Voir la source de Transformation de Fourier

[[Fichier:Fourier2.jpg|thumb|Portrait de [[Joseph Fourier]].]]
{{Infobox Méthode scientifique}} 

En [[mathématiques]], plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], la '''transformation de Fourier''' est une extension, pour les fonctions non [[Fonction périodique|périodiques]], du [[séries de Fourier|développement en série de Fourier des fonctions périodiques]]. La transformation de Fourier associe à toute fonction [[Intégrabilité|intégrable]] définie sur ℝ et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur ℝ appelée '''transformée de Fourier''' dont la [[variable indépendante]] peut s'interpréter en physique comme la [[fréquence]] ou la [[vitesse angulaire|pulsation]].

La transformée de Fourier représente une fonction par la densité spectrale dont elle provient, en tant que moyenne de [[fonctions trigonométriques]] de toutes fréquences. La [[théorie de la mesure]] ainsi que la [[Distribution (mathématiques)|théorie des distributions]] permettent de définir rigoureusement la transformée de Fourier dans toute sa généralité, elle joue un rôle déterminant dans l'[[Analyse harmonique (mathématiques)|analyse harmonique]].

Lorsqu'une fonction représente un [[phénomène physique]], comme l'état du [[champ électromagnétique]] ou du [[Son (physique)|champ acoustique]] en un point, on l'appelle '''[[signal électrique|signal]]''' et sa transformée de Fourier s'appelle son '''[[analyse spectrale|spectre]]'''.

== Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables ==
=== Définition ===
La transformation de Fourier <math>\mathcal F</math> est une opération qui transforme une [[fonction intégrable]] sur ℝ en une autre fonction, décrivant le [[spectre fréquentiel]] de cette dernière. Si {{mvar|f}} est une fonction intégrable sur ℝ, sa transformée de Fourier est la fonction <math>\mathcal F(f)=\hat f</math> donnée par la formule<ref>{{chapitre|auteur institutionnel=[[Commission électrotechnique internationale]]|titre chapitre= Mathématiques - Fonctions : Transformations  integrales|titre ouvrage=IEC 60050 Vocabulaire électrotechnique international|année=1987/1994 |passage= 	103-04-01|lire en ligne=http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=103-04-01}}</ref> :
: <math>\mathcal F(f):\xi\mapsto \hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm e^{-{\rm i}\xi x}\,\mathrm dx</math>.

=== Conventions alternatives ===
Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs multiplicatifs constants. Par exemple, certains scientifiques{{Lesquels|date=6 mars 2023}} utilisent ainsi{{Référence nécessaire|date=6 mars 2023}} : 
: <math>\mathcal F(f):\nu \mapsto \hat f(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}2\pi\nu t}\,\mathrm dt</math>
avec {{mvar|t}} en secondes et {{mvar|ν}} la fréquence (en hertz).

Certains utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante<ref>{{ouvrage|prénom1=Alain |nom1=Bouvier |lien auteur1=Alain Bouvier |prénom2=Michel |nom2=George |prénom3=François |nom3=Le Lionnais |lien auteur3=François Le Lionnais |titre=Dictionnaire des mathématiques |année première édition=1979|année=2001|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|passage=361}}.</ref> : 
: <math>\mathcal F(f):\omega\mapsto \hat f(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}\omega t}\,\mathrm dt</math>
avec {{mvar|t}} en secondes et {{mvar|ω}} la pulsation (en radians par seconde).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des [[produit de convolution|produits de convolution]] : à cause du facteur <math>\frac1{\sqrt{2\pi}}</math>, on a <math>\mathcal F(f*g)\ne\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)</math>, à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables {{mvar|f}} d'une variable réelle {{mvar|x}}. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle {{mvar|ξ}}. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en [[traitement du signal]], on notera volontiers {{mvar|t}} à la place de {{mvar|x}} et {{mvar|ω}} ou {{math|2π''ν''}} à la place de {{mvar|ξ}} qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que {{mvar|f}} est dans le ''domaine temporel'', et que <math>\hat f</math> est dans le ''domaine fréquentiel''.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de [[diffraction]] donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation <math>\mathcal F(f)</math> peut aussi être remplacée par {{math|''F''(ƒ)}} ou {{math|''TF''(ƒ)}}. Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter {{math|''f''('''x''')}} pour la fonction de départ et {{math|''f''('''p''')}} pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à {{math|'''x''', '''y''', '''z'''}} les variables duales {{math|'''p''', '''q''', '''r'''}}. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et [[quantité de mouvement]]. Cette notation n'est pas retenue ici.

=== Extension de la transformation de Fourier ===
Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des [[Fonction intégrable|fonctions intégrables]]. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à [[Michel Plancherel|Plancherel]]{{Référence nécessaire|date=6 mars 2023}} l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de [[carré sommable]], pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des [[distribution (analyse mathématique)|distributions]] de [[Laurent Schwartz (mathématicien)|Schwartz]], et plus particulièrement des [[Distribution tempérée|distributions tempérées]] permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres [[groupe (mathématique)|groupes]] que le groupe additif ℝ<sup>''n''</sup>. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif ℝ/ℤ, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les [[séries de Fourier]] —, et plus généralement sur des groupes [[espace localement compact|localement compacts]], pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les [[caractère d'un groupe fini|groupes duaux]], ainsi que la [[mesure de Haar]].

=== Propriétés de la transformation de Fourier ===
{| class="wikitable center" style="width:80%;"
|-
!
! scope=col |Fonction
! scope=col |Transformée de Fourier
|-
! scope=row |Linéarité
|<math>a \cdot g_1(x) + b \cdot g_2(x)</math>
|<math>a \cdot \hat g_1(\xi) + b \cdot \hat g_2(\xi)</math>
|-
! scope=row |Contraction du domaine
|<math>f(a \cdot x) \ </math>
|<math>\frac1{|a|} \cdot \hat f(\xi/a)</math>
|-
! scope=row |Translation temporelle
|<math>g(x+x_0)\ </math>
|<math>\hat g(\xi) \cdot \mathrm e^{\mathrm i\xi x_0}</math>
|-
! scope=row |Modulation dans le domaine temporel
|<math>g(x) \cdot \mathrm e^{\mathrm ix \xi_0}</math>
|<math>\hat g(\xi-\xi_0)</math>
|-
! scope=row |Produit de convolution
|<math>(f * g)(x)</math>
|<math>\hat f(\xi) \cdot \hat g(\xi)</math>
|-
! scope=row |Produit
|<math>(f  \cdot g)(x) </math>
|<math>\frac 1{2\pi}(\hat f * \hat g)(\xi)</math>
|-
! scope=row |Dérivation dans le domaine temporel
|<math>f'(x)</math>
(voir conditions ci-dessous)
|<math>{\rm i}\xi \cdot \hat f(\xi)</math>
|-
! scope=row |Dérivation dans le domaine fréquentiel
|<math>x  \cdot f(x)</math>
|<math>\mathrm i \hat f'(\xi)</math>
|-
! scope=row rowspan="5"|Symétrie
|réelle et paire
|réelle et paire
|-
|réelle
|paire (à symétrie hermitienne)
|-
|réelle et impaire
|imaginaire pure et impaire
|-
|imaginaire pure et paire
|imaginaire pure et paire
|-
|imaginaire pure et impaire
|réelle et impaire
|-
! scope=row |Forme
|[[Fonction gaussienne|gaussienne]]
|gaussienne
|}

* La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un [[tourne-disque]]. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio ({{math|''a'' > 1}}), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le [[domaine fréquentiel]].
* Si la fonction {{mvar|f}} est à support borné ({{c.-à-d.}} si <math>\exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0 </math>) alors <math>\hat f</math> est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction <math>\hat f</math> est borné alors {{mvar|f}} est à support non borné.
* Si {{mvar|f}} est une fonction non nulle sur un intervalle borné alors <math>\hat f</math> est une fonction non nulle sur <math>\Complex</math> et inversement, si <math>\hat f</math> est non nulle sur un intervalle borné alors {{mvar|f}} est une fonction non nulle sur <math>\Complex</math>.
* La transformée de Fourier de {{mvar|f}} est une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]], de limite nulle à l'infini ([[théorème de Riemann-Lebesgue]]), notamment bornée par 
:<math>\|\hat f\|_\infty\leq \|f\|_1</math>.
* Par [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de {{mvar|f}}.
* Supposons que la fonction <math>g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x)</math> soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition [[dérivation sous intégrale|sous le signe d'intégration]]. On constate alors que la dérivée <math>\hat f'</math> est la transformée de Fourier de {{mvar|g}}.
* Si {{mvar|f}} est localement [[Absolue continuité|absolument continue]] ({{c.-à-d.}} dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée ») et si {{mvar|f}} et {{mvar|f {{'}}}} sont intégrables, alors<ref>{{Rudin}}, p. 174 de l'édition de 1975-77.</ref> la transformée de Fourier de la dérivée de {{mvar|f}} est <math>\widehat{f'}(\xi)=\mathrm i\xi\hat f(\xi)</math>.
On peut résumer les deux dernières propriétés : notons {{mvar|D}} l'opération
:<math>Df=\frac1{\mathrm i} f'</math>
et {{mvar|M}} la multiplication par l'argument :
:<math>(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi)</math>.

Alors, si {{mvar|f}} satisfait des conditions fonctionnelles convenables, <math>\widehat{Df}= + M\hat f</math> et <math>\widehat{Mf}= - D\hat f</math>.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquels opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des [[distribution (mathématiques)|distributions]].

=== Transformation de Fourier inverse ===
Si la transformée de Fourier de {{mvar|f}}, notée <math>\hat f</math>, est elle-même une [[fonction intégrable]], la formule dite de [[transformation de Fourier inverse]], opération notée <math>\mathcal F^{-1}</math>, et appliquée à <math>\hat f</math>, permet (sous conditions appropriées) de retrouver  {{mvar|f}}  à partir des données fréquentielles :
:<math> f(x)=\mathcal F^{-1} (\hat f)(x)={1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\,\mathrm e^{+{\rm i}\xi x}\, \mathrm d\xi \qquad\Leftrightarrow\qquad \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm e^{-{\rm i}\xi x}\,\mathrm dx</math>.

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le {{math|–i}} devenu {{math|i}}.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :
:Définition en fréquence : <math>f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, \mathrm e^{+{\rm i}2\pi\nu t}\, \mathrm{d}\nu\qquad\Leftrightarrow\qquad\hat f(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}2\pi\nu t}\,\mathrm dt</math>.

:Définition en pulsation : <math>f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, \mathrm e^{+{\rm i}\omega t}\,\mathrm d\omega \quad \Leftrightarrow\quad \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}\omega t}\,\mathrm dt</math>.

