Voir la source de Transformation de Landen

[[Fichier:John_Landen.jpeg|vignette|John Landen ({{date-|1719}}-{{date-|1790}})]]
Les '''transformations de Landen''' transforment une [[intégrale elliptique]] (ou une [[Fonction elliptique de Jacobi|fonction elliptique jacobienne]]) en une autre intégrale elliptique (ou une autre fonction elliptique jacobienne) de même forme, mais avec des variables différentes. Les transformations croissantes augmentent le module des fonctions elliptiques tandis que les transformations décroissantes le diminuent. Elles permettent d'effectuer plus rapidement les calculs numériques des fonctions elliptiques.

== Historique ==
Cette transformation est l'œuvre initiale du mathématicien anglais [[John Landen]] (1719-1790) qui proposa en 1775 un changement de variable très réussi pour les intégrales et fonctions elliptiques<ref>An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs with some other new and useful theorems deduced therefrom {{cite doi|10.1098/rstl.1775.0028}}</ref>.

Il a pu montrer que la longueur d'un arc d'[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] pouvait être exprimée par les longueurs des arcs de deux [[ellipse (mathématiques)|ellipses]] différentes. Chacune d’elles présente une [[excentricité (mathématiques)|excentricité]] qui peut être identifiée au module elliptique. La relation particulière entre les excentricités des deux ellipses que Landen découvrit plus tard porte son nom.

Cette transformation a été redécouverte indépendamment par [[Carl Friedrich Gauss]]<ref>{{article|nom1=Gauss|prénom1=C. F.|nom2=Nachlass|titre=Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3|journal=Königlichen Gesell. Wiss., Göttingen|date=1876|pages=361–403}}</ref>. La forme actuelle de la transformation de Landen a été développée par [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Adrien-Marie Legendre]] et [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]<ref name = Italians>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=G.M.|nom1=Scarpello|prénom2=D.|nom2=Ritelli|prénom3=A.|nom3=Scimone|titre=The hyperbola rectification from Maclaurin to Landen and the Lagrange-Legendre transformation for the elliptic integrals|lire en ligne=https://arxiv.org/pdf/1209.4909.pdf}}</ref>. En utilisant la transformation de Landen, Gauss a calculé la longueur de la [[lemniscate]]{{Référence souhaitée |date=mars 2024}}.
En particulier, les travaux de Legendre ont joué un rôle majeur pour [[Niels Henrik Abel]] et [[Charles Gustave Jacob Jacobi]] dans leur développement des fonctions elliptiques.

Landen a découvert une nouvelle façon de calculer, et pas seulement les fonctions elliptiques. Son idée principale, selon laquelle la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion, a ensuite été largement utilisée en [[mathématiques computationnelles]]. Cette transformation modulaire joue un rôle important dans les mathématiques modernes<ref name = Moll>H. McKean and V. Moll, ''Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic''; Cambridge University Press, Cambridge (1997). {{ISBN|0-521-65817-9}}.</ref>.

== Changement de variable et nouveau module ==
Au sens large, la transformation de Landen désigne une transformation reposant sur le principe selon lequel la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion ; tandis que la transformation de Landen à proprement parler désigne la transformation qui utilise le changement de variable que Landen a proposé{{Référence souhaitée |date=mars 2024}}.

On pose :
:<math>
\begin{cases}
   k_0 = k
\\ k'_0 = k'
\\ \theta_0 = \theta
\end{cases}
</math>.
Les transformations changent le module <math>k_0</math> en un autre module <math>k_1</math> ou <math>k_{-1}</math> en changeant la variable d'intégration <math>\theta_0</math> en une nouvelle variable <math>\theta_1</math> ou <math>\theta_{-1}</math> définie ainsi :
*pour la transformation de Landen :
:<math>
\sin\left(2\theta_{n+1}-\theta_n\right)=k_n\sin\theta_n
\quad
\Leftrightarrow\quad
\sin\theta_n
= \frac{\frac{2}{1+k_n}\sin\theta_{n+1}\cos\theta_{n+1}}{\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)^2\sin^2\theta_{n+1}}}
= \frac{\left(1+k_{n+1}'\right)\sin\theta_{n+1}\cos\theta_{n+1}}{\sqrt{1-k_{n+1}^2\sin^2\theta_{n+1}}}
</math>
*pour la transformation gaussienne :
:<math>
\sin\theta_{n+1} = \frac{\left(1+k_n\right)\sin\theta_n}{1+k_n\sin^2\theta_n}
\quad\Leftrightarrow\quad
\sin\theta_n
= \frac{\frac{2}{1+k_n}\sin\theta_{n+1}}{1+\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)^2\sin^2\theta_{n+1}}}
= \frac{\left(1+k_{n+1}'\right)\sin\theta_{n+1}}{1+\sqrt{1-k_{n+1}^2\sin^2\theta_{n+1}}}
</math>

Ainsi, pour la transformation de Landen comme pour la transformation gaussienne, on a les relations suivantes :
:<math>\begin{cases}
   & k_{n+1}
   & = \frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}
   & = \frac{2\sqrt[4]{1-k_n'^2}}{1+\sqrt{1-k_n'^2}},
   & k_{n+1}'
   & = \frac{1-k_n}{1+k_n}
   & = \frac{1-\sqrt{1-k_n'^2}}{1+\sqrt{1-k_n'^2}}
\\ \Leftrightarrow
   & k_{n-1}
   & = \frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
   & = \frac{1-k_n'}{1+k_n'},
   & k_{n-1}'
   & = \frac{2\sqrt[4]{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
   & = \frac{2\sqrt{k_n'}}{1+k_n'}
\end{cases}</math>

Une transformation qui change <math>k_n</math> en <math>k_{n+1}</math> est une transformation croissante et une transformation qui change <math>k_n</math> en <math>k_{n-1}</math> est une transformation décroissante parce que :
:<math>\begin{cases}
   k_n\leqslant 1\Rightarrow k_{n+1}\geqslant\sqrt{k_n}&\Rightarrow k_{n+1}\geqslant k_n
\\ k_{n-1}=\frac{k_n^2}{\left(1+k_n'\right)^2}&\Rightarrow k_{n-1}\leqslant k_n
\end{cases}</math>

On peut aussi exprimer ainsi la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] :
:<math>
k_{n-1}
= \tan^2\frac{\arcsin k_n}{2}
= \operatorname{th}^2\frac{\operatorname{argth} k_n}{2}
</math>

{{démonstration|contenu=
*<math>
\tan^2\frac{\arcsin x}{2}
= \frac{\sin^2\frac{\arcsin x}{2}}{\cos^2\frac{\arcsin x}{2}}
= \frac{1-\cos\arcsin x}{1+\cos\arcsin x}
= \frac{1-\sqrt{1 - x^2}}{1+\sqrt{1 - x^2}}
</math>
*<math>
\operatorname{th}^2 x
= \frac{\operatorname{sh}^2 x}{\operatorname{ch}^2 x}
= \frac{\operatorname{ch}^2 x - 1}{\operatorname{ch}^2 x}
\Rightarrow
\operatorname{ch}^2 x
= \frac{1}{1 - \operatorname{th}^2 x}
\Rightarrow
\operatorname{ch} x
= \frac{1}{\sqrt{1 - \operatorname{th}^2 x}}
</math>
:<math>
\operatorname{ch}(2x)
= 2\operatorname{ch}^2 x - 1
= 2\operatorname{sh}^2 x + 1
\Rightarrow
\begin{cases}
\operatorname{ch}x
= \sqrt{\frac{\operatorname{ch}(2x)+1}{2}}
\\
\operatorname{sh}x
= \sqrt{\frac{\operatorname{ch}(2x)-1}{2}}
\\
\operatorname{th}x
= \sqrt{\frac{\operatorname{ch}(2x)-1}{\operatorname{ch}(2x)+1}}
\end{cases}
</math>
:<math>
\operatorname{th}^2\frac{x}{2}
= \frac{\operatorname{ch}x-1}{\operatorname{ch}x+1}
\Rightarrow
\operatorname{th}^2\frac{\operatorname{argth}x}{2}
= \frac{\operatorname{ch}\operatorname{argth}x-1}{\operatorname{ch}\operatorname{argth}x+1}
= \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}+1}
= \frac{1-\sqrt{1 - x^2}}{1+\sqrt{1 - x^2}}
</math>
}}

== Transformations de Landen des intégrales elliptiques de première espèce ==
=== Transformation de Landen ===
==== Démonstration ====
On commence par vérifier la réciprocité de :
:<math>
\sin\left(2\theta_{n+1}-\theta_n\right)=k_n\sin\theta_n
\quad\Leftrightarrow\quad
\sin\theta_n=\frac{\frac{2}{1+k_n}\sin\theta_{n+1}\cos\theta_{n+1}}{\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)^2\sin^2\theta_{n+1}}}</math>

