Voir la source de Valeur d'adhérence

{{Voir homonymes|Adhérence}}

En [[topologie]], si (''u{{ind|n}}''){{ind|''n''∈ℕ}} est une [[suite (mathématiques)|suite]] à valeurs dans un ensemble ''E'', une '''valeur d'adhérence''' de la suite (''u{{ind|n}}'') est un point de ''E'' près duquel s'accumulent une infinité de termes de la suite. Pour donner un sens mathématique à cela, il faut pouvoir mesurer la proximité, ce qui nécessite de munir ''E'' d'une [[Espace topologique|topologie]]. La notion de valeur d'adhérence dépend alors de la topologie choisie. Dans un espace où tout point admet une [[Voisinage (mathématiques)#Base de voisinages|base]] [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] de [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] (c'est le cas notamment dans un [[espace métrique]], comme [[Nombre réel|ℝ]] ou [[Nombre complexe|ℂ]]) les valeurs d'adhérence d'une suite sont les [[Limite d'une suite|limites]] de ses [[Suite extraite|suites extraites]]. Cette dernière propriété est souvent prise comme définition d'une valeur d'adhérence, mais n'est cependant pas équivalente à la définition la plus générale.

== Cas des suites réelles ==

=== Définition et caractérisation ===

Soient {{math|(''u{{ind|n}}'')}}{{ind|''n''∈ℕ}} une suite [[nombre réel|réelle]] et ''{{math|y}}'' un nombre réel, on dit que ''{{math|y}}'' est une valeur d'adhérence de {{math|(''u{{ind|n}}'')}} si
:pour tout réel <math>\varepsilon>0</math>, l'ensemble <math>\left \{n\in\N\mid|u_n-y|<\varepsilon\right \}</math> est infini
ou, ce qui est équivalent, si
:pour tout réel <math>\varepsilon>0</math>, <math>\forall N\in\N\quad\exist n\ge N\quad|u_n-y|<\varepsilon</math>.

Le fait que ℝ est un espace métrique permet de caractériser plus simplement les valeurs d'adhérence d'une suite réelle {{infra|Définitions}} : ''{{math|y}}'' est une valeur d'adhérence de {{math|(''u{{ind|n}}'')}} si et seulement si
:il existe une [[sous-suite]] de {{math|(''u{{ind|n}}'')}} qui [[Limite d'une suite|converge]] vers ''{{math|y}}''.

=== Exemples ===
*La suite ((–1){{exp|''n''}}) admet 1 et –1 comme valeurs d'adhérence. En effet, les termes pairs sont constants à 1 et les termes impairs constants à –1.
*La suite (sin(''n'')) admet l'intervalle [–1, 1] comme ensemble de valeurs d'adhérence. Ceci résulte du fait que [[Groupe topologique#Exemples de base|ℤ + 2{{math|π}}ℤ est dense dans ℝ]].
*La suite ((–1)''{{exp|n}}n'') n'admet pas de valeur d'adhérence dans ℝ. Mais dans la [[droite réelle achevée]], la même suite admet {{math|+∞}} et {{math|–∞}} comme valeurs d'adhérence.
*La suite ((–1)''{{exp|n}}n + n'') admet 0 comme unique valeur d'adhérence mais ne converge pas. Dans la droite réelle achevée, la même suite admet {{math|+∞}} et 0 comme valeurs d'adhérence.

== Cas général ==
La notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un [[espace topologique]] généralise celle de valeur d'adhérence d'une suite réelle sous sa formulation [[#Définition et caractérisation|propriété 2]], laquelle signifiait, dit informellement, que chaque intervalle ]''y ''– ε, ''y ''+ ε[ contient « une infinité de termes » de la suite.

=== Définitions ===
{{Théorème|énoncé=Soient ''E'' un espace topologique, (''u{{ind|n}}''){{ind|''n''∈ℕ}} une suite d'éléments de ''E ''et ''y'' un élément de ''E''.

On dit que ''y'' est une valeur d'adhérence de la suite (''u{{ind|n}}'') si, pour tout [[Glossaire topologique#V|voisinage]] ''V ''de ''y'', il existe une infinité d'''indices n ''tels que ''u{{ind|n}} ''appartienne à ''V''.

[[Adhérence (mathématiques)#Ensemble des points adhérents|Ceci équivaut à dire que]] ''y'' est dans l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de chacun des ensembles {''u{{ind|n}}'', ''n'' ≥ ''N''}.
|nom=Définition|style=display:table}}
Intuitivement, la suite repasse aussi près que l'on veut de la valeur d'adhérence pour des indices arbitrairement grands. (C'est une condition plus forte que de demander que ''y'' soit [[Point adhérent|adhérent]] à l'[[Image d'une application|image]] de la suite, i.e. à {''u{{ind|n}}'', ''n'' ≥ 0}.)

