Voir la source de Trapèze

{{Voir homonymes|Trapèze (homonymie)}}
{{Infobox Polytope
 | nom = Trapèze
 | image = Trapezoid sides altitude.svg
 | légende = Trapèze avec sa paire de côtés non-[[Parallélisme (géométrie)|parallèles]] de longueurs {{math|''b''}} et {{math|''d''}}, sa paire de côtés parallèles, ({{math|''c''}} la longueur de la ''petite base'' et {{math|''a''}} celle de la ''grande base''), ses [[Sommet (géométrie)|sommets]] {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} et {{math|''D''}}, sa [[Hauteur (géométrie)|hauteur]] de longueur {{math|''h''}} et le pied {{math|''H''}} de celle-ci.
 | type = [[Polygone]]
 | Arêtes = 4
 | Sommets = 4
 | angle interne               = Variable
 | périmètre                   = <math>a + b + c + d</math>
 | aire                        = <math>\frac{(a+c)h}{2}</math>
 | propriétés=[[Construction à la règle et au compas|Constructible]]
}}
[[Fichier:Trapezium.svg|thumb|Exemple de trapèze.]]
Un '''trapèze''' est un [[quadrilatère]] possédant deux côtés opposés [[parallélisme (géométrie)|parallèles]]. Ces deux côtés parallèles sont appelés ''bases''.

Avec cette définition, les quadrilatères ABCD et ABDC de la figure sont tous deux des trapèzes (dont les côtés (AB) et (CD) sont parallèles).

Certains auteurs imposent comme condition supplémentaire la [[polygone convexe|convexité]] du quadrilatère, ce qui revient à exclure les « trapèzes [[Polygone croisé|croisés]] » tels que ABDC.

== Étymologie ==
Le mot trapèze vient du latin tardif ''trapezium'', issu du grec ancien <bdi>τραπέζιον</bdi>, ''trapézion'', diminutif du grec ancien <bdi>τράπεζα</bdi>, ''trápeza'', table à quatre pieds. Ce dernier est formé sur ''tra'' pour ''tetra'', quatre, et ''peza'', pieds. Il a été utilisé par [[Charles de Bovelles]] en 1542<ref>{{Ouvrage|auteur1=Bertrand Hauchecorne|titre=Les mots et les maths|éditeur=Ellipses|année=2003}}</ref>.

== Propriétés ==

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède ''une'' paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°, soit {{math|π}} [[Radian|radians]]. La somme des deux autres angles est alors la même.
Par exemple dans la figure ci-dessus, les deux paires d'angles ont pour sommets (A,D) et (B,C).

Attention : dans un trapèze, la somme de deux angles consécutifs n'est pas toujours égale à 180° (exemple ici : les angles de sommets A et B).

== Cas particuliers ==
* Un trapèze est qualifié de '''trapèze rectangle''' s’il possède au moins un angle droit (il en possède alors au moins deux, consécutifs).
[[File:Trapézio retângulo.PNG|Un trapèze rectangle.]]

* Un trapèze est qualifié d’'''isocèle'''<ref>Voir l'article ''{{lang|en|[[:en:Isosceles trapezoid|Isosceles trapezoid]]}}'' de [[Wikipédia en anglais]].</ref> lorsqu'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
** deux angles adjacents à une même base sont égaux ;
** les deux bases du trapèze ont la même [[médiatrice]], et celle-ci est un [[axe de symétrie]] du trapèze ;
** c'est un [[quadrilatère inscriptible]] (c'est-à-dire dont les sommets sont [[cocyclique]]s).
[[Image:Trapeze isocele.svg|Un trapèze isocèle.]]

