Voir la source de Valeur absolue

{{Voir homonymes|Absolu}}

En [[mathématiques]], la '''valeur absolue''' (parfois appelée '''module''', c'est-à-dire {{Page h'|mesure}}) d'un [[nombre réel]] est sa valeur numérique considérée sans tenir compte de son [[Signes plus et moins|signe]]. On peut la comprendre comme sa [[Distance (mathématiques)|distance]] à [[zéro]] ; ou comme sa valeur [[quantité|quantitative]], à laquelle le signe ajoute une idée de polarité ou de sens (comme le sens d'un [[vecteur]]). Par exemple, la valeur absolue de −4 est 4, et celle de +4 est 4. La valeur absolue se note par des barres verticales : ainsi, on écrit : |−4| = |+4| = 4. En [[programmation informatique]], l'[[identificateur]] utilisé pour désigner la valeur absolue est usuellement <code>abs</code>.

Il existe de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces plus abstraits ([[nombres complexes]], [[espaces vectoriels]], [[corps commutatif]]s voire [[corps gauche]]s : voir par exemple l’article « [[Norme (mathématiques)|Norme]] »). Cette notion est proche de celles de [[Distance (mathématiques)|distance]] et de [[Magnitude absolue|magnitude]] dans de nombreuses branches de la [[physique]] et des [[mathématiques]].

== Historique ==
Il y a eu quatre étapes dans l'évolution de la notion de valeur absolue<ref>{{Article|auteur1=Athanassios Gagatsis|auteur2=Ioannis Thomaïdis|titre=Histoire et épistémologie dans l'éducation mathématique. L'histoire de la valeur absolue et sa transposition didactique.|périodique=IREM de Montpellier|pages=425-429|date=1995|lire en ligne=https://bibnum.publimath.fr/IWH/IWH95044.pdf|format=pdf}}</ref>. Durant la première, sa définition était le « nombre sans son signe » ou la « distance à partir de zéro ». Cette définition était implicite, car il n'y avait pas eu de définition formelle.

Dans la deuxième étape, la valeur absolue était devenue une fonction, souvent utilisée dans le calcul d'erreurs. Un sens plus exact des applications de la valeur absolue à cette époque était « prendre positivement » un nombre ou « faire abstraction des signes ».

La troisième étape a découlé de la compréhension du [[nombre]] en tant que concept abstrait. La valeur absolue devint un concept spécifique défini pour chaque nombre, en plus de la méthode pour mesurer des nombres complexes. En 1821, [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] popularise son utilisation dans l'analyse formelle. À ce moment, il manquait une notation.

La quatrième et dernière étape découle de sa propre [[Langage formel|formalisation]]. Ceci était nécessaire pour l'évolution de l'[[analyse complexe]].

[[John Napier|Napier]] aurait utilisé les valeurs absolues dans l'élaboration des tables logarithmiques, alors que [[René Descartes|Descartes]] et [[Isaac Newton|Newton]] les auraient utilisées pour une théorie générale des [[équation polynomiale|équations polynomiales]]. [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] et [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] utilisaient la valeur absolue dans la [[théorie des nombres]] pour résoudre des équations de calcul d'erreurs. [[Jean-Robert Argand|Argand]] et [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] l'utilisaient pour mesurer la distance entre [[nombre complexe|nombres complexes]], et Cauchy l'a souvent utilisée dans l'[[analyse (mathématiques)|analyse]].

== Définition et propriétés ==
=== Première approche ===
Un [[nombre réel]] est constitué de deux parties : un signe + ou − et une valeur absolue. Par exemple :
* +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7 ;
* −5 est constitué du signe − et de la valeur absolue 5.
Ainsi, la valeur absolue de +7 est 7, et la valeur absolue de −5 est 5.

Il est fréquent de ne pas écrire le signe + ; on obtient alors :
* la valeur absolue de 7 est 7 ;
* la valeur absolue de −5 est 5, c'est-à-dire l'opposé de −5.

D'où la définition ci-dessous.

