Voir la source de Uplet

{{Voir homonymes|Liste (homonymie)}}
{{ébauche|mathématiques}}
[[Fichier:Coord XYZ.svg|vignette|Coordonnées XYZ. Basé sur le travail d'InductiveLoad]]
En [[mathématiques]], un '''uplet''' <ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais|titre=Dictionnaire des Mathématiques|passage=509, 868|éditeur=PUF|date=2005}}</ref> (désigné aussi par '''liste'''<ref name=":0" /> , '''[[famille finie]]''', ou '''[[Suite (mathématiques)|suite finie]]''') est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si {{Mvar|n}} est un [[entier naturel]], alors un '''''n''-uplet''', ou '''''n''-uple''', ou '''''n''-liste''' est une [[Suite (mathématiques)|collection ordonnée]] de {{Mvar|n}} objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du {{Mvar|n}}-uplet.

En [[programmation informatique]], on trouve une notion équivalente dans certains [[langage de programmation|langage]]s, tels que [[Python (langage)|Python]], [[Rust (langage)|Rust]], [[OCaml]], [[Scala (langage)|Scala]], [[Swift (langage d'Apple)|Swift]] ou MDX. Dans les [[langage fonctionnel|langages fonctionnels]], les tuples sont réalisés comme [[Type algébrique|types produits]] ; dans les  [[langage impératif|langages impératifs]], on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de ''struct'' ([[C (langage)|C]]) ou ''record'' ([[Pascal (langage)|Pascal]]).

''Note'' : l'utilisation du terme [[anglais]] ''{{Langue|en|tuple}}'', suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français<ref>Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari et K. Huynh, ''Microéconomie'', Bréal, 2007 {{isbn|9782749507491}} , {{p.|226}}<!--Aperçu du livre n'incluant pas cette page{{Google Livres|1isDHSHFQxAC}}-->.</ref>.

== Définitions et propriétés ==
* Pour {{Mvar|n}} > 0, si nous notons ''a''<sub>1</sub> le premier élément, ''a''<sub>2</sub> le deuxième élément, …, ''a<sub>n</sub>'' le {{Mvar|n}}-ième élément, le {{Mvar|n}}-uplet s'écrit : (''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,…,''a<sub>n</sub>'').
* Le 0-uplet s'écrit <math>()</math>.
* Un {{Mvar|n}}-uplet ne peut être égal à un ''p''-uplet qu'à la condition que {{Mvar|n}} et {{Mvar|p}} soient égaux.
* L'[[Égalité (mathématiques)|égalité]] des {{Mvar|n}}-uplets se définit par
:(''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,…,''a<sub>n</sub>'') = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>,…,''b<sub>n</sub>'') si et seulement si  ''a''<sub>1</sub> = ''b''<sub>1</sub> et ''a''<sub>2</sub> = ''b''<sub>2</sub> … et ''a<sub>n</sub> = b<sub>n</sub>''.
En résumé, un ''{{Mvar|n}}''-uplet dont les composantes sont dans un ensemble ''{{Mvar|E}}'' est un élément du [[produit cartésien]] <math>E^n</math>.
* Si ''{{Mvar|E}}'' est fini, l'ensemble <math>E^n</math> des ''{{Mvar|n}}''-uplets dont les composantes sont dans ''{{Mvar|E}}'' est fini. L'ensemble <math>\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E^n</math>des uplets dont les composantes sont dans ''{{Mvar|E}}'' est dénombrable.

==Cas particuliers==
* un 2-uplet est appelé [[couple (mathématiques)|couple]] (ou '''doublet''') ;
* un 3-uplet est appelé '''triplet'''<ref>{{Ouvrage|prénom1=J.-P.|nom1=Escofier|titre=Toute l'algèbre de la Licence|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=2011|numéro d'édition=3|passage=30|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|QiDIaNo_53wC|page=30}}}}.</ref> ;
* un 4-uplet est appelé '''quadruplet''' ;
* un 5-uplet est appelé '''quintuplet''' ;
* un 6-uplet est appelé '''sextuplet''' ;
* etc<ref>[https://fr.wiktionary.org/wiki/nonuplet Liste plus complète des cas particuliers sur Wiktionary.]</ref>.