On a :
:<math>
\sin\theta_n=\frac{\sin\left(2\theta_{n+1}\right)}{\sqrt{1+k_n^2+2k_n\cos\left(2\theta_{n+1}\right)}}
\quad , \quad
\cos\theta_n=\frac{k_n+\cos\left(2\theta_{n+1}\right)}{\sqrt{1+k_n^2+2k_n\cos\left(2\theta_{n+1}\right)}}
\quad , \quad
\tan\theta_{n} = \frac{\sin\left(2\theta_{n+1}\right)}{k_n+\cos\left(2\theta_{n+1}\right)}
</math>

En multipliant cette dernière égalité par <math> \cos\theta_{n}\left[k_n+\cos\left(2\theta_{n+1}\right)\right]
</math>, on a bien : <math> \sin\left(2\theta_{n+1}-\theta_n\right)=k_n\sin\theta_n </math>. Ce changement de variable permet que l'angle transformé devienne plus petit que l'angle d'origine : <math>k_n\leqslant1\Rightarrow2\theta_{n+1}-\theta_n\leqslant\theta_n\Rightarrow\theta_{n+1}\leqslant\theta_n</math><ref name = Baker>{{Ouvrage|langue=en|prénom=A.L.|nom=Baker|éditeur=John Wiley & Sons, New York|année=1890|titre=Elliptic Functions - An Elementary Textbook for Students of Mathematics|lire en ligne=https://archive.org/stream/ellipticfunction31076gut/31076-pdf#page/n1/mode/2up}}</ref>.

Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :
: <math>
\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta_n}
= \sqrt{1 - \sin^2(2\theta_{n+1}-\theta_n)}
= \cos\left(2\theta_{n+1}-\theta_n\right)
= \frac{1+k_n\cos\left(2\theta_{n+1}\right)}{\sqrt{1+k_n^2+2k_n\cos\left(2\theta_{n+1}\right)}}
</math>
:<math>
\mathrm{d}\theta_n = \cos^2\theta_n\,\mathrm{d}\tan\theta_n =\frac{2\left[1+k_n\cos \left(2\theta_{n+1}\right)\right]}{1+k_n^2+2k_n\cos\left(2\theta_{n+1}\right)} \mathrm{d}\theta_{n+1}
</math>
Ainsi :
:<math>
{\mathrm{d}\theta_n\over\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta_n}}=\frac{2}{1+k_n} \frac{\mathrm{d}\theta_{n+1}}{\sqrt{1-k_{n+1}^2\sin^2\theta_{n+1}}}
</math>

==== Amplitude ====
On calcule l'amplitude <math>\varphi_{n+1}^L</math> (on pose : <math>\varphi_0^L=\varphi</math>) :
:<math>
\sin^2\varphi_n^L=\frac{1-\cos^2(2\varphi_{n+1}^L)}{1+k_n^2+2k_n\cos(2\varphi_{n+1}^L)}
</math>
::<math>
\Rightarrow\cos^2(2\varphi_{n+1}^L)+2k_n\sin^2\varphi_n^L\cos(2\varphi_{n+1}^L)+k_n^2\sin^2\varphi_n^L-1+\sin^2\varphi_n^L=0
</math>
::<math>
\Rightarrow\cos(2\varphi_{n+1}^L)=-k_n\sin^2\varphi_n^L\pm\sqrt{k_n^2\sin^4\varphi_n^L-k_n^2\sin^2\varphi_n^L+1-\sin^2\varphi_n^L}\in\left[-1;+1\right]
</math>
::<math>
\Rightarrow\cos(2\varphi_{n+1}^L)=-k_n\sin^2\varphi_n^L+\cos\varphi_n^L\sqrt{1-k_n^2\sin^2\varphi_n^L}
</math>
::<math>
\Rightarrow\varphi_{n+1}^L=\arcsin\sqrt{\frac{1+k_n\sin^2\varphi_n^L-\cos\varphi_n^L\sqrt{1-k_n^2\sin^2\varphi_n^L}}{2}}
</math>

On calcule l'amplitude <math>\varphi_n^L</math>. Puisque <math>
\varphi_{n+1}^L\in\left[\frac{\varphi_n^L}{2};\varphi_n^L\right]
\Leftrightarrow
\varphi_n^L\in\left[\varphi_{n+1}^L;2\varphi_{n+1}^L\right]
</math>, on a :
:<math>
\begin{cases}
\varphi_{n+1}^L\in\left[0;\frac{\pi}{2}-\frac{\arccos k_n}{2}\right]
&\Leftrightarrow
\varphi_n^L \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]
\\
\varphi_{n+1}^L\in\left[\frac{\pi}{2}-\frac{\arccos k_n}{2};\frac{\pi}{2}\right]
&\Leftrightarrow
\varphi_n^L \in \left[\frac{\pi}{2};\pi\right]
\end{cases}
</math>

:<math>
\varphi_n^L
= \arccos\frac{k_n+\cos\left(2\varphi_{n+1}^L\right)}{\sqrt{1+k_n^2+2k_n\cos\left(2\varphi_{n+1}^L\right)}}
= \arccos\frac{1-\left(1+k'_{n+1}\right)\sin^2\varphi_{n+1}^L}{\sqrt{1-k_{n+1}^2\sin^2\varphi_{n+1}^L}}
</math>

Si on utilise la notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule, on est obligé de décomposer l'intégrale en tronçons ne dépassant pas <math>\pi/2</math> puisque cette notation ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques dont l'amplitude ne dépasse pas <math>\pi/2</math> : si <math>\varphi_n^L \in \left]\pi/2;\pi\right]</math>, <math>F\left(\varphi_n^L,k_n\right) = 2K\left(k_n\right) - F\left(\pi-\varphi_n^L,k_n\right) = 2K\left(k_n\right) - F\left(\sin\varphi_n^L;k_n\right)</math>.

==== Autre formulation ====
Si <math>k_n</math>, <math>k_{n+1}'</math>, <math>\varphi_n^L</math> et <math>\varphi_{n+1}^L</math> sont tels que <math>\left(1+k_n\right)\left(1+k_{n+1}'\right)=2</math> et <math>\tan\left(\varphi_n^L-\varphi_{n+1}^L\right)=k_{n+1}'\tan\varphi_{n+1}^L</math>, alors la transformation de Landen stipule que :
:<math>F\left(\varphi_n^L,k_n\right) = \frac{2}{1+k_n}F\left(\varphi_{n+1}^L,k_{n+1}\right) = (1+k_{n+1}')F\left(\varphi_{n+1}^L,k_{n+1}\right)</math>

La transformation de Landen peut donc être exprimée soit en fonction de son module elliptique <math>k</math>, soit en fonction de son comodule <math>k'</math>.

En effet :
*En réécrivant <math>\sin\left(2\varphi_{n+1}^L-\varphi_n^L\right)=k_n\sin\varphi_n^L</math> :
::<math>\sin\varphi_{n+1}^L\cos\left(\varphi_{n+1}^L-\varphi_n^L\right)+\cos\varphi_{n+1}^L\sin\left(\varphi_{n+1}^L-\varphi_n^L\right)=k_n\sin\left(\varphi_n^L-\varphi_{n+1}^L\right)\cos\varphi_{n+1}^L+k_n\cos\left(\varphi_n^L-\varphi_{n+1}^L\right)\sin\varphi_{n+1}^L
</math>
:et en divisant par <math>\cos\varphi_{n+1}^L\cos\left(\varphi_{n+1}^L-\varphi_n^L\right)</math>, on a :
::<math>\tan\varphi_{n+1}^L-\tan\left(\varphi_n^L-\varphi_{n+1}^L\right) = k_n\tan\left(\varphi_n^L-\varphi_{n+1}^L\right)+k_n\tan\varphi_{n+1}^L</math>
:ce qui donne :
::<math>\tan\left(\varphi_n^L-\varphi_{n+1}^L\right)=k_{n+1}'\tan\varphi_{n+1}^L
\Rightarrow\frac{\tan\varphi_n^L-\tan\varphi_{n+1}^L}{1+\tan\varphi_n^L\tan\varphi_{n+1}^L}=k_{n+1}'\tan\varphi_{n+1}^L
\Rightarrow\tan\varphi_n^L=\frac{\left(1+k_{n+1}'\right)\tan\varphi_{n+1}^L}{1-k_{n+1}'\tan^2\varphi_{n+1}^L}
</math>
*De plus, on a :
::<math>\left(1+k_n\right)\left(1+k_{n+1}'\right)=2</math>

