Voir la source de Trompette de Gabriel

{{En-tête label|BA|année=2023}}
[[Fichier:GabrielHorn.png|vignette|Représentation 3D d'une trompette de Gabriel.|upright=1.5|alt=image d'un objet mathématique. Ressemble à un cône donc le sommet aurait été repoussé infiniment loin en déformant graduellement le solide.]]
La '''trompette de Gabriel''' ou '''solide hyperbolique aigu''' est une [[surface de révolution]], définie en faisant tourner une portion d'[[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] autour d'une de ses [[asymptote]]s, et en la coupant par un plan [[Orthogonalité|orthogonal]] à l'axe. Ce solide est de [[longueur]] [[Infini|infinie]] dans une direction, sa [[Surface (géométrie analytique)|surface]] est également infinie, mais son [[volume]] est, quant à lui, fini.

Cette figure a été inventée vers 1640 par l'Italien [[Evangelista Torricelli]], qui découvre ses propriétés surprenantes. Ce résultat a eu beaucoup de retentissement au {{s|XVII}}, parmi les mathématiciens d'abord, puis chez les philosophes et les épistémologues, tant le paradoxe semblait insaisissable. Cette diffusion s'inscrit dans un moment charnière de l'[[histoire des mathématiques]], marquant la transition entre une géométrie fidèle à la tradition antique et les concepts modernes. Cette transition nécessite une [[Formalisation (mathématiques)|formalisation]] rigoureuse de deux notions : le [[calcul infinitésimal]] et l'[[infini]], deux idées que la géométrie classique tendait à exclure. Le paradoxe posé par la trompette de Gabriel contribue à faire progresser ces sujets.

À l'époque contemporaine, cette figure reste présente dans de nombreux manuels, comme exercice de calcul infinitésimal. Différents noms lui sont donnés : trompette ou cor de [[Gabriel (archange)|Gabriel]] d'après l'archange annonçant le [[Jugement dernier]] en soufflant dans cet instrument, trompette de Torricelli, chapeau du magicien{{etc.}}

== Généralités ==
La trompette de Gabriel est [[Surface de révolution|engendrée]] par une portion d'[[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] d'[[Équation cartésienne|équation]]
:<math>xy=1</math>,
tracée sur l'intervalle <math>[1; + \infty[</math> et tournant autour de l'axe {{math|(''Ox'')}}<ref name=Tale>{{Article|langue=en|prénom1=Vincent|nom1=Coll|prénom2=Michael|nom2=Harrison|titre=Gabriel's Horn: A Revolutionary Tale|périodique=[[Mathematics Magazine]]|volume=87|numéro=4|date=2014-10-01|issn=0025-570X|doi=10.4169/math.mag.87.4.263|lire en ligne=https://doi.org/10.4169/math.mag.87.4.263|consulté le=2022-08-14|pages=263–275}}.</ref>. Une définition un peu plus générale utilise l'hyperbole <math>xy=a^2</math> sur l'intervalle <math>[x_0; + \infty[</math> et conserve les mêmes propriétés<ref name=Mancosu/>.

[[Image:GabrielsHorn.svg|centré|vignette|upright=2|[[Section plane|Section]] de la trompette de Gabriel par le plan {{math|(''Oxy'')}}.]]

=== Équation ===
La surface de la trompette suit l'équation :
:<math>\rho x = 1</math>
en [[coordonnées cylindriques]] selon l'axe (Ox), et l'équation :
:<math>\left(y^2 + z^2 \right) x^2 = 1</math>
en [[coordonnées cartésiennes]]<ref>{{lien web|url=https://mathcurve.com/surfaces/trompette/gabriel.shtml|titre=Trompette de Gabriel|site=mathcurve.com}}, où la trompette est construite autour de l'axe {{math|(''Oz'')}} pour {{math|''a''}} quelconque.</ref>.

=== Calcul du volume ===
Son volume est obtenu en [[Intégration (mathématiques)|intégrant]] la surface <math>S(x)</math> (surface de la section de la trompette par le plan normal à l'axe {{math|(''Ox'')}} à l'ordonnée {{mvar|x}}, qui est un [[disque (géométrie)|disque]]). On montre très facilement que le volume est égal à [[Pi|{{mathPi}}]]<ref name=Tale/> :
:<math>V= \int_1^{+\infty}S(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^{+\infty}\pi y^2\,\mathrm{d}x = \pi \int_1^{+\infty}\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x = \pi\left[\frac{-1}{x}\right]_1^\infty = \pi.</math>

