Voir la source de Trigonométrie

{{redirect homophones|Trigo|Trigault}}
[[Fichier:Triangle rectangle trigo.svg|vignette|droite|Un [[triangle rectangle]] sur lequel est indiqué un angle Â, le côté adjacent à cet angle, le côté opposé à celui-ci, l'[[hypoténuse]] du triangle, et son angle droit.]]
[[Fichier:Unit circle angles color.svg|vignette|Cercle trigonométrique et angles remarquables]]
[[Fichier:Table_of_Trigonometry,_Cyclopaedia,_Volume_2.jpg|vignette|droite|Planche sur la Trigonométrie, 1728 ''[[Cyclopaedia]]''.]]
[[File:Math Trigonometry Unit Circle Rotation Sign Indication.svg|thumb|Indication du signe et de la mesure d'angles clés selon le sens de rotation ("Rotation horaire" à gauche, "Rotation antihoraire" à droite)]]

La '''trigonométrie''' (du [[grec ancien|grec]] {{grec ancien|τρίγωνος|trígônos}}, « triangulaire », et {{grec ancien|μέτρον|métron}}, « mesure ») est une branche des [[mathématiques]] qui traite des relations entre distances et angles dans les [[triangle]]s et des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] telles que [[Sinus (mathématiques)|sinus]], [[cosinus]], [[Tangente (trigonométrie)|tangente]].

== Présentation ==
=== [[Histoire des fonctions trigonométriques|Histoire de la trigonométrie]] ===
==== Premières techniques de mesure du triangle ====
Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’[[Égypte antique]], de [[Mésopotamie]] et de [[Civilisation de la vallée de l'Indus|la vallée de l’Indus]], il y a plus de {{nombre|4000|ans}}<ref>[[Asger Aaboe|Aaboe, Asger]]: ''Episodes from the Early History of Astronomy'' New York: Springer, 2001. {{ISBN|0-387-95136-9}}</ref>. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique à [[Base (arithmétique)|base]] 60.

La tablette paléo-babylonienne [[Plimpton 322]] ([[circa|''ca'']] [[-1800]]) présenterait des rudiments de trigonométrie<ref>{{Article | lang=en | prénom = Eleanor |nom = Robson | titre = Words and pictures: new light on Plimpton 322 | url=http://www.joma.org/images/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf |année=2002 |lien périodique=American Mathematical Monthly|revue=Amer. Math. Month.|volume = 109 | numéro = 2 | pages = 107 | doi = 10.2307/2695324}}</ref>.

==== Les astronomes grecs ====
L'astronome et mathématicien grec [[Hipparque de Nicée]] ([[-190]] ; [[-120]]) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre (avec une division du cercle en 360°), la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le grec [[Ptolémée]], qui les publia, vers l'an 150, avec leur mode de construction dans son ''[[Almageste]]''. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen Âge par [[Georg von Purbach]] et son élève [[Regiomontanus]]. On attribue à [[Ménélaos d'Alexandrie]] (fin du {{s-|I}}) des développements en [[trigonométrie sphérique]], au moins partiellement présents dans l'Almageste et longtemps attribués à Ptolémée lui-même.

==== Les mathématiciens indiens ====
Vers l'an 400, est rédigé un traité indien d'astronomie, le [[Surya Siddhanta]], qui s'inspire de l'astronomie grecque, mais qui apporte une innovation concernant la trigonométrie. Alors que les mathématiciens grecs associaient la mesure d'une corde à un arc, l'ouvrage préfère associer la demi-corde à un arc donné. Cela donnera naissance à la notion de sinus<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jean-Paul Collette|titre=Histoire des mathématiques|tome=1|éditeur=[[Vuibert]]|année=1973|passage=111|isbn=}}</ref>. Il en sera de même plus tard des [[Mathématiques arabes|mathématiciens arabes]]. Le mathématicien indien [[Âryabhata]], en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise ''zya'' pour sinus, ''kotizya'' pour cosinus et ''otkram zya'' pour l'inverse du sinus. Il introduit aussi le [[sinus verse]].

