Voir la source de Triangle de Kobon

{{ébauche|géométrie}}
[[File:Kobon triangles.gif|thumb|<math>N(3)=1</math>, <math>N(4)=2</math> et <math>N(5)=5</math>.]]
Le '''problème des triangles de Kobon''' est un [[Problèmes non résolus en mathématiques|problème non résolu]] de [[géométrie combinatoire]] qui fut énoncé pour la première fois par le mathématicien [[Kobon Fujimura]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Kobon Fujimura|titre=The Tokyo Puzzles|éditeur=[[Éditions Scribner|Scribner]]|année=1978|isbn=0-684-15536-2}}.</ref>. Le problème pose la question suivante : quel est le nombre maximal de [[triangle]]s distincts pouvant être construits à l'aide d'un nombre donné de [[Segment (mathématiques)|segments de droite]] ?

Le problème fut popularisé par [[Martin Gardner]] en 1983<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Martin Gardner]]|titre=Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements|éditeur=[[W. H. Freeman and Company|Freeman]]|année=1983|pages totales=261|passage=170-171 et 178|isbn=978-0-7167-1589-4}}.</ref>.

== [[Majorant]] ==
Saburo Tamura a montré<ref>{{Lien web|lang=en
 | url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/triangulation.html
 | titre=The Geometry Junkyard — Triangles and Simplices : Kabon [sic] Triangles
 | auteur=[[David Eppstein]]
 | site=[[Université de Californie à Irvine#Formation|Donald Bren School of Information and Computer Sciences]]<!--|consulté le=3/7/2018-->
}}.</ref> que pour <math>n</math> segments de droite, le nombre maximal de triangles qu'il est possible de construire, noté <math>N(n)</math>, est inférieur ou égal à <math>\left\lfloor\frac{n\left(n-2\right)}3\right\rfloor</math> (<math>\lfloor~\rfloor</math> désigne la fonction [[partie entière]]).

En 2007, Johannes Bader et [[Gilles Clément]] ont affiné cette borne<ref>{{Lien web|lang=en
 | url=http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php
 | titre=Kobon Triangles - Proof for Tighter Lower Bound
 | auteur=Johannes Bader
 | date=21/12/2007|site=[[ETHZ]]
<!--|consulté le=3/7/2018-->
}}.</ref> : si <math>n</math> est [[Congruence sur les entiers|congru]] à 0 ou 2 modulo 6 alors <math>N(n)</math> est même strictement inférieur à <math>\left\lfloor\frac{n\left(n-2\right)}3\right\rfloor</math>.

== Solutions connues ==
Des solutions maximales, égales au majorant, sont connues pour 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 et 17 droites. Dans les autres cas, le nombre maximal de triangles n'est pas connu, même si l'on connait des configurations qui se rapprochent de ce majorant. Pour 10 et 11 droites, la meilleure solution connue n'est que d'un triangle de moins que la borne donnée par Tamura. Pour 12, 16 et 18 droites, deux triangles de moins.

Le tableau suivant résume, pour les premières valeurs du nombre de segments, la valeur du majorant ainsi que celle de la meilleure solution connue (indiquée en gras lorsqu'il s'agit d'une solution égale au majorant, donc réellement maximale).

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! style="text-align:left;" | Nombre de droites || style="width:2em;" | 1 || style="width:2em;" | 2 || style="width:2em;" | 3 || style="width:2em;" | 4 || style="width:2em;" | 5 || style="width:2em;" | 6 || style="width:2em;" | 7 || style="width:2em;" | 8 || style="width:2em;" | 9 || style="width:2em;" | 10 || style="width:2em;" | 11 || style="width:2em;" | 12 || style="width:2em;" | 13 || style="width:2em;" | 14 || style="width:2em;" | 15 || style="width:2em;" | 16 || style="width:2em;" | 17 || style="width:2em;" | 18 || style="width:2em;" | 19 || style="width:2em;" | 20 || style="width:2em;" | 21
|-
! style="text-align:left;" | Majorant
| — || — || 1 || 2 || 5 || 7 || 11 || 15 || 21 || 26 || 33 || 40 || 47 || 55 || 65 || 74 || 85 || 95 || 107 || 119 || 133
|-
! style="text-align:left;" | Meilleure solution connue
| '''0''' || '''0''' || '''1''' || '''2''' || '''5''' || '''7''' || '''11''' || '''15''' || '''21''' || 25<ref name="Grunbaum_1967">{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Branko Grünbaum]]
 | titre=Convex Polytopes|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]
 | date=1967
 | éditeur=Springer
 | isbn=978-0-38740409-7
}}.</ref> || 32<ref name="Honma">{{Lien web|lang=ja
 | url=http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/triangle/triangle2.htm
 | titre=三角形の最大数|traduction titre=nombre maximal de triangles
 | auteur=S. Honma
<!--|consulté le=3/7/2018-->
}}.</ref> || 38<ref name="Kabanovitch_1999">{{Article|lang=ru
 | auteur=Viatcheslav Kabanovitch
 | titre=Тре
угольника Кобона|traduction titre=Triangles de Kobon
 | journal=Шарада
 | vol=6
 | pages=1-2
 | date=06/1999
 | texte=http://www.maa.org/editorial/mathgames/Charade-June1999-p1.gif
}} (charade, publication du club de puzzle russe {{Lang|ru|Диоген}}).</ref> || '''47'''<ref name="Kabanovitch_1999" /> || 53 || '''65'''<ref name="Suzuki_2005">{{MathWorld|nom_url=KobonTriangle|titre=Kobon Triangle}}, solution communiquée par Toshitaka Suzuki en 2005.</ref> || 72 || '''85'''<ref>{{Lien web|lang=en
 | url=http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php
 | titre=Kobon Triangles - Perfect Solution with 17 lines
 | auteur=Johannes Bader
 | date=11/2007|site=ETHZ
<!--|consulté le=3/7/2018-->
}}.</ref> || 93 || 104 || 115 || 130
|}

C'est la {{OEIS|id=A006066}}.
== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Kobon triangles}}
===Liens externes===
{{Lien web|lang=en
 | url=http://www.mathpuzzle.com/MAA/45-Kobon/mathgames_02_08_06.html
 | titre=Kobon Triangles
 | auteur={{Lien|Ed Pegg Jr.}}
 |site=mathpuzzle.com
 | date=08/02/2006
}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Ligne droite]]
[[Catégorie:Géométrie discrète]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle|Kobon]]