=== Calcul de l'aire ===
L'aire de la portion de trompette entre <math>x = 1</math> et <math>x = x_1 (x_1 > 1)</math> est donnée par la formule suivante, selon le [[Théorèmes de Guldin|premier théorème de Guldin]]<ref name=Tale/>, ou grâce à la [[première forme fondamentale]] :

:<math>A(x_1)=2\pi\int_1^{x_1} y \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} \,\mathrm{d}x=2\pi\int_1^{x_1} {\frac{1}{x}}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\mathrm{d}x=2\pi\int_1^{x_1} {\frac{1}{x}}\sqrt{1+\left(\frac{1}{x^4}\right)}\mathrm{d}x,</math>

qui peut se minorer facilement, en remarquant que le contenu de la racine carrée est toujours strictement supérieur à 1 :

:<math>A(x_1) > 2\pi\int_1^{x_1} \frac{\mathrm{d}x}{x}=2\pi\ln({x_1}).</math>

<math>A(x_1)</math> est strictement supérieur à une expression qui diverge quand <math>x_1</math> tend vers <math>+ \infty</math>, donc <math>A</math> tend lui-même vers l'infini<ref name=Tale/>.

=== Paradoxe du peintre ===
Une façon d'exprimer le paradoxe d'avoir un solide de volume fini et de surface infinie est la question suivante : serait-il possible de peindre la surface intérieure de la trompette de Gabriel ? Si on raisonne à partir de la surface, celle-ci étant infinie, l'opération semble impossible : il faudrait une quantité infinie de peinture. Mais d'autre part, il est possible de remplir intégralement la trompette avec un volume fini de peinture, ce qui, ''a priori'', recouvre toute sa surface. Le paradoxe s'explique en s'interrogeant sur l'épaisseur de la peinture. En faisant le raisonnement « une surface infinie demande une quantité infinie de peinture », on suppose que la peinture a une épaisseur <math>e</math> donnée, non nulle (qui devient supérieure au rayon de la trompette, quand <math>x</math> dépasse <math>1/e</math>). Si on imagine une peinture « mathématique » d'épaisseur nulle, alors le volume de peinture devient une [[forme indéterminée]] de type <math>0 \times \infty</math><ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Michael|nom1=Huemer|lien auteur1=Michael Huemer|titre=Approaching infinity|éditeur=|année=2016|pages totales=275|passage=183|isbn=978-1-137-56087-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=a5gFDAAAQBAJ&printsec=frontcover}}.</ref>.

=== Centre de gravité ===
Une autre propriété surprenante de la trompette de Gabriel, pointée dès le {{s-|XVII}}, est l'inexistence d'un [[centre de gravité]]<ref name=Mancosu/>. Le centre de gravité du [[solide de révolution]] généré par la courbe <math>y=f(x)</math> ne peut, par symétrie, que se trouver sur l'axe, seule son abscisse doit être calculée, elle est donnée par la formule suivante, qui, appliquée à la trompette de Gabriel, ne donne pas de solution, puisque l'intégrale au numérateur ne converge pas<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Philip E.|nom1=Protter|titre=Calculus with analytic geometry.|éditeur=Jones and Bartlett|année=1988|isbn=0-86720-093-6}}.</ref> :

:<math>x_G= \dfrac{\int xf(x)^2\mathrm{d}x}{\int f(x)^2\mathrm{d}x} = \dfrac{\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x}}{\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2}}.</math>

== Contexte historique ==

[[Fichier:Oresme diagram of two dimensional geometric series.png|thumb|right|Représentation graphique de la somme des 2{{Exp|-N}} (Oresme).|alt=empilement de rectangles dont les largeurs sont 1, 1/2, 1/3, 1/4, etc.]]
[[Fichier:Cavalieri indivisibles disk.svg|thumb|right|Méthodes des indivisibles appliquée à un disque.|alt=un disque dans lequel on inscrit une série de cercles concentriques. Un triangle formé de segments correspondant à ces cercles.]]
Le mathématicien [[Nicole Oresme]], au {{s-|XIV}}, s'était beaucoup intéressé à la question de la convergence ou de la divergence des [[Série (mathématiques)|sommes d'un nombre infini de termes]]. Il en a proposé des représentations graphiques comme, ci-contre, cette figure qui a une hauteur et un périmètre infinis, tout en ayant une surface finie, égale à 2<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Jeff|nom1=Babb|titre=Mathematical Concepts and Proofs from Nicole Oresme: Using the History of Calculus to Teach Mathematics|périodique=Science & Education|volume=14|numéro=3-5|date=2005-07|issn=0926-7220|issn2=1573-1901|doi=10.1007/s11191-004-7937-y|lire en ligne=http://link.springer.com/10.1007/s11191-004-7937-y|consulté le=2022-07-28|pages=443–456}}.</ref>. Cet antécédent n'est jamais cité dans le débat qui entoure la trompette de Gabriel trois siècles plus tard, il semble que cette partie des travaux d'Oresme était tombée dans l'oubli à cette époque<ref name=Mancosu/>.