Un autre mathématicien indien, [[Brahmagupta]], utilise en 628 l'[[interpolation numérique]] pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

==== Essor dans le monde musulman ====
C'est dans le monde musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l'astronomie<ref>{{Lien web|url=https://www.dailymotion.com/video/xavcjs_les-mathematiques-arabes-4-6_tech|auteur=Ahmed Djebbar|titre=Les mathématiques arabes|consulté le=27/10/2019|site=www.dailymotion.com}}</ref>.

[[Abu l-Wafa]] ([[940]]-[[998]]) simplifie l'''[[Almageste]]'' de Ptolémée en remplaçant l'usage du [[théorème de Ptolémée]] (qu'il nomme ''méthode du quadrilatère et des six quantités'') par des formules de trigonométrie comparables aux nôtres (sinus de la somme de deux arcs, par exemple)<ref>{{Article|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k93241p/f414.image|titre=L'Almageste d'Abû'lwefa Albûzdjâni|auteur=Baron Carra de Vaux|périodique=Journal asiatique|date=mai-juin 1992|tome=19|série=8|pages=413 et suivantes|site=gallica.bnf.fr}}</ref>. [[Omar Khayyam]] ([[1048]]-[[1131]]) combine l'utilisation de la trigonométrie et la [[théorie de l'approximation]] pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien [[Bhāskara II]] en [[1150]]. Il développe aussi la [[trigonométrie sphérique]]. Au {{XIIIe siècle}}, [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir al-Din Tusi]], à la suite de Bhāskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au {{XIVe siècle}}, [[Al-Kachi]] réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

==== En Europe : redécouverte de Ptolémée ====
En 1220, en Europe, [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] propose une table trigonométrique dans sa ''Practica Geometriae''<ref>cf. {{Lien web|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015017403588&view=1up&seq=106|auteur=Baltassarre Boncompagni|titre=Scritti di Leonardo Pisano|année=1832}}. Fibonacci utilise un cercle dont le rayon mesure 21 [[Perche (unité)|perches]] (chaque perche étant subdivisée en 6 pieds, chaque pied en 18 onces et chaque once en 18 points). Il divise la circonférence en 132 parties, et donne la longueur de la corde en fonction de l'arc. Ainsi, un arc de 60° possède 22 parties et sa corde mesure 21 perches.</ref>, mais qui comporte malheureusement plusieurs erreurs.

La mise en place de mesures trigonométriques précises se développe vers le milieu du {{s-|XV}}, avec la traduction en [[latin]] des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont [[Georg von Peuerbach]] et surtout son étudiant [[Regiomontanus]]. Ce dernier adopte la notion de sinus utilisée par les mathématiciens indiens et arabes. Il dresse une table des sinus avec un rayon de {{nombre|600000}} unités, puis {{nombre|10000000}} d'unités et donne également une table des tangentes<ref name=Kline>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Morris Kline|titre=Mathematical Thought from Modern to Ancient Times|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1972|passage=238|isbn=}}</ref>. Suivent au début du {{s-|XVI}} les traités d'[[Oronce Fine]], [[Pedro Nunes]] et [[Georg Joachim Rheticus|Joachim Rheticus]]. Ce dernier dresse une table trigonométrique pour un rayon de 10<sup>15</sup> d'unités et avec un incrément de 10 secondes d'arc<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jean-Paul Collette|titre=Histoire des mathématiques|tome=1|éditeur=[[Vuibert]]|année=1973|passage=172|isbn=}}</ref>. Le mathématicien [[silésie]]n [[Pitiscus|Bartholomäus Pitiscus]] publie un travail remarquable sur la trigonométrie en [[1595]], dont le titre (''Trigonometria'') a donné son nom à la discipline<ref name=Kline/>. {{refnec|C'est le mathématicien flamand [[Adrien Romain]] qui introduit la notation moderne <math>\sin\alpha</math>}}.

L'utilisation de rayons ayant comme mesure une puissance de 10 et le développement du calcul décimal à la fin du {{s mini-|XVI}}, avec [[François Viète]]<ref>François Viète a publié des tables trigonométriques dans son ''Canon mathematicus'' (1579). cf {{Lien web|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1520209b/f20.image|auteur=François Viète|titre=
    Canon mathematicus, seu Ad triangula, cum adpendicibus |année=1579|site=gallica.bnf.fr}}</ref> et [[Simon Stevin]], amenèrent petit à petit à se ramener à un rayon unité et à introduire [[Pi|<math>\pi</math>]] en tant que nombre et non plus en tant que rapport de deux longueurs.