* Un trapèze (non croisé) dont les bases ont la même longueur est un [[parallélogramme]], c'est-à-dire que ses deux autres côtés sont aussi parallèles.
* Les trapèzes dont les deux côtés qui ne sont pas les bases ont la même longueur sont les trapèzes isocèles et les parallélogrammes.
* Les quadrilatères qui sont à la fois des trapèzes isocèles et des parallélogrammes sont les [[rectangle]]s.
* Un trapèze qui est un [[Quadrilatère inscriptible|quadrilatère circonscriptible]] (c'est-à-dire qui possède un [[cercle inscrit]]) est appelé [[trapèze circonscriptible]].
{{clr}}

== Aire du trapèze ==
[[Image:Trapeze decoupage 2 triangles.svg|thumb|Découpage du trapèze en 2 triangles]]

=== En fonction des bases et de la hauteur ===
L’aire du trapèze vaut le produit de sa [[Hauteur (géométrie)|hauteur]] {{mvar|h}} par la [[moyenne arithmétique|demi-somme]] de ses bases {{mvar|a}} et {{mvar|c}}, c'est-à-dire
:<math>S=\dfrac{(a+c)}2h</math>.

On obtient ce résultat <ref>{{Ouvrage|prénom1=S.-F.|nom1=Lacroix|lien auteur1=Sylvestre-François Lacroix|titre=Éléments de géométrie|passage=85|éditeur=Mallet-Bachelier|année=1855|numéro d'édition=17|lire en ligne={{Google Livres|-JFTAAAAYAAJ|page=85}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Eugène Rouché]]|auteur2=[[Charles de Comberousse]]|titre=Éléments de géométrie|passage=177|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1867|lire en ligne={{Google Livres|AJVRAAAAcAAJ|page=177}}}}.</ref> en découpant le trapèze en deux triangles le long d'une diagonale, lesquels ont pour hauteur {{Mvar|h}}, et chacun une des deux bases {{mvar|a}} et {{mvar|c}}. Donc <math>S=\dfrac {ah}2+\dfrac{ch}2=\dfrac{(a+c)}2h</math>{{clr}}
[[Fichier:Trapeze aire.png|vignette]]
On peut aussi considérer le rectangle construit à partir des milieux des côtés, qui a même aire que le trapèze (cf. figure ci-contre). Comme <math>IJ=\frac{a+c}2</math> (car <math>\overrightarrow{IJ}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}2</math>), <math>S=IJ.h=\dfrac{(a+c)}2h</math>.{{clr}} {{Démonstration/début|titre=Autre démonstration en considérant le parallélogramme obtenu après [[Symétrie centrale|symétrie de centre]] le [[Milieu d'un segment|milieu]] d'un des côtés non parallèles.}}
[[File:Trapeze transforme parallelogramme.svg|thumb|upright=2|Le trapèze ABCD et son symétrique A’CBD’ par rapport à I.]]
ABCD est un trapèze de grande base ''a'' = AB et de petite base ''c'' = CD.

Les points A, B et D’ sont alignés comme les points D, C et A’.

(BD’) est parallèle à (A’C). BD’A’C est un trapèze de même aire que ABCD et l'on a :
grandes bases : a = AB = A’C, petites bases : ''c'' = CD = BD’, hauteur : ''h'' = CH.

(AD) est parallèle à (A’D’). AD’A’D est un parallélogramme de base AD’ = ''a + c''.
Aire(AD’A’D) = AD’ × DH = (''a + c'') × ''h''.

Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD), soit 2 Aire(ABCD) = (''a + c'') × ''h''.

On retrouve Aire(ABCD) = <math>\dfrac{(a+c)h}2</math>.
{{Démonstration/fin}}

=== En fonction des longueurs des côtés ===

L'aire du trapèze est égale à l'aire d'un triangle de côtés de longueurs <math>|a-c|,b,d</math>, multipliée par <math>\frac{a+c}{a-c}</math>, ce qui, compte tenu de la  [[formule de Héron]], donne une formule de l'aire du trapèze lorsque ne sont connues que les quatre longueurs ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' des quatre côtés <ref name="MathWorld">{{MathWorld|nom_url=Trapezoid|titre=Trapezoid}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|titre=Exercice 485-1 : une formule du grimoire ?|périodique=Bulletin de l'APMEP|date=Mars Avril 2010|lire en ligne=https://www.apmep.fr/Exercices-de-ci-de-la-du-BV-487}}.</ref> :
:<math> S=\frac{a+c}{|a-c|}.{1\over4}\sqrt{(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)}</math>,

où  {{mvar|a}} et {{mvar|c}} représentent les longueurs (supposées distinctes) des deux bases.
[[Fichier:Trapeze aire2.png|vignette]]
{{Démonstration/début}}
Dans le  cas <math>a>c</math>, avec les notations de la figure ci-contre, l’aire du parallélogramme EBCD est le double de celle du triangle EBD. Or les aires de EBD et de AED, triangles de même hauteur, sont proportionnelles à leurs bases.