Les mathématiques de la première moitié du {{s-|XVII}} sont marquées par de nombreuses tentatives de formaliser l'étude des infinis et des infiniment petits. Le ''[[Dialogue sur les deux grands systèmes du monde|Dialogue]]'' de [[Galilée (savant)|Galilée]] (1632) s'en fait par exemple l'écho. Les mathématiciens et les philosophes sont divisés sur la notion d'infini : a-t-elle un sens mathématique ? Peut-on introduire une grandeur infinie dans un calcul ? Existe-t-il plusieurs infinis différents ?<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Jean-Baptiste|nom1=Jeangène Vilmer|lien auteur1=Jean-Baptiste Jeangène Vilmer|titre=La prudence de Descartes face à la question de l’infini en mathématiques|périodique=Philosophiques|volume=34|numéro=2|date=2007|issn=0316-2923|issn2=1492-1391|doi=10.7202/016991ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/2007-v34-n2-philoso1721/016991ar/resume/|consulté le=2022-08-14|pages=295–316}}.</ref>.

Vers 1630, [[Pierre de Fermat|Fermat]] introduit, pour chercher les extrémums d'un résultat mathématique (la notion même de [[Fonction (mathématiques)|fonction]] n'a pas encore été formalisée), une quantité qu'il rend de plus en plus petite puis qui disparait du calcul, c'est un premier pas vers le calcul infinitésimal, mais celui-ci ne sera formalisé qu'à la fin du siècle, par [[Isaac Newton|Newton]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Jacques|nom1=Bair|prénom2=Valérie|nom2=Henry|titre=Les infiniment petits selon Fermat : prémisses de la notion de dérivée|périodique=Bibnum. Textes fondateurs de la science|date=2008-11-01|issn=2554-4470|lire en ligne=https://journals.openedition.org/bibnum/610|consulté le=2022-08-14}}.</ref>.

À la même époque, [[Bonaventura Cavalieri]], dont Torricelli a été élève, développe et publie la [[méthode des indivisibles]] pour le calcul de volumes et de surfaces. Il s'agit de se représenter la quantité étudiée comme une juxtaposition infinie de quantités d'une dimension inférieure (respectivement, surfaces ou lignes), qui peuvent être réorganisées. La figure ci-contre donne un exemple élémentaire : la [[Disque (géométrie)|surface d'un disque]]. Cavalieri retrouve la formule connue depuis l'Antiquité <math>S=\pi R^2</math> en représentant le disque comme une somme de cercles concentriques. Ces cercles sont déformés en [[Segment (mathématiques)|segments]], qui sont réarrangés pour former un triangle, de base <math>2\pi R</math> et de hauteur <math>R</math>, d'où le résultat recherché pour l'aire<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Robert|nom1=Ely|titre=Loss of Dimension in the History of Calculus and in Student Reasoning|périodique=The Mathematics Enthusiast|volume=9|numéro=3|date=2012-07-01|issn=1551-3440|doi=10.54870/1551-3440.1247|lire en ligne=https://scholarworks.umt.edu/tme/vol9/iss3/4|consulté le=2023-03-19|pages=303–326}}.</ref>.

Le débat sur la trompette de Gabriel s'inscrit donc dans le développement de ces notions, et y contribue<ref name=Itard/>.

== Les démonstrations de Torricelli ==

La trompette de Gabriel est étudiée par [[Evangelista Torricelli]] qui l'appelle le « solide hyperbolique aigu » ({{latin|solidum hyperbolicum acutum}})<ref name="Encyclopédie">{{chapitre|titre chapitre=Solide hyperbolique aigu|titre ouvrage=Encyclopédie ou Dictionnaire universel raisonné des connoissances humaines|volume=38|page=752-753|année=1774|url={{Google Livres|id=YhcvnlPMCjMC|page=752}} }}.</ref>.