=== Applications ===
Les [[applications de la trigonométrie]] sont extrêmement nombreuses. En particulier, elle est utilisée en [[astronomie]] et en [[navigation]] avec notamment la technique de [[triangulation]]. Les autres champs où la trigonométrie intervient sont (liste non exhaustive) : [[physique]], [[électricité]], [[électronique (technique)|électronique]], [[mécanique (science)|mécanique]], [[acoustique]], [[optique]], [[statistique]]s, [[économie (discipline)|économie]], [[biologie]], [[chimie]], [[médecine]], [[météorologie]], [[géodésie]], [[géographie]], [[cartographie]], [[cryptographie]], [[informatique]] etc.

== Trigonométrie ==
[[Fichier:Rtriangle.svg|vignette|droite|Triangle ABC, rectangle en C.]]
Une définition possible des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90 [[Degré (angle)|degrés]] ou {{math|π/2}} [[radian]]s).

Et parce que la somme des [[angle]]s d'un [[triangle]] fait 180° (ou {{math|π}} radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'[[hypoténuse]].

Dans la figure à droite, l'angle <math>\widehat{ACB}</math> forme l'angle droit. Le côté {{math|[''AB'']}} est l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, en notant <math>\widehat A</math> l'angle <math>\widehat{BAC}</math> :

:<math> \sin \widehat A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{hypoténuse}} = {a \over c}
 \qquad \cos\widehat A={\mbox{côté adjacent} \over \mbox{hypoténuse}} = {b \over c}
 \qquad \tan \widehat A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{côté adjacent}} = {a \over b}
</math>

Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et {{math|π/2}} radians). En utilisant le [[cercle unité]], on peut étendre cette définition à un angle quelconque, comme exposé dans l’article [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]].

== Formules de trigonométrie ==
{{Article détaillé|amorce=Pour plus de formules, voir l'article|Formule de trigonométrie}}
=== Identité remarquable ===
Quel que soit le réel <math>a</math>, on a (d'après le [[théorème de Pythagore]]):
: <math> \cos^{2} a + \sin^{2} a = 1 \,</math>

=== Formules d'addition et de différence des arcs ===
{{Article détaillé|Identité trigonométrique#Formules d'addition et de différence{{!}}Formules d'addition et de différence}}
Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus :
:<math>\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b</math> ;
:<math>\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b</math>.
On en déduit celle pour la tangente :
:<math>\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}</math>,
ainsi que les formules de différence (en remplaçant {{mvar|B}} par {{mvar|-B}}, sachant que la fonction cosinus est [[Parité d'une fonction|paire]] et les fonctions sinus et tangente sont [[Parité d'une fonction|impaires]]).

=== Formules de multiplication des arcs ===
:<math>\cos (2a) =  \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2\cos^{2} a - 1 = 1 - 2\sin^{2} a \,</math>

:<math>\sin (2a) =  2\sin a \cos a \,</math>

:<math>\tan (2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^{2} a } \,</math>
:<math>\sin (3a) =  3\sin a -4 \sin^{3} a \,</math>

:<math>\cos (3a) =  -3\cos a +4 \cos^{3} a \,</math>
:<math>\tan (3a) =\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}</math>

=== Formules de développement et de factorisation (formules de [[Thomas Simpson|Simpson]]) ===
{{Article détaillé|Formules de Simpson|Prostaphérèse}}

Des formules d'addition et de différence {{supra|Formules d'addition et de différence des arcs}}, on déduit :

;Développement
:<math>\cos a \cos b=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}2</math>, en particulier <math>\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}2</math>,
:<math>\sin a \sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2</math>, en particulier <math>\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}2</math>,
:<math>\sin a \cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}2</math> ;

;Factorisation
:<math>\cos p + \cos q = 2 \cos{{p+q} \over 2}\cos{{p-q} \over 2}</math>,
:<math>\cos p - \cos q = -2 \sin{{p+q} \over 2}\sin{{p-q} \over 2}</math>,
:<math>\sin p + \sin q = 2 \sin{{p+q} \over 2}\cos{{p-q} \over 2}</math>.