=== Transformation gaussienne ===
==== Démonstration ====
On commence par vérifier la réciprocité de :
:<math>\sin\theta_{n+1} = \frac{\left(1+k_n\right)\sin\theta_n}{1+k_n\sin^2\theta_n} \quad\Leftrightarrow\quad
\sin\theta_n=\frac{\frac{2}{1+k_n}\sin\theta_{n+1}}{1+\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt k_n}{1+k_n}\right)^2\sin^2\theta_{n+1}}}</math>
On a bien :
:<math>\sin\theta_n
= \frac{\frac{2\sin\theta_n}{1+k_n\sin^2\theta_n}}{1+\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt k_n}{1+k_n}\right)^2\frac{\left(1+k_n\right)^2\sin^2\theta_n}{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)^2}}}
= \frac{\frac{2\sin\theta_n}{1+k_n\sin^2\theta_n}}{1+\frac{1-k_n\sin^2\theta_n}{1+k_n\sin^2\theta_n}}
= \sin\theta_n</math>

Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :
:<math>\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta_n}
= \frac{\sqrt{\left(1+k_n-k_n\cos^2\theta_n\right)^2-\left(1+k_n\right)^2+\left(1+k_n\right)^2\cos^2\theta_n}}{\cos\theta_n}
= \frac{\sqrt{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)^2-\left(1+k_n\right)^2\sin^2\theta_n}}{\cos\theta_n}</math>
:<math>\mathrm{d}\theta_{n+1}
= \frac{\mathrm{d}\sin\theta_{n+1}}{\cos\theta_{n+1}}
= \frac{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)\left({1+k_n}\right)\cos\theta_n-2k_n\left({1+k_n}\right)\sin^2\theta_n\cos\theta_n}{\cos\theta_{n+1}\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)^2}\mathrm{d}\theta_n
= \frac{\left(1-k_n\sin^2\theta_n\right)\left({1+k_n}\right)\cos\theta_n}{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)\sqrt{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)^2-\left(1+k_n\right)^2\sin^2\theta_n}}\mathrm{d}\theta_n</math>

On a alors :
:<math>\frac{\mathrm{d}\theta_n}{\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta_n}}
= \frac{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)\mathrm{d}\theta_{n+1}}{\left(1-k_n\sin^2\theta_n\right)\left(1+k_n\right)}
= \frac{\mathrm{d}\theta_{n+1}}{\left(1+k_n\right)\sqrt{1-\frac{4k_n\sin^2\theta_n}{\left(1+k_n\sin^2\theta_n\right)^2}}}
= \frac{\mathrm{d}\theta_{n+1}}{\left(1+k_n\right)\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt k_n}{1+k_n}\right)^2\sin^2\theta_{n+1}}}</math>

==== Amplitude ====
On calcule l'amplitude <math>\varphi_{n+1}</math> (on pose : <math>\varphi_0^G=\varphi</math>) :
:<math>
\varphi_{n+1}^G
= \arcsin\frac{\left(1+k_n\right)\sin\varphi_n^G}{1+k_n\sin^2\varphi_n^G}
</math>

L'amplitude <math>\varphi_n^G</math> vaut :
:<math>
\varphi_n^G
= \arcsin\frac{2\sin\varphi_{n+1}^G}{1+k_n+\sqrt{1+k_n^2+2k_n\cos\left(2\varphi_{n+1}^G\right)}}
= \arcsin\frac{\left(1+k'_{n+1}\right)\sin\varphi_{n+1}^G}{1+\sqrt{1-k_{n+1}^2\sin^2\varphi_{n+1}^G}}
</math>

=== Transformation AGM quartique ===
{{...}}
En plus des changements de variable landenien et gaussien, il en existe d'autres, par exemple celui-ci :
:<math>
\tan\theta_{n+1}=\frac{1+\sin\theta_n}{\sqrt[4]{1-k^2}\cos\theta_n}
</math>{{Référence à confirmer|date=mars 2024}}

=== Itération ===
{{multiple image
| align = center
| footer = <math>\varphi_{n+1}^L\left(\varphi_n^L\right)</math> et <math>\varphi_{n+1}^G\left(\varphi_n^G\right)</math> pour <math>k_n \in [0;1]</math> par pas de <math>0{,}05</math>. La courbe rouge correspond au cas <math>k_n=0{,}8</math>.
| image1 = Transformation de Landen 3 2.png
| alt1 = Quel que soit <math>k_n</math>, <math>\varphi_n^L</math> varie de 0 à <math>\pi</math> lorsque <math>\varphi_{n+1}^L</math> varie de 0 à <math>\pi/2</math>.
| caption1 = <div style="text-align:center;">Transformation de '''Landen'''<Br/></div><math>\begin{array}{ccc}[0;\pi] & \to & [0;\pi/2] \\ \varphi_n^L & \mapsto & \varphi_{n+1}^L\end{array}</math><Br/>[https://www.desmos.com/calculator/pposuwc3hs Cliquer pour voir et modifier le graphique.]
| width1 = 400
| image2 = Transformation gaussienne 3 2.png
| alt2 = Quel que soit <math>k_n</math>, <math>\varphi_n^G</math> varie de 0 à <math>\pi/2</math> lorsque <math>\varphi_{n+1}^G</math> varie de 0 à <math>\pi/2</math>.
| caption2 = <div style="text-align:center;">Transformation de '''Gauss'''<Br/></div><math>\begin{array}{ccc}[0;\pi/2] & \to & [0;\pi/2] \\ \varphi_n^G & \mapsto & \varphi_{n+1}^G\end{array}</math><Br/>[https://www.desmos.com/calculator/l3vixu0b66 Cliquer pour voir et modifier le graphique.]
| width2 = 227
}}

En répétant plusieurs fois de suite la transformation de Landen ou gaussienne, on aura <math>k_{\infty}\rightarrow 1</math> si on utilise la transformation croissante, et <math>k_{-\infty}\rightarrow 0</math> si on utilise la transformation décroissante. <math>\varphi</math> évolue ainsi : <math>k_n\nearrow \, \Rightarrow \varphi_n^{L/G} \searrow</math> et <math>k_{-n}\searrow \, \Rightarrow \varphi_{-n}^{L/G}\nearrow</math>. Lorsque le module est égal à 0 ou 1, l'intégrale elliptique peut être calculée analytiquement<ref name = AS>M. Abramowitz and I. A. Stegun, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_598.htm ''Handbook of Mathematical Functions''], Dover Publications, New York (1964). {{ISBN|0-486-61272-4}}.</ref> :
:<math>F\left(\varphi,0\right)
=\varphi</math>
:<math>F\left(\varphi,1\right)
=\int_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}
= \operatorname{artanh}\sin\varphi
= \frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi}
= \ln{\frac{1+\sin\varphi}{\cos\varphi}}
= \ln{\frac{\cos\frac{\varphi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}}{\cos\frac{\varphi}{2}-\sin\frac{\varphi}{2}}}
= \ln{\frac{1+\tan\frac{\varphi}{2}}{1-\tan\frac{\varphi}{2}}}
= \ln\tan\left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)</math>

