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La '''transformation inverse de Laplace''' (notée <math>\mathcal{L}^{-1}</math>) est la [[fonction inverse]] de la [[transformation de Laplace]]. La transformation de Laplace a beaucoup d'avantages car la plupart des opérations courantes sur la fonction originale {{formule|''f''(''t'')}}, telle que la [[Dérivée|dérivation]], ou un décalage sur la variable {{formule|''t''}}, ont une traduction (plus) simple sur la transformée {{formule|''F''(''p'')}}, mais ces avantages sont sans intérêt si on ne sait pas calculer la transformée inverse d'une transformée donnée.

== Définition ==
La transformation inverse de Laplace d'une fonction holomorphe {{math|''F''(''p'')}} est une fonction {{math|''f''(''t'')}}, continue par morceaux, qui a la propriété : <math>\mathcal{L} \left\{f\right\} = F </math>, c'est-à-dire telle que :
<center><math>\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-pt}f(t)\,\mathrm{d}t = F (p)</math></center>

== Propriétés ==
=== Unicité ===
On peut démontrer que si {{mvar|F}} a une transformée de Laplace inverse, alors celle-ci est unique (en dehors des points de discontinuité).

=== Linéarité ===
Comme la transformation de Laplace, son opération inverse est linéaire :
<center> <math>\mathcal{L}^{-1}\left\{a f + b g \right\}
  = a\, \mathcal{L}^{-1}\left\{ f \right\} +
    b\, \mathcal{L}^{-1}\left\{ g \right\}</math></center>

== Calcul ==
=== Méthodes analytiques ===
Il n’existe pas de formule analytique générale permettant de calculer {{formule|''f''(''t'')}} connaissant {{formule|''F''(''p'')}}. On connaît cependant l’expression exacte de {{formule|''f''(''t'')}} pour certaines fonctions particulières {{formule|''F''(''p'')}}.

L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le biais d'une [[Intégration (mathématiques)|intégrale]] dans le [[plan complexe]]. En exprimant {{formule|''F''(''p'')}} sous forme de transformée de Fourier et en utilisant la formule d'inversion de Fourier, on démontre la formule de [[Thomas John I'Anson Bromwich|Bromwich]]-[[Hjalmar Mellin|Mellin]]<ref>{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Jean-Luc Raimbault|titre=Transformées de Laplace des fonctions et des distributions - Cours et exercices|passage=Théorème 1.6.1|lieu=|éditeur=|date=|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pansu/web_ifips/Laplace_2008.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Jean-Bernard Zuber|titre=Chapitre 9 - Transformation de Laplace|passage=§ 9.2.1 Inversion de la transformation de Laplace|lieu=|éditeur=|date=|pages totales=|isbn=|lire en ligne=http://www.lpthe.jussieu.fr/~zuber/Cours/L3_2013_9.pdf}}</ref>:
: <math>f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(p)\}=\frac{1}{2\pi{\rm i}}\int_{\gamma-{\rm i}\cdot\infty}^{\gamma+{\rm i}\cdot\infty}{\rm e}^{pt}F(p)\,{\rm d}p,</math>

où {{math|γ}} est choisi de sorte que l'intégrale soit convergente, ce qui implique que {{math|γ}} soit supérieur à la [[partie réelle]] de toute singularité de {{formule|''F''(''p'')}} et qu'à l'infini, {{formule|{{!}}''F''(''p''){{!}}}} tende vers 0 au moins aussi rapidement que {{math|1/{{!}}''p''{{!}}{{2}}}}. Lorsque cette dernière condition n'est pas satisfaite, la formule ci-dessus est encore utilisable s'il existe un entier {{mvar|n}} tel que |{{math|''p{{exp|–n}}F''(''p'')}}| tende vers 0 aussi rapidement que 1/|{{math|''p''}}|{{2}}, c'est-à-dire lorsque, pour |{{math|''p''}}| tendant vers l'infini, |{{math|''F''(''p'')}}| est majorée par un [[polynôme]] en |{{math|''p''}}|. En remplaçant {{formule|''F''(''p'')}} par {{math|''p{{exp|–n}}F''(''p'')}} dans l'intégrale ci-dessus, on trouve dans le membre de gauche de l'égalité une [[fonction généralisée]] à [[Support de fonction|support]] positif dont la [[Distribution (mathématiques)#Dérivation des distributions|dérivée d'ordre {{formule|''n''}} (au sens des distributions)]] est la fonction généralisée (elle aussi à support positif) cherchée. Si {{formule|''F''(''p'')}} est la transformée de Laplace d'une fonction de [[type exponentiel]], la formule de Bromwich-Mellin est encore valable si l'intégrale est prise au sens de la [[Valeur principale de Cauchy|valeur principale]].
En pratique néanmoins, la formule de Bromwich-Mellin est peu utilisée, et on calcule les inverses des transformées de Laplace à partir des tables de transformées de Laplace.