=== Définition ===
Pour tout [[nombre réel]] <math>x</math>, la '''valeur absolue''' de <math>x</math> (notée <math>|x|</math>) est définie par :
* <math> |x| = x,\, \text{  si  }\, x > 0 </math>
*<math>|x| = -x,\, \text{  si  }\, x < 0 </math>
* <math>|x| = 0,\, \text{  si  }\, x=0</math>
Nous remarquons que <math>|x|=\max(x,-x)</math>.

=== Propriétés ===
La valeur absolue possède les propriétés suivantes, pour tous réels <math>a</math> et <math>b</math><ref>{{Ouvrage|auteur=Pierre Guillot |titre=Cours de Mathématiques L1 |éditeur=TheBookEdition |année=2012 |pages totales=405 |passage=41-42 |isbn=978-2-7466-6411-1 |lire en ligne={{Google Livres|Khc9lisTJiYC|page=41}}}} ou {{Lien web |auteur=Pierre Guillot |titre=Cours Concis de Mathématiques |url=https://irma.math.unistra.fr/~guillot/cours/bouquin.pdf |format=pdf |accès url=libre |page=32}} sous [[licence Creative Commons]].</ref>{{,}}{{sfn|Ramis|Warusfel|L1|p=517-518|loc=1.2.2 Valeur absolue}} :
{{Début de colonnes|taille=20em|nombre=2}}
* <math>|a| \geqslant 0</math>
* <math>|-a|=|a|</math>
* <math>|a|=0 \iff a = 0</math>
* <math>|ab|=|a| \times |b|</math>
* Si <math>b \neq 0,\  \left|\frac{a}{b}\right| =\frac{|a|}{|b|}</math>
* <math>|a|=\sqrt{a^2}</math>
* <math>|a| \leqslant b \iff - b \leqslant a \leqslant b</math>
* <math>|a| \geqslant b \iff a \leqslant -b \mbox{ ou } a \geqslant b</math>
* <math>|a + b| \leqslant |a| + |b|\ </math> ([[inégalité triangulaire]])
* <math>|a - b| \geqslant ||a|-|b||</math> (deuxième inégalité triangulaire)
* <math>\left|\sum_{i=1}^n a_i\right|\leqslant \sum_{i=1}^n |a_i|\ </math> (inégalité triangulaire généralisée)
* <math>||a||=|a|</math> ([[idempotence]])
{{Fin de colonnes}}

Enfin, si <math>f:I\to\R</math> est continue sur <math>I\subset \R</math>, alors <math>\left|\int_I f(t)\mathrm{d}t\right|\leqslant \int_I|f(t)|\mathrm{d}t</math>{{sfn|Ramis|Warusfel|L1|p=750|loc=Théorème 15}}.

=== Valeur absolue et distance ===
Il est parfois utile d'interpréter l'expression <math>|x - y|</math> comme la ''distance'' entre les deux nombres <math>x</math> et <math>y</math> sur la droite réelle. En munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un [[espace métrique]].

Une inéquation telle que <math>|x - 3| \leqslant 9</math> se résout alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon 9. C'est l'intervalle <math>[3 - 9 , 3 + 9] = [-6 , 12]</math>.

== La fonction valeur absolue ==
[[Fichier:F(x)=Abs(x).svg|thumb|Représentation de la fonction valeur absolue, <math>y = |x|</math>.]]

Cette [[fonction (mathématiques)|fonction]] fait correspondre à tout <math>x</math>, <math>x</math> si celui-ci est positif ou <math>-x</math> si celui-ci est négatif. La fonction valeur absolue est à valeurs positives, [[Fonctions paires et impaires|paire]].

La fonction valeur absolue <math>f</math> définie par <math>f(x) = |x|</math> est [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur <math>\mathbb R</math> mais n'est [[dérivée|dérivable]] qu'en tout point de <math>\mathbb R^*</math>{{sfn|Ramis|Warusfel|L1|p=641}}.