Si l'on part d'un module <math>k</math> et d'une amplitude <math>\varphi</math> arbitraires, une intégrale elliptique générale de première espèce peut être calculée numériquement ainsi :
* Pour la transformation de Landen :
:<math>
\begin{align}
F\left(\varphi,k\right)
&= {2\over 1 + k}F\left(\varphi_1^L,k_1\right)
&=& {2\over 1 + k}{2\over 1 + k_1}F\left(\varphi_2^L,k_2\right)
&=& {2\over 1 + k_0}\cdots {2\over 1 + k_{n-1}}F\left(\varphi_n^L,k_n\right)
\\
&= \frac{k_1}{\sqrt k}F\left(\varphi_1^L,k_1\right)
&=& \frac{k_1}{\sqrt k}\frac{k_2}{\sqrt{k_1}}F\left(\varphi_2^L,k_2\right) &=& \frac{k_n\sqrt{k_0\cdots k_{n-1}}}{k} F\left(\varphi_n^L,k_n\right)
\\
&= {1 + k_{-1}\over 2} F\left(\varphi_{-1}^L,k_{-1}\right)
&=& {1 + k_{-1}\over 2} {1 + k_{-2}\over 2} F\left(\varphi_{-2}^L,k_{-2}\right)
&=& {1 + k_{-1}\over 2}\cdots {1 + k_{-n}\over 2}F\left(\varphi_{-n}^L,k_{-n}\right)
\\
&= \frac{\sqrt {k_{-1}}}{k} F\left(\varphi_{-1}^L,k_{-1}\right)
&=& \frac{\sqrt {k_{-1}}}{k}\frac{\sqrt {k_{-2}}}{k_{-1}} F\left(\varphi_{-2}^L,k_{-2}\right)
&=& \frac{k_{-n}}{k\sqrt{k_{-1}\cdots k_{-n}}}F\left(\varphi_{-n}^L,k_{-n}\right)
\end{align}
</math>
:<math>
F\left(\varphi,k\right)
= \ln\tan\left(\frac{\varphi_\infty^L}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\prod_{n=0}^\infty\frac{2}{1+k_n}
= \ln\tan\left(\frac{\varphi_\infty^L}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\frac{\sqrt{\prod_{n=0}^\infty k_n}}{k}
= \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_{-n}^L\prod_{i=1}^n\frac{1+k_{-i}}{2}
= \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_{-n}^L \frac{k_{-n}}{k\sqrt{\prod_{i=1}^{n} k_{-i}}}
</math>{{Note|texte=Ces deux équations sont un travail partiellement inédit, notamment les membres de ces équations qui contiennent <math>\lim_{n\rightarrow\infty}</math> n'apparaissent pas dans les ouvrages. Ces membres-là ne sont peut être pas si utiles.|nom=note1}}
* Pour la transformation gaussienne :
:<math>
\begin{align}
F\left(\varphi,k\right)
&= {1\over 1 + k}F\left(\varphi_1^G,k_1\right)
&=& {1\over 1 + k}{1\over 1 + k_1}F\left(\varphi_2^G,k_2\right)
&=& {1\over 1 + k_0}\cdots {1\over 1 + k_{n-1}}F\left(\varphi_n^G,k_n\right)
\\
&= \frac{k_1}{2\sqrt k}F\left(\varphi_1^G,k_1\right)
&=& \frac{k_1}{2\sqrt k}\frac{k_2}{2\sqrt k_1}F\left(\varphi_2^G,k_2\right)
&=& \frac{k_n \sqrt{k_0\cdots k_{n-1}}}{2^n k} F\left(\varphi_n^G,k_n\right)
\\
&= \left(1 + k_{-1}\right)F\left(\varphi_{-1}^G,k_{-1}\right)
&=& \left(1 + k_{-1}\right) \left(1 + k_{-2}\right) F\left(\varphi_{-2}^G,k_{-2}\right)
&=& \left(1 + k_{-1}\right) \cdots \left(1 + k_{-n}\right)F\left(\varphi_{-n}^G,k_{-n}\right)
\\
&= \frac{2\sqrt {k_{-1}}}{k}F\left(\varphi_{-1}^G,k_{-1}\right)
&=& \frac{2\sqrt {k_{-1}}}{k}\frac{2\sqrt {k_{-2}}}{k_{-1}}F\left(\varphi_{-2}^G,k_{-2}\right)
&=& \frac{2^n k_{-n}}{k\sqrt {k_{-1} \cdots k_{-n}}} F\left(\varphi_{-n}^G,k_{-n}\right)
\end{align}
</math>
:<math>
F\left(\varphi,k\right)
= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln\tan\left(\frac{\varphi_n^G}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\prod_{i=0}^n\frac{1}{1+k_i}
= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln\tan\left(\frac{\varphi_n^G}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\frac{\sqrt{\prod_{i=0}^n k_n}}{2^n k}
= \varphi_{-\infty}^G\prod_{n=1}^\infty\left(1+k_{-n}\right)
= \varphi_{-\infty}^G \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n k_{-n}}{k\sqrt{\prod_{i=1}^{n} k_{-i}}}
</math>{{Note|nom=note1}}
où <math>\varphi_\infty^L</math>, <math>\varphi_{-\infty}^L</math>, <math>\varphi_\infty^G</math> et <math>\varphi_{-\infty}^G</math> sont les valeurs asymptotiques de l'amplitude transformée. On remarquera que <math>\varphi_{-n}^L</math> double à chaque itération lorsque <math>n \to \infty</math><ref group="A">[https://archive.org/details/ellipticintegral00hancuoft/page/68/mode/2up?view=theater page 68]</ref>.

Les convergences de <math>k_n</math> et <math>k_{-n}</math> sont quadratiques : <math>-\lg\left({1-k_n}\right)</math> et <math>-\lg k_{-n}</math> doublent à peu près à chaque itération, ce qui signifie que peu d'itérations suffisent : <math>k=0{,}1\Rightarrow 1-k_5<10^{-14}</math>, <math>k=10^{-100}\Rightarrow 1-k_{11}<10^{-14}</math>, <math>k=0{,}9\Rightarrow k_{-5}<10^{-14}</math> et <math>k=1-10^{-14}\Rightarrow k_{-8}<10^{-14}</math>.

L'intégrale elliptique complète de première espèce est<ref>G.N. Watson, [https://books.google.de/books?id=QhbrBwAAQBAJ&pg=PA258&lpg=PA258&dq=G.N.+Watson+The+Marquis+and+the+Land-Agent;+A+Tale+of+the+Eighteenth+Century&source=bl&ots=MIQJrhIxWC&sig=c_KRKW58xmLesup-aoyc2IXkkCI&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjE08nDxZHNAhUEvhQKHdcECqoQ6AEIJTAC#v=onepage&q=G.N.%20Watson%20The%20Marquis%20and%20the%20Land-Agent%3B%20A%20Tale%20of%20the%20Eighteenth%20Century&f=false ''The Marquis and the Land-Agent; A Tale of the Eighteenth Century''], Mathematical Gazette '''17''', 5-17 (1934). Foredrag for the British Mathematical Association, 1933. Gjengitt i J.J. Berggren, J. Borwein and P. Borwein, ''Pi: A Source Book'', Springer-Verlag, New York (2004). {{ISBN|978-1-4419-1915-1}}.</ref> :
:<math>K(k) = F\left(\frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1+k_{-1}}{2}F\left(\pi,k_{-1}\right) = \left(1+k_{-1}\right)K\left(k_{-1}\right) = (1 + k_{-1})(1 + k_{-2})K\left(k_{-2}\right) =  \frac{\pi}{2}\prod_{n=1}^\infty (1 + k_{-n})</math>

=== Transformation de Landen du nom elliptique ===
On a<ref>[https://paramanands.blogspot.com/2011/01/elliptic-functions-landens-transformation.html Elliptic Functions: Landen's Transformation]</ref> :
:<math>
K\left(k_{n+1}\right) = \left(1+k_n\right) K\left(k_n\right)
\Rightarrow
K\left(\frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right) = \left(1+k_n\right) K\left(k_n\right)
\Rightarrow
K\left(\frac{2\sqrt{k_n'}}{1+k_n'}\right) = \left(1+k_n'\right) K\left(k_n'\right)
\Rightarrow
K\left(k_{n-1}'\right) = \left(1+k_n'\right) K\left(k_n'\right)
\Rightarrow
</math>
:<math>
K\left(k_n'\right)
= \left(1+k_{n+1}'\right) K\left(k_{n+1}'\right)
</math>
:<math>
\Rightarrow
\frac{K\left(k'_n\right)}{K\left(k_n\right)}
= 2 \frac{K\left(k_{n+1}'\right)}{K\left(k_{n+1}\right)}
</math>
:<math>
\Rightarrow
q(k_n)^2 = q\left(k_{n-1}\right)
</math>

== Transformations de Landen des intégrales elliptiques de deuxième espèce ==

=== Transformation de Landen ===
==== Démonstration ====
On pose (avec <math>a > b</math>)<ref group="A">[https://archive.org/details/ellipticintegral00hancuoft/page/74/mode/2up?view=theater page 74]</ref>{{note|La démonstration sans <math>a_n</math>, <math>b_n</math> et <math>c_n</math>, mais avec <math>k_n</math> paraît plus difficile. Les [[Intégrale elliptique#Avec des intégrales de Bulirsch|intégrales de Bulirsch]] paraissent avoir un avantage. De plus, à notre époque, les [[Intégrale elliptique#Avec des formes symétriques de Carlson|formes symétriques de Carlson]] ont supplanté les [[Intégrale elliptique#Formes canoniques|formes de Legendre]].}} :
:<math>
\begin{cases}
\displaystyle F\left(a,b,\varphi\right) = \int_0^\varphi \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}
\\[4pt]
\displaystyle E\left(a,b,\varphi\right) = \int_0^\varphi \sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\,\mathrm{d}\theta
\end{cases}
</math> et <math>
\begin{cases}
a_{n-1} = \frac{a_n + b_n}{2}
\\
b_{n-1} = \sqrt{a_n b_n}
\\
c_{n-1} = \frac{a_n - b_n}{2}
\end{cases}
</math>