{{démonstration|titre=[[Preuve#Différents types de preuves|Preuve]] par la [[formule sommatoire de Poisson]]<!--ajoutée le 11/3/8-->|contenu=
Soit ''h'' une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que {{mvar|h}} vérifie l'estimation 
:<math>|h(x)|\le\frac C{1+x^2}</math>
et que les deux premières dérivées de {{mvar|h}} sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de {{mvar|h}} vérifie une estimation analogue
:<math>|\hat h(\xi)|\le\frac{C}{1+\xi^2}</math>.

Soit {{mvar|y}} un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons :
:<math> f(x)=h(x)\mathrm e^{-\mathrm iyx}</math>.

On vérifie que {{mvar|f}} a les mêmes propriétés fonctionnelles que {{mvar|h}}. Par conséquent, on peut appliquer la [[formule sommatoire de Poisson]] à {{mvar|f}}, avec la période {{math|2π}} :
::<math>\sum_{n\in\Z} f(x+2\pi n)=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\hat f(k)\mathrm e^{{\rm i}k x}</math>.

Mais le calcul de <math>\hat f(k)</math> donne :
:<math>\hat f(k)=\int_\R h(x)\mathrm e^{-{\rm i}(y+k)x}\,\mathrm dx=\hat h(y+k)</math>.
On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de {{mvar|h}}, et il vient :
:<math>\sum_{n\in\Z}h(x+2\pi n)\mathrm e^{-{\rm i}(x+2\pi n)y}=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\hat h(y+k)\mathrm e^{{\rm i}kx}</math>.

On multiplie les deux membres de cette identité par <math>\mathrm e^{\mathrm ixy}</math> :
::<math>\sum_{n\in\Z}h(x+2\pi n)\mathrm e^{-2{\rm i}\pi ny}=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\hat h(y+k)\mathrm e^{{\rm i}(k+y)x}</math>.

On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à {{mvar|y}} sur l'intervalle {{math|[0 ; 1]}}.

À gauche, l'intégration par rapport à {{mvar|y}} ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à {{math|''n'' {{=}} 0}}. À droite, on intègre par rapport à {{mvar|y}} et l'on effectue dans chaque intégrale le changement de variable {{mvar|y + k {{=}} ξ}}. On obtient ainsi la formule
::<math> h(x)=\frac1{2\pi}\int_\R \hat h(\xi) \mathrm e^{{\rm i}x\xi}\,\mathrm d\xi</math>.

On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction {{mvar|f}} intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de [[Partie dense|densité]]. On approche {{mvar|f}} par une suite de fonctions {{mvar|f{{ind|p}}}} vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les {{mvar|f{{ind|p}}}} et leurs transformées de Fourier <math>\hat f_p</math> convergent vers leurs limites respectives {{mvar|f}} et <math> \hat f</math> en norme L{{1}}(ℝ). On peut construire de telles approximations en tronquant {{mvar|f}}, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle {{math|[–''p'', ''p'']}}, et en le régularisant par convolution. Si {{mvar|ϕ}} est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose {{math|''ϕ{{ind|p}}''(''x'') {{=}} ''p ϕ''(''px'')}} et l'on convole la fonction tronquée {{math|''f''{{ind|{{!}}[–''p'',''p'']}}}} par {{mvar|ϕ{{ind|p}}}}. C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre {{mvar|p}}.
}}

{{démonstration|titre=Preuve par l'[[analyse non standard]]<!--ajoutée le 19/2/7-->|contenu=
Soit {{mvar|f}} une fonction de classe [[Fonction C∞ à support compact|C{{exp|{{math|∞}}}} à support compact]]. Par le [[Analyse non standard#Axiome de transfert|principe de transfert]], on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction [[Analyse non standard|standard]]. Dans ce cas, il existe un [[Analyse non standard#Les réels|réel infiniment grand]] {{mvar|T}} tel que pour tout réel {{math|{{!}}''x''{{!}} > ''T''}}, {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}. Introduisons une [[base hilbertienne]] de {{math|L{{2}}([–''T'', ''T''])}} donnée par :
:<math>e_n:x\mapsto{\rm e}^{\mathrm in\pi x/T}</math>
(un calcul immédiat montre qu'elle est bien orthonormée, et [[Théorème de Riesz-Fischer|le fait qu'elle soit totale]] se déduit de la densité des fonctions continues et de leur [[Polynôme trigonométrique#Théorème de Stone-Weierstrass|approximation uniforme par des polynômes trigonométriques]]).
Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :
:<math>f=\sum_{n \in \Z}c_ne_n</math> où <math>c_n=\frac1{2T} \int_{-T}^Tf(x){\rm e}^{-\mathrm{i}n\pi x/T}{\rm d}x=\frac1{2 T}\widehat f\left(\frac{n\pi}T\right)</math>
Plus explicitement, pour ''x'' standard :
:<math>f(x)=\frac1{2\pi}\sum_{n \in \Z}\widehat f\left(\frac{n\pi}T\right){\rm e}^{\mathrm{i}n\pi x/T} \frac{\pi}T=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \widehat f(w){\rm e}^{{\rm i}wx}{\rm d}w</math>.
La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite ({{math|π/''T''}}), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C{{exp|{{math|∞}}}} à support compact et tout {{mvar|x}} standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C{{exp|{{math|∞}}}} à support compact et tout {{mvar|x}}, puis par densité des fonctions C{{exp|{{math|∞}}}} à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout {{mvar|x}}.
}}

=== Extension à l'espace ℝ<sup>''n''</sup> ===
Notons {{math|''x∙ξ''}} le [[produit scalaire canonique]] dans ℝ<sup>''n''</sup> :<center><math>x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j</math>.</center>

Si {{mvar|f}} est une [[fonction intégrable]] sur ℝ<sup>''n''</sup>, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :
<center><math>\hat f(\xi)=\int_{\R^n}f(x)~{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}~\mathrm dx</math>.</center>

Si ''A'' est une isométrie linéaire directe, <math>\widehat{f\circ A}=\hat f\circ A</math>.
Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.
{{démonstration|titre=Expression de la transformée de Fourier dans ℝ<sup>''n''</sup> d'une fonction radiale|contenu=

Par définition :
:<math>\hat f(t_1,t_2,\dots,t_n)=\int_{\R^n} f(x_1,x_2,\dots,x_n)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}(x_1t_1+x_2t_2+\dots+x_nt_n)}~\mathrm dx_1\mathrm dx_2\dots\mathrm dx_n</math>.
Si l'on se place dans le cas où {{mvar|f}} est radiale (ou à symétrie sphérique) alors {{mvar|f}} ne dépend des variables {{math|''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}''}} que par l'intermédiaire de la variable <math>\rho=\sqrt {x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2} </math>. On montre alors que <math>\hat f</math> ne dépend des variables {{math|''t''{{ind|1}}, ..., ''t{{ind|n}}''}} que par l'intermédiaire de la variable <math>\tau=\sqrt{t_1^2+t_2^2+\dots+t_n^2}</math>.
: Soit {{math|''f''(''x''{{ind|1}}, ... , ''x{{ind|n}}'') {{=}} ''g''(''ρ'')}}.
En notant les vecteurs : <math>\vec \rho = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\\\vdots\\{{x_n}}\end{array}} \right) \text{ et } \vec \tau =\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1}}\\{{t_2}}\\\vdots\\{{t_n}}\end{array}} \right) \Rightarrow \vec \rho \cdot \vec \tau = \rho \tau \cos \theta=x_1t_1+x_2t_2+\dots+x_nt_n</math> 
: En passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans ℝ<sup>{{mvar|n}}</sup> :
:<math> \hat f(\vec \tau)=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\vec \tau \cdot \vec\rho}~\mathrm d^n \vec \rho=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm d^n \vec \rho </math> 

