Voir la source de Triangle de Pascal

{{Infobox Objet}}

[[Fichier:Pascal's triangle 5.svg|thumb|Premières lignes du triangle de Pascal.]]

En [[mathématiques]], le '''triangle de Pascal''' est une présentation des [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] dans un [[tableau triangulaire]]. Il a été nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français [[Blaise Pascal]]. Il est connu sous l'appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu'il ait été étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en [[Inde]], en [[Empire perse|Perse]] (où il est appelé « triangle de [[Omar Khayyam|Khayyam]] »), au [[Maghreb]], en [[Chine]] (où il est appelé « triangle de [[Yang Hui]] »), en [[Allemagne]] et en [[Italie]] (où il est appelé « triangle de [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]] »).

La construction du triangle est régie par la relation de Pascal : 
:<math> {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}</math>
pour tous [[Entier naturel|entiers]] {{mvar|n}} et {{mvar|k}} tels que {{math||§=0 < ''k'' < ''n''}}<ref group="note">Ou [[Coefficient binomial#Propriété récursive des coefficients binomiaux d'entiers|plus généralement, pour tous entiers relatifs]] {{mvar|n}} et {{mvar|k}}, avec la convention <math>{n\choose k}=0</math> si <math>k<0</math> ou <math>k>n</math>.</ref>.

Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionnelle est appelée [[pyramide de Pascal]] ou tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées [[simplexe]]s de Pascal.

== Histoire ==
[[Image:Yanghui triangle.gif|thumb|Triangle arithmétique de [[Zhu Shijie]].]]
[[Image:TrianguloPascal.jpg|thumb|Figure du triangle dans le traité de Blaise Pascal.]]
La tradition occidentale attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en [[Extrême-Orient|Orient]] et au [[Moyen-Orient]] plusieurs siècles avant la publication de [[Blaise Pascal]]. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple [[al-Karaji]] ([[953]]-[[1029]])<ref>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> ou [[Omar Khayyam]] au {{XIe siècle}} ou des mathématiciens du Maghreb comme [[Ibn al-Banna' al-Marrakushi|Ibn al-Banna]]<ref>{{MacTutor|id=Al-Banna|title=Ibn al-Banna}}</ref> et ses disciples qui l'utilisent pour développer {{math|(''a'' + ''b'')<sup>''n''</sup>}}. [[Mathématiques chinoises#Mathématiques sous les dynasties Song et Yuan|Il apparaît en Chine]] dès [[1261]] dans un ouvrage de [[Yang Hui]] (au rang 6) et dans  le ''Miroir de jade des quatre éléments'' de [[Zhu Shijie]] en [[1303]] (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du {{s-|XI|e}} [[Jia Xian]]. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la [[Formule du binôme de Newton|formule du binôme]] et, selon [[Victor J. Katz]], il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à 2 la méthode d'extraction de racine<ref>{{en}} [[Victor J. Katz|V. J. Katz]], ''A History Of Mathematics: An Introduction'', 1992 (d'après ''[http://www.roma.unisa.edu.au/07305/pascal.htm Binomial Theorem and the Pascal Triangle]'', par l'[[Université d'Australie-Méridionale|UniSA]]).</ref>.

En Europe, il apparaît dans l'ouvrage de [[Petrus Apianus|Peter Apian]], ''Rechnung''<ref> [http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/TrgPasc2.htm#TrgPas Site de Gérard Villemin].</ref> (1527). Il est étudié par [[Michael Stifel]] (1486-1567)<ref>Henri Bosmans, [http://logica.ugent.be/albrecht/math/bosmans/R079.pdf Note historique sur le triangle arithmétique] {{PDF}}.</ref>, [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]] (1499-1557) et  [[François Viète]] (1540-1603). C'est d'ailleurs sous le nom de « triangle de Tartaglia » qu'il est connu en Italie. Il est également connu de [[Marin Mersenne]] (1588-1648)<ref>
{{Ouvrage|langue=la|auteur1=Marin Mersenne|titre=F. Marini Mersenni Harmonicorum libri|éditeur=G. Baudry|lieu=Paris|année=1636|passage=136|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63326258/f155.image}}.</ref>. Mais c'est [[Blaise Pascal]] qui lui consacre un traité : le ''[[Traité du triangle arithmétique]]'' (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition [[combinatoire]] des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du [[raisonnement par récurrence]]. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binôme. Il l'utilise dans la résolution d'un problème de partage équitable des enjeux dans un jeu de hasard qui est interrompu avant le terme défini ([[problème des partis]])<ref group=note>''Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties''.</ref>.