Le module devient <math>k_n = \sqrt{1-\left(\frac{b_n}{a_n}\right)^2} = \frac{c_n}{a_n}</math>, si bien que <math>k_{n-1} = \frac{a_n - b_n}{a_n + b_n}</math>. On a <math>a_n^2 = b_n^2 + c_n^2</math>. <math>a_{-1}</math> et <math>b_{-1}</math> sont respectivement la [[moyenne arithmétique]] et [[moyenne géométrique|géométrique]] de <math>a</math> et <math>b</math>. Si la transformation est itérée plusieurs fois, alors les paramètres <math>a_{-i}</math> et <math>b_{-i}</math> convergent très rapidement vers une valeur commune, même s’ils sont initialement d’ordres de grandeur différents. La valeur limite est appelée [[moyenne arithmético-géométrique]] de <math>a</math> et <math>b</math> et notée <math>\operatorname{AGM}(a,b)</math> ou <math> M(a,b)</math>. On a alors <math>a_{-\infty} = b_{-\infty} = \operatorname{AGM}\left(a,b\right)</math>. On a :
:<math>
\frac{2}{1+k_{n-1}} \frac{\mathrm{d}\theta_n}{\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta_n}} = {\mathrm{d}\theta_{n-1}\over\sqrt{1-k_{n-1}^2\sin^2\theta_{n-1}}}
\Rightarrow
\frac{2\mathrm{d}\theta_n}{\sqrt{a_n^2\cos^2\theta_n + b_n^2\sin^2\theta_n}} = \frac{\mathrm{d}\theta_{n-1}}{\sqrt{a_{n-1}^2\cos^2\theta_{n-1} + b_{n-1}^2 \sin^2\theta_{n-1}}}
</math>

et :
:<math>
\cos(2\theta_n^L) = -k_{n-1}\sin^2\theta_{n-1}^L+\cos\theta_{n-1}^L\sqrt{1-k_{n-1}^2\sin^2\theta_{n-1}^L}
</math>
:<math>
\Rightarrow
\begin{cases}
2\cos^2\theta_n^L = 1-k_{n-1}\sin^2\theta_{n-1}^L+\cos\theta_{n-1}^L\sqrt{1-k_{n-1}^2\sin^2\theta_{n-1}^L}
\\
2\sin^2\theta_n^L = 1+k_{n-1}\sin^2\theta_{n-1}^L-\cos\theta_{n-1}^L\sqrt{1-k_{n-1}^2\sin^2\theta_{n-1}^L}
\end{cases}
</math>
:<math>
\begin{align}
\Rightarrow
2a_n^2\cos^2\theta_n^L + 2b_n^2\sin^2\theta_n^L
&= \left(a_n^2 + b_n^2\right)\left(\cos^2\theta_{n-1}^L + \sin^2\theta_{n-1}^L\right) - \left(a_n^2 - b_n^2\right) k_{n-1} \sin^2\theta_{n-1}^L + \left(a_n^2 - b_n^2\right) \cos\theta_{n-1}^L \sqrt{1-k_{n-1}^2\sin^2\theta_{n-1}^L}
\\
&= \left(a_n^2 + b_n^2\right)\cos^2\theta_{n-1}^L + 2 a_n  b_n \sin^2\theta_{n-1}^L + \left(a_n - b_n\right) \cos\theta_{n-1}^L \sqrt{\left(a_n + b_n\right)^2-\left(a_n - b_n\right)^2\sin^2\theta_{n-1}^L}
\\
&= 4\left(a_{n-1}^2 \cos^2\theta_{n-1}^L + b_{n-1}^2 \sin^2\theta_{n-1}^L\right) -2 b_{n-1}^2
+4 c_{n-1} \cos\theta_{n-1}^L \sqrt{a_{n-1}^2 \cos^2\theta_{n-1}^L + b_{n-1}^2 \sin^2\theta_{n-1}^L}
\end{align}
</math>

En intégrant, on obtient :
:<math>
F\left(a_n,b_n,\varphi_n^L\right)
= \frac{1}{2} F\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi_{n-1}^L\right)
= \frac{1}{2^m} F\left(a_{n-m},b_{n-m},\varphi_{n-m}^L\right)
</math>
:<math>
E\left(a_n,b_n,\varphi_n^L\right) = E\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi_{n-1}^L\right) - \frac{b_{n-1}^2}{2}F\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi_{n-1}^L\right) + c_{n-1}\sin\varphi_{n-1}^L
</math>
:<math>
\Rightarrow
E\left(\varphi_n^L,k_n\right) = \frac{a_{n-1}}{a_n}E\left(\varphi_{n-1}^L,k_{n-1}\right) - \frac{b_{n-1}^2}{2 a_n a_{n-1}}F\left(\varphi_{n-1}^L,k_{n-1}\right) + \frac{c_{n-1}}{a_n}\sin\varphi_{n-1}^L
</math>
:<math>
\Rightarrow
E\left(\varphi_n^L,k_n\right) = \frac{1+k_n'}{2}E\left(\varphi_{n-1}^L,k_{n-1}\right) - \frac{k_n'}{1+k_n'}F\left(\varphi_{n-1}^L,k_{n-1}\right) + \frac{1-k_n'}{2}\sin\varphi_{n-1}^L
</math>
:<math>
\Rightarrow
E\left(\varphi_n^L,k_n\right)
= \frac{1}{1+k_{n-1}} E\left(\varphi_{n-1}^L,k_{n-1}\right) -\frac{1-k_{n-1}}{2} F\left(\varphi_{n-1}^L,k_{n-1}\right) + \frac{k_{n-1}}{1+k_{n-1}} \sin\varphi_{n-1}^L
</math>

On fera attention comme précédemment si on utilise les notations avec un point-virgule.

==== Itération ====
:<math>
\begin{align}
E\left(a,b,\varphi\right) - a^2 F\left(a,b,\varphi\right)
&= E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) - a_{-1}^2 F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) + \left(a_{-1}^2-\frac{a^2}{2}-\frac{b_{-1}^2}{2}\right) F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) + c_{-1}\sin\varphi_{-1}^L
\\
&= E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) - a_{-1}^2 F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) - a_{-1} c_{-1} F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right)  + c_{-1}\sin\varphi_{-1}^L
\\
&= E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) - a_{-1}^2 F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi_{-1}^L\right) - 2 a_{-1} c_{-1} F\left(a,b,\varphi\right)  + c_{-1}\sin\varphi_{-1}^L
\\
&= E\left(a_{-2},b_{-2},\varphi_{-2}^L\right) - a_{-2}^2 F\left(a_{-2},b_{-2},\varphi_{-2}^L\right) - 2 a_{-1} c_{-1} F\left(a,b,\varphi\right) - 4 a_{-2} c_{-2} F\left(a,b,\varphi\right) + c_{-1}\sin\varphi_{-1}^L + c_{-2}\sin\varphi_{-2}^L
\\
&= \operatorname{AGM}\left(a,b\right) \varphi_{-\infty}^L - \operatorname{AGM}\left(a,b\right) \varphi_{-\infty}^L - \sum_{n = 1}^{\infty} 2^n a_{-n} c_{-n} F\left(a,b,\varphi\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{-n}\sin\varphi_{-n}^L
\\
&= - \sum_{n = 1}^{\infty} 2^n a_{-n} c_{-n} F\left(a,b,\varphi\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{-n}\sin\varphi_{-n}^L
\end{align}
</math>
:<math>
E\left(a,b,\varphi\right)
= \left[a^2 - \sum_{n = 1}^{\infty} 2^n a_{-n} c_{-n} \right] F\left(a,b,\varphi\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{-n}\sin\varphi_{-n}^L
</math>
:<math>
\begin{align}
E\left(\varphi,k\right)
&= \left[1 - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n a_{-n} c_{-n}}{a^2} \right] F\left(\varphi,k\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{a}\sin\varphi_{-n}^L
\\
&= \left[1 - \tfrac{2 a_{-1}c_{-1}}{a^2} - \tfrac{2 a_{-1}c_{-1}}{a^2}\tfrac{2 a_{-2}c_{-2}}{a_{-1}c_{-1}} - \tfrac{2 a_{-1}c_{-1}}{a^2}\tfrac{2 a_{-2}c_{-2}}{a_{-1}c_{-1}}\tfrac{2 a_{-3}c_{-3}}{a_{-2}c_{-2}} - \cdots\right] F\left(\varphi,k\right)
+ \tfrac{c_{-1}}{a} \sin\varphi_{-1}^L + \tfrac{a_{-1}}{a}\tfrac{c_{-2}}{a_{-1}} \sin\varphi_{-2}^L + \tfrac{a_{-1}}{a}\tfrac{a_{-2}}{a_{-1}}\tfrac{c_{-3}}{a_{-2}} \sin\varphi_{-3}^L + \cdots
\\
&= \left[1 - \tfrac{k^2}{2} \left(1 + \tfrac{k_{-1}}{2} + \tfrac{k_{-1}k_{-2}}{4} + \tfrac{k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{8} + \cdots \right)
\right] F\left(\varphi,k\right)
+ \tfrac{k_{-1}}{1 + k_{-1}} \sin\varphi_{-1}^L + \tfrac{1}{1 + k_{-1}}\tfrac{k_{-2}}{1 + k_{-2}} \sin\varphi_{-2}^L + \tfrac{1}{1 + k_{-1}}\tfrac{1}{1 + k_{-2}}\tfrac{k_{-3}}{1 + k_{-3}} \sin\varphi_{-3}^L + \cdots
\\
&= \left[1 - k \left(\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{i = 0}^{n} \frac{k_{-i}}{2^n}\right)
\right] F\left(\varphi,k\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{k_{-n}}{\prod_{i = 1}^{n} \left(1 + k_{-i}\right)}\sin\varphi_{-n}^L
\\
&= \left[1 - k \left(\tfrac{k}{2} + \tfrac{k\,k_{-1}}{4} + \tfrac{k\,k_{-1}k_{-2}}{8} + \tfrac{k\,k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{16} + \cdots \right)
\right] F\left(\varphi,k\right)
+ k_{-1}\tfrac{k}{2\sqrt{k_{-1}}} \sin\varphi_{-1}^L + k_{-2}\tfrac{k}{2\sqrt{k_{-1}}}\tfrac{k_{-1}}{2\sqrt{k_{-2}}} \sin\varphi_{-2}^L + k_{-3}\tfrac{k}{2\sqrt{k_{-1}}}\tfrac{k_{-1}}{2\sqrt{k_{-2}}}\tfrac{k_{-2}}{2\sqrt{k_{-3}}} \sin\varphi_{-3}^L + \cdots
\\
&= \left[1 - k \left(\tfrac{k}{2} + \tfrac{k\,k_{-1}}{4} + \tfrac{k\,k_{-1}k_{-2}}{8} + \tfrac{k\,k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{16} + \cdots \right)
\right] F\left(\varphi,k\right)
+ k \left[\tfrac{\sqrt{k_{-1}}}{2} \sin\varphi_{-1}^L + \tfrac{\sqrt{k_{-1}k_{-2}}}{4} \sin\varphi_{-2}^L + \tfrac{\sqrt{k_{-1}k_{-2}k_{-3}}}{8} \sin\varphi_{-3}^L + \cdots\right]
\\
&= \left[1 - k \left(\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{i = 0}^{n} \frac{k_{-i}}{2^n}\right)
\right] F\left(\varphi,k\right)
+ k \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{\prod_{i = 1}^{n} k_{-i}}}{2^n} \sin\varphi_{-n}^L
\end{align}
</math>