Torricelli énonce le théorème suivant :
{{citation bilingue bloc|langue=la|Solidum acutum hyperbolicum, infinitè lungum, sectum plano ad axem erecto vnà cum cylindro suæ basis, æquale est cylindro cuidam recto, cuius basis diameter sit latus versum, siue axis hyperbolæ, altitudo verò sit æqualis semidiametro basis ipsius acutis solidi.|Le solide hyperbolique aigu, infiniment long, coupé par un plan perpendiculaire à l'axe, ajouté à un cylindre de la même base, est égal [en volume] au cylindre dont la base est la section transverse de l'hyperbole, et dont la hauteur est égale au rayon de la base du solide.}}

L'énoncé seul est déjà remarquable dans l'[[histoire des mathématiques]]. Torricelli pose clairement que l'objet qu'il étudie est de longueur infinie, et non « indéfinie » : ce n'est pas une valeur qu'on peut rendre arbitrairement grande, le solide n'a vraiment pas de fin. Il y a là, souligné explicitement par les explications de Torricelli dans les correspondances, la revendication d'une forme de liberté intellectuelle : le mathématicien s'autorise à étudier un objet qui, manifestement, ne pourra jamais être réalisé en pratique, pas même de façon approchée<ref name=Mancosu/>.

=== Par la méthode des indivisibles ===
Vers 1641, à une époque où le calcul intégral n'existe pas, il démontre que son volume est identique à celui d'un cylindre en utilisant la [[méthode des indivisibles]] développée par [[Bonaventura Cavalieri]]. Torricelli ne conçoit pas les indivisibles exactement de la même façon que Cavalieri : il leur attribue une épaisseur, petite devant les dimensions du solide, là où Cavalieri les conçoit comme des objets bidimensionnels. Cette évolution constitue un pas vers le calcul intégral. En quelque sorte, l'approche de Torricelli revient à s'imaginer que le solide est constitué d'un empilement de feuilles de papier, qu'il va séparer et réorganiser pour obtenir un autre objet de volume identique<ref name=Mancosu>{{Article|langue=en|prénom1=Paolo|nom1=Mancosu|prénom2=Ezio|nom2=Vailati|titre=Torricelli's Infinitely Long Solid and Its Philosophical Reception in the Seventeenth Century|périodique=Isis|volume=82|numéro=1|date=1991-03|issn=0021-1753|issn2=1545-6994|doi=10.1086/355637|lire en ligne=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/355637|consulté le=2022-08-14|pages=50–70}}.</ref>.

La démonstration que donne Torricelli consiste en cinq [[Lemme (mathématiques)|lemmes]] successifs<ref name=Mancosu/>.

{{Théorème|nom=Lemme 1 |1=Par révolution de l'hyperbole [[Apollonios de Perga|apollonienne]] définie par <math>xy = 1</math> autour de son asymptote, on obtient un solide de révolution infiniment long<ref name=Itard/>.}}

Il complète la trompette par un « bouchon », c'est-à-dire un cylindre de rayon 1 et de hauteur 1 (donc de volume {{mathPi}}), qui relie le plan Oyz et la base de la trompette. Il découpe ensuite son volume obtenu en cylindres coaxiaux d'épaisseur infinitésimale<ref name=Itard/>.

{{Théorème|nom=Lemme 2 |1=On peut définir, pour chaque point de l'hyperbole, un cylindre, qui est coaxial avec la trompette et inscrit dans celle-ci. Ces cylindres ont en commun le produit de leur hauteur par leur rayon (par définition de l'hyperbole), en conséquence, ils ont tous la même surface latérale <math>2\pi</math><ref name=Itard/>.}}

{{Théorème|nom=Lemme 3 |1=tous ces cylindres ont un volume proportionnel au diamètre de leur base. En effet, le cylindre construit avec un rayon {{mvar|r}} (<1) a une hauteur <math>h=1/r</math>, son volume vaut donc <math>V=\pi r^2 h = \pi r</math><ref name=Itard/>.}}

{{Théorème|nom=Lemme 4 |1=Chacun de ces cylindres a une surface latérale égale au quart de la surface de la sphère de rayon <math>\sqrt{2}</math>.}}

{{Théorème|nom=Lemme 5 |1=Chacun de ces cylindres a une surface latérale égale à l'aire du disque de rayon <math>\sqrt{2}</math>.}}

Pour reprendre l'analogie, les feuilles de papiers successives ont été enroulées autour de l'axe des <math>x</math> pour former les cylindres. Il déplie ces cylindres en rectangle. Chaque rectangle a pour dimensions <math>x \times 2\pi y</math>, comme le produit <math>xy</math> est constant, tous les rectangles ont la même aire : 2{{mathPi}}. Il déforme alors chaque rectangle en un disque de même aire, donc de rayon <math>\sqrt{2}</math>. Il obtient ainsi un cylindre de hauteur 1 et de surface de base égale à 2{{mathPi}}, donc de volume égal à 2{{mathPi}}. Il lui suffit alors d'enlever le volume connu du «bouchon» pour trouver le volume de la trompette : {{mathPi}}. Au passage, le volume de la corne est égal à celui du « bouchon », ce qui est un autre résultat remarquable<ref name=Itard>{{Article|prénom1=Jean|nom1=Itard|lien auteur1=Jean Itard (historien)|titre=La lettre de Torricelli à Roberval d'octobre 1643|périodique=Revue d'histoire des sciences|volume=28|numéro=2|date=1975|doi=10.3406/rhs.1975.1131|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1975_num_28_2_1131|consulté le=2022-07-30|pages=113–124}}.</ref>.