Si <math>f</math> est une fonction :
* la fonction <math>g</math> définie par <math>g(x) = f(|x|)</math> est une fonction paire coïncidant avec <math>f</math> pour tout <math>x</math> de <math>D_f \cap \mathbb{R}_+</math> ;
* la fonction <math>h</math> définie par <math>h(x) = |f(x)|</math> est une fonction coïncidant avec <math>f</math> pour tout <math>x</math> tel que <math>f(x) \geqslant 0</math> et coïncidant avec <math>-f</math> pour tout <math>x</math> tel que <math>f(x) \leqslant 0</math>.

== Utilisations ==
La valeur absolue peut être utilisées pour résoudre des équations. Par exemple, <math>x^2 = 9</math> devient <math>|x| = 3</math> en appliquant la [[racine carrée]], ainsi les solutions sont <math>x = 3</math> et <math>x = -3</math>.

Elle peut aussi être utilisée pour décrire un [[Intervalle (mathématiques)|intervalle]] avec une inéquation ; par exemple, pour <math>x</math> réel{{sfn|Ramis|Warusfel|L1|p=518|loc=Proposition 9}} :
:<math>\begin{array}{lcll}
&|x-3|&\leqslant 9 &\\
\iff &-9 &\leqslant x - 3 &\leqslant 9 \\
\iff &-6 &\leqslant x      &\leqslant 12\\
\iff &x \in [-6; 12]
\end{array} </math>
Ici <math>3</math> peut être vu comme le centre de l'intervalle et <math>9</math> le rayon.

== Généralisations ==

=== Norme et distance ===
{{Article détaillé|Norme (mathématiques)|Distance (mathématiques)}}
<!-- Peut être parler de norme de vecteur dans R^2 avant de parler d'evn (un peu comme à l'école) ? 🤔 -->
La valeur absolue d'un nombre peut être vue comme sa distance à <math>0</math> et donc sa « taille ». La notion de norme généralise cette idée aux vecteurs en reprenant  trois des propriétés de la valeur absolue : dans un [[espace vectoriel]] <math> E</math> sur <math>\R</math>, une norme <math>\|\cdot\|</math> est une application de <math> E </math> dans <math> \R</math> vérifiant{{sfn|Ramis|Warusfel|L2|p=394|loc=Définition 1}} :

# <math>\|x\| = 0 \implies x = 0</math> (séparation)
# <math>\| \lambda x \| = | \lambda | \|x\|</math> (homogénéité)
# <math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math>(inégalité triangulaire)

Il peut y avoir plusieurs normes sur un même espace. Par exemple dans le [[Plan (mathématiques)|plan]], <math>\|(x,y)\|_1 = |x| + |y|</math>, <math>\|(x, y)\|_2 = \sqrt{x^2 + y^2}</math> et <math>\|(x, y)\|_\infty = \max(|x|, |y|)</math> sont toutes les trois des normes{{sfn|Ramis|Warusfel|L2|p=395|loc=Exemple 4}}.

Tout comme l'expression  <math>|x - y|</math> peut  s'interpréter comme la ''distance'' entre les deux nombres <math>x</math> et <math>y</math> sur la droite réelle, <math>d(x,y)=\|x-y\|</math> s'interprète comme la [[distance (mathématiques)|distance]] entre <math> x</math> et <math>y</math>.

=== Extension aux nombres complexes ===
{{Article détaillé|Module d'un nombre complexe}}
La même notation s'emploie pour le module d'un [[nombre complexe]]. Ce choix est légitime parce que les deux notions coïncident pour les complexes dont la partie imaginaire est nulle. En outre, le module <math>|z_2 - z_1|</math> de la différence de deux nombres complexes <math>z_1 = x_1 + i y_1</math> et <math>z_2 = x_2 + i y_2</math> est la [[Distance (mathématiques)|distance euclidienne]] entre les points de coordonnées <math>(x_1 , y_1)</math> et <math>(x_2 , y_2)</math>{{sfn|Ramis|Warusfel|L1|p=250|loc=Définition 7}}.

* <math>|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
* Si <math>b</math> est nul, module de <math>a = \sqrt{a^2}</math>, soit la valeur absolue de <math>a</math>.
* En représentation [[fonction exponentielle|exponentielle]], si <math>a = re^{i\theta}</math> alors <math>|a| = r</math>.