=== Méthodes numériques ===
Pour les cas de figure pour lesquels on ne peut pas trouver une solution analytique, on peut employer l’une des deux méthodes numériques suivantes :

==== Méthode de Stehfest ====
La méthode de Stehfest, aussi connu sous le nom d'''algorithme de Stehfest'', est une méthode qui permet de calculer les valeurs de {{formule|''f''(''t'')}}. Elle a été publiée par Harald Stehfest en 1970.
 
La transformée inverse de la fonction {{formule|''F''(''p'')}} peut se calculer par :
<math>f(t) = \frac{\ln(2)}{t} \sum _{j=1}^N V_{j}F \left(\frac{j\ln(2)}{t} \right)</math> avec ''N'' pair et {{mvar|V<sub>i</sub>}} donné par :
{{retrait|<math>V_i = (-1)^{\frac{N}{2}+i}\sum _{k=\left\lfloor\frac{i+1}{2}\right\rfloor}^{\min\left(i,\frac{N}{2}\right)} \frac{k^{\frac{N}{2}}(2k)!}{\left(\frac{N}{2}-k\right)!\,k!\,(k-1)!\,(i-k)!\,(2k-i)!}</math>}}
où <math>\lfloor \cdot \rfloor </math> désigne la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]].

Pour ''N''=10 :
{{retrait|<math>\begin{array}{l|l|l} V_1 = \frac{1}{12} & V_2 = \frac{-385}{12} & V_3 = 1279 \\ V_4 = \frac{-46871}{3} & V_5 = \frac{505465}{6} & V_6 = \frac{-473915}{2} \\ V_7 = \frac{1127735}{3} & V_8 = \frac{-1020215}{3} & V_9 = \frac{328125}{2} \\ V_{10} = \frac{-65625}{2} \end{array}</math>}}

==== Méthode de Fourier ====
<math>f(t) = \frac{\exp(ct)}{t_{\max}} \left[\frac{F(c)}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(\Re[F(c+j\omega_k)]\cos(\omega_{k}t)-\Im[F(c+j\omega_k)]\sin(\omega_{k}t)) \right]</math> <br />
avec <math>\omega_{k} = \frac{k\pi}{t_{\max}}</math><br />

La somme infinie est dans la pratique calculée pour un nombre fini de {{formule|''N''}} termes, on prendra en général {{formule|''N'' > 100}}. Cette méthode nécessite de choisir deux paramètres : {{formule|''c''}} et {{formule|''t''<sub>max</sub>}}. On doit s’assurer a posteriori que <math>\exp(-2ct_{\max})f(2t_{\max})\approx 0</math>.

==== Choix d’une méthode et vérification des résultats ====
La méthode de Stehfest est plus simple à mettre en œuvre car elle ne nécessite pas de choisir certains paramètres. La méthode de Fourier peut conduire à un meilleur résultat dans le cas d’inversion de certaines fonctions comme les [[Fonction périodique|fonctions périodiques]] par exemple.
L’étude du comportement de la fonction {{formule|''F''(''p'')}} aux temps longs ({{math|''t'' → ∞}} soit {{math|''p'' → 0}}) et aux temps courts ({{math|''t'' → 0}} soit {{math|''p'' → ∞}}) peut conduire à des formules approchées de {{math|''F''(''p'')}} dont on peut alors trouver la transformée de Laplace inverse analytiquement. La comparaison de ces solutions analytiques avec les résultats de l’inversion numérique donne une indication sur la justesse de l’inversion numérique.