L'intégrale elliptique complète de deuxième espèce est<ref group="A">[https://archive.org/details/ellipticintegral00hancuoft/page/80/mode/2up?view=theater page 80]</ref> :
:<math>
E\left(k\right)
= \left[1 - k \left(\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{i = 0}^{n} \frac{k_{-i}}{2^n}\right)
\right] K\left(k\right)
</math>

==== Moyenne arithmético-géométrique ====
On remarque une formule de Gauss :
:<math>
F\left(a,b,\pi/2\right) = \frac{1}{2} F\left(a_{-1},b_{-1},\pi\right) = F\left(a_{-1},b_{-1},\pi/2\right) = F\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\pi/2\right)
</math>

Donc, on a :
:<math>
F\left(a,b,\pi/2\right) = \frac{\pi}{2 \operatorname{AGM}(a,b)} = \frac{1}{a}K\left(\sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}\right) = \frac{2}{a+b}K\left(\frac{a-b}{a+b}\right)
\Leftrightarrow
\operatorname{AGM}(a,b) = \frac{\pi a}{2 K\left(\sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}\right)} = \frac{\pi\left(a+b\right)}{4 K\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}
</math>

En opérant <math>a\rightarrow 1</math> et <math>b\rightarrow k</math>, on a :
:<math>
K(k) = \frac{\pi }{2\operatorname{AGM}(1,k')} = \frac{\pi}{2\operatorname{AGM}(1+k,1-k)}
</math>

=== Transformation de Gauss ===
{{...}}
On a aussi une transformation de Gauss des intégrales elliptiques de deuxième espèce<ref name="DLMF">Transformations de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques des trois espèces {{DLMF|id=19.8}}</ref>.
:<math>
E\left(\varphi_{n+1}^G,k_{n+1}\right) = \left(1+k_{n+1}'\right) E\left(\varphi_n^G,k_n\right) - k_{n+1}' F\left(\varphi_{n+1}^G,k_{n+1}\right) + \left(1 - \sqrt{1-k_{n+1}^2\sin^2\varphi_{n+1}}\right) \cot\varphi_{n+1}
</math>

ce qui donne :
:<math>
E\left(\varphi_n^G,k_n\right) = \left(1+k_n'\right) E\left(\varphi_{n-1}^G,k_{n-1}\right) - k_n' F\left(\varphi_n^G,k_n\right) + \left(1 - \sqrt{1-k_n^2\sin^2\varphi_n}\right) \cot\varphi_n
</math>

== Transformations de Landen des intégrales elliptiques de troisième espèce ==
On a aussi une transformation de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques de troisième espèce<ref>{{Ouvrage|prénom1=Louis V.|nom1=Osmania University|nom2=Digital Library Of India|titre=On The Numerical|éditeur=At The University Press|date=1924|lire en ligne=http://archive.org/details/onthenumerical032686mbp|consulté le=2024-02-27}}</ref>{{,}}<ref name="DLMF"/>.

=== Transformation de Landen ===
{{...}}

=== Transformation de Gauss ===
{{...}}

== Transformation de Landen des fonctions elliptiques jacobiennes ==
Le module elliptique  initial est <math>0<k<1</math>. La transformée de Landen croissante augmente le paramètre et la transformée de Landen décroissante diminue le paramètre. En répétant la transformation de Landen croissante, le paramètre converge vers 1 et la fonction elliptique se rapproche d'une [[fonction hyperbolique]]. En répétant la transformation de Landen décroissante, le paramètre converge vers 0 et la fonction elliptique se rapproche d'une [[fonction trigonométrique]]. Cette propriété rend la transformée de Landen utile pour les calculs numériques de fonctions elliptiques. On utilise ici la transformation de Landen pour la transformation croissante des fonctions elliptiques jacobiennes et la transformation de Gauss pour leur transformation décroissante.

=== Démonstration de la transformation croissante ===
:<math>
\operatorname{sn}\left(u_n,k_n\right)
= \frac{\frac{2}{1+k_n}\operatorname{sn}\left(u_{n+1},k_{n+1}\right)\operatorname{cn}\left(u_{n+1},k_{n+1}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)^2\operatorname{sn}^2\left(u_{n+1},k_{n+1}\right)}}
= \frac{\frac{2}{1+k_n}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}{\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}
</math>

:<math>\operatorname{cn}\left(u_n,k_n\right)=\sqrt{1-\operatorname{sn}^2\left(u_n,k_n\right)}=\frac{1-\tfrac{2}{1+k_n}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}{\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}=\frac{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)-\tfrac{1-k_n}{1+k_n}}{\tfrac{2k_n}{1+k_n}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}</math>

:<math>\operatorname{dn}\left(u_n,k_n\right)=\sqrt{1-k_n^2\operatorname{sn}^2\left(u_n,k_n\right)}=\frac{1-\tfrac{2k_n}{1+k_n}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}{\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}=\frac{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)+\tfrac{1-k_n}{1+k_n}}{\tfrac{2}{1+k_n}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k_n}{2}u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right)}</math>

=== Démonstration de la transformation décroissante ===
En opérant les transformations <math>u_n\rightarrow\frac{u_n}{1+k_n}</math> et <math>k_n\rightarrow\frac{1-k_n'}{1+k_n'}</math> au sein de <math>\operatorname{sn}\left[(1+k_n)u_n,\tfrac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}\right] = \operatorname{sn}\left(u_{n+1},k_{n+1}\right) = \frac{\left(1+k_n\right)\operatorname{sn}\left(u_n,k_n\right)}{1+k_n\operatorname{sn}^2\left(u_n,k_n\right)}</math>, on a :

:<math>
\operatorname{sn}\left(u_n,k_n\right)
= \frac{\tfrac{2}{1+k_n'}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}{1+\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}
</math>

:<math>
\operatorname{cn}\left(u_n,k_n\right)
= \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\left(u_n,k_n\right)}
= \frac{\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}{1+\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}
</math>

:<math>
\operatorname{dn}\left(u_n,k_n\right)
= \sqrt{1-k_n^2\operatorname{sn}^2\left(u_n,k_n\right)}
= \frac{1-\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}{1+\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}
= \frac{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)-\tfrac{2k_n'}{1+k_n'}}{\tfrac{2}{1+k_n'}-\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k_n'}{2}u_n,\tfrac{1-k_n'}{1+k_n'}\right)}
</math>

=== Conversion de nombres imaginaires ===
La transformation de Landen croissante et la transformation de Landen décroissante sont alternées par la transformation imaginaire.