=== Valeur absolue sur un corps ===
{{ancre|Valeur absolue dans un corps}}
{{Article détaillé|Corps valué}}
Une valeur absolue sur un [[corps gauche|corps]] ''K'' est une application qui à tout élément <math>x</math> de ''K'' fait correspondre un nombre réel [[Nombre positif|positif]] noté <math>|x|</math> de telle sorte que, pour tous <math>x</math> et <math>y</math> de ''K''{{Sfn|Bourbaki||p=IX.28|loc=Définition 2}} :
* <math>|x| = 0 \iff x = 0_K</math> '''(axiome de séparation)''' ;
* <math>|x + y| \leqslant |x| + |y|</math> '''(inégalité triangulaire)''' ;
* <math>|xy| = |x| |y|</math>
Une telle application vérifie (pour tous <math>a</math> et <math>b</math> dans ''K'') :
#Si <math>b\ne0</math> (donc <math>|b|\ne0</math>) alors <math>\left|a/b\right|=|a|/|b|</math> (en particulier, la valeur absolue du [[Élément neutre|neutre multiplicatif]] de <math>K^*</math> est égale à <math>1</math>) ;
#Si <math>a</math> et <math>b</math> ont même [[Puissance d'un nombre|puissance ''n''-ième]] pour un certain [[Entier naturel|entier]] <math>n > 0</math>, alors ils ont même valeur absolue. En particulier (cas <math>n = 2</math>) <math>|-a| = |a|</math> ;
#L'application <math>(x, y) \mapsto |y - x|</math> est une [[Distance (mathématiques)|distance]] sur ''K'', qui munit ''K'' d'une structure de [[corps topologique]]{{sfn|Bourbaki|p=IX.28}} ;
#<math>|a|<1</math> si et seulement si <math>a</math> est ''topologiquement'' [[nilpotent]], c'est-à-dire si <math>a^n</math> [[Limite d'une suite|tend vers]] <math>0</math> (pour la [[Espace métrique#Définitions|topologie associée]] à cette distance){{sfn|Bourbaki|p=IX.30}}.

{{Démonstration/début}}
#Si <math>b\ne0</math> alors <math>\left|\frac{a}{b}\right||b|=|\frac{a}{b}b|=|a|</math> donc <math>\left|\frac{a}{b}\right|=|a|/|b|</math>.
#Si <math>a^n = b^n</math> alors <math>|a|^n = |b|^n</math>. Donc, par positivité, <math>|a|=|b|</math>.
#L'application <math>d : (x, y) \mapsto |y - x|</math> est une distance sur ''K'' :
#*la symétrie résulte du point 2. En effet, puisque <math> (x-y)^2=(y-x)^2</math>, on a <math>|y - x| = |x - y|</math> ;
#*la séparation et l'inégalité triangulaire pour ''d'' sont des conséquences immédiates de leurs homologues pour <math>|\cdot|</math>.
# Quand <math>n</math> tend vers l'infini, on a les équivalences suivantes : <math>a^n \to 0 \iff |a^n| \to 0 \iff |a|^n \to 0 \iff |a| < 1.</math>
{{Démonstration/fin}}

Deux valeurs absolues <math>|\cdot|_1</math> et <math>|\cdot|_2</math> sur ''K'' sont dites équivalentes si les distances associées sont [[Équivalence des distances|topologiquement équivalentes]] (ou, ce qui revient évidemment au même : [[Équivalence des distances|uniformément équivalentes]]). On peut démontrer<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Henri Cohen (mathématicien)|Henri Cohen]]|titre=Number Theory|volume=I|titre volume=Tools and Diophantine Equations|éditeur=|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=239|année=2007|passage=184|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|8zC8VPQV8psC|page=184}}}}.</ref> qu'il existe même alors une constante <math>c>0</math> telle que <math>\forall x \in K\quad|x|_2=|x|_1^c</math>{{sfn|Bourbaki|p=IX.29|loc=Proposition 6}}.