Considérons la rotation <math> \mathcal{R} </math>  telle que <math> \vec \tau'= \mathcal{R}(\vec \tau) \Rightarrow \hat f(\vec \tau')=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\vec \tau' \cdot \vec\rho}~\mathrm d^n \vec \rho=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\mathcal{R}(\vec \tau) \vec \rho }~\mathrm d^n \vec \rho </math> 
:On ne change pas la valeur de l'intégrale si on remplace <math> \vec \rho </math> par <math> \mathcal{R} (\vec \rho )</math> du fait que {{mvar|g}} est radiale.
:<math>\Rightarrow \hat f(\vec \tau')=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\mathcal{R}(\vec \tau)  \mathcal{R}(\vec \rho )}~\mathrm d^n \mathcal{R}(\vec \rho) </math>
:Comme <math>\mathcal{R}(\vec \tau) \cdot \mathcal{R}(\vec \rho )=\vec \tau \cdot \vec \rho=\tau \rho \cos\theta</math> et <math>\mathrm{d}^n \mathcal{R}(\vec \rho) =\mathrm{d}^n \vec \rho </math>
:<math>\Rightarrow \hat f(\vec \tau')=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm d^n \rho=\hat f(\vec \tau) </math>
'''La transformée de Fourier d'une fonction radiale est donc aussi une fonction radiale''' (qui ne dépend que de <math> \parallel \vec \tau \parallel </math>).
:On rappelle la correspondance entre coordonnées sphériques et coordonnées polaires dans ℝ<sup>''n''</sup>, coordonnées aussi appelées « [[Coordonnées hypersphériques]] ». 
:<math> x_i=\rho \cos(\varphi_{n-i+1})\prod_{k=1}^{n-i} \sin (\varphi_k)</math>.
:On montre par ailleurs que le [[jacobien]] de la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées hypersphériques est : <math> J=\rho^{n-1}\prod_{i=1}^{n-2}\sin^{n-1-i}(\varphi_i)</math>
:avec {{math|''φ''{{ind|1 ≤ ''j'' ≤ ''n'' – 2}} ∈ [0,π]}} et {{math|''φ''{{ind|''n'' – 1}} ∈ [0,2π]}}.
: Il en résulte :
:: <math> \hat f(\vec \tau)=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi_{n-1}\prod_{j=1}^{n-2}\sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j </math>
: Du fait de la symétrie radiale, on ne change rien de l'intégrale si on considère <math> \vec \tau </math> parallèle à l'axe {{math|''x''{{ind|1}}}}. Cela revient alors à avoir {{math|''θ'' {{=}} ''φ''{{ind|1}}}} (et indépendant des {{math|''φ''{{ind|''j'' ≠ 1}}}})
<math> \Rightarrow \hat f(\vec \tau)=\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \underbrace{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}_{<2>} \underbrace {\left( \prod_{j=2}^{n-2}\int_{\varphi_j=0}^\pi \sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j \right )}_{<1>}\left (\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi_{n-1}\right) </math>
: '''Calcul de <1>'''
: Posons <math> I_j=\int_0^\pi \sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j</math>
: On reconnaît ici la [[fonction bêta]] <math> \Beta(p,q)=2\int_0^{\frac {\pi}2} \sin^{2p-1} (\alpha) \cos^{2q-1}(\alpha) \mathrm{d}\alpha = \frac {\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}</math> avec {{math|Γ}} la [[fonction gamma]] et {{mvar|p}}, {{mvar|q}} réels positifs.
:<math>\Rightarrow I_j=\int_0^\pi \sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j=\frac{\Gamma(\frac{n-j}2)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n-j+1}2)}\Rightarrow <1>= \prod_{j=2}^{n-2} \frac{\Gamma(\frac{n-j}{2})\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n-j+1}2)}=\frac{\pi^{\frac{n-3}2}}{\Gamma(\frac{n-1}2)}</math> avec {{math|Γ(1) {{=}} 1}}; {{math|Γ({{sfrac|1|2}}) {{=}} {{racine|π}}}}
:<math>\Rightarrow \hat f(\vec \tau)=2\frac{\pi^{\frac{n-1}2}}{\Gamma(\frac{n-1}2)}\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1} \mathrm{d}\rho \underbrace{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}_{<2>} </math>
:On notera au passage
:: <math> 2\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^{n-2}\alpha \mathrm{d}\alpha=\frac{\Gamma(\frac{n-1}2)\sqrt \pi}{\Gamma (\frac n2)} \Rightarrow \hat f(\vec \tau)=2\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \frac{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}{\int_0^\pi\sin^{n-2}\alpha \mathrm{d}\alpha}</math>
: '''Calcul de <2>'''
: Considérons la fonction
:: <math> L_n(z)=\frac {\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}z \cos \theta}\sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>
: On notera {{math|''L{{ind|n}}''(0) {{=}} 1}}
: On a alors
:: <math> \frac {\mathrm{d}L_n(z)}{\mathrm{d}z}= \frac {\int_0^\pi i\cos \theta \sin^{n-2}\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>
En intégrant par parties l'intégrale en numérateur, on établit la relation :
::<math>-\frac{\mathrm{d}L_n(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{z}{n-1}\frac {\int_0^\pi \sin^n\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>
:On notera alors : <math> \frac{\mathrm{d}L_n(0)}{\mathrm{d}z}=0 </math>.
: En dérivant une seconde fois :
::<math> \frac {d^2L_n(z)}{dz^2}= -\frac {\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}+ \frac {\int_0^\pi \sin^n\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta} \Rightarrow \frac {d^2L_n(z)}{dz^2}+\frac{n-1}{z}\frac{dL_n(z)}{dz}+L_n(z)=0</math>.
: On reconnaît ici une équation qui est proche de l'[[équation différentielle de Bessel]]. Pour faire disparaître le facteur {{math|''n'' – 1}} du deuxième terme, posons :
::<math>L_n(z)=a_nz^{-m}J_m(z)</math>.
:En reportant cette expression dans l'équation différentielle, on arrive à :
::<math>\frac {\mathrm{d}^2J_m(z)}{\mathrm{d}z^2}+\left(\frac{n-1-2m}z\right)\frac {\mathrm{d}J_m(z)}{\mathrm{d}z}+\left (\frac{m(m-n+2)}{z^2}+1\right)J_m(z)=0</math>.
:Il suffit alors de poser {{math|''m'' {{=}} {{sfrac|''n'' – 2|2}}}} pour arriver à l'équation différentielle de Bessel suivante :
::<math>\frac {\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}J_{\frac{n-2}2}(z)+\frac1z\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}J_{\frac{n-2}2}(z)+\left (1-\left (\frac{n-2}{2z}\right)^2\right) J_{\frac{n-2}2}(z)=0</math>
:Il s'agit bien d'une équation différentielle de Bessel dont la [[fonction de Bessel]] <math>J_{\frac{n-2}2}(z)</math> est solution. Il en résulte alors la relation suivante, par définition de la fonction de Bessel : 
:<math>J_{\frac{n-2}2}(z)=\left(\frac z2\right)^{\frac{n-2}2}\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac z2\right)^{2p}=\frac{z^{\frac{n-2}2}}{a_n}L_n(z)\Rightarrow L_n(z)=a_n \left(\frac12\right)^{\frac{n-2}2} \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac z2\right)^{2p}</math>
:Avec
:: <math>L_n(0)=1 \Rightarrow a_n=2^{\frac{n-2}2}\Gamma\left(\frac n2\right)\Rightarrow L_n(z)=\Gamma\left(\frac n2\right)\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac z2\right)^{2p}=\frac {\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}z \cos \theta}\sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>
:<math>\Rightarrow L_n(2\pi\rho\tau)=\Gamma\left(\frac n2\right)\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p!\,\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac{2\pi\rho\tau}2\right)^{2p}=\frac {\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi\rho\tau \cos \theta}\sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>

:<math>\Rightarrow <2>=\int_0^\pi \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi \rho \tau \cos \theta} \sin^{n-2} \theta \,\mathrm{d}\theta=2^{\frac{n-2}2}\Gamma\left(\frac n2\right)(2\pi \rho \tau)^{-\frac{n-2}2}J_{\frac{n-2}2}(2\pi \rho \tau)\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta </math>

:En revenant à l'expression de la transformée de Fourier :
::<math> \hat f(\vec \tau)=2\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \frac{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}{\int_0^\pi\sin^{n-2}\alpha \mathrm{d}\alpha}=2\pi (\tau)^{\frac{2-n}2}\int_0^{+\infty}g(\rho)(\rho)^{\frac n2}J_{\frac{n-2}2}(2\pi \rho \tau)\mathrm{d}\rho</math>.
}}

Si la transformée de Fourier de {{mvar|f}} est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :
<center><math>f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\R^n}\hat f(\xi)~{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}~\mathrm{d}\xi</math>.</center>

Par conséquent, la transformation de Fourier de {{math|L{{1}}}} dans {{math|C{{ind|0}}}} est [[Injection (mathématiques)|injective]] (mais [[Théorème de Banach-Schauder#Exemple d'application|pas surjective]]).

== Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable ==

=== Extension de la transformation de {{math|L{{1}}∩L{{2}}}} à {{math|L{{2}}}} ===
Le [[théorème de Plancherel]] permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de [[carré sommable]] sur ℝ.

On commence par un premier résultat préparatoire.

{{théorème|Lemme|Soit {{mvar|h}} une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur ℝ, qui vérifie l'estimation
:<math>\forall x\in \R\quad|h(x)|\le C/(1+x^2)</math> (où {{mvar|C}} est une constante),
et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier <math>\hat h</math> est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité :
:<math>\int_\R |h(x)|^2\, {\rm d}x=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|^2\, {\rm d}\xi</math>.}}

{{Démonstration|titre=Preuve par la [[formule sommatoire de Poisson]]|contenu=
On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier :
::<math>\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n){\rm e}^{-2\mathrm i\pi ny}=\frac1{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k){\rm e}^{\mathrm i(k+y)x}</math>.
On prend le carré du module des deux membres, et l'on intègre sur l'intervalle {{math|[0 ; 1]}} par rapport à {{mvar|y}} et sur l'intervalle {{math|[0 ; 2π]}} par rapport à {{mvar|x}} :
:<math>\int_0^1 \int_0^{2\pi}\sum_{m,n\in \Z} h(x+2\pi n) \bar h(x+2\pi m){\rm e}^{2\mathrm{i}\pi(m-n)y}\, {\rm d}x\,{\rm d}y=\frac1{4\pi^2}
\int_0^1\int_0^{2\pi}\sum_{j,k\in \Z} \hat h(y+j)\bar{\hat h}(y+k){\rm e}^{\mathrm{i}(j-k)x}\, {\rm d}x\, {\rm d}y</math>.
On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur {{mvar|h}} impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de {{mvar|x}} et {{mvar|y}}, périodiques de période {{math|2π}} en {{mvar|x}} et de période 1 en {{mvar|y}}.
L'intégration en {{mvar|y}} du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels {{mvar|m}} et {{mvar|n}} sont égaux, et l'intégration en {{mvar|x}} du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels {{mvar|j}} et {{mvar|k}} sont identiques. Il reste donc : 
:<math>\sum_{n\in\Z}\int_0^{2\pi} |h(x+2\pi n)|^2\, {\rm d}x=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\int_0^1|\hat h(y+k)|^2\, {\rm d}y</math>.
Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale {{math|''x'' + 2π ''n'' {{=}} ''x' ''}} et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale {{math|''y'' + ''k'' {{=}} ξ}}, et l'on obtient la formule :
::<math>\int_{\R}|h(x')|^2\, {\rm d}x'=\frac1{2\pi}\int_\R |\hat h(\xi)|^2\, {\rm d}\xi</math>.
Après changement de la variable muette {{mvar|x'}} en {{mvar|x}}, on obtient la formule annoncée.
}}

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout {{math|L{{2}}(ℝ)}}.

{{démonstration|titre=Extension de la transformation de Fourier par densité|contenu=
On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc {{mvar|ϕ}} est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose {{math|''ϕ{{ind|p}}''(''x'') {{=}}''p ϕ''(''px'')}}. 

Soit {{mvar|h}} une fonction de carré intégrable, et soit {{mvar|p}} un nombre entier quelconque. On définit
:<math>h_p=(h 1_{[-p,p]})*\phi_p</math>
et l'on peut montrer le résultat suivant :
:<math>\lim_{p\to\infty}\int_\R|h-h_p|^2\, {\rm d}x=0</math>.

La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.

D'autre part, les fonctions {{mvar|h{{ind|p}}}} ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier
::<math>\int_\R|h_p-h_q|^2\, {\rm d}x=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h_p-\hat h_q|^2\, {\rm d}\xi</math>.