=== Formules de l'arc moitié ===
Ces formules interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant :
:<math>t = \tan \frac a2</math>,
on a :
:<math>\sin a=\frac{2t}{1+t^2}~,\qquad\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}~,\qquad\tan a=\frac{2t}{1-t^2}</math>.

=== Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus ===
{{Article détaillé|Loi des cosinus}}Les résultats donnés ici et dans les sections suivantes concernent les mesures en [[géométrie euclidienne]]. L'étude des mêmes questions en [[géométrie sphérique]] est faite à l'article [[Trigonométrie sphérique]], et en [[géométrie hyperbolique]] à l'article [[Fonction hyperbolique]].

Pour un triangle ''ABC'' de côtés ''a = BC, b = AC'' et ''c = AB,'' on a ([[loi des cosinus]]) :

:<math>a^2=b^2+c^2-2\, b \,c\, \cdot\cos\widehat A</math>.

Cette formule a une importance particulière en triangulation et a servi à l'origine en astronomie. On doit au mathématicien Ghiyath [[al-Kashi]], de l'école de [[Samarcande]], de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la [[triangulation]] au cours du {{s-|XV}}.

Remarque : lorsque <math> \hat A = 90^\circ</math> ou <math>\pi/2</math>, on a <math>a^2 = b^2 + c^2</math>, c'est-à-dire le théorème de Pythagore.

=== Résoudre un triangle ===
{{Article détaillé|Résolution d'un triangle}}
Résoudre un triangle, c’est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés ''b'' et ''c'' et leur angle ''B'', trouver le triangle correspondant, c’est-à-dire ''a'', ''b'', ''c'', ''A'', ''B'' et ''C'' (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus).

On résout ce genre de problème à l’aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente ''a'' = ''b'' · cos ''C'' + ''c'' · cos ''B'').

Par exemple :
: Sur l’axe ''Ox'', ''OB'' = 1 et ''OC'' = 1,5. OBM = 60° et OCM = 30°. Trouver M :
: Faire l’épure ; M se trouve en (''x'' = 0,75 ; ''y'' = 0,45) environ.
: Raisonner : dans le triangle BMC, ''B'' = 120° et ''C'' = 30° donc ''M'' = 30° ; donc le triangle est isocèle en ''B'' et ''BM'''= 0,5.
: Puis <math>CM = 2 \times 0,5 \times \cos(C) = {\sqrt{3} \over 2}</math>.
: Soit ''H'' la projection de ''M'' sur l’axe : ''HM'' = ''y'' et l'angle HMB vaut 30°.
: <math>y = {\sqrt{3} \over 4} \approx 0,43</math> et <math>x = 1 - {1 \over 4} = {3 \over 4} = 0,75</math>.
: La distance <math>OM = {\sqrt{3} \over 2} = MC</math>, l’[[azimut]] de ''M'' vaut 30°, et l’angle OMB vaut 90°.
Il est rare que ce soit aussi simple en pratique.

En général, on demande quatre à six chiffres significatifs. Les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de « réduction des triangles ».
Rappelons que la mesure du degré de l’[[arc de méridien|arc méridien]] terrestre de Paris s’est effectuée de la sorte entre Malvoisine et [[Montlhéry]] par l’[[abbé Picard]], dans le milieu du {{s-|XVII}}.

=== Aire du triangle ===
L'aire A du triangle se détermine à l'aide de la longueur de deux côtés et du sinus de l'angle qu'ils forment :
: <math>A =\frac12a \times b \times \sin\widehat C</math>.
D'une telle égalité, appliquée à chaque sommet du triangle, on peut déduire la [[loi des sinus]].

La formule précédente, complétée par la [[loi des cosinus]], permet également d'établir la [[formule de Héron]] :
: <math>A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>,
où ''a'', ''b'' et ''c'' sont les longueurs de ses côtés et ''p'' désigne le demi-périmètre du triangle :
: <math>p = {(a + b + c) \over 2}</math>.