== Construction ==
=== Combinatoire ===
En écrivant la formule de Pascal,
:pour tous entiers ''i'' et ''j'' tels que 0 < ''j'' < ''i'', <math>{i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}</math>,
on remarque que le coefficient de la ligne ''i'' et colonne ''j'' s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne ''i'' - 1 et colonne ''j'' - 1 et de la ligne ''i'' - 1 et colonne ''j''. De plus on a :
:<math>{n \choose 0}={n \choose n}=1</math>.
On peut en déduire une méthode de construction du triangle de Pascal, qui consiste, sous forme pyramidale, à placer un 1 au sommet de la pyramide, puis à ajouter un 1 de chaque côté juste en dessous. Les extrémités des lignes sont toujours des 1, tandis que les autres nombres sont la somme des deux nombres situés directement au-dessus.

=== Nombre de chemins dans un réseau binaire ===
Imaginons que chaque nombre dans le triangle est un nœud dans un réseau qui est connecté aux nombres adjacents du dessus et du dessous. Maintenant pour n'importe quel nœud dans le réseau, comptons le nombre de chemins qu'il y a dans le réseau (sans faire une marche arrière) qui connecte ce nœud au nœud supérieur  du triangle. La réponse est le nombre de Pascal associé à ce nœud.

[[Image:Pascal's Triangle 4 paths.svg|center|thumb|upright=2|Les quatre chemins vers un même nœud.]]

== Propriétés ==

=== Liées à la construction ===

==== Concernant les lignes horizontales ====

* Le triangle est symétrique par rapport à un axe vertical ; il en est donc de même pour chaque ligne : par exemple, la ligne de rang 4 est 1, 4, 6, 4, 1.

* La somme des termes d'une ligne est le double de la somme précédente ; elle est donc égale à 2<sup>''n''</sup> pour la ligne de rang ''n'' (première ligne = rang 0)

==== Concernant les lignes obliques ====
Elle repose sur l’égalité connue sous le nom de [[formule d'itération de Pascal]] ou formule de la crosse de hockey<ref>{{MathWorld|nom_url=ChristmasStockingTheorem|titre=Christmas Stocking Theorem}}.</ref> :
<math display=block>\sum_{j=n}^r\binom jn=\binom{r+1}{n+1}</math>.

Si l'on fait une somme de termes, en partant d'un bord gauche du triangle et en descendant en oblique vers la droite, on obtient le terme situé en diagonale en bas à gauche du dernier terme de la somme.

: Exemple 1 : descente en diagonale de 4 termes à partir de la {{3e}} ligne : 1 + 3 + 6 + 10 = 20, terme situé en bas à gauche du dernier terme.
: Exemple 2 : descente en diagonale de 5 termes à partir de la {{5e}} ligne : 1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126, terme situé en bas à gauche du 70.

==== Concernant les diagonales ascendantes ====
[[Fichier:PascalFibonacci.svg|gauche|vignette|Les sommes des « diagonales ascendantes » du triangle de Pascal forment la [[suite de Fibonacci]].]]
[[Fichier:PascalStern.svg|vignette|Le nombre de coefficients impairs dans les « diagonales ascendantes » du triangle de Pascal forme la [[suite diatomique de Stern]]. Ci-dessus, les nombres impairs ont été remplacés par des 1 et les nombres pairs par des 0.]]
Lorsque le triangle est disposé comme dans la figure ci-contre à gauche (au lieu d'être symétrique par rapport à une verticale), la somme des termes des diagonales de pente 1 forme la [[suite de Fibonacci]]. Si, au lieu d'en faire la somme, on compte le nombre de coefficients impairs sur ces diagonales, on obtient la [[suite diatomique de Stern]] (figure de droite).