Comme la suite {{math|(''h{{ind|p}}''){{ind|''p'' ≥ 1}}}} est de Cauchy dans l'espace {{math|L{{2}}(ℝ)}}, la suite des transformées de Fourier <math>(\hat h_p)_{p\ge 1}</math> est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, que l'on note <math>\hat h</math>, ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si {{mvar|g{{ind|p}}}} était une autre suite d'approximations convergeant vers {{mvar|h}} en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation
::<math>\|g_p-h_p\|_2\le \|g_p-h\|_2+\|h-h_p\|_2</math>,
qui tend vers 0 pour {{mvar|p}} tendant vers l'infini. Par conséquent, <math>\|\hat g_p-\hat h_p\|_2</math> tend aussi vers 0 et l'on conclut que la limite de la suite <math>\hat g_p</math> est bien <math>\hat h</math>.
}}

On a ainsi le [[théorème de Plancherel]] :

{{théorème|Théorème de Plancherel| Soit {{mvar|f}} une fonction complexe sur ℝ et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de {{mvar|f}} peut être définie comme suit : pour tout {{mvar|p}} entier, on pose
:<math>f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon.}\end{cases}</math>
La suite des transformées de Fourier <math>\hat f_p</math> converge dans {{math|L{{2}}(ℝ)}}, et sa limite est la transformée de Fourier <math>\hat f</math>, c'est-à-dire
:<math>\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|^2\, {\rm d}\xi=0</math>.
De plus, on a l'identité :
:<math>\int_\R|f(x)|^2\, {\rm d}x =\frac1{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|^2 {\rm d}\xi</math>.
De façon similaire, si l'on pose
<math>g_p(x)=\int_{-p}^p \hat f(\xi){\rm e}^{\mathrm{i} x\xi}\, {\rm d}\xi</math>,
les {{mvar|g{{ind|p}}}} convergent en moyenne quadratique vers {{mvar|f}}.
}}

{{Démonstration|titre=Démonstration du théorème de Plancherel|contenu=
L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :
:<math>\int_\R |h(x)|^2\, {\rm d}x=\frac1{2\pi}\int_\R |\hat h(\xi)|^2\, {\rm d}\xi</math>.

Considérons alors la suite de fonctions {{math|''f{{ind|p}}'' {{=}} ''f'' 1{{ind|{[–''p,p'']} }}}}. En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de [[carré sommable]], la suite des {{mvar|f{{ind|p}}}} converge en moyenne quadratique vers {{mvar|f}} et par conséquent, on aura aussi
:<math>\lim_{p\to\infty}\|\hat f-\hat f_p\|_2=0</math>.

En d'autres termes, <math>\hat f_p</math> converge en moyenne quadratique vers <math>\hat f</math>.
La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.
}}

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un [[automorphisme]] intemporel de l'espace {{math|L{{2}}}}, qui est une [[isométrie]], à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation
:<math>\|\hat f/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|f\sqrt {2\pi}\|_2</math>.

En physique, on interprète le terme <math>|\hat f(\xi)/\sqrt {2\pi}|^2</math> figurant sous l'intégrale comme une [[densité spectrale de puissance]].

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions [[intégrabilité|intégrables]]. Sur l'intersection {{math|L{{1}}(ℝ)} ∩ L{{2}}(ℝ)}} des domaines de définition, on montre à l'aide du [[théorème de convergence dominée]] de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

=== La transformation vue comme opérateur de {{math|L{{2}}(ℝ)}} ===
''Remarque : ce paragraphe utilise la [[#Conventions alternatives|définition fréquentielle de la transformée de Fourier]], pour des raisons d'isométrie.''

Nous venons de voir que la transformation de Fourier <math>\mathcal F</math> induit sur l'[[espace de Hilbert]] {{math|L{{2}}(ℝ)}} un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :
* <math>\mathcal F</math> est un [[opérateur unitaire]] de {{math|L{{2}}}}. Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions {{math|''f'', ''g'' ∈ L{{2}}(ℝ)}},
{{Retrait|<math> \langle f\mid g \rangle = \langle \mathcal Ff\mid \mathcal Fg \rangle,\quad\text{i.e. } \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^\infty \hat f(\nu) \overline{\hat g(\nu)} \,{\rm d}\nu</math>}}
et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de [[théorème de Plancherel]]
{{Retrait|<math>\|f\|_2 =\|\hat f\|_ 2,\quad\text{i.e. } \quad \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat f(\nu)|^2 \,{\rm d}\nu</math> ;}}
* son inverse (qui est aussi son [[Opérateur adjoint|adjoint]]) est donné par <math>\mathcal F^{-1} g = \mathcal F \check g</math>  avec <math>\check g : x \mapsto g(-x)</math> ;
* en tant qu'[[automorphisme]], <math>\mathcal F</math> est de [[Fonction périodique|période]] 4. Autrement dit <math>\mathcal F^4</math> = [[Application identité|{{math|id}}]] ;
* en tant qu'[[endomorphisme]] de {{math|L{{2}}(ℝ)}}, <math>\mathcal F</math> a pour [[valeurs propres]] les quatre [[racine de l'unité|racines quatrièmes de l'unité]] : {{math|1, i, –1}} et {{math|–i}}. Une [[base hilbertienne]] de vecteurs propres est donnée par les [[Polynôme d'Hermite#Fonctions d'Hermite-Gauss|fonctions d'Hermite-Gauss]]
{{Retrait|<math>{\phi}_n(x) = \frac{2^{1/4}}{\sqrt{n!}} \,{\rm e}^{-\pi x^2}H_n(2x\sqrt{\pi})</math>,}}
où {{math|''H''{{ind|''n''}}(''x'')}} sont les [[polynômes d'Hermite]] « probabilistes », qui s'écrivent
{{Retrait|<math>H_n(x) = (-1)^n{\rm e}^{\frac{x^2}2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}{\rm e}^{-\frac{x^2}2}</math>.}}
Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation
{{Retrait|<math> \hat\phi_n (\nu) = (-{\rm i})^n {\phi}_n (\nu)</math>.}}
On retrouve la [[Fonction de Gauss|gaussienne]] comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la [[#Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz|classe de Schwartz]] <math>\mathcal S</math>.

== Lien avec le produit de convolution ==

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au [[produit de convolution]]. On rappelle que (d'après l'[[inégalité de Young pour la convolution]]) :
*si <math>f,g\in{\rm L}^1(\R^N)</math>, alors <math> f*g \in{\rm L}^1(\R^N)</math> et <math>\|f*g\|_1\le\|f\|_1\cdot\|g\|_1</math> ;
*si <math>f\in{\rm L}^1(\R^N)</math> et <math>g\in{\rm L}^2(\R^N)</math>, alors <math>f*g\in{\rm L}^2(\R^N)</math> et <math>\|f*g\|_2\le\|f\|_1\cdot\|g\|_2</math> ;
*si <math>f,g\in{\rm L}^2(\R^N)</math>, alors <math>f*g\in{\rm L}^\infty(\R^N)</math> et <math>\|f*g\|_{\infty}\le\|f\|_2\cdot\|g\|_2</math>.

Ainsi :
*si <math>f,g\in{\rm L}^1(\R^N)</math>, alors <math>\mathcal F(f*g) = \mathcal F(f)\,\cdot\,\mathcal F(g)</math> ;
*par densité, cette égalité tient encore si <math>f\in{\rm L}^1</math> et <math>g\in{\rm L}^2</math> ;
* Si <math>f,g\in{\rm L}^2(\R^N)</math>, alors <math>f\ast g=\mathcal F^{-1}[\mathcal F(f)\,\cdot\,\mathcal F(g)]</math> ; de plus, l'égalité <math>\mathcal F(f*g)= \mathcal F(f)\,\cdot\,\mathcal F(g)</math> est vraie si <math>f*g\in{\rm L}^1</math>.

== Principe d'incertitude ==

''Remarque : ce paragraphe utilise la [[#Conventions alternatives|définition fréquentielle de la transformée de Fourier]]''.

{{article détaillé|Principe d'incertitude}}
On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de {{math|''f''(''x'')}} est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.

Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un [[principe d'incertitude]] en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la [[forme symplectique]] sur le domaine temps-fréquence : par la [[transformation canonique]] linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons {{mvar|f}} intégrable et de carré intégrable. [[Sans perte de généralité]], on supposera {{mvar|f}} normalisée :
:<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,{\rm d}x=1</math>.

Par le [[théorème de Plancherel]], on sait que <math>\hat f(\nu)</math> est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour d'un point ({{math|''x'' {{=}} 0}} sans perte de généralité) par :
:<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,{\rm d}x</math>.
De même pour la fréquence autour du point <math>\nu = 0</math> :
:<math>D_0(\hat f)=\int_{-\infty}^\infty \nu^2|\hat f(\nu)|^2\,{\rm d}\nu</math>.

En probabilités, il s'agit des [[Moment (mathématiques)|moments d'ordre 2]] de {{math|{{!}}''f''{{!}}{{2}}}} et de <math>|\hat f|^2</math>.

Le principe d'incertitude dit que si {{math|''f''(''x'')}} est absolument continue et que les fonctions {{math|''x''·''f''(''x'')}} et {{math|''f''′(''x'')}} sont de carrés intégrables, on a alors<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|lang=en|Mark Pinsky}}|titre=Introduction to Fourier Analysis and Wavelets|éditeur=Brooks/Cole|année=2002|passage=131|isbn=978-0-8218-7198-0|lire en ligne={{Google Livres|tlLE4KUkk1gC|page=131}}|id=Pinsky 2002}}.</ref> :
:<math>D_0(f)D_0(\hat f) \geq \frac1{16\pi^2}</math>.

Cette inégalité est aussi connue sous le nom d'inégalité de Heisenberg-Gabor ou simplement [[Principe d'incertitude|inégalité de Heisenberg]] par son utilisation répandue en [[mécanique quantique]].

L'égalité n'est atteinte que pour <math>f(x)=C_1 \,{\rm e}^{{-\pi x^2}/{\sigma^2}}</math> (alors <math>\hat f(\xi)= \sigma C_1 \,{\rm e}^{-\pi\sigma^2\xi^2}</math>) pour σ > 0 arbitraire et ''C''<sub>1</sub> telle que {{mvar|f}} est L{{2}}–normalisée, soit, si {{mvar|f}} est une [[fonction gaussienne]] (normalisée) centrée en 0 et de variance σ<sup>2</sup>, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ<sup>–2</sup>.

== Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz ==
L'[[espace de Schwartz]] <math>\mathcal S(\R^n)</math> est l'espace des fonctions {{mvar|f}} de classe C{{exp|∞}} sur <math>\R^n</math>, telles que {{mvar|f}} et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un [[sous-espace vectoriel]] de {{math|L{{1}}}}, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie.
Ces fonctions sont à la fois temporellement et fréquentiellement à [[décroissance exponentielle]]. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infini qu'opère la transformée de Fourier.
* Toute fonction de Schwartz est de classe C{{exp|∞}} avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
* Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C{{exp|∞}}.
Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est [[Partie dense|dense]] dans {{math|L{{1}}}} et dans {{math|L{{2}}}}, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

{{théorème|Formule d'inversion de Fourier sur <math>\mathcal{S}(\R^n)</math>|
La transformée de Fourier induit un [[automorphisme]] [[Homéomorphisme|bicontinu]] de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par<center><math>(\mathcal F^{-1}\phi)(x) = (\mathcal F\phi)(-x)=\int_{\R^n} \phi(\xi)\, \mathrm e^{2{\rm i}\pi x \cdot \xi}\, \mathrm d\xi</math>.</center>}}
''Remarque :'' cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une [[#Conventions alternatives|transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences]], dont la définition utilise <math>{\rm e}^{-{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}</math>.

