Voir la source de Transformation de Möbius

{{Confusion|transformée de Möbius}}
En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[géométrie]], les '''transformations de [[August Ferdinand Möbius|Möbius]]''' sont de manière générale des [[automorphisme]]s du [[compactifié d'Alexandrov]] de <math>\R^n</math> noté <math>\widehat{\R^n}</math>, définies comme la composée d'un nombre fini d'[[#Définition générale|inversions]] par rapport à des [[hyperplan]]s ou des [[hypersphère]]s. 

En particulier, si on identifie <math>\widehat{\R^2}</math> à la [[sphère de Riemann]] <math>\widehat{\Complex}</math>, alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme :
<center><math>M : z\mapsto{az+b \over cz+d}</math></center>
avec ''a'', ''b'', ''c'' et ''d'' quatre complexes tels que ''ad – bc ''≠ 0,
la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si {{math|''z ''{{=}} ∞}} ou si {{math|''cz + d''}} = 0 :
<center><math>\text{si }c\ne0,~M(-d/c)=\infty\text{ et }M(\infty)=a/c~;~\text{si }c=0,~M(\infty)=\infty.</math></center>

== Définition générale ==

Soit ''n ''un entier naturel, on munit ℝ{{exp|''n''}} de sa structure euclidienne canonique et on définit alors les '''inversions''' de <math>\widehat{\R^n}</math> par rapport à un hyperplan ou à une hypersphère (qu'on appellera parfois plan et sphère par abus de langage) :
*pour un hyperplan <math>P(a,t)=\{x\in\R^n\mid x\cdot a=t\}\quad(a\in\R^n,t\in\R)</math>, l'inversion par rapport à {{math|''P''(''a'', ''t'')}}, notée {{math|σ{{ind|''P''(''a'', ''t'')}}}}, est la [[Réflexion (mathématiques)|réflexion]] par rapport à l'hyperplan {{math|''P''(''a'', ''t'')}} et a donc pour expression :<center><math>\sigma_{P(a,t)}(x)=\begin{cases}x-2\frac{(x\cdot a)-t}{\|a\|^2}a&\text{si }x\ne\infty,\\\infty&\text{si }x=\infty\end{cases}</math></center>
*pour une sphère <math>S(a,r)=\{x\in\R^n\mid\|x-a\|=r\}\quad(a\in\R^n,r\in\R^+),</math>, l'[[Inversion (géométrie)|inversion]] par rapport à {{math|''S''(''a'', ''r'')}}, notée {{math|σ{{ind|''S''(''a'', ''r'')}}}}, s'exprime par :<center><math>\sigma_{S(a,r)}(x)=\begin{cases}a+\frac{r^2}{\|x-a\|^2}(x-a)&\text{si }x\notin\{\infty,a\},\\a&\text{si }x=\infty,\\\infty&\text{si }x=a.\end{cases}</math></center>

On remarque que les inversions sont [[Involution (mathématiques)|involutives]] : si σ est une inversion, σ{{2}} = Id.

De plus, ces inversions sont des [[homéomorphisme]]s. 

{{Théorème|Définition|L'ensemble des transformations de Möbius, est le [[sous-groupe]] des homéomorphismes de <math>\widehat{\R^n}</math> [[Partie génératrice d'un groupe#Sous-groupe engendré par une partie|engendré par]] les inversions, c'est-à-dire l'ensemble des composées d'un nombre fini d'inversions. On le note souvent <math>\mathcal GM (\widehat{\R^n})</math>.<br />
Le groupe de Möbius <math>\mathcal M (\widehat{\R^n})</math> est l'ensemble des transformations de Möbius qui préservent l'[[orientation (mathématiques)|orientation]]. C'est un sous-groupe de <math>\mathcal GM (\widehat{\R^n})</math>.}}

== Exemples de transformations de Möbius ==

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont :

*les [[isométrie]]s de ℝ{{exp|''n''}} (par composition de ''n ''[[Réflexion (mathématiques)|réflexions]] au plus), parmi lesquelles les [[translation (géométrie)|translations]] (par composition de deux réflexions),
*les [[homothétie]]s de rapport positif (par composition de deux [[Inversion (géométrie)|inversions]] par rapport à des sphères de même centre).