:<math>
\operatorname{sn}\left(\mathrm{i}u,k'\right)=\mathrm{i}\operatorname{sc}\left(u,k\right)=\frac{\mathrm{i}\operatorname{sn}\left(u,k\right)}{\operatorname{cn}\left(u,k\right)}
</math><ref group="A" name="page 29">[https://archive.org/details/ellipticintegral00hancuoft/page/28/mode/2up?view=theater page 29]</ref>

En utilisant la transformation de Landen croissante, on a :

:<math>
\frac{\mathrm{i}\operatorname{sn}\left(u,k\right)}{\operatorname{cn}\left(u,k\right)}
= \frac{\frac{\tfrac{2\mathrm{i}}{1+k}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}{\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}}
{\frac{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}}{\tfrac{2k}{1+k}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}}
= \frac{\tfrac{4\mathrm{i}k}{(1+k)^2}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}
{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}}
</math>

En utilisant la transformation imaginaire, on a<ref group="A" name="page 29" /> :

:<math>
\operatorname{sn}\left(\mathrm{i}u,k'\right)
= \frac{\tfrac{4k}{(1+k)^2}\operatorname{sc}\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)\operatorname{nc}\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}{\operatorname{dc}^2\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}}
= \frac{\tfrac{4k}{(1+k)^2}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}\operatorname{cn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}
= \frac{\tfrac{2}{1+k}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}{1+\tfrac{1-k}{1+k}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}\mathrm{i}u,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}
</math>

En opérant <math>\mathrm{i}u\rightarrow u</math> et <math>k'\rightarrow k</math>, on a :
:<math>\begin{align}
\operatorname{sn}\left(u,k\right)
&=\frac{\tfrac{2}{1+k'}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)}{1+\tfrac{1-k'}{1+k'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)}
\end{align}</math>

Il s'agit d'une transformation de Landen décroissante.

=== Transformations de degré supérieur ===
{{...}}
Les transformations de modules suivantes peuvent être effectuées à l'aide des ''Amplitudinis Sine'' et des ''Amplitudinis Delta'' :
:<math>
\begin{align}
K(k) &= \frac{3\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K(k),k\right]}{2-\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K(k),k\right]}K\left(k^3\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K(k),k\right]^4\right) \\
& = \frac{5}{1 + 2\operatorname{dn}\left[\tfrac{2}{5}K(k),k\right] + 2\operatorname{dn}\left[\tfrac{4}{5}K(k),k\right]} K\left(k^5\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{5}K(k),k\right]^4\operatorname{sn}\left[\tfrac{3}{5}K(k),k\right]^4\right)\\
& = \frac{7}{1 + 2\operatorname{dn}\left[\tfrac{2}{7}K(k),k\right] + 2\operatorname{dn}\left[\tfrac{4}{7}K(k),k\right] + 2\operatorname{dn}\left[\tfrac{6}{7}K(k),k\right]} K\left(k^7\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{7}K(k),k\right]^4\operatorname{sn}\left[\tfrac{3}{7}K(k),k\right]^4\operatorname{sn}\left[\tfrac{5}{7}K(k),k\right]^4\right)
\end{align}
</math>
Ici, la fonction sinus de Jacobi <math>\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K(k),k\right] </math> est solution de l'équation <math>k^2x^4-2k^2x^3+2x-1=0</math>.

Globalement, la formule suivante s'applique à toutes les valeurs <math>n \in \N</math> et <math>0 \leqslant k \leqslant 1</math><ref>''Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity'', frères Borwein</ref> :
:<math>
K(k) = \frac{n}{\sum_{a = 1}^{n} \operatorname{dn}\left[\frac{2a}{n}K(k),k\right]} K\left(k^n\prod_{a=1}^{n}\operatorname{sn}\left[\frac{2a-1}{n}K(k),k\right]^2\right)
</math>
:<math>
F\left(\arctan x,k\right)
= \frac{1}{\sum_{a = 1}^{n} \operatorname{dn}\left[\frac{2a}{n}K(k),k\right]}F\left(\sum_{a = 1}^{n} \arctan\left\{\operatorname{dn}\left[\frac{2a}{n}K(k),k\right]x\right\},k^n\prod_{a=1}^{n}\operatorname{sn}\left[\frac{2a-1}{n}K(k),k\right]^2\right)
</math>

Deux exemples de la transformation du troisième degré susmentionnée sont présentés ci-dessous :
:{| class="wikitable"
|<math>
\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right)^2 \left({\color{navy}\tfrac{2}{3}}\right)^4-2\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right)^2 \left({\color{navy}\tfrac{2}{3}}\right)^3 + 2\left({\color{navy}\tfrac{2}{3}}\right) - 1 = 0
\Leftrightarrow
x = \operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right),\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right]
= {\color{navy}\tfrac{2}{3}}
</math>

<math>
K\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right)
= \frac{3\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right),\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right]}{2-\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right),\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right]} \; K\left\{k^3\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right),\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right]^4\right\}
= \tfrac{3}{2}K\left[\left(\tfrac{3\sqrt{6}}{8}\right)^3\left({\color{navy}\tfrac{2}{3}}\right)^4\right]
= \tfrac{3}{2}K\left(\tfrac{\sqrt{6}}{16}\right)
</math>
|}
:{| class="wikitable"
|<math>
\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right)^2 \left({\color{navy}\tfrac{4}{5}}\right)^4-2\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right)^2 \left({\color{navy}\tfrac{4}{5}}\right)^3 + 2\left({\color{navy}\tfrac{4}{5}}\right) - 1 = 0
\Leftrightarrow
x = \operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right),\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right)\right] = {\color{navy}\tfrac{4}{5}}
</math>

<math>
K\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right)
= \frac{3\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right),\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right]}{2-\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right),\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right]} \; K\left\{k^3\operatorname{sn}\left[\tfrac{1}{3}K\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right),\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right]^4\right\}
= 2K\left[\left(\tfrac{5\sqrt{10}}{16}\right)^3\left({\color{navy}\tfrac{4}{5}}\right)^4\right]
= 2K\left(\tfrac{\sqrt{10}}{8}\right)
</math>
|}

En les comparant selon un motif en forme de X, des modules elliptiques complémentaires de Pythagore deviennent visibles des deux côtés de l'échelle de l'équation :
:{| class="wikitable"
|<math>
K\left({\color{limegreen}\tfrac{3\sqrt{6}}{8}}\right) = \tfrac{3}{2}K\left({\color{navy}\tfrac{\sqrt{6}}{16}}\right)
</math>

<math>
K\left({\color{navy}\tfrac{5\sqrt{10}}{16}}\right) = 2K\left({\color{limegreen}\tfrac{\sqrt{10}}{8}}\right)
</math>
|}

Les modules de même couleur sont complémentaires les uns des autres en termes pythagoriciens.

== Récapitulatif ==

=== Modules parent et enfant ===
{| class="wikitable centre"
|+Modules parent et enfant
|-
|<math>
k_{n+1}
= \frac{2\sqrt{k_n}}{1+k_n}
= \frac{2\sqrt[4]{1-k_n'^2}}{1+\sqrt{1-k_n'^2}}
</math>
|<math>
k_{n+1}'
= \frac{1-k_n}{1+k_n}
= \frac{1-\sqrt{1-k_n'^2}}{1+\sqrt{1-k_n'^2}}
</math>
|-
|<math>
k_{n-1}
= \frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
= \frac{1-k_n'}{1+k_n'}
</math>
|<math>
k_{n-1}'
= \frac{2\sqrt[4]{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
= \frac{2\sqrt{k_n'}}{1+k_n'}
</math>
|}

=== Intégrales elliptiques de première espèce ===
{| class="wikitable centre"
|+Transformations de Landen des intégrales elliptiques incomplètes de première espèce
!
!Transformation croissante
!Transformation décroissante
|-
|'''Landen'''
|<math>\textstyle
F\left(\varphi,k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\arcsin\sqrt{\frac{1+k\sin^2\varphi-\cos\varphi\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}{2}},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)
</math>
|<math>\textstyle
F\left(\varphi,k\right)=\frac{1}{1+k'}F\left(\arccos\frac{1-\left(1+k'\right)\sin^2\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\frac{1-k'}{1+k'}\right)
</math>
|-
|'''Gauss'''
|<math>\textstyle
F\left(\varphi,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\arcsin\frac{(1+k)\sin\varphi}{1+k\sin^2\varphi},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)
</math>
|<math>\textstyle
F\left(\varphi,k\right)=\frac{2}{1+k'}F\left(\arcsin\frac{\left(1+k'\right)\sin\varphi}{1+\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\frac{1-k'}{1+k'}\right)
</math>
|}