{{Démonstration|titre=Démonstration de la formule d'inversion|contenu=
* Prouvons d'abord que <math>\mathcal{S}</math> est stable par <math>\mathcal F</math>. Par commodité, nous ne traiterons que le cas {{math|''n'' {{=}} 1}}, mais le cas quelconque se traite de manière similaire. Soit donc <math>f \in \mathcal{S}(\R)</math>.
# D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel {{mvar|n}}, <math>x \mapsto x^nf(x)</math> est intégrable. La fonction <math>\mathcal Ff</math> est donc définie et C{{exp|∞}}.
# D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels {{math|(''n'',''k'')}}, la fonction <math>[x \mapsto (-2{\rm i}\pi x)^n f(x)]^{(k)}</math> est dans <math>\mathcal{S}</math>, donc dans {{math|L{{1}}}}. Sa transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et dérivation,{{retrait|<math>\mathcal F\left( [x \mapsto (-2{\rm i}\pi x)^n f(x)]^{(k)} \right) (\xi) = (2{\rm i}\pi \xi)^k \left[ \mathcal F\left( x \mapsto (-2{\rm i}\pi x)^n f(x) \right) \right] (\xi) = (2{\rm i}\pi \xi)^k [\mathcal F(f)]^{(n)} (\xi)</math>,}}ce qui prouve la décroissance rapide de <math>\mathcal Ff</math> ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance à <math>\mathcal S</math>.
* Soit {{mvar|f}} un élément de <math>\mathcal S</math> donc de {{math|L{{1}}}}. D'après le point précédent, <math>\mathcal Ff</math> appartient aussi à {{math|L{{1}}}}. Le théorème d'inversion sur {{math|L{{1}}}} s'applique et donne, en notant <math>\tilde{}</math> l'opérateur de composition par {{math|–Id}} :{{retrait|<math>f=\left(~\tilde{}\circ\mathcal F\circ\mathcal F\right)(f)=\left(\mathcal F\circ\tilde{}\circ\mathcal F\right)(f)</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal F:\mathcal S\to\mathcal S</math> est bijectif et que son inverse est <math>\tilde{}\circ\mathcal F</math>.}}
}}

== Transformation de Fourier pour les distributions tempérées ==

On définit la transformée de Fourier d'une [[distribution tempérée]] <math>T \in \mathcal S'(\R^n)</math> comme la distribution définie via son crochet de dualité par
:<math> \forall \phi \in \mathcal S(\R^n)\quad  \langle \mathcal FT, \phi \rangle=\langle T, \mathcal F\phi \rangle </math>.

De même que sur <math>\mathcal S</math>, l'opérateur <math>\mathcal F</math> ainsi défini sur <math>\mathcal S'</math> est un automorphisme bicontinu.

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'[[Distribution tempérée#Transformée de Fourier des distributions tempérées|article relatif aux distributions tempérées]].

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction {{mvar|f}} ressemble au produit scalaire dans <math>{\rm L}^2(\Complex), (f, g)_{L^2} := \int f \bar g</math> entre {{mvar|f}} et la conjuguée de <math>e_{2 \pi \xi} : x \mapsto{\rm e}^{{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}</math>. Sauf que <math>(f, e_{2 \pi \xi})_{L^2}</math> n'a pas de sens car {{math|''e''{{ind|2 π ''ξ''}}}} n'est pas dans {{math|L{{2}}}}. Mais le crochet de dualité des distributions <math>\langle T_f, e_{2 \pi \xi} \rangle</math>, qui pour les fonctions coïncide avec le [[produit scalaire]] de {{math|L{{2}}}}, donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées <math>\mathcal S'(\R^n)</math> englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de <math>\R^n</math> sommables ou de carré sommable, fonctions de <math>\R^n</math> périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur <math>\mathcal S'(\R^n)</math> unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions.
Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur <math>\mathcal S'</math> généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

=== Compatibilités ===
==== Compatibilité avec les espaces de fonctions ====
Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas {{math|L{{1}}}}, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas {{math|L{{2}}}}.
{{théorème|Compatibilité avec {{math|L{{1}}}} et {{math|L{{2}}}}|Soit
* <math>f \in{\rm L}^1(\R^n)</math> et <math>\hat f\in C_0(\R^n)</math> sa transformée de Fourier,
ou bien
* <math>f \in{\rm L}^2(\R^n)</math> et <math>\hat f\in{\rm L}^2(\R^n)</math> sa transformée de Fourier.
Dans ces deux cas, <math>\hat f</math> définit une distribution tempérée égale à la transformée de Fourier de {{mvar|T{{ind|f}}}}, c'est-à-dire<center><math>\mathcal FT_f=T_\hat f</math>.</center>
}}

{{Démonstration|contenu=
* Soit <math>f\in{\rm L}^1</math>. Il s'agit de vérifier que pour tout <math>\phi\in\mathcal S</math>,
<center><math>\int_{\R^n}f(x)\hat{\phi}(x) {\rm d}x= \int_{\R^n}\hat f(y)\phi(y){\rm d}y</math>,</center>
c'est-à-dire
<center><math>\int_{\R^n}f(x)\left(\int_{\R^n}\phi(y){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot y}{\rm d}y\right){\rm d}x=\int_{\R^n}\left(\int_{\R^n}f(x){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot y}{\rm d}x\right)\phi(y){\rm d}y</math>.</center>
Cela résulte simplement du [[théorème de Fubini]], appliqué à la fonction intégrable <math>(x,y)\mapsto f(x)\phi(y){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot y}</math>.
* Les deux applications continues <math>f\mapsto\mathcal FT_f</math> et <math>f\mapsto T_\hat f</math>, de {{math|L{{2}}}} dans l'[[espace séparé]] <math>\mathcal S'</math>, sont égales car elles coïncident, d'après le point précédent, sur le sous-espace dense {{math|L{{1}} ∩ L{{2}}}}.
}}

Enfin, les [[Fonction périodique|fonctions périodiques]] intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.
{{théorème|Compatibilité avec {{math|L{{1}}{{ind|per}}}}|La transformée de Fourier d'une distribution régulière {{mvar|T{{ind|f}}}} définie par une fonction {{mvar|T}}-périodique <math>f \in{\rm L}^1 ([0, T[)</math>, est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :
<center><math>\mathcal FT_f = \sum_{n \in \Z}c_n (f)\delta_n\quad{\rm avec}\quad c_n (f) = \int_0^T f(x){\rm e}^{-{\rm i}\frac{2 \pi}{T} n x}\, \mathrm dx</math>.</center>
}}
Le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle mais s'étend facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de ℝ{{exp|''N''}}. Comme {{Laquelle|date=10/10/2015|la transformation de Fourier}} possède une réciproque définie sur le même domaine, elle est de ce fait [[Bijection|bijective]], alors la démonstration de ce résultat sera une conséquence du {{Lequel|date=10/10/2015|théorème sur les distributions périodiques}}.

==== Compatibilité avec les espaces de suites ====
Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent parfois s'exprimer comme des distributions sur ℝ à support dans ℤ. À une suite donnée <math>a := (a_n)_{n \in\Z}</math> correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac <math>T_a := \sum_{k \in\Z} a_k \delta_k</math>. Lorsque cette suite est sommable, cette série de [[Masse de Dirac|masses de Dirac]] a un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

{{théorème|Compatibilité de <math>\mathcal F</math> avec {{math|''l''{{exp|1}}}}|Soit une suite sommable à valeurs complexes notée <math>a := (a_n)_{n \in\Z}</math>. Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à {{mvar|a}}.
:<math>\mathbf{TFTD}[(a_n)_{n \in\Z}] = \mathcal F\left( \sum_{k \in\Z} a_k \delta_k \right)</math>.
}}

{{Démonstration|titre=Démonstration de la compatibilité de <math>\mathcal F</math> avec {{math|''l''{{exp|1}}}}|contenu=Lorsque {{mvar|a}} est sommable, la somme <math>T_a := \sum_{k \in\Z} a_k \delta_k</math> définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test <math>\phi\in\mathcal S(\R)</math>,
<math>\begin{array}{lcl}
\langle \sum_{k \in\Z} a_k \delta_k, \phi \rangle & = & \sum_{k \in\Z} (a_k\phi (k))	\\
\left| \langle \sum_{k \in\Z} a_k \delta_k, \phi \rangle\right|	& \leq & \left( \sum_{k \in\Z} |a_k| \right)\|\phi\|_\infty.
\end{array}</math>

Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du Dirac <math>\mathcal F(\delta_k) = e_{-2 \pi k}</math>,
::<math>\mathcal FT_a = \xi \mapsto \sum_{k \in\Z} a_k\mathrm e^{-\mathrm i 2 \pi k \xi}= \mathbf{TFTD}[a]</math>.
On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret.
}}

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformation de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier discrète de suites non nécessairement sommables : les suites à croissance polynomiale.

En particulier, la [[transformée de Fourier discrète]] (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de ''N'' points <math>\lbrace x_k \rbrace_{k=0}^{N-1}</math> s'identifie de manière unique avec une suite ''N''-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un [[peigne de Dirac]].

{{théorème|Compatibilité de <math>\mathcal F</math> avec la TFD|La TFD d'une suite {{math|''x''(•)}} à l'ordre ''N'' est la transformée de Fourier de la [[Distribution tempérée#Distributions tempérées à support dans ℤN|distribution à support dans ℤ]] obtenue par périodisation de {{math|''x''(•)}} à la période ''N'', c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac {{mvar|W{{ind|N}}}} :
::<math>\mathbf{TFD}_N[x(.)] (k) = \mathcal F[\tilde{x}(.)] (k)</math> avec <math>\tilde{x} = W_N \ast \left( \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \delta_n \right)</math>.
 }}

=== Signaux discrets et signaux périodiques ===

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.
* Le spectre d'un signal discret {{math|''x''[•]}} obtenu par échantillonnage à la période {{mvar|T}} présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :
:<math>\mathbf{TFTD}(x[.]) = \mathcal F(x(.)) \ast W_{\frac{2\pi}T}</math>.
Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à <math>x[.] = x(.) \cdot W_T</math>, et la formulation de convolution est encore vérifiée : <math>\mathcal F(x(.) \cdot W_T) = \mathcal F(x(.)) \ast \mathcal F(W_T)</math>.
* Le spectre d'un signal {{mvar|T}}-périodique {{math|''x{{ind|T}}''(•)}}, c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.
:<math>\mathcal F(x_T (.)) = \mathcal F(x(.)) \cdot W_T </math> avec <math>x = x_T . 1_{[0,T]}</math>.