Une transformation de Möbius particulière est très utile en [[géométrie hyperbolique]] : l'inversion dans ℝ{{exp|''n''+1}} par rapport à la sphère ''S''(''e''{{ind|''n''+1}}, {{sqrt|2}}) qui, restreinte à ℝ{{exp|''n''}}, correspond à la [[projection stéréographique]] de ℝ{{exp|''n''}} sur ''S{{exp|n}} = S''(0, 1) dans ℝ{{exp|''n''+1}}. C'est en fait le [[difféomorphisme]] naturel entre le demi-espace ℋ{{exp|''n''+1}} = {{nobr|<nowiki>{</nowiki> ''x ''{{!}} ''x''{{ind|''n''+1}} > 0 <nowiki>}</nowiki>}} et la boule ''B''{{exp|''n''+1}} = {{nobr|<nowiki>{</nowiki> ''x ''{{!}} ‖''x''‖ < 1 <nowiki>}</nowiki> :}} il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

La [[transformation bilinéaire]], qui associe la droite imaginaire à la sphère unité et qui est utilisée en [[traitement du signal]] pour faire le lien entre transformée en Z et transformée de Laplace, est un autre cas particulier de transformation de Möbius.

== Propriétés générales ==

Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan {{Harv|Beardon|1995}}. En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient :
{{Théorème|Propriété|Les transformations de Möbius transforment les sphères en sphères|style=display:table}}
ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important :
{{Théorème|Soit {{math|Σ}} une sphère et {{math|ϕ}} une transformation de Möbius qui fixe chaque point de {{math|Σ}}. Alors {{math|ϕ}} est soit l'identité, soit l'inversion par rapport à {{math|Σ}}.|style=display:table}}

Il permet notamment de montrer l'unicité de l''''extension de [[Henri Poincaré|Poincaré]]''' d'une transformation <math>\phi\in\mathcal{GM}(\widehat{\R^n})</math> : c'est l'unique élément <math>\tilde\phi \in\mathcal{GM}(\widehat{\R^{n+1}})</math> qui conserve ℋ{{exp|''n''+1}} et dont la restriction à ℝ{{exp|''n''}} est <math>\phi</math>, en considérant ℝ{{exp|''n''}} comme l'hyperplan de ℝ{{exp|''n''+1}} constitué des points dont la (''n'' + 1)-ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si <math>a\in\R^n</math>, on note <math>\tilde a</math> l'élément de ℝ{{exp|''n''+1}} dont les ''n ''premières coordonnées sont celles de ''a'', la (''n ''+ 1)-ième étant nulle. L'inversion par rapport à <math>P(a,t)</math> sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à <math>P(\tilde a,t)</math>, et de même <math>\tilde\sigma_{S(a,r)}=\sigma_{S(\tilde a,r)}</math>. On a la propriété remarquable suivante :
{{Théorème|Propriété|L'extension de Poincaré de <math>\phi\in\mathcal{GM}(\widehat{\R^n})</math> est une isométrie de ℋ{{exp|''n''+1}} muni de la [[métrique riemannienne|métrique]] [[géométrie hyperbolique|hyperbolique]] <math>\frac{\mathrm dx}{x_{n+1}}</math>.|style=display:table}}

== Les transformations de Möbius du plan complexe ==

=== Forme générale ===

Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme
<center><math>g(z)={az+b \over cz+d}\text{ avec }ad-bc\neq 0.</math></center>
Réciproquement, une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes ({{math|1=''g = f''{{ind|3}} ∘ ''f''{{ind|2}} ∘ ''f''{{ind|1}}}}) :
* <math>f_1(z)= z+d/c</math> (translation) ;
* <math>f_2(z)= 1/z</math> (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle) ;
* <math>f_3(z)=\frac{bc-ad}{c^2}z+\frac ac</math> ([[Similitude (géométrie)|similitude directe]]).

=== Cas particuliers ===
* Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme <math>z \to {az+b \over cz+d}</math> avec ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' réels et ''ad'' - ''bc'' > 0 sont celles qui laissent le [[demi-plan de Poincaré]] globalement invariant.
* Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme <math>z \to e^{i\phi}{z-a \over \overline{a}z - 1}</math> avec <math>|a| \neq 1</math> sont celles qui laissent le cercle unité globalement invariant<ref>{{en}} T. Needham, ''Visual complex analysis'', Oxford University Press, (1997), 176-178 </ref> (y compris celles avec ''a'' infini pour prendre en compte les transformations du type <math>z \to {e^{i\theta} \over z}</math>).

