Voir la source de Triangle isocèle

[[Fichier:Triangle-isosceles.svg|vignette|upright|Un triangle isocèle.]]
En [[géométrie]], un '''triangle isocèle''' est un [[triangle]] ayant au moins<ref>Un [[triangle équilatéral]], dont les trois côtés ont la même longueur, est ainsi un cas particulier de triangle isocèle.</ref> deux côtés de même longueur. Plus précisément, un triangle ABC est dit '''isocèle en A''' lorsque les longueurs AB et AC sont égales. A est alors le sommet principal du triangle et [BC] sa [[base (géométrie)|base]].

Dans un triangle isocèle, les [[angle]]s adjacents à la base sont égaux.

Un [[triangle équilatéral]] est un cas particulier de triangle isocèle, ayant ses trois côtés de même longueur.

== Étymologie ==
Le mot « isocèle » vient du grec ''{{langue|grc|iso}}'' qui signifie « mêmes » et ''{{langue|grc|skelos}}'', « jambes » (le dessin d'un triangle isocèle peut faire penser aux deux jambes d'un dessin de « bonhomme »).

Le [[Littré]] qualifie cette orthographe de « barbare », ''a contrario'' de « l’orthographe étymologique et correcte ''isoscèle'' ».

== Propriétés ==
* Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles égaux est isocèle.
* Dans un triangle ABC isocèle en A, la [[Médiane (géométrie)|médiane]], la [[Hauteur d'un triangle|hauteur]] et la [[bissectrice]] toutes issues de A ainsi que la [[médiatrice]] de la base [BC] sont confondues. Cette droite est également un [[symétrie axiale|axe de symétrie]] du triangle (et le seul, sauf si le triangle est [[triangle équilatéral|équilatéral]]).
* Le [[centre du cercle circonscrit]] d’un [[triangle acutangle]] décompose celui-ci en trois triangles isocèles. Celui d'un [[triangle rectangle]] (qui est le milieu de l'[[hypoténuse]]) le décompose en deux triangles isocèles.

== Formules ==
Dans un triangle isocèle, si l'on note <math>a</math> la longueur des deux côtés égaux et <math>b</math> la longueur de la base, alors :
* la longueur de la [[Hauteur (géométrie)|hauteur]] est donnée par la formule : <math>h=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}</math>.
* l'[[Aire (géométrie)|aire]] du triangle est <math>\mathcal{A}=\frac{b}{2}\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}</math>.
* le [[périmètre]] du triangle est <math>p=2a+b</math>.

== Cas particuliers ==
* Deux [[triangle plat|triangles plats]] peuvent être considérés comme isocèles avec un angle principal de 0° ou de 180°.
* Le [[triangle équilatéral]] est un triangle isocèle en chacun de ses sommets, avec des angles de 60°.
* Le [[triangle isocèle rectangle]] est aussi appelé ''demi-carré'' avec un angle principal de 90°.
* Le [[triangle d'or (géométrie)|triangle d'or]] avec un angle principal de 36°, et le gnomon d’or (avec un angle principal de 108°) apparaissent dans la construction du [[pentagone régulier]] et dans les [[pavage de Penrose|pavages de Penrose]].
* Le triangle isocèle d’angle principal 120° est associé au pavage triakis, [[pavage dual|dual]] du [[pavage hexagonal tronqué]].

== Caractérisation par les longueurs de deux médianes, de deux hauteurs ou deux bissectrices ==
Un triangle est isocèle si et seulement s'il possède deux médianes (segments), ou deux hauteurs (segments), ou deux bissectrices (segments) de même longueur.

Les sens directs sont évidents, et les réciproques peuvent se démontrer par les expressions des longueurs des [[cévienne]]s données par le [[théorème de Stewart]].

Pour l'égalité des segments issus de A et B, on obtient, avec les notations classiques du triangle :

* <math>\frac{a^2+c^2}{2}-{b^2\over4}=\frac{a^2+b^2}{2}-{c^2\over4}</math> pour l'égalité des médianes
* <math>\frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> pour l'égalité des hauteurs
* <math>\frac{4ac(p-b)p}{(a+c)^2}=\frac{4ab(p-c)p}{(a+b)^2}</math> pour l'égalité des bissectrices

qui donnent dans chaque cas <math>b=c</math> <ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Yves Ladegaillerie|titre=Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique|passage=330|éditeur=Ellipses|date=2003|isbn=9782729814168}}.</ref>.

On trouvera également dans {{Harvsp|Ladegaillerie|2003|p=330}}, une démonstration géométrique pour les bissectrices.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==
{{Autres projets|commons=Category:Isosceles triangles}}

=== Bibliographie ===
* {{Baruk|Isocèle}}

=== Articles connexes ===
* [[Triangle équilatéral]]
* [[Triangle rectangle]]
* [[Triangle isocèle rectangle]]

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=IsoscelesTriangle|titre=Isosceles Triangle|auteur=Eric W. Weisstein}}.

{{Palette|Triangle}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie du triangle|Isocèle]]
[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]