== Liens avec d'autres transformations ==
=== Lien avec les transformations de Laplace ===

La transformée de Fourier d'une fonction {{mvar|f}} est un cas particulier de la [[transformée bilatérale de Laplace]] de cette même fonction définie par :
<math>\mathcal L_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,{\rm e}^{-pt}{\rm d}t</math> avec <math>p \in \Complex</math>.

On constate alors que <math>\mathcal F\{f\} (\xi) = \mathcal L_{bil}\{f\} ({\rm i}\xi) </math>.

On peut également écrire ce lien en utilisant la [[transformée de Laplace]] « usuelle » par :
: <math>\mathcal F\{f\}(\xi) = \mathcal L\{f^+\}(+{\rm i}\xi) + \mathcal L\{f^-\}(-{\rm i}\xi)</math>{{référence nécessaire}}

où les fonctions {{math|''f'' {{exp|+}}}} et {{math|''f'' {{exp|–}}}} sont définies par :
: <math>f^+(t) = f(+t), \ \text{ si } t \geq 0, 0 \ \text {sinon}.</math>
: <math>f^-(t) = f(-t), \ \text{ si } t \leq 0, 0 \ \text {sinon}.</math>

=== Lien avec les séries de Fourier ===
==== Parallèle formel ====

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration {{mvar|x}} est remplacée par {{math|''n''Δ''x''}}, {{mvar|n}} étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors
: <math>\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n){\rm e}^{-{\rm i}2\pi kn\Delta t}</math>.
On trouvera quelques remarques à ce sujet dans [[Analyse spectrale]].

==== Lien direct ====
Cependant, comme indiqué par l'étude théorique dans la section précédente, un lien direct entre séries et transformées de Fourier est possible par la théorie des distributions. En reprenant de façon plus pratique l'exposé précédent, la transformée de Fourier ([[#Conventions alternatives|définition fréquentielle]]) d'une fonction périodique {{mvar|f}} de période ''T'' est un peigne de Dirac de période fréquentielle <math> \nu_T = 1/T</math>, modulé par des coefficients complexes ''c{{ind|n}}'' : 
<center><math>\hat f(\nu) =  \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \delta\left(\nu - n\nu_T\right),</math></center>
où les ''c{{ind|n}}'' sont précisément les coefficients de la [[série de Fourier]] (complexe) de {{mvar|f}}.
Pour le voir, il suffit de vérifier que la formule de transformation inverse de <math>\hat f(\nu) </math> (définition en fréquences) donne précisément la série de Fourier de {{mvar|f}}, et donc qu'elle est égale à {{mvar|f}} presque partout (en supposant que la série de Fourier de {{mvar|f}} converge).

Cela permet d'unifier le formalisme des séries de Fourier avec celui de la transformation de Fourier.

Avec la [[#Conventions alternatives|définition standard de la transformée de Fourier]], il faut remplacer la formule précédente par :
:<math>\hat f(\xi) =  2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \delta\left({\xi\over 2\pi} - \frac{n}{T}\right).</math>
Avec la [[#Conventions alternatives|définition pulsatoire]], et en notant la pulsation de <math>f</math> par <math>\omega_T = 2\pi/ T</math>, elle devient    
:<math>\hat f(\omega) =  \sqrt{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \delta\left({\omega - n\omega_T\over 2\pi}\right).</math>

Par exemple, après quelques manipulations, on a les transformées de Fourier fréquentielles suivantes :
*<math>{\cal F} e^{ 2i\pi \nu_T t} = \delta(\nu - \nu_T)</math> (Dirac décalé) ;
*<math>{\cal F} \cos(2\pi \nu_T t) = {1\over 2} \left [\delta(\nu - \nu_T) + \delta(\nu + \nu_T)\right] </math>
*<math>{\cal F} \sin(2\pi \nu_T t) = {1 \over 2i} [\delta(\nu - \nu_T) - \delta(\nu + \nu_T)] </math>

Il y a encore une formule utile qui donne les coefficients <math>c_n</math> de la série de Fourier d'une fonction périodique {{mvar|f}} dès que l'on connait la transformation de Fourier de sa « restriction » <math>g = 1_{\tau} f</math> à la période centrale <math> \tau = [-T/2,\ T/2]</math> (<math>\hat g</math> existe nécessairement si {{mvar|f}} est [[Fonction localement intégrable|localement intégrable]] puisque <math>\tau</math> est compacte).
En effet, par comparaison de la formule des [[Série de Fourier#Principe des séries de Fourier|coefficients]] de la série de Fourier de <math>f</math> avec celle donnant la transformée de Fourier inverse de <math>g</math>, on obtient facilement, pour la définition fréquentielle, que 
<center><math> c_n = \frac{1}{T} \hat g(n\nu_T) = \nu_T \hat g(n \nu_T).</math></center>
Pour la définition standard de la transformée de Fourier, cette formule devient <math>c_n = {1\over T}\hat g (n \omega_T), </math> avec <math>\omega_T = 2\pi/T</math>, et pour la définition pulsatoire, elle devient
<math>c_n = {1 \over \sqrt{2\pi}}\omega_T \hat g (n\omega_T).</math>

Cette formule permet l'utilisation de l'imposante machinerie disponible pour la transformation de Fourier (convolution, décalage, produit, distributions, tables, etc.) pour le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
On peut ainsi facilement obtenir la série de Fourier de trains d'ondes pulsées de forme carrée, triangulaire, demi-sinusoïdale, etc.

Par exemple, quelle est la série de Fourier correspondant à un train de pulses étroits, de masse 1 et de période ''T'' grande relativement à la durée des pulses ? 
Approximons chaque pulse par un Dirac <math>\delta</math>. La transformée de Fourier fréquentielle de <math>\delta </math> est la fonction identiquement égale à 1 (voir table ci-dessous). Donc la formule précédente donne <math>c_n = {1\over T}.</math>
Ainsi la série de Fourier du train de pulses est 
<center><math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{1\over T}{\rm e}^{{\rm i}2\pi\tfrac n Tx}
= {1\over T} +  \sum_{n = 1}^\infty {2\over T}\cos(2\pi\tfrac n Tx)</math></center>
(au sens des distributions).

==== Autre interprétation ====
[[#Transformation_de_Fourier_inverse|Comme on l'a vu plus haut]], il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de ''n'' [[Oscillateur harmonique|oscillateurs harmoniques]], où ''n'' est un [[analyse non-standard|entier non standard]]<ref>Ou plus précisément à l’''ombre'' de cette somme{{refnec}}.</ref> ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

==== Transformée ====

On utilise les variables normalisées suivantes : <math>F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}</math>, <math>\Omega =2\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\Delta t=\omega|_{\Delta t=1}</math>.

{| class="wikitable"
! Transformation de Fourier (analyse) !! Transformation inverse (synthèse) 
|-
| <math>X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}2\pi fn\Delta t}</math> || <math>x(n)=\int_{f_e} X(f){\rm e}^{{\rm i}2\pi fn\Delta t}{\rm d}f</math>
|-
| <math>X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}\omega n\Delta t}</math> || <math>x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w){\rm e}^{{\rm i}wn\Delta t}{\rm d}w</math>
|-
| <math>X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}2\pi nF}</math> || <math>x(n)=\int_1 X(f){\rm e}^{{\rm i}2\pi nF}{\rm d}F\,\!</math>
|-
| <math>X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}n\Omega}</math> || <math>x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega){\rm e}^{{\rm i}n\Omega}{\rm d}\Omega</math>
|}

== Généralisation ==

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux [[Groupe abélien|groupes abéliens]] localement compacts, grâce à la [[dualité de Pontryagin]].

En [[traitement d'images]], on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si {{mvar|f}} est une fonction de ℝ{{2}} dans ℝ, sa transformée de Fourier est définie par :
: <math>\hat f(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\mathrm e^{-{\rm i}(ux + vy)}\,\mathrm dx\mathrm dy</math>.

== Tables des principales transformées de Fourier ==
Les tableaux suivants présentent les transformations de Fourier de certaines fonctions. Les transformées de Fourier de {{math|''f''&thinsp;(''x'')}}, {{math|''g''(''x'')}} et {{math|''h''(''x'')}} sont notées respectivement {{math|''f̂''}}, {{math|''ĝ''}} et {{math|''ĥ''}}. N'apparaissent que les trois conventions les plus courantes. Il peut être utile de noter que l'entrée sur la dualité indique une relation entre la transformée de Fourier d'une fonction et la fonction d'origine, ce qui peut être considéré comme une relation entre la transformation de Fourier et son inverse.