== Quelques problèmes célèbres ==
=== Flèche et segment circulaire d'un arc de cercle ===
[[Fichier:Arc_et_fleche.svg|vignette|Segment circulaire et sa flèche.]]
{{Article détaillé|segment circulaire}}
* Flèche d’une [[Corde (géométrie)|corde]] <math>[AB]</math> sous-tendant l’arc <math>[\overset{\frown}{AB}]</math> d'angle au centre <math>\widehat{AOB} = 2 \alpha</math> : soit <math>I</math> le milieu de <math>[AB]</math>, et <math>[OD]</math> le rayon passant par <math>I</math>; alors la ''flèche'' correspondante est <math>f=ID</math> :
*: <math> f=R(1-\cos\alpha)=2R\sin^2\frac\alpha2,\,\,f(2R - f) = R^2\sin^2\alpha</math>.
* Aire du segment circulaire déterminé par la corde et l'arc :
*: <math>S = R^2\left(\alpha - {{\sin2\alpha} \over 2}\right)</math> ;
*: Quand <math>\alpha</math> est petit, on compare cette aire à celle du segment de parabole limité par [AB] et par la parabole<ref>Cette parabole est d'autant plus proche de la parabole osculatrice au cercle en D que <math>\alpha</math> est petit.</ref> de sommet D passant par A et B. L'aire du segment de parabole est égale à <math>{2 \over 3}f \cdot AB</math> ([[La Quadrature de la parabole (Archimède)|théorème d'Archimède]]) : la différence avec l'aire du segment circulaire est d'[[Développement limité|ordre]] 5.

=== Formules de Machin ===
{{Article détaillé|Formule de Machin}}
[[John Machin]] a été le premier à calculer [[pi|{{math|π}}]] avec 100 décimales, en 1706, grâce à [[Formule de Machin|sa formule]]. Des formules de ce type ont été utilisées jusqu’à nos jours, pour calculer un grand nombre de décimales de {{math|π}}.

=== Polygones réguliers ===
* Le polygone à 17 côtés ([[heptadécagone]]) est [[Construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]] ([[théorème de Gauss-Wantzel]]).
* L’[[heptagone]] et l’[[ennéagone]] ne sont pas constructibles. En revanche, on peut construire par [[Mathématiques des origamis|pliage]] l’heptagone et l’ennéagone.
** On prouve que pour <math>a = {{2\pi} \over 7}</math> (intervenant dans la construction de l’heptagone par pliage), on a :<center> <math>\sin(a) \cdot \sin(2a) \cdot \sin(3a) = {\sqrt{7} \over 8}</math>&nbsp;, <math>\quad\cos(a) + \cos(2a) + \cos(3a) = - {1 \over 2}\quad</math> et <math>\quad\cos(a) \cdot \cos(2a) \cdot \cos(3a) = {1 \over 8}</math>.</center>
** Des formules semblables existent pour l'ennéagone, pour <math>a = {{2\pi} \over 9}</math> :<center><math>\sin(a) \cdot \sin(2a) \cdot \sin(4a) = {\sqrt{3} \over 8}</math>&nbsp;, <math>\quad\cos(a) + \cos(2a) + \cos(4a) = 0\quad</math> et <math>\quad\cos(a) \cdot \cos(2a) \cdot \cos(4a) = {1 \over 8}</math>.</center>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Trigonometry|54696947|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets |wiktionary =Trigonométrie |wikiversity=Trigonométrie
|commons=Category:Trigonometry|commons titre=Catégorie:Trigonométrie}}

=== Articles connexes ===
* [[Lexique de la trigonométrie]]
* [[Formule de trigonométrie]]
* [[Cercle unité]]
* [[Cercle trigonométrique]]
* [[Fonction hyperbolique]]
* [[Sens de rotation|Sens trigonométrique]]
* [[Trigonométrie complexe]]
* [[Trigonométrie sphérique]]
* [[Trigonométrie de Wildberger]]
* [[Formules trigonométriques en kπ/7]]
* [[CORDIC]]
* [[Table de lignes trigonométriques exactes]]

{{Palette|Trigonométrie}}
{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Trigonometrie}}
[[Catégorie:Trigonométrie| ]]
[[Catégorie:Angle]]