<gallery widths="180" caption="Calcul du volume par Torricelli">
Fichier:Trompette de Gabriel (volume1).PNG|étape 1.
Fichier:Trompette de Gabriel (volume2).PNG|étape 2.
Fichier:Trompette de Gabriel (volume3).PNG|étape 3.
</gallery>

=== Démonstration par exhaustion ===
La validité de la méthode des indivisibles ne faisant pas l'unanimité, Torricelli double son calcul du volume par un [[Méthode d'exhaustion|raisonnement par exhaustion]]. Cette méthode est utilisée depuis [[Euclide]] et donc à même de rassurer les géomètres les plus conservateurs. Elle consiste à proposer deux [[Raisonnement par l'absurde|démonstrations par l'absurde]], démontrant l'une que le volume ne peut pas être supérieur au résultat recherché, l'autre qu'il ne peut pas être inférieur. Cette méthode est rigoureuse, mais elle nécessite de connaître déjà le résultat, elle est donc utilisée pour consolider une valeur obtenue par d'autres méthodes<ref>{{Article|prénom1=Jean Louis|nom1=Gardies|titre=L'organisation du livre XII des Eléments d'Euclide et ses anomalies|périodique=Revue d'histoire des sciences|volume=47|numéro=2|date=1994|doi=10.3406/rhs.1994.1201|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1994_num_47_2_1201|consulté le=2022-09-21|pages=189–208}}.</ref>.

Torricelli émet les hypothèses que la trompette aurait un volume supérieur, ou inférieur à celui du cylindre. En passant par une trompette {{citation|évidée}} comme comparaison, il arrive, dans les deux cas, à des contradictions<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Robert Weiler|titre=GABRIEL'S HORN. An Interactive Qualifying Project Report|lieu=Worcester|éditeur=Worcester Polytechnic Institute|année=2006|pages totales=89|passage=76-79|isbn=|lire en ligne=https://docplayer.net/225619373-Gabriel-s-horn-an-interactive-qualifying-project-report-submitted-to-the-faculty-of-the-worcester-polytechnic-institute.html}}.</ref>.

== Retentissement ==
=== Correspondances entre mathématiciens ===

À partir de la fin 1641, Torricelli partage cette découverte avec d'autres mathématiciens, à commencer par Cavalieri, dont il fut élève. Qu'un solide de longueur infinie puisse posséder un volume fini semble contre-intuitif aux mathématiciens de l'époque et suscite de nombreuses correspondances sur le sujet du fini et de l'infini<ref name="Mancuso">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Paolo Mancuso|titre=Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century|éditeur=|année=1999|passage=136-149|isbn=|présentation en ligne={{Google Livres|id=60qaEePdqcoC}}}}.</ref>. Cavalieri s'en étonne, et [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]] met d'abord en doute le résultat de Torricelli<ref name="Mancuso"/>. Roberval, convaincu par la suite, fournit une démonstration que Torricelli reconnaît être plus ingénieuse<ref name="Itard"/>.

[[File:Opera-geometrica-p93.jpg|thumb|Page 93 de l'''Opera geometrica''.|alt=page d'un ouvrage imprimé du 17e siècle, montrant un titre de chapitre : ''De solido acuto hyperbolico''.]]

=== Publication de l'''Opera geometrica'' ===
En 1644, Torricelli publie l'''Opera geometrica'', ouvrage imprimé de géométrie. Il y inclut un chapitre sur le solide hyperbolique aigu, et le paradoxe est ainsi diffusé bien au-delà du petit cercle de mathématiciens qui avait échangé sur le sujet jusque-là<ref name=Itard/>.