=== Relations entre fonctions à une variable ===
Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans {{Ouvrage|langue=english|auteur1=Arthur Erdélyi|titre=Tables of Integral Transforms, Vol. 1|éditeur=McGraw-Hill|date=1954|isbn=}} ou {{Ouvrage|langue=anglais|auteur1=David Kammler|titre=A First Course in Fourier Analysis|lieu=USA|éditeur=Prentice Hall|date=2000}}.
{| class="wikitable"
! Fonction !!'''Transformée de Fourier''' 
'''{{math|ξ}} est la fréquence'''
! Transformée de Fourier <br />{{math|ω {{=}} 2πξ}} est la pulsation ou fréquence angulaire !! Transformée de Fourier
définition alternative
!Remarques
|-
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-2\pi {\rm i} x\xi}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \omega x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \nu x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
|Définition
|-
|<math> a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,</math>
|<math> a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math> a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math> a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,</math>
|Linéarité
|-
|<math> f(x - a)\,</math>
|<math> {\rm e}^{-2\pi {\rm i} a \xi} \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math> {\rm e}^{- {\rm i} a \omega} \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math> {\rm e}^{- {\rm i} a \nu} \hat{f}(\nu)\,</math>
|Décalage dans le temps
|-
|<math> f(x){\rm e}^{{\rm i}ax}\,</math>
|<math> \hat{f} \left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)\,</math>
|<math> \hat{f}(\omega - a)\,</math>
|<math> \hat{f}(\nu - a)\,</math>
|Décalage dans le domaine des fréquences, relation duale de la formule du décalage dans le temps
|-
|<math> f(a x)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,</math>
|Changement d'échelle des temps.<br/> Si <math>|a|</math> est grand, alors {{math|''f''&thinsp;(''ax'')}} est resserré autour de 0 et <math> \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math> s'étale et s’aplatit.
|-
|<math> \hat{f}(x)\,</math>
|<math> f(-\xi)\,</math>
|<math> f(-\omega)\,</math>
|<math> 2\pi f(-\nu)\,</math>
|Dualité.<br/>Ici {{math|''f̂''}} doit être calculée en utilisant la même formule que dans la colonne transformation de Fourier. Cela résulte d'un changement de la variable "muette", de {{mvar|x}} à {{mvar|ξ}} ou {{mvar|ω}} ou {{mvar|ν}}.
|-
|<math> \frac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}\,</math>
|<math> (2\pi {\rm i}\xi)^n \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math> ({\rm i}\omega)^n \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math> ({\rm i}\nu)^n \hat{f}(\nu)\,</math>
|
|-
|<math> x^n f(x)\,</math>
|<math> \left (\frac{{\rm i}}{2\pi}\right)^n \frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\xi)}{\mathrm{d}\xi^n}\,</math>
|<math> {\rm i}^n \frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n}</math>
|<math> {\rm i}^n \frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\nu)}{\mathrm{d}\nu^n}</math>
|Relation duale de la précédente
|-
|<math> (f * g)(x)\,</math>
|<math> \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math> \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math> \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,</math>
|La notation {{math|''f'' ∗ ''g''}} signifie le [[produit de convolution]] de {{mvar|f}} et {{mvar|g}} — cette règle est le [[théorème de Fubini]]
|-
|<math> f(x) g(x)\,</math>
|<math> \left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\xi)\,</math>
|<math> \frac{1}\sqrt{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\omega)\,</math>
|<math> \frac{1}{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\nu)\,</math>
|Relation duale du théorème de Fubini
|-
|Si {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} est purement réelle
|<math> \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>
|Symétrie hermitienne.<br/>{{math|{{overline|''z''}}}} est la notation du  [[complexe conjugué]] de {{mvar|z}}.
|-
|Si {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} est purement réelle et [[Parité d'une fonction|paire]]
| colspan=4 align=center |{{math|''f̂''&thinsp;(''ξ'')}}, {{math|''f̂''&thinsp;(''ω'')}} et {{math|''f̂''&thinsp;(''ν'')}} sont purement réelles et [[fonction paire|paire]]s.
|-
|Si {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} est purement réelle et [[Parité d'une fonction|impaire]]
| colspan=4 align=center |{{math|''f̂''&thinsp;(''ξ'')}}, {{math|''f̂''&thinsp;(''ω'')}} et {{math|''f̂''&thinsp;(''ν'')}} sont purement [[Nombre imaginaire pur|imaginaire]]s et [[Parité d'une fonction|impaire]]s.
|-
|Si {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} est imaginaire pur
|<math> \hat{f}(-\xi) = -\overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = -\overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\nu) = -\overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>
|{{math|{{overline|''z''}}}} est le [[complexe conjugué]] de {{mvar|z}}.
|-
| <math> \overline{f(x)}</math>|| <math> \overline{\hat{f}(-\xi)}</math> || <math> \overline{\hat{f}(-\omega)}</math> || <math> \overline{\hat{f}(-\nu)}</math> || [[conjugué|Conjugaison complexe]]
|-
|<math> f(x) \cos (a x)</math>
|<math> \frac{ \hat{f}\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)+\hat{f}(\omega+a)}{2}\,</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\nu-a)+\hat{f}(\nu+a)}{2}</math>
|Peut se déduire de la [[formule d'Euler]] : <math>\cos(a x) = \frac{{\rm e}^{{\rm i} a x} + {\rm e}^{-{\rm i} a x}}{2}</math>
|-
|<math> f(x)\sin( ax)</math>
|<math> \frac{\hat{f}\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2{\rm i}}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)-\hat{f}(\omega+a)}{2{\rm i}}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\nu-a)-\hat{f}(\nu+a)}{2{\rm i}}</math>
|Peut se déduire de la [[formule d'Euler]] : <math>\sin(a x) = \frac{{\rm e}^{{\rm i} a x} - {\rm e}^{-{\rm i} a x}}{2{\rm i}}</math>
|}

=== Fonctions de [[Carré sommable|carré intégrable]] à une variable ===
Les transformées de Fourier de ce tableau peuvent être trouvées  dans les deux références précédentes ou dans {{Ouvrage|langue=anglais|auteur1=George Campbell ; Ronald Foster|titre=Fourier Integrals for Practical Applications|lieu=New York, USA|éditeur=D. Van Nostrand Company, Inc|date=1948|isbn=}}.
{| class="wikitable"
! Fonction !!'''Transformée de Fourier''' 
'''{{math|ξ}} est la fréquence'''
! Transformée de Fourier <br />{{math|ω {{=}} 2πξ}} est la pulsation ou fréquence angulaire !! Transformée de Fourier
définition alternative
!Remarques
|-
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-2\pi i x\xi}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \omega x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \nu x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
|
|-
|<math> \operatorname{rect}(a x) \,</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right)</math>
|Pour la fonction rectangulaire voir [[fonction porte]] ; la fonction [[Sinus cardinal|sinus cardinal normalisé]] est définie ici par {{math|sinc(''x'') {{=}} {{sfrac|sin(π''x'')|π''x''}}}}
|-
|<math> \operatorname{sinc}(a x)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right)</math>
|Relation duale de la précédente.<br/>La [[fonction porte]] est un filtre passe-bas idéal, et la fonction [[sinus cardinal]] est la réponse impulsionnelle non causale d'un tel filtre. La fonction {{math|sinc}} est la fonction [[sinus cardinal]] normalisée : {{math|sinc(''x'') {{=}} {{sfrac|sin(π''x'')|π''x''}}}}
|-
|<math> \operatorname{sinc}^2 (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
| La fonction {{math|tri(''x'')}} est la [[fonction triangulaire]].
|-
|<math> \operatorname{tri} (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
| Relation duale de la précédente
|-
|<math> {\rm e}^{- a x} u(x) \,</math>
|<math> \frac{1}{a + 2 \pi {\rm i} \xi}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + {\rm i} \omega)}</math>
|<math> \frac{1}{a + {\rm i} \nu}</math>
|La fonction {{math|''u''(''x'')}} est la [[fonction de Heaviside|fonction marche de Heaviside]] et {{math|''a'' > 0}}.
|-
|<math> {\rm e}^{-\alpha x^2}\,</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot {\rm e}^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot {\rm e}^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot {\rm e}^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}}</math>
|Nota : pour les deux premières transformations de Fourier, la [[fonction gaussienne]] {{math|e<sup>−''αx''<sup>2</sup></sup>}} est, pour un choix judicieux de {{mvar|α}}, sa propre transformée de Fourier. Pour qu'elle soit intégrable on doit avoir {{math|Re(''α'') > 0}}.
|-
|<math> \operatorname{e}^{-a|x|} \,</math>
|<math> \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} </math>
|<math> \frac{2a}{a^2 + \nu^{2}} </math>
|Pour {{math|Re(''a'') > 0}}. Ceci signifie que la transformée de Fourier d'une densité de probabilité d'une [[Loi de Laplace (probabilités)|distribution de Laplace]] est une densité de probabilité d'une [[Loi de Cauchy (probabilités)|loi de Cauchy]].
|-
|<math> \operatorname{sech}(a x) \,</math>
|<math> \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{a} \xi \right)</math>
|<math> \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|<math> \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)</math>
|La [[Fonction_hyperbolique#Sécante_hyperbolique|sécante hyperbolique]] est sa propre transformée de Fourier.
|-
|<math> {\rm e}^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\,</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}(-{\rm i})^n}{a} {\rm e}^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)</math>
|<math> \frac{(-{\rm i})^n}{a} {\rm e}^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)</math>
|<math> \frac{(-{\rm i})^n \sqrt{2\pi}}{a} {\rm e}^{-\frac{\nu^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \nu a \right)</math>
|{{mvar|H<sub>n</sub>}} est le {{mvar|n}}{{e}} [[polynôme d'Hermite]]. Si {{math|''a'' {{=}} 1}} alors les [[Polynôme d'Hermite#Fonctions d'Hermite-Gauss|fonctions d'Hermite-Gauss]] sont des [[Fonction propre|fonctions propres]] de l'opérateur transformée de Fourier.
|}