== Formule d'inversion de Post-Widder ==

Cette formule permet de donner une expression de la transformée inverse de Laplace dans le cas d'une fonction continue bornée.

{{Théorème|énoncé=
Soit <math>f:\left[ 0 ; + \infty \right[ \longrightarrow \mathbb{R} </math> une fonction [[continue]] [[Partie bornée|bornée]] dont la [[transformée de Laplace]] est notée
<math> {\begin{array}{cccc}
g: & \left] 0 ; + \infty \right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
    & s & \longmapsto & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}f(u){\rm e}^{-su} {\rm d}u} \end{array}}. </math>

alors pour tout {{math|''x'' > 0}} :

<center><math> \lim_{n\rightarrow +\infty} \displaystyle{\frac{(-1)^{n-1}n^n g^{(n-1)}(\frac{n}{x})}{x^n (n-1)!}= f(x)}.  </math>
</center>
}}

{{Démonstration
| titre = Preuve utilisant la [[loi forte des grands nombres]]
| contenu = 
Soit {{math|''x'' > 0}} fixé et considérons la suite {{math|(''X{{ind|n}}''){{ind|''n''}}}} de [[Variables indépendantes et identiquement distribuées|variables aléatoires iid]] suivant une [[loi exponentielle]] de paramètre {{mvar|λ}} de sorte que :
{{retrait|<math> \forall n\in \mathbb{N^{*}}, \mathbb{E}(X_n)= x \; \mbox{ i.e } \; \lambda = \frac{1}{x}. </math>}}

Les variables aléatoires {{mvar|X{{ind|n}}}} ont toutes pour densité la fonction :
{{retrait|<math>  u \mapsto \lambda {\rm e}^{-\lambda u} 1\!\!1_{\left[ 0 ; + \infty \right[ }(u).</math>}}

Une preuve par récurrence permet d'établir que la [[Densité de probabilité|densité]] {{mvar|h{{ind|n}}}} de la [[variable aléatoire]] :
{{retrait|<math> S_n := X_1 + \dots + X_n </math>}}
vaut
{{retrait|<math> h_n(u)=\frac{1}{(n-1)!} \lambda^n u^{n-1} {\rm e}^{-\lambda u} 1\!\!1_ {\left[ 0 ; + \infty \right[ }(u).  </math>}}

On en déduit alors la [[Densité de probabilité|densité]] de la [[variable aléatoire]] {{math|''S{{ind|n}}''/''n''}} :

{{retrait|<math> \varphi_n(u)=\frac{n^n\lambda^n}{(n-1)!} {\rm e}^{-\lambda nu} u^{n-1} 1\!\!1_{\left[ 0 ; + \infty \right[}(u).  </math>}}


D'autre part, en appliquant les résultats classiques de dérivabilité des [[Intégrale paramétrique|intégrales à paramètre]], on trouve que la fonction {{mvar|g}} est infiniment différentiable sur {{math|]0, +∞[}} et :

{{retrait|<math> \forall s>0, \; \forall n \in \mathbb{N}, \; g^{(n)}(s)=(-1)^n \int_0^{+\infty}t^nf(t){\rm e}^{-su} {\rm d}u. </math>}}

Reste à appliquer la [[loi forte des grands nombres]] :

{{retrait|<math> \mathbb{E}\left(f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right) \overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} \mathbb{E}(f(x))=f(x), </math>}}

en se souvenant que {{math|''λ'' {{=}} 1/''x''}} et en explicitant la valeur de l'intégrale, on trouve le résultat.
}}

== Notes et références ==
{{Références|taille=40}}

== Voir aussi ==
===Bibliographie ===
* Jean Bass, ''Cours de mathématiques, tome II'', Masson, 1964, {{p.|760-762}}
* [[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]], ''Méthodes mathématiques pour les sciences physiques'', Hermann, 1965
===Lien externe===
[http://www.thermique55.com/principal/laplace_inverse.pdf Transformation inverse de Laplace] {{pdf}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Transformée|Laplace]]
[[Catégorie:Analyse fonctionnelle]]
[[Catégorie:Pierre-Simon de Laplace]]