:<math>
F\left(\varphi,k\right)
= \ln\tan\left(\frac{\varphi_\infty^L}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\prod_{n=0}^\infty\frac{2}{1+k_n}
= \ln\tan\left(\frac{\varphi_\infty^L}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\frac{\sqrt{\prod_{n=0}^\infty k_n}}{k}
= \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_{-n}^L\prod_{i=1}^n\frac{1+k_{-i}}{2}
= \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_{-n}^L \frac{k_{-n}}{k\sqrt{\prod_{i=1}^{n} k_{-i}}}
</math>

:<math>
F\left(\varphi,k\right)
= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln\tan\left(\frac{\varphi_n^G}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\prod_{i=0}^n\frac{1}{1+k_i}
= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln\tan\left(\frac{\varphi_n^G}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\frac{\sqrt{\prod_{i=0}^n k_n}}{2^n k}
= \varphi_{-\infty}^G\prod_{n=1}^\infty\left(1+k_{-n}\right)
= \varphi_{-\infty}^G \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n k_{-n}}{k\sqrt{\prod_{i=1}^{n} k_{-i}}}
</math>

{| class="wikitable gauche"
|+Transformations de Landen des intégrales elliptiques complètes de première espèce
!
!Transformation croissante
!Transformation décroissante
|-
|'''Landen'''
|<math>\textstyle
K\left(k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\arcsin\sqrt{\frac{1+k}{2}},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)
</math>
|<math>\textstyle
K\left(k\right)=\frac{2}{1+k'}K\left(\frac{1-k'}{1+k'}\right)
</math>
|-
|'''Gauss'''
|<math>\textstyle
K\left(k\right)=\frac{1}{1+k}K\left(\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)
</math>
|<math>\textstyle
K\left(k\right)=\frac{2}{1+k'}K\left(\frac{1-k'}{1+k'}\right)
</math>
|}
<Br/>

{| class="wikitable droite"
|+Représentation par produit infini
!
!Transformation décroissante
|-
|'''Gauss'''
|<math>
K(k) = \frac{\pi}{2}\prod_{n=0}^{\infty} \frac{2}{1+k_{-n}'} = \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1 + k_{-n}\right)
</math>
|}
<Br/><Br/><Br/><Br/><Br/><Br/><Br/>
{| class="wikitable centre"
|+Quotient <math>K'/K</math>
|<math>
\frac{K\left(k'_n\right)}{K\left(k_n\right)}
= 2 \frac{K\left(k_{n+1}'\right)}{K\left(k_{n+1}\right)}
</math>
|}

=== Intégrales elliptiques de deuxième espèce ===
{| class="wikitable centre"
|+Transformations de Landen des intégrales elliptiques incomplètes de deuxième espèce
!
!Transformation décroissante
|-
|'''Landen'''
|<math>\textstyle
E\left(\varphi,k\right)
= \frac{1+k'}{2} E\left(\arccos\frac{1-\left(1+k'\right)\sin^2\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\frac{1-k'}{1+k'}\right)
-\frac{k'}{1+k'} F\left(\arccos\frac{1-\left(1+k'\right)\sin^2\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\frac{1-k'}{1+k'}\right)
+ \frac{k^2 \sin\left(2\varphi\right)}{4\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}
</math>
|}

:<math>
E\left(\varphi,k\right)
= \left[1 - \frac{k^2}{2} \left(\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{i = 1}^{n} \frac{k_{-i}}{2^n}\right)
\right] F\left(\varphi,k\right)
+ k \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{\prod_{i = 1}^{n} k_{-i}}}{2^n} \sin\varphi_{-n}^L
</math>

{| class="wikitable centre"
|+Transformations de Landen des intégrales elliptiques complètes de deuxième espèce
!
!Transformation décroissante
|-
|'''Landen'''
|<math>\textstyle
E\left(k\right)
= \left(1+k'\right) E\left(\frac{1-k'}{1+k'}\right)
-\frac{2k'}{1+k'} K\left(\frac{1-k'}{1+k'}\right)
</math>
|}

=== Fonctions elliptiques jacobiennes de base ===
{| class="wikitable centre"
|+Transformations de Landen d'une fonction elliptique
!Transformation croissante (Landen)
!Transformation décroissante (Gauss)
|-
|<math>
\operatorname{sn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{2}{1+k}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}{\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}
</math>
|<math>
\operatorname{sn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{2}{1+k'}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)}{1+\tfrac{1-k'}{1+k'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)}
</math>
|-
|<math>
\operatorname{cn}\left(u,k\right)=\frac{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}}{\tfrac{2k}{1+k}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}</math>
|<math>
\operatorname{cn}\left(u,k\right)=\frac{\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)}{1+\tfrac{1-k'}{1+k'}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)}
</math>
|-
|<math>
\operatorname{dn}\left(u,k\right)=\frac{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)+\tfrac{1-k}{1+k}}{\tfrac{2}{1+k}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}</math>
|<math>
\operatorname{dn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{1-k'}{1+k'}-\left[1-\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)\right]}{\tfrac{1-k'}{1+k'}+\left[1-\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k'}{2}u,\tfrac{1-k'}{1+k'}\right)\right]}
</math>
|}

== Références ==
{{Traduction/Référence
|lang1=ja|art1=ランデン変換|id1=96292090
}}
{{Traduction/Référence
|lang1=no|art1=Landens_transformasjon|id1=23017960
}}
{{Traduction/Référence
|lang1=en|art1=Landen's_transformation|id1=1199705420
}}
{{Traduction/Référence
|lang1=ru|art1=Преобразование_Ландена|id1=107844170
}}
{{Traduction/Référence
|lang1=de|art1=Elliptische_Integrale|id1=240365915
}}

A : [https://archive.org/details/ellipticintegral00hancuoft/mode/2up Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)]
<references group="A"/>

Autres références :
{{Références}}

== Liens externes ==
* Ouvrages consultables en ligne :
** soit {{ouvrage |langue=fr |prénom=Adrien-Marie|nom=Legendre|année=1825|titre=Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes|lire en ligne=https://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/UPUQM2CQ/pageimg&start=1&pn=9&mode=imagepath}}
*: soit {{ouvrage |langue=fr |prénom=Adrien-Marie|nom=Legendre|année=1825|titre=Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110147r/f1.item.zoom}}
** {{ouvrage|langue=en|prénom=Harris|nom=Hancock|année=1917|titre=Elliptic integrals|lire en ligne=https://archive.org/details/ellipticintegral00hancuoft/mode/2up}}
** {{ouvrage |lang=en |auteur=Louis V. King |lire en ligne=https://archive.org/details/onthenumerical032686mbp |titre=On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals |éditeur=Cambridge University Press |année=1924}}
** {{ouvrage |lang=en |titre=An elementary treatise on elliptic functions |auteur=Arthur Cayley |lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995998.image |année=1876}}
** {{ouvrage|langue=en|prénom=Arthur L.|nom= Baker|année=1890|titre=Elliptic Functions|lire en ligne=https://archive.org/details/ellipticfunction31076gut/page/n1/mode/2up?view=theater}}
** {{ouvrage|langue=en|prénom=L.M.|nom=Milne-Thomson|titre=Jacobian Elliptic Functions Tables|année=1950|lire en ligne=https://www.dbraulibrary.org.in/RareBooks/Jacobian%20elliptic%20function%20tables.pdf}}
** {{pdf}} {{ouvrage |lang=en |auteur1={{lien |trad=L. M. Milne-Thomson |fr=Louis Melville Milne-Thomson}} |éditeur=Dover Publications |titre=Jacobian Elliptic Function Tables |lire en ligne=https://www.dbraulibrary.org.in/RareBooks/Jacobian%20elliptic%20function%20tables.pdf}}
* Autres liens :
** {{mathworld|nom_url=LandensTransformation |titre=Landen's Transformation}}
** {{mathworld|nom_url=GausssTransformation |titre=Gauss's Transformation}}
** {{Abramowitz et Stegun}}
** {{DLMF|id=19.8#ii}}
** {{lien web |lang=en |url=https://paramanands.blogspot.no/2011/01/elliptic-functions-landens-transformation.html#.V21aEKsz7zJ |titre=Elliptic Functions: Landen's Transformation |site=Paramanand's Math Notes}}
** {{article |lang=en |auteur1=Gert Almkvist |auteur2=Bruce Berndt |année=1988 |titre=Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary |périodique=The American Mathematical Monthly |volume=95 |<!--année=7 |-->pages={{p.|585-608}} |doi=10.1080/00029890.1988.11972055}}
** {{ouvrage |lang=en |titre=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers |date=1967 |auteur1=Granino Korn |auteur2=Theresa Korn |éditeur=McGraw Hill Higher Education |isbn=978-0070353701}} 

{{Palette|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|analyse|mathématiques}}

[[Catégorie:Intégrale|Elliptique]]
[[Catégorie:Fonction elliptique]]
[[Catégorie:Fonction spéciale]]