=== [[Distribution (mathématiques)|Distribution]]s à une variable ===
Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans {{Ouvrage|langue=english|auteur1=Arthur Erdélyi|titre=Tables of Integral Transforms, Vol. 1|éditeur=McGraw-Hill|date=1954|isbn=}} ou dans {{Ouvrage|langue=anglais|auteur1=David Kammler|titre=A First Course in Fourier Analysis|lieu=USA|éditeur=Prentice Hall|date=2000}}.
{| class="wikitable"
! Fonction !!'''Transformée de Fourier''' 
'''{{math|ξ}} est la fréquence'''
! Transformée de Fourier <br />{{math|ω {{=}} 2πξ}} est la pulsation ou fréquence angulaire !! Transformée de Fourier
définition alternative
!Remarques
|-
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-2\pi {\rm i} x\xi}\,{\rm d}x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \omega x}\,{\rm d}x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu)= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \nu x}\,{\rm d}x \end{align}</math>
|
|-
|<math> 1</math>
|<math> \delta(\xi)</math>
|<math> \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)</math>
|<math> 2\pi\delta(\nu)</math>
| {{math|''δ''(''ξ'')}} est la [[distribution de Dirac]].
|-
|<math> \delta(x)\,</math>
|<math> 1</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math>
|<math> 1</math>
| Relation duale de la précédente.
|-
|<math> {\rm e}^{{\rm i} a x}</math>
|<math> \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|<math> \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>
|<math> 2 \pi\delta(\nu - a)</math>
|-
|<math> \cos (a x)</math>
|<math> \frac{ \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math> \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math>
|<math> \pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right)</math>
| Résulte de la [[formule d'Euler]].
|-
|<math> \sin(ax)</math>
|<math> \frac{\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>
|<math> \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}</math>
|<math> -{\rm i}\pi\left(\delta(\nu-a)-\delta(\nu+a)\right)</math>
| Résulte de la [[formule d'Euler]].
|-
|<math> \cos \left( a x^2 \right) </math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|-
|<math> \sin \left( a x^2 \right) \,</math>
|<math> - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|
|-
|<math> x^n\,</math>
|<math> \left(\frac{{\rm i}}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\,</math>
|<math> {\rm i}^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,</math>
|<math> 2\pi {\rm i}^n\delta^{(n)} (\nu)\,</math>
| Ici {{mvar|n}} est un [[entier naturel]] et <math> \delta^{(n)} (\xi)\,</math> <br/> est la {{mvar|n}}ième dérivée (au sens des distributions) de la distribution de Dirac.<br/> On peut en déduire les transformées de tous les [[polynôme]]s.
|-
|<math> \delta^{(n)}(x)\,</math>
|<math> (2\pi {\rm i}\xi)^n\,</math>
|<math> \frac{({\rm i}\omega)^n}{\sqrt{2\pi}} \,</math>
|<math> ({\rm i}\nu)^n\,</math>
| <math> \delta^{(n)} (\xi)\,</math> est la {{mvar|n}}ième dérivée (au sens des distributions) de la distribution de Dirac.
|-
|<math> \frac{1}{x}</math>
|<math> -{\rm i}\pi\sgn(\xi)</math>
|<math> -{\rm i}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math>
|<math> -{\rm i}\pi\sgn(\nu)</math>
| Ici {{math|sgn(''ξ'')}} est la [[fonction signe]].<br/>On notera que {{math|{{sfrac|1|''x''}}}} n'est pas une distribution.<br/>On doit utiliser la [[valeur principale de Cauchy]] pour étudier les [[Espace de Schwartz|fonctions de Schwartz]].<br/>Cette règle est utile quand on étudie la [[transformation de Hilbert]].
|-
|<math>\begin{align} &\frac{1}{x^n} \\ &:= \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}\log |x| \end{align}</math>
|<math> -{\rm i}\pi \frac{(-2\pi {\rm i}\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi)</math>
|<math> -{\rm i}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-{\rm i}\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>
|<math> -{\rm i}\pi \frac{(-{\rm i}\nu)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu)</math>
|{{math|{{sfrac|1|''x<sup>n</sup>''}}}} est la {{lien|fr=distribution homogène|trad=Homogeneous distribution}}<br/> définie par la dérivée de <math>\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}\log|x|</math>
|-
|<math> |x|^\alpha\,</math>
|<math> -\frac{2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\Gamma(\alpha+1)}{|2\pi\xi|^{\alpha+1}}</math>
|<math> \frac{-2}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\Gamma(\alpha+1)}{|\omega|^{\alpha+1}} </math>
|<math> -\frac{2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\Gamma(\alpha+1)}{|\nu|^{\alpha+1}} </math>
| Formule valide pour α réel avec {{math|-1 < ''α'' < 0}}.<br/>Si α complexe avec {{math|Re (''α'') > −1}}, alors <math> |x|^\alpha\,</math> est une fonction localement intégrable et est donc une [[distribution tempérée]].<br/>La fonction {{math|''α'' ↦ {{!}}''x''{{!}}{{exp|α}}}} est une [[fonction holomorphe]] du demi-plan complexe réel dans l'espace des distributions tempérées. Elle admet une unique extension [[Fonction méromorphe|méromorphe]] qui est une distribution tempérée également notée <math> |x|^\alpha\,</math> uniquement pour {{math|''α'' ≠ −2, −4,...}}.
|-
|<math> \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{|\xi|}} </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{|\omega|}}</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{|\nu|}} </math>
| Cas particulier de la précédente, pour {{math|''α'' {{=}} –{{sfrac|1|2}}}}.
|-
|<math> \sgn(x)</math>
|<math> \frac{1}{{\rm i}\pi \xi}</math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{{\rm i}\omega } </math>
|<math> \frac{2}{{\rm i}\nu }</math>
| La transformation de Fourier doit ici être prise comme la [[valeur principale de Cauchy]].
|-
|<math> u(x)</math>
|<math> \frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\rm i}\pi \xi} + \delta(\xi)\right)</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{{\rm i}\pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|<math> \pi\left( \frac{1}{{\rm i}\pi \nu} + \delta(\nu)\right)</math>
| La fonction {{math|''u''(''x'')}} est la [[fonction de Heaviside]].
|-
|<math> \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (x - n T)</math>
|<math> \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right)</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|<math> \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
| Transformée de Fourier du [[peigne de Dirac]]. On utilise aussi le fait que <br><math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} {\rm e}^{{\rm i}nx}= 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k)</math> sont considérées comme des distributions.
|-
|<math> J_0 (x)</math>
|<math> \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left(  \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>
|<math> \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}}</math>
| La fonction {{math|''J''<sub>0</sub>(''x'')}} est la [[fonction de Bessel]] d'ordre zéro de la {{1re}} espèce.
|-
|<math> J_n (x)</math>
|<math> \frac{2 (-{\rm i})^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-{\rm i})^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>
|<math> \frac{2(-{\rm i})^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} </math>
| Généralisation de 315. La fonction {{math|''J<sub>n</sub>''(''x'')}} est la [[fonction de Bessel]] d'ordre ''n'' de la {{1re}} espèce. La fonction {{math|''T<sub>n</sub>''(''x'')}} est le [[polynôme de Tchebychev]] de {{1re}} espèce.
|-
|<math> \log \left| x \right|</math>
|<math> -\frac{1}{2} \frac{1}{\left| \xi \right|} - \gamma \delta ( \xi ) </math>
|<math> -\frac{\sqrt\frac{\pi}{2}}{\left| \omega \right|} - \sqrt{2 \pi} \gamma \delta ( \omega ) </math>
|<math> -\frac{\pi}{\left| \nu \right|} - 2 \pi \gamma \delta (\nu) </math>
|{{mvar|γ}} est la [[constante d'Euler-Mascheroni]].
|-
|<math> \left( \mp {\rm i}x \right)^{-\alpha}</math>
|<math> \frac{\left(2\pi\right)^\alpha}{\Gamma(\alpha)}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha-1} </math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(\alpha)}u(\pm\omega)(\pm\omega)^{\alpha-1} </math>
|<math> \frac{2\pi}{\Gamma\left(\alpha\right)}u(\pm\nu)(\pm\nu)^{\alpha-1} </math>
| Formule correcte pour {{math|0 < ''α'' < 1}}. La formule de dérivation permet de déduire la formule pour des exposants plus élevés. {{mvar|u}} est la fonction de Heaviside.
|}

=== Fonctions de deux variables ===
{| class="wikitable"
! Fonction !!'''Transformée de Fourier''' 
'''{{math|ξ}} est la fréquence'''
! Transformée de Fourier <br />{{math|ω {{=}} 2πξ}} est la pulsation ou fréquence angulaire !! Transformée de Fourier
définition alternative
!Remarques
|-
|<math> f(x,y)</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\xi_x, \xi_y) \\ &= \iint f(x,y) {\rm e}^{-2\pi {\rm i}(\xi_x x+\xi_y y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y \end{align}</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\omega_x,\omega_y) \\ &= \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) {\rm e}^{-{\rm i} (\omega_x x +\omega_y y)}\, {\rm d}x\,{\rm d}y  \end{align}</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\nu_x,\nu_y) \\ &= \iint f(x,y) {\rm e}^{-{\rm i}(\nu_x x+\nu_y y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y  \end{align}</math>
|Les variables {{mvar|ξ<sub>x</sub>}}, {{mvar|ξ<sub>y</sub>}}, {{mvar|ω<sub>x</sub>}}, {{mvar|ω<sub>y</sub>}}, {{mvar|ν<sub>x</sub>}}, {{mvar|ν<sub>y</sub>}} sont réelles. Les intégrales couvrent tout le plan complexe.
|-
|<math> {\rm e}^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}</math>
|<math> \frac{1}{|ab|} {\rm e}^{-\pi\left(\frac{\xi_x^2}{a^2} + \frac{\xi_y^2}{b^2}\right)}</math>
|<math> \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} {\rm e}^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\omega_x^2}{a^2} + \frac{\omega_y^2}{b^2}\right)}</math>
|<math> \frac{1}{|ab|} {\rm e}^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\nu_x^2}{a^2} + \frac{\nu_y^2}{b^2}\right)}</math>
|La fonction et ses transformées sont toutes des gaussiennes.
|-
|<math> \operatorname{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)</math>
|<math> \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}</math>
|<math> \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>
|<math> \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}</math>
|La fonction est définie par {{math|circ(''r'') {{=}} 1}} sur {{math|0 ≤ ''r'' ≤ 1}}, et est nulle partout ailleurs. Le résultat est la distribution de l'amplitude de la [[tache d'Airy]]. {{math|''J''<sub>1</sub>}} est la [[fonction de Bessel]] de première espèce d'ordre 1<ref>{{harvnb|Stein|Weiss|1971|loc=Thm. IV.3.3}}.</ref>.
|-
|<math> \frac{{\rm i}}{x+{\rm i} y}</math>
|<math> \frac{1}{\xi_x+{\rm i}\xi_y}</math>
|<math> \frac{1}{\omega_x+{\rm i}\omega_y}</math>
|<math> \frac{2\pi}{\nu_x+{\rm i}\nu_y}</math>
|<!--This formula was used in constructing the ground state wavefunction of two-dimensional <math> p_x+ip_y</math> superconductors <ref>Phys. Rev. B 97 (10), 104501 (2018)</ref>-->
|}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Fourier transform|583088122|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
  | wikiversity = Série et transformée de Fourier en physique
  | wikiversity titre = Série et transformée de Fourier en physique
}}

=== Articles connexes ===
* [[Densité spectrale]]
* [[Densité spectrale de puissance]]
* [[Produit de convolution]]
* [[Transformation de Fourier rapide]]
* [[Transformation de Fourier discrète]]
* [[Théorème d'inversion de Fourier]]
* [[Transformation de Laplace]]
* [[Transformation de Hankel]]
* [[Transformation de Mellin]]
* [[Bispectre]]
* [[Spectroscopie transformée de Fourier]]

=== Bibliographie ===
* [[Jean-Michel Bony]], ''Cours d'analyse'', [[École polytechnique (France)#Activités de recherche|Éditions de l'École Polytechnique]]
* Srishti D. Chatterji, ''Cours d'analyse'', [[Presses polytechniques et universitaires romandes]], 1998 {{ISBN|978-2880743468}}

=== Liens externes ===
* Alain Yger, [http://www.math.u-bordeaux1.fr/~yger/mht613.pdf Espaces de Hilbert et analyse de Fourier] (2008), cours de {{3e|année}} de licence, [[université Bordeaux I]]
* {{lien web|langue=en| url=http://www.jcrystal.com/products/ftlse/index.htm | titre=FTL-SE}}, programme éducatif sur les transformées de Fourier d'images
* J. Fourier, ''[https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/analyse/theorie-analytique-de-la-chaleur Théorie analytique de la chaleur]'' (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site ''[[BibNum]]''
* [http://lodel.irevues.inist.fr/oeiletphysiologiedelavision/index.php?id=203#f17 Œil et physiologie de la vision : « les signaux électrophysiologiques »].

{{Palette|Analyse fonctionnelle}}
{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Transformee Fourier}}
[[Catégorie:Mécanique ondulatoire]]
[[Catégorie:Spectroscopie]]
[[Catégorie:Théorie de Fourier]]
[[Catégorie:Transformée|Fourier]]