==Exemples==
*(1, 2) ≠ (2, 1).
*(♠ , <span style="color:red;">♥</span>) ≠ (<span style="color:red;">♥</span>, ♠).
* Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
* Si le premier élément est <span style="color:red;">♥</span>, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est <span style="color:red;">♦</span>, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (<span style="color:red;">♥</span>, ♣, <span style="color:red;">♦</span>, ♣).
* La ''n''-ième [[Produit cartésien#Multiplets|puissance cartésienne]] ''E''{{exp|''n''}} d'un [[ensemble]] ''E'' est l'ensemble des ''n''-uplets d'éléments de ''E''.
* Plus généralement, le [[produit cartésien]] ''E''<sub>1</sub> × … × ''E''<sub>''n''</sub> de ''n'' ensembles ''E''<sub>1</sub>, …, ''E''<sub>''n''</sub> est l'ensemble des ''n''-uplets (''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,…,''a''<sub>''n''</sub>) où  ''a''<sub>1</sub> appartient à ''E''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> appartient à ''E''<sub>''n''</sub>.
* De manière générale, les [[Base (algèbre linéaire)#Définition d'une base|coordonnées]] sont des ''n''-uplets. En particulier, les points de l'[[R³#Structures additionnelles|espace vectoriel ordinaire]] sont représentés par des triplets de [[Nombre réel|nombres réels]].
* Les [[nombres complexes]] peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
* Un [[quaternion]] peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
* En [[théorie des nombres]], les mathématiciens s'intéressent notamment aux [[Triplet de nombres premiers|triplets]], [[Quadruplet de nombres premiers|quadruplets]], [[Quintuplet de nombres premiers|quintuplets]], [[Sextuplet de nombres premiers|sextuplets]]{{etc.}} de [[Nombre premier|nombres premiers]].
* En informatique, les objets d'un type de données [[Enregistrement_(structure_de_données)|enregistrement]] sont des ''n''-uplets. 
* Un ''n''-uplet constitue les paramètres d'une [[fonction informatique]] ou les arguments d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction mathématique]] à ''n'' variables.

==Formalisation==
D'après la [[définition par récurrence]] du [[Produit cartésien#Multiplets|produit cartésien de ''n'' ensembles]], un ''n''-uplet peut être défini à partir de la notion de [[Couple (mathématiques)|couple]], qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :
:(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … ,''a<sub>n</sub>'') = ((… ((''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>), ''a''<sub>3</sub>), … , ''a''<sub>''n''–1</sub>), ''a<sub>n</sub>'')
(c'est-à-dire qu'un (''{{Mvar|n}}'' + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un ''{{Mvar|n}}''-uplet). Autrement dit :
#[[Ensemble vide|∅]] est un 0-uplet
# si ''x'' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … ,''a<sub>n</sub>'') est un ''{{Mvar|n}}''-uplet, alors  (''x'',''a''<sub>''n''+1</sub>) est un (''{{Mvar|n}}''+1)-uplet, et (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … ,''a<sub>n</sub>'', ''a''<sub>''n''+1</sub>) = (''x'', ''a''<sub>''n''+1</sub>).

La propriété caractéristique des ''{{Mvar|n}}''-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un ''{{Mvar|n}}''+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un ''{{Mvar|n}}''-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un ''{{Mvar|n}}''+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un ''{{Mvar|n}}''-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un ''{{Mvar|n}}''-uplet comme une [[suite (mathématiques)|suite]] finie, c'est-à-dire une [[fonction (mathématiques)|fonction]] définie sur un [[ensemble fini]], {0, …, ''{{Mvar|n}}'' – 1} ou {1, …, ''{{Mvar|n}}''}.

== Notes et références==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Liste (mathématiques)]]
* [[Famille presque nulle|Suite presque nulle]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[Catégorie:Structure de données]]