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Le '''travail d'une force''' est l'[[Énergie (physique)|énergie]] fournie par cette [[Force (physique)|force]] lorsque son point d'application se déplace (l'objet subissant la force se déplace ou se déforme). Il est responsable de la variation de l'[[énergie cinétique]] du système qui subit cette force. Si par exemple on pousse une bicyclette, le travail de la poussée est l'énergie produite par cette poussée. Cette notion avec ce nom fut introduite par [[Gaspard-Gustave de Coriolis]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=Gaspard-Gustave Coriolis|titre=Sur une nouvelle dénomination et sur une nouvelle unité à introduire dans la dynamique|éditeur=Académie des sciences|date=août 1826}}</ref>.

Le travail est exprimé en [[joule]]s (J) dans le [[Système international d'unités|Système international]]. On le note généralement <math>\mathcal T</math> ou {{mvar|W}} (l'initiale de ''{{Langue|en|work}}'', le mot anglais pour « travail »).

== Définition ==
Pour un déplacement [[infiniment petit|infinitésimal]] <math>\mathrm{d}\vec{u}</math> du point d'application de la force, le travail correspondant de la force <math>\vec{F}</math> est, par définition<ref>{{Lévy|passage=793}}.</ref> :
:<math>\delta W = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{u}</math>.

Le travail d'une force pour un déplacement fini est donc égal à la [[Circulation d'un champ vectoriel|circulation]] de cette force le long du trajet <math>\mathcal{C}</math> de son point d'application :
:<math>W=\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{u}</math>.

Une force constante <math>\vec{F}</math> qui s'applique sur un objet parcourant un trajet rectiligne <math>\vec{u}</math> fournit un travail ''W'' :
:<math>W = \vec{F}\cdot \vec{u}= \|\vec F\| \times \| \vec u \|  \times \cos(\vec{F},\vec{u})</math>.

En décomposant <math>\vec{F}</math> en deux composantes : l'une parallèle à <math>\vec{u}</math> et l'autre perpendiculaire, on remarque que la composante perpendiculaire ne travaille pas, et que seule la composante parallèle travaille, en application d'une propriété du [[produit scalaire]].

Si la trajectoire est circulaire (par exemple dans le cas où le point d'application d'une force est en rotation autour d'un axe <math>(\Delta)\,</math>), alors le travail élémentaire du moment résultant vaut <math>\delta W = \vec{M} \cdot \vec{u}_\Delta \mathrm{d}\theta</math>, où <math>\vec{M}</math> est le [[moment d'une force (mécanique)|moment]] de la force par rapport à <math>(\Delta)\,</math>, <math>\mathrm d\theta</math> l'angle parcouru par le solide pendant une courte durée d''t'' et <math>\vec{u}_\Delta</math> un [[vecteur unitaire]] orientant l'axe de rotation.

=== Définition à partir de la puissance ===

Le déplacement élémentaire sur un intervalle de temps <math>dt</math> est par définition <math>\mathrm d\vec{u} = \vec{v} \, \mathrm d t</math>, où <math>\vec{v}</math> représente la vitesse de déplacement du point d'application de la force. Le travail élémentaire de la force <math>\vec{F}</math> peut donc être défini de manière équivalente à partir de la [[Puissance_(physique)#Puissance_m%C3%A9canique|puissance instantanée]] <math>\mathcal{P}(t)</math> (en watts) de cette force : 

:<math>\delta W = \mathcal{P}(t) \, \mathrm d t = \vec{F} \cdot \vec{v} \,  \mathrm d t</math>.

Le travail d'une force sur une durée finie est alors égal à l'intégrale de la puissance instantanée de la force pendant cette durée.

== Cas concrets ==
[[Fichier:Cas particuliers du travail force.svg|thumb|Quelques cas particuliers du travail d'une force.]]
[[Fichier:Mouvement circulaire uniforme.svg|thumb|Mouvement circulaire uniforme. La force centripète qui crée l'accélération du même nom est perpendiculaire au mouvement : son travail est nul.]]
Considérons une force <math>\vec{F}</math> constante s'appliquant sur un objet se déplaçant sur une trajectoire rectiligne (Il n'y a pas d'autres forces s'exerçant sur l'objet). Soit <math>(\vec{F},\vec{u})</math> l'angle entre ces deux vecteurs. Un certain nombre de cas particuliers permettent d'illustrer la notion de travail d'une force : 
* si la force <math>\vec{F}</math> est parallèle au déplacement <math>\vec{u}</math> et orientée dans le même sens, le travail <math>W = \vec{F}\cdot\vec{u}</math> fourni par la force est positif : d'après le [[Énergie cinétique#Théorème de l’énergie cinétique|théorème de l’énergie cinétique]], la force a augmenté l'énergie cinétique du système, celui-ci se déplace donc plus rapidement. Une telle force est parfois dénommée ''force motrice'' ;
* si <math> 0^\circ < (\vec{F},\vec{u}) < 90^\circ</math>, alors le travail fourni par la force est positif. La force est dite ''motrice''. On peut dire plus simplement que si la force <math>\vec{F}</math> est motrice, elle favorise le déplacement (la vitesse augmente) ;
* si la force <math>\vec{F}</math> est parallèle au déplacement <math>\vec{u}</math> mais orientée dans le sens opposé, le travail <math>W = \vec{F}\cdot\vec{u}</math>, fourni par la force est négatif : d'après le [[Énergie cinétique#Théorème de l’énergie cinétique|théorème de l’énergie cinétique]], la force a diminué l'énergie cinétique du système, celui-ci se déplace donc plus lentement. On appelle parfois une telle force, une ''force résistante'' ;
* si <math> 90^\circ < (\vec{F},\vec{u}) < 180^\circ </math>, alors le travail fourni par la force est négatif. <br />La force est ''résistante''. On peut dire plus simplement que si la force <math>\vec{F}</math> est résistante, elle s'oppose au déplacement (la vitesse diminue) ;
* si la force <math>\vec{F}</math> est perpendiculaire au déplacement <math>\vec{u}</math>, le travail de la force est nul (''W'' = 0) : la force n'a pas modifié l'énergie cinétique du système. On peut dire plus simplement que si la force <math>\vec{F}</math> est perpendiculaire au déplacement, elle ne modifie pas le déplacement.