=== Réactions des contemporains ===
Ce résultat suscite l'admiration de [[Pierre Gassendi|Gassendi]], remet en cause la définition du solide chez [[Isaac Barrow|Barrow]] et [[Marin Mersenne|Mersenne]], déstabilise [[René Descartes|Descartes]] dans ses convictions sur l'infini et suscite un débat entre [[Thomas Hobbes|Hobbes]] et [[John Wallis|Wallis]]<ref name="Mancuso"/>. Descartes estime que cette démonstration est {{citation|l'une des plus belles [qu'il] ait jamais vues}} dans une lettre datée de {{date-|décembre 1643}}<ref name="Itard"/>. Le solide hyperbolique aigu inspire à [[Blaise Pascal|Pascal]] cette réflexion : {{citation|Incompréhensible. Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d'être. Le Nombre infini. Un espace infini égal au fini<ref name="Itard"/>.}}

==== Débat entre Hobbes et Wallis ====
[[Thomas Hobbes]] et [[John Wallis]] s'opposent dans une série de polémiques entre les années 1650 et les années 1670, déclenchée par la réaction de Wallis à la publication, par Hobbes, de ce qu'il croit être une démonstration de la [[quadrature du cercle]]. Hobbes défend une conception des mathématiques inféodées à la réalité physique, ce à quoi Wallis s'oppose. Hobbes considère la démonstration de Torricelli comme l'œuvre d'un fou<ref name=Tale/>. La position de Hobbes est philosophique : les humains sont finis et ne peuvent ni concevoir, ni utiliser l'infini (ou les infiniment petits)<ref>{{Article|lang=en|prénom1=Siegmund|nom1=Probst|titre=Infinity and Creation: The Origin of the Controversy between Thomas Hobbes and the Savilian Professors Seth Ward and John Wallis|périodique=The British Journal for the History of Science|volume=26|numéro=3|date=1993|issn=0007-0874|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/4027398|consulté le=2023-03-12|pages=271–279}}.</ref>. Wallis, au contraire, développe toute une méthodologie pour travailler avec les infiniment petits et revendique la démonstration de Torricelli comme une source d'inspiration<ref>{{Ouvrage|langue=fr|nom1=Commission Inter-IREM : Épistémologie et histoire des mathématiques|titre=Histoire d'infini : actes du {{9e|colloque}} Inter-IREM, Épistémologie et histoire des mathématiques, Landerneau 22-23 mai 1992|lieu=Brest|éditeur=IREM|date=d.l.1994|pages totales=577|passage=247-271|isbn=2-908887-32-0|isbn2=978-2-908887-32-7}}.</ref>. Hobbes, à l'issue de la controverse, perd sa crédibilité dans le domaine mathématique<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Douglas|nom1=Jesseph|titre=Geometry, religion and politics: context and consequences of the Hobbes–Wallis dispute|périodique=Notes and Records: the Royal Society Journal of the History of Science|volume=72|numéro=4|date=2018-12-20|issn=0035-9149|issn2=1743-0178|doi=10.1098/rsnr.2018.0026|lire en ligne=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsnr.2018.0026|consulté le=2023-03-12|pages=469–486}}.</ref>.

==== Barrow ====

[[Isaac Barrow]], dans ses ''Lectures'' de 1666, oppose le résultat de Toricelli à une proposition d'[[Aristote]], faisant encore [[argument d'autorité]] : {{citation|il n'y a pas de proportion entre le fini et l'infini}} (''[[Du ciel]]'', livre 1, chapitre 6). Cependant, Barrow parvient finalement à concilier les deux : le ''dictum'' d'Aristote reste vrai, mais il ne vaut qu'entre deux grandeurs de même nature. Ainsi, il ne peut y avoir de proportion entre un volume fini et un volume infini, ou entre une surface finie et une surface infinie. Le résultat de Torricelli concerne un volume et une surface, et ne contredit donc pas l'énoncé aristotélicien<ref>{{Ouvrage|prénom1=Paolo|nom1=Mancosu|titre=Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century|éditeur=|année=1996|pages totales=286|passage=139|isbn=0-19-508463-2|isbn2=978-0-19-508463-4|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=mnzmCwAAQBAJ&printsec=frontcover}}.</ref>.

==== Pardies ====
[[Ignace-Gaston Pardies]], dans la préface de ses ''Éléments de géométrie'' en 1671, en fait une preuve de l'immatérialité de l'âme et de l'existence de Dieu, son raisonnement étant qu'un humain limité au monde matériel serait incapable de comprendre l'infini<ref name="Mancuso"/>.