=== Formule du binôme ===
{{Article détaillé|Formule du binôme de Newton}}
Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les [[formule du binôme de Newton|développements binomiaux]]. En effet, on trouve sur une même ligne tous les coefficients intervenant dans le développement d'une puissance de la somme de deux termes.
:Exemple : {{math|(''X'' + 1){{2}} {{=}} ''X''{{2}} + 2''X'' + 1{{2}}}} et les coefficients de chaque monôme sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal (la ligne de rang 2), c'est-à-dire 1, 2, 1.
:Généralisation : {{math|(''X'' + ''Y''){{exp|''n''}} {{=}} ''a''{{ind|0}}''X''{{exp|''n''}}''Y''{{exp|0}} + ''a''{{ind|1}}''X''{{exp|''n''–1}}''Y''{{exp|1}} + ... +  ''a''{{ind|''n''}}''X''{{exp|0}}''Y''{{exp|''n''}}}}, où les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la ''n''+1{{e}} ligne du triangle de Pascal (ligne de rang ''n'').

Connaissant ainsi  la formule de sommation <math>(a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}</math>, plusieurs propriétés apparaissent simplement.

Posons {{math|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} 1}}, on a alors <math>2^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,{} </math>.

Posons {{math|''a'' {{=}} 1}} et {{math|''b'' {{=}} –1}}, on a alors <math>0 = \sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,(-1)^i </math>.

Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est {{math|2{{exp|''n''–1}}}} et est égale à la somme des termes d'ordre 1, 3, 5, ....

=== Propriété liée au dénombrement ===
Le nombre situé dans la colonne {{mvar|p}} (en comptant à partir de 0 les colonnes) et la ligne {{mvar|n}} (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de [[Combinaison sans répétition|combinaisons]] possibles de {{mvar|p}} éléments dans un ensemble à {{mvar|n}} éléments.

Dans la ligne {{mvar|n}} et la colonne {{mvar|p}}, on a <math>{n \choose p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}</math>.

* Dans la ligne {{mvar|n}} et la colonne {{mvar|p}}, on lit le nombre de fois où l'on peut espérer obtenir {{mvar|p}} piles et {{mvar|n–p}} faces lors de {{mvar|n}} lancers d'une pièce équilibrée <ref group=note>Formule exploitée par Pascal dans son problème des partis.</ref>
* En  multipliant un terme par le rang de sa colonne et en le divisant par le rang de sa ligne, on obtient le terme situé un cran plus haut sur la gauche
*: exemple  le terme dans la ligne 6 et la colonne 4 est 15 (on rappelle que les lignes et les colonnes sont numérotées en commençant à 0) ; or 15 × 4/6=10 situé dans la case juste à côté en haut à gauche.
* En multipliant le terme de ligne {{mvar|n}} et de colonne {{mvar|p}} par<math> \frac{n-p}{p+1}</math>, on obtient son voisin sur la droite
* Tous les termes de la ligne de rang {{mvar|n}} (sauf le premier et le dernier) sont multiples de {{mvar|n}} si et seulement si {{mvar|n}} est un nombre premier

=== Nombres de Catalan ===
{{Article détaillé|Nombre de Catalan}}
Toutes les lignes de rang pair ({{math|2''n''}}) ont un terme central, en divisant ce terme par ''n''+1 ou en lui ôtant son voisin, on obtient un nombre de [[Eugène Charles Catalan|Catalan]].

=== Triangle de Sierpiński ===
{{loupe|Triangle de Sierpiński}}
[[Image:Pascal-Sierpinski.png|thumb|Obtention du triangle de Sierpiński par coloriage du triangle de Pascal.]]
Si l'on inscrit le triangle de Pascal dans une trame triangulaire, la réunion des cellules contenant des termes impairs est un [[triangle de Sierpiński]]<ref>[[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]], « Les fractals de Pascal », ''[[Pour la science]]'', {{n°|129}}, 1988, {{p.|100-105}}. Selon [https://archive.is/8RBL ce site].</ref>.

Si {{mvar|p}} est un [[nombre premier]] supérieur à {{math|2}}, on peut obtenir des structures fractales analogues en coloriant toutes les cellules qui ne sont pas congrues à {{mvar|0}} modulo {{mvar|p}}.