=== Détermination d'une transformation de Möbius du plan ===

Si {{math|''z''{{ind|1}}}}, {{math|''z''{{ind|2}}}} et {{math|''z''{{ind|3}}}} sont trois points distincts ainsi que {{math|''w''{{ind|1}}}}, {{math|''w''{{ind|2}}}} et {{math|''w''{{ind|3}}}}, alors il existe une unique transformation de Möbius
{{Retrait|<math>g\in\mathcal M(\widehat{\Complex})\text{ telle que }g(z_1)=w_1, g(z_2)=w_2\text{ et }g(z_3)=w_3.</math>}}
Autrement dit :
{{Théorème|Propriété|L'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] de <math>\mathcal M(\widehat{\Complex})</math> sur <math>\widehat{\Complex}</math> est [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|strictement 3-transitive]].|style=display:table}}

En effet, en résolvant
<center><math>A(z_1)=0,~A(z_2)=1\text{ et }A(z_3)=\infty</math></center>
on trouve comme unique solution <math>A\in\mathcal M(\widehat{\Complex})</math> :
<center><math>A(z)=\begin{cases}\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}&\text{si }z_1,z_2,z_3\ne\infty\\
\frac{z_2-z_3}{z-z_3}&\text{si }z_1=\infty\\
\frac{z-z_1}{z-z_3}&\text{si }z_2=\infty\\
\frac{z-z_1}{z_2-z_1}&\text{si }z_3=\infty
\end{cases}</math></center>
et de même on peut construire ''B ''telle que
{{Retrait|<math>B(w_1)=0,B(w_2)=1\text{ et }B(w_3)=\infty.</math>}}
Alors, ''g ''répond à la question si et seulement si ''Bg ''coïncide avec ''A ''en {{math|''z''{{ind|1}}}}, {{math|''z''{{ind|2}}}} et {{math|''z''{{ind|3}}}} donc si et seulement si ''g = B''{{-1}}''A''.

=== Représentation par des matrices ===

En associant à toute matrice <math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> telle que <math>ad-bc\ne 0</math> la transformation de Möbius <math>g_A</math> définie par <math>g_A(z) = \frac{a z + b}{c z + d}</math>, on obtient un [[morphisme de groupes]] de [[Groupe général linéaire|GL{{ind|2}}(ℂ)]] dans <math>\mathcal M(\widehat{\Complex})</math>. En effet, un calcul algébrique [[trivial]] montre que <math>g_{AB}=g_A\circ g_B</math>.

De plus, ce morphisme est [[surjectif]] et son [[Noyau (algèbre)|noyau]] est réduit aux homothéties. [[Théorèmes d'isomorphisme|On a ainsi]] :
<center><math>\mathcal M(\widehat{\Complex})\simeq{\rm PGL}_2(\Complex)={\rm GL}_2(\Complex)/\Complex^*{\rm I}_2\simeq{\rm PSL}_2(\Complex)={\rm SL}_2(\Complex)/\{-{\rm I}_2,+{\rm I}_2\}.</math></center>

=== Extension de Poincaré ===

Nous avons vu dans les [[#Propriétés générales|propriétés générales]] que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. Nous allons l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant ℝ{{3}} comme le ℝ-sous-espace vectoriel de base {{math|(1, i, j)}} du corps des [[quaternion]]s. Si on a <math>g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math> alors son extension de Poincaré a pour expression :
<center><math>\forall z\in\Complex, t\in \R^+_*,\quad\tilde g(z+t{\rm j})=\frac{(az+b)\overline{(cz+d)}+a\bar ct^2+|ad-bc|t{\rm j}}{|cz+d|^2+|c|^2t^2}.</math></center>