Ainsi <math>\text{Aire}(EBCD)=2\frac c{a-c}\text{Aire}(AED)</math> 

et <math>\text{Aire}(ABCD)=\left(1+\frac{2c}{a-c}\right)\text{Aire}(AED)=\frac{a+c}{a-c}\text{Aire}(AED)</math>.
{{Démonstration/fin}}
La hauteur peut donc être exprimée en fonction des longueurs des côtés par la relation :
:<math> h^2=\frac{(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)}{4(a-c)^2}</math>.

== Barycentre du trapèze ==
[[File:Centroidal mean.svg|thumb|Construction du centre de masse G du trapèze et de la "centroidal mean" (moyenne barycentrique des bases) MN|300x300px]]

Le [[Aire et centre de masse d'un polygone|centre de masse]] d'un trapèze de bases <math>a</math> et <math>b</math> et de hauteur <math>h</math> est situé sur la médiane joignant les deux bases et à une distance <math>\frac h3\times\frac{a+2b}{a+b}</math> de la base de longueur <math>a</math>. C'est le [[Barycentre (géométrie élémentaire)|barycentre]] des milieux <math>I=I_a</math> et <math>J=I_b</math> pondérés respectivement par <math>2a + b</math> et <math>2b + a</math>.

La droite passant par le centre de masse du trapèze et parallèle aux bases découpe un segment dont la longueur correspond à la [[Moyenne#Autres moyennes|''centroidal mean'' (moyenne barycentrique]]) des deux bases<ref>{{en}} Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, ''A Cornucopia of Quadrilaterals'', [[American Mathematical Society|AMS]], 2020, [https://books.google.fr/books?id=CGDSDwAAQBAJ&pg=PA108 p. 108] et [https://books.google.fr/books?id=CGDSDwAAQBAJ&pg=PA112 p. 112].</ref> :
{{retrait|<math>MN=CM(a,b)=\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}</math>.}}

L'isobarycentre des quatre sommets du trapèze est, quant à lui, situé au milieu de la médiane. Et le segment découpé sur la parallèle aux bases passant par cet isobarycentre a pour longueur la [[moyenne arithmétique]] des deux bases.

== Diagonales ==
En supposant à nouveau que les deux bases  {{mvar|a}} et {{mvar|c}} sont distinctes<ref>Si le trapèze est un parallélogramme (''c'' = ''a'', ''d = b''), la connaissance des quatre côtés ne suffit pas à déterminer les diagonales. La [[règle du parallélogramme]] donne seulement : ''p''{{2}} + ''q''{{2}} = 2''a''{{2}} + 2''b''{{2}}.</ref>, les diagonales ''p ''et ''q'' sont liées aux quatre côtés par les formules<ref name=MathWorld/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Propriétés nouvelles des quadrilatères en général|auteur=Georges Dostor|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1868|url={{Google Livres|1VN0Z0HY7o8C|page=93}}|page=93}} (CCCXIII).</ref> :

:<math>p^2=ac+\frac{ad^2-cb^2}{a-c},\quad q^2=ac+\frac{ab^2-cd^2}{a-c}</math>,

équivalentes à 

:<math>2ac=p^2+q^2-b^2-d^2,\quad a(p^2-q^2+b^2-d^2)=c(p^2-q^2+d^2-b^2)</math>.