Ce dernier cas ne doit pas laisser penser qu'une force dont le travail est nul n'a aucun effet sur un système. Ainsi, dans le cas d'un solide en [[mouvement circulaire uniforme]], la [[force centripète]] a un travail nul (le mouvement circulaire uniforme n'est pas modifié). Pour autant, si l'on supprime la force centripète le solide cessera son mouvement circulaire et se déplacera en [[mouvement rectiligne]], conformément à la {{1re}} [[Lois du mouvement de Newton|loi de Newton]].

Les forces dont le travail est nul ne modifient pas l'énergie cinétique du solide. En particulier, elles ne modifient pas la norme de la vitesse ; elles peuvent cependant en modifier la direction.

== Travail des forces conservatives ==
{{Article détaillé|force conservative}}
Les [[force conservative|forces conservatives]] sont, par définition, des forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement des positions de départ et d'arrivée. Dans le cas de telles forces, il existe alors une [[énergie potentielle]] associée, dont la variation est l'opposée du travail.

Le [[poids]] est un exemple de force conservative, dont le travail est l'opposé de la variation de l'énergie potentielle de pesanteur. Les contre-exemples les plus courants sont les [[frottement]]s, dont le travail dépend toujours du chemin suivi.

Considérons un corps de [[masse]] ''m'' se déplaçant de ''A'' vers ''B'' et un repère <math>\left (O,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right )</math>, l'axe <math>\vec{z}</math> étant supposé vertical et dirigé dans le sens opposé de la [[gravité]] : <math>\vec{g}=-g \, \vec{z}</math>. Dans ce cas, le travail du poids vaut :
:<math>W = \int_{A}^B\vec{P}\cdot \mathrm d\vec{u}</math>.

Si on considère que le poids est constant le long du trajet entre ''A'' et ''B'' alors on a :

:<math>W = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB} = m \, \overrightarrow{g}\cdot\overrightarrow{AB}= -mg\, \overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{AB}</math>.

Si l'on note <math>\left ( x_A,y_A,z_A \right )</math> les coordonnées du point ''A'' et <math>\left ( x_B,y_B,z_B \right )</math> celles de ''B'', alors les coordonnées des vecteurs <math display="inline">\overrightarrow{P}</math> et <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> sont les suivantes :

:<math>\vec{P}=-mg \, \vec{z}</math>

:<math>\overrightarrow{AB}=\left ( x_B-x_A \right )\vec{x}+\left ( y_B-y_A \right )\vec{y}+\left ( z_B-z_A \right )\vec{z}</math>

et, par définition du [[produit scalaire]], le travail du poids se simplifie de la façon suivante :

:<math>W=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB} = -mg \left ( z_B-z_A \right )</math>

Le travail du poids d'un corps est donc indépendant du chemin suivi lors de son déplacement, il ne dépend que de la variation d'altitude du [[centre de gravité]] de ce corps.

=== Exemple de calcul ===
Une personne de masse {{unité|80|kg}} monte debout sur une chaise de {{unité|50|centimètres}} de haut. Quel est le travail effectué par le poids de cette personne ? 

<math>W = -m \ g \left ( z_B-z_A \right )</math>, soit <math>W = - 80 \times 9,81 \times ( 0,5 - 0 ) = - 392,4 \ \mathrm{J}</math><br />
où 9,81 représente la constante ''[[Accélération normale de la pesanteur terrestre|g]]'' caractéristique de la Terre (en [[Newton (unité)|newtons]] par kilogramme), 80 la masse en kilogrammes et 0,5 la hauteur en mètres. Le poids est une force résistante dans ce cas (il « s'oppose » au déplacement de la personne).

== Travail des forces de pression ==
[[Fichier:Travaille de forces de pression.svg|alt=La force exercée par le milieu extérieur sur la surface du piston.|vignette|362x362px|La force exercée par le milieu extérieur sur la surface du piston.]]

