci-dessus
}}
Comme expliqué précédemment, ce n'est pas vraiment un système triphasé car cela correspond à un système de 3 tensions en phase :

:<math>g_1 = G_1\sin( \omega t+\varphi_1)</math>
:<math>g_2 = G_2\sin( \omega t+\varphi_2)</math>
:<math>g_3 = G_3\sin( \omega t+\varphi_3)</math>

L'intérêt de ce « faux système triphasé » est de faciliter l'[[Matrice (mathématiques)|écriture matricielle]] de la transformation de Fortescue.

== Matrice de transformation ==
Le but est de trouver les valeurs de ''G<sub>d</sub>'', ''G<sub>i</sub>'' et ''G<sub>o</sub>'' à partir de ''G<sub>1</sub>'', ''G<sub>2</sub>'' et ''G<sub>3</sub>''.

=== Calcul de ''G<sub>o</sub>'' ===
Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :
:<math>3 G_o\sin( \omega t+\varphi_o) = G_1\sin( \omega t+\varphi_1)+G_2\sin( \omega t+\varphi_2)+G_3\sin( \omega t+\varphi_3)</math>

=== Opérateur de rotation : ''{{Souligner|a}}'' ===
:'''''Remarque''' : Une grandeur soulignée représente le [[transformation complexe|nombre complexe associé]] à la grandeur sinusoïdale considérée.''

C'est un [[nombre complexe]] de module 1 et d'argument <math>\tfrac23\pi</math> : <math>\underline a = e^{j\frac23\pi}</math>

Le résultat de sa multiplication par le nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de <math>\tfrac23\pi</math> par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de <math>\tfrac23\pi</math> dans le plan de [[Représentation de Fresnel|Fresnel]].

Il vérifie les propriétés suivantes :
* <math>\underline a^3 = 1</math>
* <math>1 + \underline a+ \underline a^2 = 0</math>

=== Matrice de Fortescue ===
<math>
\begin{bmatrix}
\underline G_1\\ 
\underline G_2\\
\underline G_3
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \underline a^2 & \underline a  \\
1 & \underline a & \underline a^2  \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\underline G_o\\ 
\underline G_d\\
\underline G_i
 \end{bmatrix}
</math>

=== Matrice de Fortescue inverse ===
<math>
\begin{bmatrix}
\underline G_0\\
\underline G_d\\ 
\underline G_i

\end{bmatrix}
= \frac13
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \underline a & \underline a^2  \\
1 & \underline a^2 & \underline a  \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\underline G_1\\ 
\underline G_2\\
\underline G_3
 \end{bmatrix}
</math>

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Symmetrical components|700082063}}
{{references|colonnes=2}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|titre=Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l’aide des composantes symétriques|éditeur=Schneider electric|année=2005|isbn=|lire en ligne=http://www2.schneider-electric.com/documents/technical-publications/fr/shared/electrotechnique/savoir-electrotechnique/haute-tension-plus-1kv/ct018.pdf|consulté le=13 mars 2016}}

== Voir aussi ==
* [[Transformation des systèmes triphasés]]
* [[Homopolaire]]

{{Portail|électricité et électronique|énergie}}

[[Catégorie:Électronique de puissance]]