=== Nombres figurés ===
{{Article détaillé|Nombre figuré}}
Les nombres situés sur la troisième diagonale descendante correspondent aux [[nombre triangulaire|nombres triangulaires]], ceux de la quatrième diagonale aux [[nombre tétraédrique|nombres tétraédriques]], ceux de la cinquième diagonale aux [[Nombre pentatopique|nombres pentatopiques]] et ceux de la ''n''-ième diagonale aux nombres n-topiques.

=== Formules trigonométriques ===
La formule du binôme appliqué à la [[formule de Moivre]] 
:<math> (\cos(\theta) + \mathrm{i}\sin(\theta))^n = \cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)</math> 
permet de développer {{math|cos(''n''θ)}} et {{math|sin(''n''θ)}}.

Les coefficients situés sur la ligne de rang ''n'' permettent d'écrire {{math|tan(''n''θ)}} en fonction de {{math|''t''{{=}}tan(θ)}}
: Exemple : sur la ligne 4 on lit 1 – 4 – 6 – 4 – 1 et <math>\tan(4\theta) = \frac{4t -4t^3 }{1-6t^2 + t^4}</math>
: Formule générale : <math>\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}{(-1)^k {n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}(-1)^k{n \choose 2k}t^{2k}}</math>.

Les coefficients situés sur une diagonale ascendante permettent d'exprimer {{math|sin(''n''θ)}} comme produit de {{math|sin(θ)}} par un polynôme en {{math|2 cos(θ)}} (voir [[Polynôme de Tchebychev]]) :
: Exemple : sur la diagonale ascendante de rang 5, on lit 1 – 3 – 1 et
{{retrait|<math> \begin{align}\sin(5\theta)&= \sin\theta\left[(2\cos\theta)^4 - 3(2\cos\theta)^2 + 1\right]\\ \ & = \sin\theta(16\cos^4\theta-12\cos^2\theta+1)=\sin\theta \times U_4(\cos \theta)\end{align}</math>}}
: où ''U''{{ind|4}} est le [[Polynôme de Tchebychev#Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce|polynôme de Tchebychev de seconde espèce]] d'ordre 4.
: Généralisation<ref>Henri Immediato, ''[http://nte-serveur.univ-lyon1.fr/nte/immediato/recurrence/chap08/chap08c.htm#calcul_pratique Calcul pratique avec le triangle de Pascal]''.</ref> : si les termes de la diagonale ascendante de rang ''n'' sont <math>a_{n,0}, a_{n,1}, \cdots a_{n,[(n-1)/2]}</math>, on a
{{retrait|<math> \sin(n\theta) = \sin(\theta)\left(\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2 \rfloor}(-1)^k a_{n,k}\left(2\cos(\theta)\right)^{n-1-2k}\right)</math>}}

Par conséquent, les coefficients situés sur la diagonale ascendante de rang ''n'' permettent de déterminer un polynôme de degré [(''n''-1)/2] dont les racines sont les valeurs <math display=inline> \left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2</math><ref>[http://www.gecif.net/articles/mathematiques/trianglepascal/ Comment calculer les nombres réels COS(pi/n) grâce au triangle de Pascal].</ref> pour ''k'' variant de 1 à <math display=inline>\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor.</math>
: Exemple : sur la diagonale de rang 7, on lit 1 – 5 – 6 – 1, on sait donc que les <math> \left(2\cos\left(\frac{k\pi}7\right)\right)^2</math> (pour ''k'' = 1, 2, 3) sont les racines de <math> P(x)= x^3 - 5x^2 + 6x - 1</math>.
: Généralisation : <math>P(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}(-1)^k a_{n,k} x^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor - k}</math> a pour racines <math> \left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2</math>.

=== Transformée de Fourier de sin(''x'')<sup>''n''+1</sup>/''x'' ===
Les coefficients de (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''</sup> sont la ''n''{{exp|e}} ligne du triangle. Les coefficients de (''x''&nbsp;−&nbsp;1)<sup>''n''</sup> sont les mêmes, sauf que le signe est alterné.