=== Postérité ===
[[File:Archangel blows the Nafir.jpg|thumb|Œuvre d'art islamique du {{s-|XIV}} montrant un archange soufflant dans un {{lien|nafir}}, le personnage étant identifié soit à Gabriel soit à [[Israfel]].]]
Passée sa période de forte notoriété au {{s-|XVII}}, cet objet mathématique trouve sa place dans les ouvrages de référence. L{{'}}''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]'' de Diderot et d'Alembert (Volume 38) lui consacre ainsi un paragraphe<ref name="Encyclopédie"/>. À l'époque contemporaine, il acquiert le nom de trompette de Gabriel d'après l'[[ange Gabriel]] qui, dans certaines traditions religieuses, annonce le [[Jugement dernier]] en soufflant dans une [[trompette]], la longueur infinie de l'objet mathématique évoquant la divinité<ref name="Tale"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Guillaume Moussard|directeur1=oui|titre=Histoires de calcul infinitésimal : De l'étude des courbes aux dérivées et aux intégrales|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2022|passage=23|isbn=|présentation en ligne={{Google Livres|id=lGaKEAAAQBAJ}}}}.</ref>.

== Variantes et généralisations ==
=== Gâteau de mariage de Gabriel ===
[[Fichier:GabrielsWeddingCake.svg|thumb|left|Gâteau de mariage de Gabriel.|alt=figure représentant le début d'un empilement infini de cylindre, tous de même hauteur, mais de rayons dégressifs.]]
Le gâteau de mariage de Gabriel est une variante de la trompette. Elle remplace la fonction hyperbole par une [[Régularité par morceaux|fonction en escaliers]], qui pour {{mvar|x}} positif vaut :

<math>y(x) = \frac{1}{E(x)+1}</math>

Où ''E''(''x'') dénote la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]]. Le solide obtenu est donc un empilement infini de cylindres dont les rayons sont les inverses des entiers. La surface de cette figure se calcule en additionnant les surfaces latérales des cylindres, plus les parties verticales qui se complètent à l'infini en un cercle de rayon 1 :
:<math> S = \pi + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2\pi}{n}}</math>
On retrouve donc la [[série harmonique]], qui diverge, la surface est infinie.

Le volume est fini, il se calcule simplement en sommant les volumes des cylindres de hauteur 1 et de rayon <math>1/n</math> :
:<math> V = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\pi}{n^2}}</math>

On retrouve, au facteur {{mathPi}} près, la série du [[problème de Bâle]], on a donc <math>V=\frac{\pi^3}{6}</math>. Le gâteau de mariage de Gabriel, apporté en complément de la trompette, a une certaine valeur [[Enseignement des mathématiques|pédagogique]], pour introduire les comparaisons entre sommes continues (intégrales) et sommes discrètes (séries)<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Steven J.|nom1=Kifowit|prénom2=Terra A.|nom2=Stamps|titre=Prairie State College The harmonic series,|éditeur=|année=|isbn=|lire en ligne=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.413.6730|consulté le=2022-07-29}}.</ref>.

=== Changement de l'exposant ===
On peut généraliser quelque peu la trompette de Gabriel simplement en appliquant un exposant {{mvar|p}} au dénominateur. La fonction génératrice devient :
<math>y(x) = x^{-p}</math>
Il se démontre alors, en écrivant sous forme d'intégrales le volume et la surface, que :
* La surface est finie [[Équivalence logique|si et seulement si]] <math>p>1</math>
* Le volume est fini si et seulement si <math>p>\frac{1}{2}</math>
Le paradoxe se retrouve donc, pour toute valeur {{mvar|p}} comprise dans l'intervalle <math>]\frac{1}{2} , 1]</math><ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Roger B.|nom1=Nelsen|titre=College calculus : a one-term course for students with previous calculus experience|éditeur=|année=2015|pages totales=387|isbn=978-1-939512-06-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=P3LmBgAAQBAJ&printsec=frontcover}}.</ref>.

=== Équivalents à longueur finie ===
[[Fichier:Kenicky's Paradoxal Paint Pot.svg|thumb|Surface de Kenicky (2006).|alt=première figure : une courbe qui, à l'approche de {{mvar|x}}=0, présente des oscillations qui deviennent infiniment serrées. Deuxième figure : solide obtenu en faisant tourner ladite courbe.]]
Si la trompette de Gabriel n'est pas bornée en {{mvar|x}}, il existe des solides de révolution qui ont une surface infinie, un volume fini, et une longueur finie. Un tel objet est proposé par Mark Lynch en 2005. Il s'agit du solide de révolution généré par une fonction qui, à l'approche de 0, présente des oscillations de plus en plus petites en amplitude, mais d'une période de plus en plus courte<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Mark|nom1=Lynch|titre=A Paradoxical Paint Pail|périodique=The College Mathematics Journal|volume=36|numéro=5|date=2005|issn=0746-8342|doi=10.2307/30044894|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/30044894|consulté le=2022-07-28|pages=402–404}}.</ref>. La fonction utilisée par Lynch est définie par morceaux. Une variante publiée en 2006 utilise une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] et dérivable. Le volume est présenté ci-contre, de même qu'une partie de la fonction sur l'intervalle de 0 à 0,3. La fonction génératrice est<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Joseph|nom1=Krenicky|prénom2=Jan|nom2=Rychtář|titre=Notes on Gabriel's Horn|périodique=Furman University Electronic Journal of Undergraduate Mathematics|volume=11|numéro=1|date=2016-06-01|lire en ligne=https://scholarexchange.furman.edu/fuejum/vol11/iss1/2|consulté le=2022-08-26|pages=4–7}}.</ref> :

:<math>\forall x \neq 0,\ f(x) = 2+\frac{x}{\ln(x)}\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>, prolongée avec <math>f(0) = 2</math>.

