Voir la source de Triangle cévien

{{ébauche|Géométrie}}
[[File:CevianTriangle.svg|thumb|420px|Le triangle ''P{{ind|A}}P{{ind|B}}P{{ind|C}}'' (en rouge) est le triangle cévien de ''P'' pour le triangle ''ABC''.]]
En [[géométrie]], dans un triangle, le '''triangle cévien''' ou '''triangle pédal'''<ref>{{Article|auteur1=R. Deaux|titre=Sur un point remarquable du triangle|périodique=L'Enseignement Mathématique|volume=28|date=1929|lire en ligne=https://www.e-periodica.ch/cntmng?var=true&pid=ens-001:1929:28::120}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Alain Bouvier, Michel George, François le Lionnais|titre=Dictionnaire des mathématiques|passage=638|éditeur=PUF|année=2005}}</ref> d'un point est le triangle formé par les intersections des [[cévienne]]s passant par ce point et les côtés du triangle de référence.

== Définition ==
Dans un triangle ''ABC'', on considère un point ''P'', non situé sur les côtés du triangle. Les droites (''PA'') et (''BC'') se croisent en ''P{{ind|A}}'', les droites (''PB'') et (''AC'') se croisent en ''P{{ind|B}}'', et les droites (''PC'') et (''AB'') se croisent en ''P{{ind|C}}''. Alors le triangle ''P{{ind|A}}P{{ind|B}}P{{ind|C}}'' est appelé ''triangle cévien de P pour le triangle ABC''. Le cercle circonscrit au triangle cévien de ''P'' est le ''cercle cévien''.

Il ne doit pas être confondu avec le [[Cercle podaire|triangle podaire]] qui est le triangle formé par les [[Projection orthogonale|projections orthogonales]] du point ''P'' sur les côtés, lequel est désigné en anglais par "[[:en:Pedal_triangle|pedal triangle]]".

== Exemples ==
* le triangle cévien de l'orthocentre est le [[triangle orthique]]
* le triangle cévien du centre de gravité est le [[triangle médian]]
* le triangle cévien du point de Gergonne est le triangle de contact (points où le [[cercle inscrit]] touche les côtés du triangle)

== Propriétés ==
* Les points ''P{{ind|A}}'',''P{{ind|B}}'',''P{{ind|C}}'', vérifient la [[Théorème de Ceva|relation de Ceva]] : <math>\frac{\overline{P_AB}}{\overline{P_AC}}\frac{\overline{P_BC}}{\overline{P_BA}}\frac{\overline{P_CA}}
{\overline{P_CB}} = -1</math>.
* Le point ''P'' a pour [[coordonnées barycentriques]] dans <math>(A,B,C)</math> : <math>\left(-\frac{\overline{P_BC}}{\overline{P_BA}}:-\frac{\overline{P_AC}}{\overline{P_AB}}:1\right)</math>.
* Un triangle et le triangle cévien du point ''P'' pour ce triangle sont en [[Homologie (transformation géométrique)|homologie]] par rapport à ''P''. Par le [[théorème de Desargues]], il existe également une droite (l'axe de l'homologie) par rapport à laquelle les deux triangles sont en homologie ; par exemple, dans le cas où ''P'' est à l'orthocentre, il s'agit de l'[[axe orthique]]<ref>{{lien web|lang=en|url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CevianTriangle.shtml|titre=Cevian Triangle|site=cut-the-knot.org}}</ref>.

* L'aire du triangle cévien du point ''P'' de [[coordonnées trilinéaires]] (&alpha; : &beta; : &gamma;) est donnée par :
::<math>\mathcal{A}_{cevian} = \frac{2abc|\alpha\beta\gamma|}{\left|(\alpha a+\beta b)(\beta b + \gamma c)(\gamma c + \alpha a)\right|} \mathcal{A}_{ABC}</math>
* Les symétriques des sommets d'un triangle cévien par rapport aux milieux des côtés forment un autre triangle cévien : si on trace ''P{{ind|A}}{{'}}'', le symétrique de ''P{{ind|A}}'' par rapport au milieu de ''BC'', et qu'on construit de même ''P{{ind|B}}{{'}}'' et ''P{{ind|C}}{{'}}'', alors il existe un point ''P{{'}}'' tel que ''P{{ind|A}}{{'}}P{{ind|B}}{{'}}P{{ind|C}}{{'}}'' soit le triangle cévien de ''P{{'}}'' pour le triangle ''ABC''<ref name="Honsberger">{{ouvrage|lang=en|auteur=Ross Honsberger|titre=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry|lieu=Washington, DC|éditeur=The Mathematical Association of America|pages=141-143|année=1995|lire en ligne=https://archive.org/details/episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/140/mode/2up}}</ref>.
:Le point ''P{{'}}'' est alors appelé [[conjugué isotomique]] de ''P''.
* Le cercle cévien d'un point ''P'' intersecte ''AB'' en ''P{{ind|C}}'' et ''P{{ind|C}}"'', ''BC'' en ''P{{ind|A}}'' et ''P{{ind|A}}"'', et ''AC'' en ''P{{ind|B}}'' et ''P{{ind|B}}"''. Alors il existe ''P"'' tel que ''P{{ind|A}}"P{{ind|B}}"P{{ind|B}}"'' soit le triangle cévien de ''P"'' pour le triangle ''ABC''<ref name="Honsberger"/>.
:Le point ''P"'' est alors appelé [[conjugué cyclocévien]] de ''P''.

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File:CevianTriangleRigbyThm1.svg|Les symétriques des sommets d'un triangle cévien dans un triangle par rapport aux milieux des côtés forment un autre triangle cévien (en bleu).
File:CevianTriangleRigbyThm2.svg|Le cercle circonscrit d'un triangle cévien à un triangle forme un autre triangle cévien dans le même triangle (en vert).
</gallery>

== Voir aussi ==
* [[Droite centrale]]

== Références ==
{{Références}}
{{MathWorld|nom_url=CevianTriangle|titre=Cevian Triangle}}

{{Portail|Géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie du triangle|Cevien]]
[[Catégorie:Cercle]]