Après une normalisation appropriée, la même suite de nombres est présente dans la [[Transformation de Fourier|transformée de Fourier]] de sin(''x'')<sup>''n''+1</sup>/''x''.

Plus précisément : si ''n'' est pair, il faut prendre la partie réelle de la transformée et si ''n'' est impair, il faut prendre la partie imaginaire.

Le résultat est alors une [[fonction étagée]] dont les valeurs (convenablement normalisées) sont données par la ''n''{{exp|e}} rangée du triangle en alternant les signes.

Ainsi :
:<math>\,\mathfrak{Re}\left(\text{Fourier} \left[  \frac{\sin(x)^5}{x}   \right]\right)</math>

compose la {{4e|rangée}} du triangle, avec des signes alternés.

C'est une généralisation du résultat suivant (souvent utilisé en ingénierie électrique) : 
:<math>\,\mathfrak{Re}\left(\text{Fourier} \left[ \frac{\sin(x)}{x}\right] \right)</math> 

est la [[fonction de Heaviside]].

La rangée correspondante du triangle est la rangée 0, qui est restreinte au nombre 1.

== Généralisations ==

=== Binôme généralisé ===
La relation de Pascal s'étend aux [[Formule du binôme généralisée#Énoncé|coefficients binomiaux généralisés]] <math>r\choose k</math>, dans lesquels <math>r</math> est un [[nombre complexe]].

=== Généralisation aux dimensions supérieures ===
Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la [[pyramide de Pascal]].

=== Généralisation aux indices de ligne ou de colonne négatifs ===

Le triangle de Pascal se généralise aux indices de ligne négatifs.

D'abord, il faut écrire le triangle sous la forme suivante  :

{|class="wikitable center"
|-
|  || ''m'' = 0 || ''m'' = 1 || ''m'' = 2 || ''m'' = 3 || ''m'' = 4 || ''m'' = 5 || ...
|-
| ''n'' = 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 2 || 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 3 || 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 4 || 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

Ensuite l'écrire de la façon suivante :

{|class="wikitable center"
|-
|  || ''m'' = 0 || ''m'' = 1 || ''m'' = 2 || ''m'' = 3 || ''m'' = 4 || ''m'' = 5 || ...
|-
| ''n'' = -4 || 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| ''n'' = -3 || 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| ''n'' = -2 || 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| ''n'' = -1 || 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| ''n'' = 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 2 || 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 3 || 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 4 || 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

La formule :

:<math> {n \choose m} = {n-1 \choose m-1} + {n-1 \choose m}</math>

peut être ré-arrangée de la façon suivante :

:<math> {n-1 \choose m} = {n \choose m} - {n-1 \choose m-1}</math>

ce qui permet le calcul des termes de rang négatif :

{|class="wikitable center"
|-
|  || ''m'' = 0 || ''m'' = 1 || ''m'' = 2 || ''m'' = 3 || ''m'' = 4 || ''m'' = 5 || ...
|-
| ''n'' = −4 || 1 || −4 || 10 || −20 || 35 || −56 || ...
|-
| ''n'' = −3 || 1 || −3 || 6 || −10 || 15 || −21 || ...
|-
| ''n'' = −2 || 1 || −2 || 3 || −4 || 5 || −6 || ...
|-
| ''n'' = −1 || 1 || −1 || 1 || −1 || 1 || −1 || ...
|-
| ''n'' = 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 2 || 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 3 || 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 4 || 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

Cette extension préserve les formules :

:<math>
{n \choose m} = \frac{1}{m!}\prod_{k=0}^{m-1} (n-k) = \frac{1}{m!}\prod_{k=1}^{m} (n-k+1)
</math>.

et 

:<math>
(1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k \quad\textrm{  pour  }  |x| < 1
</math>

Ainsi :

:<math>
(1+x)^{-2} = 1-2x+3x^2-4x^3+... \quad \textrm{  pour  } |x| < 1
</math>

Une autre possibilité d'extension par rapport aux colonnes d'indice négatif est la suivante :