=== Dimensions supérieures ===
La corne de Gabriel peut se généraliser dans un [[Espace euclidien|hyperspace]] de dimension quelconque. Cette généralisation n'a été étudiée que dans les années 2000. Si une hyperbole de dimension {{mvar|n}}, générée par la fonction <math>y = x^{-p}</math>, est utilisée pour générer, par rotation autour de son asymptote, un hypersolide en dimension {{math|''n''+1}}, alors, on retrouve le paradoxe ([[hypersurface]] infinie et hypervolume fini), pour toute valeur de {{mvar|p}} vérifiant<ref name=Tale/> :
<math>\frac{1}{n} < p \leq \frac{1}{n-1}</math>

== Comparaison avec des problèmes similaires ==
=== Cissoïde ===
{{article détaillé|Cissoïde de Dioclès}}
[[Fichier:Cissoide de Sluse.PNG|thumb|right|Cissoïde de Sluse.|alt=forme évoquant un cylindre dont on a soustrait une courbe, la "paroi" devient infiniment fine en haut.]]
À la même époque, [[Christian Huygens|Huygens]] et [[René-François de Sluse|Sluse]], étudiant la [[cissoïde de Dioclès|cissoïde]], prouvent l'existence d'un récipient de volume fini et pouvant contenir un volume infini. Il s'agit d'un « vase » obtenu par rotation de la surface comprise entre la cissoïde et son asymptote autour de l'axe parallèle à l'asymptote passant par le sommet de la cissoïde. Cette figure a parfois été présentée à tort comme la réciproque de la trompette de Gabriel, mais cette description est trompeuse, car on compare ici deux volumes, et non une surface et un volume<ref>{{en}} Frank Swetz, [[John Fauvel]], [[Victor J. Katz]], Otto Bekken, Bengt Johansson, ''Learn from the Masters !'', MAA 1994, {{p.|88}}.</ref>.

=== Isopérimétrie ===
La véritable réciproque de la trompette de Gabriel serait un objet de surface finie englobant un volume infini, mais aucun objet de ce type n'existe (en [[géométrie euclidienne]]). Il [[isopérimétrie#Dimension 3|est même prouvé]] qu'un solide d'un volume donné a forcément une surface supérieure ou égale à celle de la [[sphère]] de même volume<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Robert|nom1=Osserman|lien auteur1=Robert Osserman|titre=The isoperimetric inequality|périodique=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=84|numéro=6|date=1978-11|issn=0002-9904|issn2=1936-881X|lire en ligne=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-84/issue-6/The-isoperimetric-inequality/bams/1183541466.full|consulté le=2022-07-28|pages=1182–1238}}.</ref>.

=== Fractales ===
Les objets à structure [[fractale]] présentent eux aussi des paradoxes comme celui d'une surface infinie pour un volume fini, mais arrivent à cette propriété en possédant une structure locale infiniment complexe. Des parallèles peuvent être établis avec la trompette de Gabriel : par exemple le [[flocon de Koch]] présente le même paradoxe dit du peintre<ref>{{Lien web |langue=en |prénom=Rida |nom=Suraiya Khan |titre=The Painter’s Paradox comparative analysis of Gabriel’s Horn and triangular pipe with Koch’s Fractal shaped cross section |url=http://publications.azimpremjifoundation.org/3347/ |site=At Right Angles |date=2022-03 |consulté le=2022-08-17}}.</ref>.
{{clr}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Intégrale impropre]]
* [[Paradoxe du bol de Galilée]]
* [[Méthode des indivisibles]]
* [[Mathématiques en Europe au XVIIe siècle]]
* [[Liste de paradoxes]]

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|titre=Gabriel's Horn|nom_url=GabrielsHorn}}
{{Liens}}

{{Portail|géométrie|histoire des sciences|mathématiques}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=203022442|date=6 avril 2023}}

[[Catégorie:Figure de géométrie]]
[[Catégorie:Géométrie dans l'espace]]
[[Catégorie:Gabriel (archange)]]