Le travail induit par les [[force de pression|forces de pression]] correspond à la forme de travail la plus courante rencontrée en [[thermodynamique]] classique, discipline qui s'est développée avec l'avènement de l'ère industrielle basée essentiellement sur la [[machine à vapeur]].

Le travail mécanique mis en jeu dans un moteur thermique par l'intermédiaire d'un ensemble cylindre-piston, correspond au travail du piston contre la pression extérieure, <math>p_{\mathrm{ext}}</math>.

Soit <math>F_{\mathrm{ext}}</math>, la force exercée par le milieu extérieur sur le piston de surface <math>S~</math>.

Si le piston se déplace d'une petite [[Abscisse curviligne#Élément de longueur|longueur élémentaire]] <math>\mathrm d \ell</math>, le travail élémentaire effectué par celui-ci devient :
 
:<math>\delta W_{\mathrm{fp}} =  F_{\mathrm{ext}} \mathrm d \ell</math>

or
:<math>F_{\mathrm{ext}} =  p_{\mathrm{ext}} S</math>

d'où
:<math>\delta W_{\mathrm{fp}} = p_{\mathrm{ext}} \, S \, \mathrm d \ell</math>

On obtient ainsi:

:<math>\delta W_{\mathrm{fp}} =  p_{\mathrm{ext}} \, \mathrm d V</math>
:<math>\mathrm d V</math> est une variation infinitésimale de volume du système qui correspond sur un plan mathématique, à la [[différentielle]] du volume.

Pour respecter la [[Règle des signes (thermodynamique)|règle des signes]] qui veut que le travail fourni par le [[Système thermodynamique|système moteur]] au milieu extérieur soit négatif, <math>\mathrm d V</math> étant positif (détente), il convient d'ajouter le signe ''moins''.

:<math>\delta W_{\mathrm{fp}} = - p_{\mathrm{ext}} \mathrm d V</math>.

Pour une transformation réelle définie par la trajectoire AB, le travail dépend de cette trajectoire et n'est donc pas indépendant du chemin suivi :

:<math>W_{AB}=\int_A^B-p_{\mathrm{ext}} \, \mathrm d V</math>.

Remarques :

* si le piston travaille contre le vide, le travail est nul ;
* dans le cas d'une transformation isobare (pression constante), un cas fréquemment rencontré, d'un moteur travaillant contre la [[pression atmosphérique]] :

:<math>W_{AB}= - p_{\mathrm{ext}}\int_A^B \mathrm d V = - p_{\mathrm{ext}}(V_B - V_A)</math>.
:Dans ce cas le travail ne dépend plus du chemin suivi mais seulement des états d'équilibre A et B.

Dans une machine de type [[compresseur mécanique|compresseur]] ou [[turbine]], le travail des forces de pression sur un [[cycle thermodynamique|cycle]] de la machine inclut le travail des pressions d'admission et de refoulement de la machine. Ce travail est appelé « [[travail de transvasement]] » et a pour expression<ref>{{Ouvrage |langue=fr |format=pdf |auteur1=I. Côte |auteur2=C. Carlier |auteur3=L. Lebrun |auteur4=N. Sard |auteur5=M. Décome Vasset |titre=Physique Chimie BCPST 2 |sous-titre=Exercices incontournables |éditeur=Dunod |collection= |lieu= |année=2018 |numéro d'édition=2 |volume= |tome= |pages totales= |passage=14-17 |isbn=978-2-10-077957-4 |lire en ligne=https://www.dunod.com/sites/default/files/atoms/files/9782100779574/Feuilletage.pdf |id=Côte }}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Vincent Renvoizé |titre=Physique MP-MP*-PT-PT* |sous-titre=cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés |éditeur=Pearson Education France |collection= |lieu= |année=2010 |numéro d'édition= |volume= |tome= |pages totales=879 |passage=682 |isbn=9782744074400 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=QXvKYmC7K1kC&pg=PA682 |id=Renvoizé}}.</ref> :
:<math>W_\text{tr} = -\oint  P \, \mathrm{d} V = \int_{P_1}^{P_2} V \, \mathrm{d} P</math>

== Travail virtuel ==
Dans le cas où le déplacement est [[déplacement virtuel|virtuel]], <math>\delta \vec r</math>, le ''travail'' d'une force <math>\vec F</math> est considéré comme lui aussi ''virtuel'' : <math display="inline">\delta W = \sum_i \vec F_i \cdot \delta \vec r_i</math>. L'unité de mesure d'un travail virtuel est aussi le [[joule]], y compris en cas d'utilisation de [[coordonnées généralisées]] <math>\delta q_j</math> car on utilise alors la [[force généralisée]] <math>Q_j</math> vérifiant <math>\delta W = \sum_i \vec F_i \cdot \delta \vec r_i = \sum_{j=1}^n  Q_j \,\delta q_j </math>.

Le [[principe de D'Alembert]] dit que le travail virtuel de l'ensemble des forces de [[contrainte (mécanique)|contrainte]] est nul.

== Références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Puissance (physique)]]
* [[Travail de transvasement]]

== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Portail|physique|énergie}}

[[Catégorie:Mécanique classique]]
[[Catégorie:Énergie (physique)]]
[[Catégorie:Thermodynamique]]