{|class="wikitable center"
|  || ''m'' = -4 || ''m'' = -3 || ''m'' = -2 || ''m'' = -1 || ''m'' = 0 || ''m'' = 1 || ''m'' = 2 || ''m'' = 3 || ''m'' = 4 || ''m'' = 5 || ...
|-
| ''n'' = -4 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = -3 ||   || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n' = -2 ||   ||   || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = -1 ||   ||   ||   || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 0  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 1  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 2  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 3  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 4  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

En appliquant les mêmes règles que précédemment, il vient : 

{|class="wikitable center"
|  || ''m'' = -4 || ''m'' = -3 || ''m'' = -2 || ''m'' = -1 || ''m'' = 0 || ''m'' = 1 || ''m'' = 2 || ''m'' = 3 || ''m'' = 4 || ''m'' = 5 || ...
|-
| ''n'' = -4 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = -3 || -3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = -2 || 3 || -2 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = -1 || -1 || 1 || -1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ..
|-
| ''n'' = 0  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 1  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 2  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 3  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| ''n'' = 4  || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

Cette généralisation permet de conserver la propriété d'exponentielle d'une matrice. En effet, comme on a, 
:<math>
\exp\begin{pmatrix}
. & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . \\
. & . & . & 4 & .
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & . & . & . & . \\
1 & 1 & . & . & . \\
1 & 2 & 1 & . & . \\
1 & 3 & 3 & 1 & . \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix} </math>,

on étend à,

:<math>
\exp\begin{pmatrix}
. & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
-4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & -3 & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & -2 & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & -1 & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & 0 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & 2 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & 3 & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & . & 4 & .
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
-4 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . \\
6 & -3 & 1 & . & . & . & . & . & . & . \\
-4 & 3 & -2 & 1 & . & . & . & . & . & . \\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 1 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 2 & 1 & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 3 & 3 & 1 & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix} </math>

Ces deux généralisations peuvent être aussi obtenues à l'aide de la [[fonction gamma]], en écrivant : 

: <math> {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \equiv \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}</math>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Pascal's triangle|443397609|type=n}}
=== Notes ===
<references group=note/>

=== Références ===
{{Références|taille=30}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Pascal's triangle|wikt=triangle de Pascal}}

=== Articles connexes ===
{{Colonnes|taille=|nombre=3|* [[Combinaison sans répétition]]
* [[Combinatoire]]
* [[Conjecture de Singmaster]]
* [[Formule d'itération de Pascal]]
* [[Formule du pion]]
* [[Loi normale]]
* [[Matrice de Pascal]]
* [[Pyramide de Pascal|Tétraèdre de Pascal]]
* [[Tableau triangulaire]]
* [[Théorème de l'étoile de David]]
* [[Théorème de Lucas]]
* [[nombre de Delannoy|Triangle de Delannoy]]
* [[Triangle de Pascal (2,1)]]
* [[coefficient fibonomial#Triangle_fibonomial|Triangle fibonomial]]
* Triangles des [[Nombre de Stirling|nombres de Stirling]]


}}

=== Liens externes ===
*{{MathWorld|nom_url=PascalsTriangle|titre=Pascal's Triangle}}
* {{en}} ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LeibnitzTriangle.shtml Leibniz and Pascal Triangles]'' sur [[cut-the-knot]]
* {{en}} ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/DotPatterns.shtml Dot Patterns, Pascal Triangle and Lucas Theorem]'' sur cut-the-knot
* {{en}} [http://jeff560.tripod.com/p.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)]
*{{Lien web|lang=en|url=http://ptri1.tripod.com|titre=Pascal's Triangle And Its Patterns|site=ptri1.tripod.com}}
*{{Lien web|lang=en|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html|titre=Pascal's Triangle|site=The Math Forum - Ask Dr. Math: FAQ}}
*[https://blaisepascal.bibliotheques-clermontmetropole.eu/son-oeuvre/pascal-savant/mathematiques/le-triangle-arithmetique Explication vidéo et en image] du triangle de Pascal. Réalisé par [[Clermont Auvergne Métropole]].

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Combinatoire]]
[[Catégorie:Nommé d'après Blaise Pascal]]
[[Catégorie:Triangle de nombres|Pascal]]
[[Catégorie:Coefficient binomial]]