=== Classification ===

Par [[#Détermination d'une transformation de Möbius du plan|stricte 3-transitivité de l'action]], une transformation de Möbius du plan différente de l'identité ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui  pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de son extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité) : si on définit les transformations ''normales'' <math>m_k</math>, <math>k\in\Complex</math> par
:<math>m_k:z\mapsto kz\text{ si }k\ne 1</math>
:<math>m_1:z\mapsto z+1</math>
on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est [[Action par conjugaison|conjuguée]] à une unique transformation normale <math>m_k</math>, avec
*<math>k=1</math> si <math>\tilde g</math> possède un point fixe,
*<math>|k|\ne 1</math> si <math>\tilde g</math> a deux points fixes et
*<math>|k|=1, k\ne 1</math> si <math>\tilde g</math> a une infinité de points fixes.
Enfin, la [[trace (algèbre)|trace]] au carré d'un représentant <math>A\in{\rm PSL}_2(\Complex)</math> de <math>g</math> (qui est invariante par conjugaison et caractérise <math>m_k</math> modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de <math>\tilde g</math>. On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant :

{| border=1 cellpadding=2 style="margin: auto; border-collapse: collapse; text-align: center;"
|- bgcolor="#DDDDFF"
! Transformation || Points fixes de <math>\tilde g</math>|| Trace au carré <math>\sigma</math> || Forme normale 
! colspan=2 | Représentant
|-
!Parabolique 
| <math>1</math>
| <math>\sigma = 4</math>
| <math>m_1</math>
| <math>\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
| <math>z\mapsto z + a</math>
|-
!Loxodromique
| <math>2</math>
| <math>\sigma\in\Complex, \sigma \not\in [0,4]</math>
| <math>m_k, |k| \neq 1</math><br><math>k = \lambda^{2}, \lambda^{-2}</math>
| <math>\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}</math>
| <math>z \mapsto k z</math>
|-
!Elliptique
| <math>\infty</math>
| <math>0 \leq \sigma < 4</math>
| <math>m_k,</math><br><math>k={\rm e}^{\pm{\rm i}\theta}\ne1</math>
| <math>\begin{pmatrix}{\rm e}^{{\rm i}\theta/2}&0\\0&{\rm e}^{-{\rm i}\theta/2}\end{pmatrix}</math>
| <math>z\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\theta}z</math>
|-
|}

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique : g sera '''hyperbolique''' si sa trace au carré est réelle, '''strictement loxodromique''' dans le cas contraire.

=== Projection stéréographique ===

La [[projection stéréographique]] envoie le [[plan complexe]] sur la [[sphère de Riemann]], sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.

{|
|-
| ||align="center"|Elliptique || align="center"|Hyperbolique || align="center"| Loxodromique
|-
| Un point fixe à l'infini
| [[Image:Mob3d-elip-inf-200.png]] || [[Image:Mob3d-hyp-inf-200.png]] || [[Image:Mob3d-lox-inf-200.png]]
|-
| Points fixes diamétralement opposés
| [[Image:Mob3d-elip-opp-200.png]] || [[Image:Mob3d-hyp-opp-200.png]] || [[Image:Mob3d-lox-opp-200.png]]
|-
|Points fixes arbitraires
| [[Image:Mob3d-elip-arb-200.png]] || [[Image:Mob3d-hyp-arb-200.png]] || [[Image:Mob3d-lox-arb-200.png]]
|}

== Bibliographie ==
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Alan F. Beardon|titre=The Geometry of Discrete Groups|lieu=New York|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1995|pages totales=340|isbn=0-387-90788-2}}
* Jean-Denis Eiden, ''Géométrie analytique classique'', Calvage & Mounet, 2009 {{ISBN|978-2-91-635208-4}}
*Jean Fresnel, ''Méthodes modernes en géométrie''

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
*[[Application projective]]
* [[Fonction homographique]]
* [[Géométrie hyperbolique]]
*{{Lien|trad=Fuchsian group|Groupe fuchsien}}
*{{Lien|trad=Kleinian group|Groupe kleinien}}
*[[Groupe modulaire]]
* [[Inversion (géométrie)]]
*[[Transformation conforme]]
* [[Transformée en W]]
}}
=== Lien externe ===
{{Lien web|lang=en|url=http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/index.html|titre=Moebius Transformations Revealed|auteur=Douglas N. Arnold|auteur2=Jonathan Rogness|site=[[Université du Minnesota]]}}, film de 2 min 34 ([https://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY version Youtube])

== Notes et références ==
{{references}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Transformation géométrique]] 
[[Catégorie:Géométrie projective]]
[[Catégorie:Géométrie conforme]]