Une condition évidemment suffisante mais non nécessaire est que tout voisinage de ''y'' contienne une infinité<ref>Lorsque ''E'' est un [[Espace T1|espace T{{ind|1}}]], en particulier lorsque c'est un [[espace séparé]] (comme la plupart des espaces topologiques usuels), il suffit pour cela que tout voisinage de ''y'' contienne au moins un ''u{{ind|n}} ''distinct de ''y''. La définition peut donc, dans un tel espace, se reformuler en : les valeurs d'adhérence d'une suite sont les [[Point adhérent#Point limite, point isolé, partie discrète|points limites]] de son image, ainsi que les valeurs qu'elle prend une infinité de fois.</ref> de ''valeurs ''de la suite, c'est-à-dire que ''y'' soit un [[Point adhérent#Point d'accumulation|point d'accumulation]] de l'image.

Une autre condition suffisante est l'existence d'une sous-suite de (''u{{ind|n}}'') qui converge vers ''y''<ref>Pour une démonstration, suivre le lien {{infra|Voir aussi}} vers [[Wikiversité]] ou voir {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Pierre Colmez]]|titre=Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)|lieu=Palaiseau|éditeur=Éditions de l'École polytechnique|année=2009|pages totales=469|passage=63|isbn=978-2-7302-1563-3|lire en ligne={{Google Livres|hMUiEhsa9WUC|page=63}}}}.</ref>. Cette dernière condition est également nécessaire si l'espace ''E ''est [[espace métrisable|métrisable]]<ref>Pour une démonstration, voir {{Harvsp|Colmez|2009|p=63}} ou {{Note autre projet|Wikiversité|Topologie générale/Espace métrique#Topologie|Espace métrique|début=« Valeurs d'adhérence d'une suite » dans}}</ref> ou plus généralement [[à bases dénombrables de voisinages]]<ref>Cette condition est aussi nécessaire dans un espace T{{ind|1}} [[Espace séquentiel#Espace de Fréchet-Urysohn|de Fréchet-Urysohn]]. Elle ne l'est pas dans l'espace d'[[Richard Friedrich Arens|Arens]], qui est [[Espace normal|normal]] mais seulement [[Espace séquentiel|séquentiel]].</ref>.

Plus généralement<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, {{Google Livres|12yuCBbwijUC|page autre=SA1-PA48|{{p.|TG I.48}}}}.</ref>, si ''f'' est une application d'un ensemble ''A'' dans un espace topologique ''E'' et si ℱ est un [[Filtre (mathématiques)|filtre]] sur ''A'', on dit qu'un élément ''y'' de ''E'' est une valeur d'adhérence de ''f'' suivant ℱ s'il est [[Filtre (mathématiques)#Filtre convergent, point adhérent à un filtre|adhérent]] au [[Filtre (mathématiques)#Filtre image, limite d'une fonction|filtre image]], c'est-à-dire si ''y'' est adhérent aux [[Image directe|images par ''f'']] de tous les éléments de ℱ. Le cas des suites correspond au [[filtre de Fréchet]] sur ℕ. Un autre cas important<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=TG I.49}}.</ref> est celui du filtre des voisinages d'un point ''a'' de ''A'', si ''A'' est muni d'une topologie : on dit alors que ''y'' est une valeur d'adhérence de ''f'' au point ''a'' (si ''a'' est seulement un point adhérent à ''A'' dans un espace topologique ambiant, on remplace les voisinages de ''a'' par leur [[Intersection (mathématiques)|trace]] sur ''A''<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=TG I.50}}.</ref>).

=== Exemples ===
* Les valeurs d'adhérence au point 0 de la [[fonction numérique]] ''x ''↦ sin(1/''x'') sont tous les réels compris entre –1 et 1 (voir [[Courbe sinus du topologue]]).
* Dans l'[[espace d'Arens-Fort]] {{incise|qui est l'ensemble [[Produit cartésien#Propriétés|ℕ{{2}}]] muni d'une topologie particulière}} le point (0, 0) est valeur d'adhérence de toute [[Ensemble dénombrable#Les couples d'entiers naturels|suite exhaustive d'éléments de]] [[Différence ensembliste|ℕ{{2}}\{(0, 0)}]] mais n'est limite d'aucune sous-suite.

== Ensemble des valeurs d'adhérence ==
Les exemples montrent que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite peut être vide ou avoir un ou plusieurs éléments, voire une infinité.

Cet ensemble ''F'' est toujours [[Fermé (topologie)|fermé]]. En effet, la formulation ensembliste de la définition [[#Définitions|ci-dessus]] est
<center><math>F=\bigcap_{N\in\N}\overline{\left\{u_n\mid n\ge N\right\}}</math></center>
(où {{surligner|''A''}} désigne l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de ''A''), ce qui montre que ''F'' est fermé, comme intersection de fermés.

Dans un [[espace dénombrablement compact]], cet ensemble est toujours non vide et s'il est réduit à un élément ''y'' alors la suite converge vers ''y''. Dans un espace [[quasi-compact]], cette non-vacuité et cette condition suffisante de convergence s'étendent à un filtre quelconque.

Dans le cas d'une suite à valeurs dans [[Droite réelle achevée|{{surligner|ℝ}}]], le plus petit et le plus grand élément de ce fermé sont respectivement les [[Limites inférieure et supérieure#Propriétés|limites inférieure et supérieure]] de la suite.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Topologie générale/Suites#Valeurs d'adhérence d'une suite|wikiversity titre=Valeurs d'adhérence d'une suite}}
*[[Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
*[[Théorème de Froda]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Suite]]
[[Catégorie:Topologie]]