{{Démonstration/début}}
Remarquons d'abord que ''K'' a mêmes éléments topologiquement nilpotents pour les deux distances donc pour tout <math>x\in K^*</math>, <math>|x|_1<1 \iff |x|_2<1,</math> si bien que <math>|x|_1>1 \iff |x|_2>1</math> (en passant aux inverses) et donc <math>|x|_1=1 \iff |x|_2=1</math>.

Si <math>|\cdot|_1</math> [[Fonction constante|vaut constamment]] <math>1</math> sur <math>K^*</math>, il en est donc de même pour <math>|\cdot|_2</math> et alors, <math>|\cdot|_1=|\cdot|_2</math>.

Supposons maintenant qu'il existe un <math>x\in K^*</math> tel que <math>|x|_1\ne1</math> et notons <math>c</math> le réel (strictement positif) tel que <math>|x|_2=|x|_1^c</math>. Alors, pour tout <math>y\in K^*</math>,
:<math>\forall m \in \Z \; \forall n \in \N^* \quad |y|_1 < |x|_1^{m/n} \iff |y^n/x^m|_1<1 \iff |y^n/x^m|_2<1 \iff |y|_2<|x|_2^{m/n}</math>
donc
:<math>\forall r\in\Q \; |y|_1^c<|x|_1^{rc} \iff |y|_2<|x|_1^{rc}</math>
autrement dit : <math>|y|_1^c=|y|_2</math>.
{{Démonstration/fin}}

Une valeur absolue est dite [[Valeur absolue ultramétrique|ultramétrique]] si, pour tous <math>x</math> et <math>y</math> de ''K''{{sfn|Bourbaki|p=IX.29}} :
:<math>|x + y| \leqslant \max( |x| , |y| )</math>.

C'est le cas si et seulement si cette valeur absolue est induite par une [[valuation]] à valeurs réelles<ref>{{Serre3}}, première page du chapitre II.</ref>.

==== Exemples ====
* Le [[#Extension aux nombres complexes|module défini sur ℂ]] est bien une valeur absolue, d'où le fait qu'on utilise la même notation.
* Pour tout [[nombre premier]] ''p'', la valeur absolue associée à la [[Valuation#Valuation p-adique|valuation ''p''-adique]], définie sur le [[Nombre p-adique|corps ℚ{{ind|''p''}}]], est une valeur absolue ultramétrique.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| wikiversity=Valeur absolue}}

=== Articles connexes ===
* [[Valeur algébrique]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage
   | auteur1 = Jean-Pierre Ramis
   | directeur1 = oui
   | auteur2 = André Warusfel
   | directeur2 = oui
   | auteur3 = Xavier Buff
   | auteur4 = Josselin Garnier
   | auteur5 = Emmanuel Halberstadt
   | auteur6 = François Moulin
   | auteur7 = Monique Ramis
   | auteur8 = Jacques Sauloy
   | préface = Alain Connes
   | titre = Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 1
   | lieu = Paris
   | éditeur = [[Éditions Dunod|Dunod]]
   | collection = Sciences Sup
   | année = 2022
   | numéro édition = 4
   | année première édition = 2006
   | pages totales = 1040
   | isbn = 978-2-10-084670-2
   | lire en ligne = https://www.dunod.com/sciences-techniques/mathematiques-tout-en-un-pour-licence-1-0
   | accès url = payant
   | consulté le = 2024-06-03
   | id = RamisWarusfelL1}}
* {{Ouvrage
   | auteur1 = Jean-Pierre Ramis
   | directeur1 = oui
   | auteur2 = André Warusfel
   | directeur2 = oui
   | auteur3 = Xavier Buff
   | auteur4 = Emmanuel Halberstadt
   | auteur5 = François Moulin
   | auteur6 = Monique Ramis
   | auteur7 = Jacques Sauloy
   | préface = Alain Connes
   | titre = Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2
   | lieu = Paris
   | éditeur = [[Éditions Dunod|Dunod]]
   | collection = Sciences Sup
   | année = 2014
   | numéro édition = 2
   | année première édition = 2007
   | pages totales = 880
   | isbn = 978-2-10-071392-9
   | id = RamisWarusfelL2}}
* {{Bourbaki-Topologie}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Fonction remarquable]]
[[Catégorie:Fonction de référence]]