Ces deux formules permettent de retrouver les deux bases du trapèze précédent, s'il n'est ni isocèle, ni réduit à un triangle, connaissant les deux autres côtés et les diagonales<ref>Pour un trapèze isocèle (''d = b'', ''q = p''), les deux formules deviennent respectivement ''ac'' = ''p''{{2}} – ''b''{{2}} et  0 = 0, et la connaissance de ''p'' et ''b'' ne suffit pas à déterminer ''a'' et ''c''. Pour un triangle (''c'' = 0, ''p = d'', ''q = b''), les deux formules deviennent 0 = 0, et [[Résolution d'un triangle|les deux côtés d'un triangle ne déterminent pas le troisième]].</ref>. En effet, dans ce cas, les formules sont équivalentes à

:<math>a^2=\frac{(p^2-b^2)^2-(q^2-d^2)^2}{2(p^2+b^2-q^2-d^2)},\quad c^2=\frac{(p^2-d^2)^2-(q^2-b^2)^2}{2(p^2+d^2-q^2-b^2)}</math>.

Le segment découpé par les côtés sur la parallèle aux bases passant par l'intersection des diagonales a pour longueur la [[moyenne harmonique]] des deux bases<ref>{{lien web|url=http://mathematiques.ac-dijon.fr/indunet3/ressources/travaux_groupes/monge_2007_2008/pb9.htm|titre=Base « moyenne » d’un trapèze et moyenne harmonique|consulté le=25/07/2022|site=mathematiques.ac-dijon.fr}}.</ref>.

== Théorème du trapèze ==
[[Fichier:Trapeze complet.svg|thumb|upright=1.5|La droite (OP) passe par I et J.]]
{{énoncé|Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.}}

Plus précisément : soit ABCD un quadrilatère dont les côtés (AD) et (BC) se coupent en P et les diagonales (AC) et (BD) en O, et soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Alors, le quadrilatère est un trapèze [[si et seulement si]] I appartient à  (OP) (ou, ce qui est donc équivalent : si J appartient à cette droite). De plus, les quatre points (O, P, I, J) sont alors en [[division harmonique]]<ref>{{Ouvrage|titre=L'épreuve d'exposé au [[CAPES]] mathématiques|volume=1|auteur=Dany-Jack Mercier|éditeur=Publibook|année=2004|url={{Google Livres|3gZkWHnhOZoC|page=143}}|page=143}}.</ref>{{,}}<ref>Voir [https://www.geogebra.org/m/Qx7VzWfs animation] [[GeoGebra]].</ref>.

{{Démonstration/début}}
*Si (AB) et (CD) sont parallèles alors, l'[[homothétie]] de centre P qui envoie A sur D envoie {B} = (AB)∩(PB) sur (DC)∩(PB) = {C}. Par conséquent, elle transforme le milieu I du segment [AB] en le milieu J de [DC] et donc P, I et J sont alignés. On montre de même que O, I et J sont alignés.
*Réciproquement, si I appartient à la droite (OP) alors la symétrie par rapport à cette droite et parallèlement à (AB) envoie (AO)∩(BP) = {C} sur (BO)∩(AP) = {D}, donc (CD) est parallèle à (AB).
*Enfin, lorsque toutes ces conditions sont réalisées, le [[théorème de Thalès]] permet d'affirmer que{{Retrait|<math>{\overline{PJ}\over\overline{PI}}={\overline{DJ}\over\overline{AI}}=-{\overline{OJ}\over\overline{OI}}.</math>}}
{{Démonstration/fin}}

== Méthode des trapèzes ==
{{Article détaillé|Méthode des trapèzes}}
La méthode de [[calcul intégral]] approché dite « des trapèzes », décrite par [[Isaac Newton]] et son élève [[Roger Cotes]], consiste à remplacer les arcs de courbe successifs ''M''<sub>''i''</sub>''M''<sub>''i''+1</sub> par les segments [''M''<sub>''i''</sub>''M''<sub>''i''+1</sub>] : c'est une [[interpolation linéaire]].

La méthode des trapèzes est plus précise que la [[Intégration (mathématiques)#Méthode des rectangles|méthode élémentaire, dite des rectangles]], correspondant aux [[Somme de Riemann|sommes de Riemann]], consistant à remplacer la fonction donnée par une [[fonction en escalier]].

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Autres projets
 | commons = Category:Trapezoids
}}

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Quadrilatère]]
[[Catégorie:Théorème de géométrie]]